新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 作差或作商比较大小（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 作差或作商比较大小（含解析），共30页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④给出结论.
【题型归纳】
题型一：作差法比较代数式的大小
1．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：作商法比较代数式的大小
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则正数，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．设x、y、z为正实数，且，则（ ）
A．B．C．D．

题型三：由不等式的性质证明不等式
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则D．若，则
9．下列结论正确的是（ ）
A．若ac>bc，则a>bB．，则a>b
C．若ab>0， 0
【双基达标】
10．，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不确定
12．已知，，记，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．与的大小关系不确定
13．已知，，那么下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
15．已知a，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
16．已知，则（ ）
A．B．C．D．
17．已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．MN
C．M＝ND．M≥N
18．设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A．B．
C．D．
19．下列选项正确的是（ ）
A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0
B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3
C．(x-3)2<(x-2)(x-4)
D．x2+y2+1>2(x+y-1)
20．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是（ ）
A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0
21．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
22．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．若非零实数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
24．实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
25．若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
26．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于B．小于C．大于等于D．小于等于
27．已知的三边长分别为、、，有以下4个命题：
（1）以、、为边长的三角形一定存在；
（2）以、、为边长的三角形一定存在；
（3）以、、为边长的三角形一定存在；
（4）以、、为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
28．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（ ）
A．甲先到达终点B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先到达终点
29．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙一样D．无法确定
30．设，，给出下列不等式不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【高分突破】
单选题
31．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A．B．C．D．
32．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
33．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
34．已知等比数列的公比为，前项和，设，记的前项和为，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
35．已知，，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
36．下列命题成立的是（ ）
A．若，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
37．已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
38．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
39．已知，为实数，则______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）
40．已知，，则M________N．（填“>”或“<”）
41．函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是______．
42．下列四个命题：
①若，，则；
②函数的最小值是3；
③已知正实数，满足，则的最小值为．
其中所有正确命题的序号是__________．
43．已知，则___________.（用“>”或“<”填空）
四、解答题
44．若，，求证：．
45．若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
（1）若比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.
46．（1）设，试比较与的大小
（2）已知，，求的取值范围.
47．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．
48．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】
因为，则，故，A对B错；
，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错.
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.
【详解】
为正数，为负数，所以，，
，
所以.
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
由不等式的性质及对数函数单调性依次判断即可.
【详解】
由，可得，，A、D正确；
由结合的单调递增知，B错误；
，则，C正确.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
利用比商法比较的大小，构造新函数并利用放缩法比较的大小，进而得到.
【详解】
因为，，由，可得，
令，则
则为增函数，又，
则恒成立，即时，恒成立，
则，则
令，则恒成立，
则为增函数，又
则恒成立，即时，恒成立，
则，则，则
综上，
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.
【详解】
由，得，由，得，
因此，，即，
由，得，于是得，
所以正数，，的大小关系为.
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
设，将2x，3y，4z用k表示，再用作商比较法比较大小即可．
【详解】
解：为正数，
令
所以
所以，
又因为，，所以，
故选： C．
7．A
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质可证充分性成立，举例说明可证必要性不成立.
【详解】
，所以充分性成立，
当时，满足，但不成立，所以必要性不成立．
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
8．C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．
【详解】
解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误；
对于B：当时，故B错误；
对于C：由，所以，因为，所以，故C正确；
对于D：当，满足，但是，故D错误；
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
根据题目条件分别代入反例使得结果错误排除错误答案即可判定D正确.
【详解】
选项A：若c为负数，则a选项B：，也可能a，b均为负数，则a选项C：-1<0，但没有意义；
选项D：因为a>b>0， 0故选：D.
10．A
【解析】
【分析】
构造，则，，，利用导数研究函数的单调性，结合作差法，即可判断a，b，c的大小关系.
【详解】
由，，，若，则，
令且，则，，，
所以，若得：，
在上，递增；上，递减；
所以，即中最大，而，即，
综上，，又在定义域上递增，故.
故选：A
11．B
【解析】
【分析】
利用平方作差，再判断差的正负即可得解.
【详解】
因，，
则，
所以.
故选：B
12．B
【解析】
【分析】
利用作差法比较即可
【详解】
解：因为，
所以，
因为，，所以，
所以，所以，即，
故选：B
13．A
【解析】
【分析】
对于选项A，，判断得解；对于选项B和C，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项D，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
【详解】
对于选项A，，因为，所以，
所以，所以该选项正确；
对于选项B，，如：，则分母小于零，
如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项C，，如：，则分母小于零，
如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项D，，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14．B
【解析】
【分析】
法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；
法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；
【详解】
法一：由题意，，对于，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，因此；
当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，
不妨设，则上，上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由此，，.
由，则，同理可得，
所以，，则，解得，与矛盾.
综上，.
法二：由题意得：，.
当时，，即，
所以；
，又，，即，
所以.
综上，，即，得.
故选：B.
15．C
【解析】
【分析】
利用作差法逐一判断符号即可求解.
【详解】
对于A：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项A错误；
对于B：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项B错误；
对于C：，
因为，所以，，，
所以一定成立，即选项C正确；
对于D：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项D错误.
故选：C.
16．C
【解析】
作差后配方可得答案.
【详解】
因为，
所以，当且仅当，时取等号，
故选：C．
17．B
【解析】
【分析】
根据题意，利用作差法进行求解．
【详解】
因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以－10，所以M>N，
故选：B.
【点睛】
此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
18．D
【解析】
【分析】
根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于选项A，因为a､b是正实数，所以，则，可得到，当且仅当时等号成立，故选项A错误；
对于选项B，因为a､b是正实数，所以，当且仅当，即时取等号，故选项B错误；
对于选项C，，当且仅当时取等号，故选项C错误；
对于选项D，，则恒成立，故选项D正确；
故选：D.
19．D
【解析】
【分析】
用做差法比较大小，即可做出判断.
【详解】
A.a与b的差不是正数用不等式表示为a-b≤0，故A错误；
B.a的绝对值不超过3用不等式表示为|a|≤3，故B错误；
C.(x-3)2-(x-2)(x-4)=1>0，所以(x-3)2>(x-2)(x-4)，故C错误；
D.x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0，所以x2+y2+1>2(x+y-1)，故D正确.
故选：D
20．B
【解析】
【分析】
由a2＋1－2a＝(a－1)2可得结果.
【详解】
a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴ a＝1时，等号成立．
故选：B.
21．C
【解析】
【分析】
根据对数和指数的单调性可判断，；在构造函数，，再根据换元法和不等式放缩，可证明当时，，由此即可判断的大小.
【详解】
因为
，所以；
由且，所以，所以，
令，，
令 ，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，，
故，所以．
故选：C．
22．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
因为，所以，
对于A：，，所以，故A错误；
对于B：，所以在上为增函数，
又，所以，故B错误；
对于C：，
因为，，所以，
所以，故C错误；
对于D：，
因为，，
所以，即，故D正确.
故选：D
23．C
【解析】
【分析】
举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.
【详解】
取，满足，而，A不成立；
取，满足，而，B不成立；
因，即有，C成立；
取，满足，而，即，D不成立．
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
由题意得，，，然后与作差结合基本不等式比较大小，构造函数，可判断其在上单调递减，则，化简可得，则，则可比较出与的大小即可
【详解】
由题意得，，，则
，
因为，
所以，
所以，
设，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以，
所以，所以，所以，所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查对数与指数的互化，考查基本不等式的应用，考查导数的应用，解题的关键是构造函数判断出其单调性，可得，再转化为，考查数学转化思想和计算能力，属于难题
25．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性及得到或，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.
【详解】
因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，
当时，，此时；
，故；
，；
当时，，此时，，故；
，；
故ABC均错误；
D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，
设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确
故选：D
26．A
【解析】
【分析】
设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
27．B
【解析】
【分析】
的三边长分别为、、，不妨设，则，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案.
【详解】
的三边长分别为、、，不妨设，则，
对于（1）： ，所以，所以以、、为边长的三角形一定存在；故（1）正确；
对于（2）：不一定成立，因此以、、为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确；
对于（3）：，因此以、、为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）： 取，，因此、、，能构成一个三角形的三边，而，因此以、、为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，
所以正确的命题有个，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是设不妨设，则，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.
28．B
【解析】
设马拉松全程为x，得到甲用的时间为，乙用的时间为，
做差比较大小可得答案.
【详解】
设马拉松全程为x，所以甲用的时间为，乙用的时间为，
因为，
所以，
所以，则乙先到达终点.
故选：B.
【点睛】
比较大小的方法有：
（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；
（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.
29．B
【解析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；
对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.
因为，所以，.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
30．B
【解析】
作差法比较大小及利用基本不等式判断可得.
【详解】
解：设，，
对于A选项：，故A选项的不等式恒成立；
，故B选项不恒成立；
，当且仅当即时取等号，故C选项中的不等式恒成立，
因为，，，当且仅当，，即时取等号，故D选项中的不等式恒成立，
故选：B．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
31．D
【解析】
【分析】
根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小.
【详解】
由可得，则，
由可得，利用完全平方可得
所以，
，
，
综上，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.
32．B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
因为，所以，故A错误；
因为，所以，所以，故B正确；
因为，所以不成立，故C错误；
，因为，所以，即，所以成立，故D错误.
故选：B
33．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、计算的符号，作商比较的大小即可得解.
【详解】
因为，
所以，
又因为，
所以，
又因，
所以且，
所以，所以，
故选：D
34．AB
【解析】
【分析】
先根据求得以及公比的取值范围，再由可得，计算，讨论的范围即可得与的大小关系，进而可得正确选项.
【详解】
由于是等比数列，，所以，，
当时，，符合题意；
当时，，即，
等价于或，
对于，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以，
对于可得：.
综上所述，的取值范围是；
因为，所以，
所以，
因为，且，所以，当或时，，即，故A选项正确.
当或时，，即，故B选项正确，D选项错误.
当时，，即，故C选项错误；
故选：AB.
35．ABD
【解析】
选项A，利用基本不等式得，再利用基本不等式得，两次等号成立的条件必须相同；选项B，把展开，利用基本不等式即可证明；选项C，由基本不等式可判断；选项D，作差法证明即得.
【详解】
对A，，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C，，，当且仅当时等号成立，故C错误；
对D，，,
，，，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题.
36．ACD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断A的正误，作差法比较的大小判断B的正误，由，应用均值不等式即可判断C的正误，由，结合已知条件即可判断D的正误.
【详解】
A：由题设知：，而，则有，正确；
B：，显然当时成立，当时成立，错误；
C：由，，则，当且仅当时等号成立，正确；
D：，，而，即，故，正确.
故选：ACD.
37．AC
【解析】
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若时，利用同向不等式相乘判断；若时，有，直接判断；若时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】
对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；
对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；
对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；
若时，有，故成立；
若时，则有，，因为，所以，即成立；
故C正确；
对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；
故选：AC
【点睛】
（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
38．a【解析】
【分析】
先求出，再证明，即得解.
【详解】
，
∵，∴
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，
即a故答案为：a【点睛】
本题主要考查实数大小的比较，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
39．≥
【解析】
【分析】
利用作差法，配方即可比较大小.
【详解】
，
当且仅当，取等号．
故答案为：≥
40．
【解析】
作差后与0比较可得．
【详解】
，∴．
故答案为：．
41．##
【解析】
【分析】
根据导数的定义分别求出从到和从到的平均变化率，利用作差法比较的大小即可.
【详解】
∵函数
从到的改变量为，
∴．
∵函数
从到的改变量为，
∴．∵，而，∴．
42．①③
【解析】
【分析】
对于①，利用不等式的性质可证得；对于②，举反例；对于③，利用基本不等式即可求得.
【详解】
对于①，，，，，，，
，即，两边同除以得，；
同理，即，同除以得，，综上得＜＜，故①正确；
对于②，，而，故②错误；
对于③，正实数，满足，则，
，
当且仅当即取等号，故③正确；
故答案为：①③．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
43．>
【解析】
【分析】
利用作差法即得.
【详解】
∵，
∴>.
故答案为：>
44．证明见解析
【解析】
要证，只要证即可，所以利用作差法证明即可
【详解】
解：因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以
【点睛】
此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题
45．（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.
（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
【详解】
（1）因为比3接近1，故，
故，故，所以.
（2）取，
则，故比接近.
但，
故“比接近”推不出“”.
所以“比接近”是“”不充分条件.
若，则，故，
所以或，
若，则且，故，
所以，
故，所以，
也就是“比接近”.
若，则且，故，
所以，
故，所以，
故“比接近”是“”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，
即证：，
即证：，
即证：，
因为，因为，
故，故，
所以成立，
故比接近.
【点睛】
关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.
46．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据作差法，由题中条件，即可得出结果；
（2）设，求出，根据题中条件，由不等式的性质，即可求出结果.
【详解】
（1）
∵，∴，，
∴
∴
（2）设
则，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
即.
【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，以及不等式的性质求范围，属于常考题型.
47．（1）“上位点”为，“下位点”为；（2）是，证明见解析；（3）4039.
【解析】
（1）根据题设中的定义可得结果；
（2）作差可得，，再根据定义可知结论成立；
（3）根据题意得对时恒成立，根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，若，作差可知不成立，可得正整数的最小值为4039.
【详解】
（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点"坐标和一个“下位点”坐标分别为和；
（2）点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：∵点是点的“上位点”，∴
∵，，，均大于0，∴，∴
∴，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
（3）根据题意得对时恒成立，
根据（2）的结论可知，当，时，满足条件，
若，由于，
则不成立，故正整数的最小值为4039。
【点睛】
关键点点睛：理解并运用上位点和下位点的定义是解题关键.
48．（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】
证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】
该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.