四川省雅安市天立学校2022-2023学年高二上学期入学测试数学试题

雅安天立学校高2021级2022—2023学年度上期入学测试

数  学

本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

2．若向量，，则等于（    ）

A．20 B． C．54 D．

3．等比数列中，，是方程的两根，则（    ）

A．8 B．－8 C． D．以上都不对

4．直线的斜率为2，，直线过点且与y轴交于点P，则P点坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．直线通过第一、三、四象限，则有（    ）

A．， B．， C．， D．，

6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则角C的值为（    ）

A．45° B．60° C．90° D．120°

7．两条直线：和：在同一直角坐标系中的图象可以是（    ）

A． B． C． D．

8．下列表达式正确的是（    ）

（1）， （2）若，则

（3）若，则 （4）若，则

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）

9．直线必过定点（    ）

A． B． C． D．

10．直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ）

A． B． C．或 D．或

11．点到直线：的距离d为最大时，d与a的值依次为（    ）

A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1

12．已知等差数列的前n项和为，且满足，令，则数列的前n项和取最大值时n的值为（    ）

A．15 B．14 C．13 D．12

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上．

温馨提示：答填空题时，尽量贴近横线书写，字体不要太大，避免扫描时只截取部分内容

13．若直线与直线互相垂直，则实数______．

14．空间几何体的三视图如图，则它的体积为______．

15．到，的距离相等的动点P满足的方程是______．

16．已知，，直线AB上一动点，则xy的最大值是______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．求下列不等式的解集：

（1）；  （2）．

18．已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值．

19．已知直线l的方程为，求的方程，使得：

（1）与l平行，且过点；

（2）与l垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4．

20．如图，在四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，E是的中点．

（1）证明：平面BDE；

（2）若，求三棱锥的体积．

21．已知一束光线经过直线：和：的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射．

（1）求反射光线所在的直线的方程；

（2）求与直线的距离为的直线方程．

22．已知函数．

（1）解关于x的不等式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

雅安天立学校高2021级2022—2023学年度上期入学测试

数学部分参考解析

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1-5：BBADB     6-10：CADAC     11-12：CB

二、填空题（4个小题，每小题5分，共20分）

13．1    14．    15．（或）   16．5

三、解答题（6个小题，共70分）

17．（1）   （2）

没有写成集合形式（区间或描述法均可），或集合书写有误，一处扣一分

18．由于点满足关系式，且，可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，．令，

易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，，

所以可求得的最大值为3，最小值为．

19．∵直线l的方程为，∴直线l的斜率为．

（1）∵与l平行，∴直线的斜率为．

∴直线的方程为，即．

（2）∵，∴．

设在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为，

由题意可知，，∴，

∴直线的方程为或．

20．（1）证明：连接AC交BD于点O，连接EO．

∵底面ABCD是平行四边形，∴点O为AC的中点．

∵点E是棱的中点，∴EO为的中位线，∴，

又平面BDE，平面BDE，∴平面BDE．

（2）∵E是棱的中点，

∴点E到平面BCD的距离等于点到平面BCD的距离的一半，

∴点E到平面BCD的距离，

∴三棱锥的体积，

，即三棱锥的体积为3．

21．（1）由得∴．

∴点M关于x轴的对称点P的坐标为．

易知经过点P与点N，∴的方程为，即．

（2）设与平行的直线为．

根据两平行线之间的距离公式，得，解得或．

∴与直线的距离为的直线方程为或，即或．

22．（1）∵，∴，即；

当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为．综上所述，当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．

（2）∵对任意的，恒成立，

∴恒成立，即恒成立．

当时，不等式为恒成立；

当时，，

∵，∴，∴，

当且仅当时，即，时取“＝”．∴．

当时，．

∵，∴．令，则，

∵函数在上单调递增，

∴当，即时，函数取到最大值－5，

∴．综上所述，a的取值范围是．