专题12. 解三角形范围问题（备战2024高考数学-大一轮36个核心专题）

专题12.解三角形范围问题讲义

第1讲：消角构造三角函数

例1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角B；

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

解析：（1）由结合正弦定理可得：

△ABC为锐角三角形，故.

（2）结合(1)的结论有：

.

由可得：，，

则，.

即的取值范围是.

第2讲.对边对角模型

对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.

例2.在中，

（1）求；

（2）若，求周长的最大值.

解析：（1）由正弦定理可得：，

，.

（2），

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

小结1.结合余弦定理：变式可得：此公式在已知的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.

第3讲.正弦定理边角转化

在正弦定理中：

此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析.

例2.的内角对边为，.

（1）.求角的值；

（2）.若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

解析：(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．

，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.

(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，

故，解得.

又应用正弦定理，，由三角形面积公式有：

.

又因,故，

故.故的取值范围是

第4讲.齐次边型分式结构

在这一部分中，我们经常会看到诸如：等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理.

例3.（2022新高考1卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，求；

（2）求的最小值．

解析：（1）由已知条件得：

所以，即，

由已知条件：，则，可得，所以，．

2）由（1）知，则，，

，由正弦定理

当且仅当时等号成立，所以的最小值为．

例4．在锐角中，，则的范围是（   ）

A． B． C． D．

解析：在锐角中，，因为，，,

所以，，解得，

所以，，而，

所以，

所以由正弦定理可知：

，

因为，所以，所以，即.

故选：A.

第5讲. 余弦定理求角的最值

余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值.

若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析.

例5.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（     ）

A． B． C． D．

解：∵，∴，

∴由正弦定理得：，

即，，则，

（当且仅当，即时取等号），的最小值为.

∵，∴，∴的最大值为.

例6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（   ）

A． B． C． D．

解析：因为，所以，进而可得

因为，当且仅当时等号成立，所以又因为，所以角A的最大值为

第6讲. 秦九韶公式

秦九韶公式求范围是近年来解三角形模考试题中热门考察方向之一，相关内容是人教版新教材的阅读内容，未来完全有可能出现在高考试题中.

例7.秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，，则面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

解析：由得，，

即，所以，

，

所以，即时，．故选：A．

例8.已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（       ）

A． B． C． D．

解：中，因为，所以，

则，即，

又，则，即，则，

所以，当时，面积取得最大值为，故选：A

第7讲.爪型三角形与等面积方法

如图，设为的平分线，则设，那么有等面积可得：，进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.

例9.（2022成都一诊）在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.

解析：，依题意是角的角平分线，

由三角形的面积公式得，

化简得，，

.当且仅当，时等号成立.故答案为：

第8讲.斯特瓦尔特定理与均值不等式

基本结论：如图：当设为的边中点时，.

注：该结论还可由证得.更一般的情形即斯特瓦尔特定理，此处不再赘述，我们通过例题展示

例10.在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

解：（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，.

（2）由，又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

例11．内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）是边上一点，且，，求面积的最大值.

解析：（1）因为，由正弦定理可得，

又，所以，因为，

所以，则，

又，所以，

因为，所以；

（2）根据题意可得，

所以，

即，所以，当且仅当

等号成立

所以，面积的最大值为.

第9讲.恒等变换型目标函数

这类最值问题的特点是利用恒等变换化简函数，它们的目标函数往往不是上面的类型，而且有点“丑”，你需要做的就是耐心美化目标函数，直到找到可以入手的结构！

例12．已知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且满足，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

解析：由，知，

，，，

因为、，则，，

因为正弦函数在上单调递增，所以，，则，

因为为锐角三角形，则，可得，则，

，故选：A.

例13．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

解析：∵，∴，

∴，∴，

∴，∴

，∴，∴或（不符合题意舍去），

∴，∴

，设，∵是锐角三角形，∴，∴，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递增，故，∴.故选：C．

第10讲：构造轨迹找范围

常见的轨迹有阿波罗尼斯圆，焦点三角形等，这些问题，实质需要找到背后那个隐藏的轨迹.

定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为.

例13.在三角形中，内角、、对应的边分别为、、，已知，．

（1）求的面积；

（2）若，求．

解析：（1），

解得：，，

（2） 由(1)和余弦定理可得:，化简得：

消去，可得，即

注：在（1）中解得，再加之，这样顶点的轨迹实际是一个阿氏圆，其实第二问可以求面积的最大值.