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初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品达标测试
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这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称精品达标测试，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十三章 轴对称 （B卷能力提升）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列城市的地铁图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．天津 B．南京
C．深圳 D．沈阳
2．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
4．已知点和点关于轴对称，则等于( )
A．1 B． C．2019 D．
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．10 B．6 C．7 D．8
6．如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小
8．如图，四边形中，，，在、上分别找到一点、，使周长最小时，则的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，于点D，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
二、填空题
11．如图，已知等边三角形中，点分别在边上，把沿直线翻折使点落在处，、分别交边于点、，若，则度数为 ．
12．如图，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则的度数为 度．
13．如图，在△ABC中，AC＝6，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于D，连接BD．若BD＝4，则AD＝ ．
14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是 ．
15．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD＝BE，则∠DEC＝ 度；
17．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．
18．如图，在中，，，AD是的中线，AE是的角平分线，交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
19．如图，六边形的六个角都是120°，边长，，，，则这个六边形的周长是 ．
20．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ．
21．如图，在△ABC中，∠BAC=100° ，AB=AC， AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC= ．
22．在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为 ．
三、解答题
23．如图，在中，，，为的中点，，分别是，上的点，且，求证：
(1)；
(2)．
24．如图，已知，
(1)求证：；
(2)若平分，求证：是等腰三角形．
25．如图．等腰中，，点D为直线BC下方一点，
(1)如图1，若，求证：AD平分
(2)如图2，若，DA平分，过点A作CD的垂线，垂足为点E，．求BD的长度．
26．如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G．
(1)求证：BG＝CF；
(2)若AB＝17，AC＝5，求AF的长度．
27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．
28．如图，在等边中，点E在上，点D在的延长线上．
(1)如图1，，求证：；
(2)如图2，若E为上异于A、C的任一点，，（1）中结论是否仍然成立？为什么？
参考答案：
1．D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．C
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
3．B
【详解】试题分析：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴PA=AG，PB=BH，
∴△PAB的周长=AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm．
故选B．
考点：轴对称的性质．
4．A
【分析】先根据轴对称的坐标特征分别求得，，再代入即可得出答案.
【详解】点和点关于轴对称
，.
故选A.
【点睛】本题考查了轴对称的坐标特征，熟练掌握两坐标关于x轴对称，纵坐标的值互为相反数；两坐标关于y轴对称，横坐标的值互为相反数.
5．D
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
6．B
【分析】根据题意得出对称的性质，C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，则根据对称点到对称轴距离相等，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，
∵点C的坐标为（4，1），
∴设B（x,1）则，解得x=-2
则点B的坐标为：（-2，1）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，得出C，B关于直线m对称是解题关键．
7．A
【分析】在上截取，连接，根据等边三角形的性质证明，即可得到结论；
【详解】如图，在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不变，故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，结合三角形全等求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出∠AA'M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA'M+∠A″）即可得出答案．
【详解】作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，则A'A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，∴∠AA'M+∠A″=60°．
∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，
且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2（∠AA'M+∠A″）=2×60°=120°．
故选C．
【点睛】本题考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题的关键．
9．B
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD⊥AD，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形，根据题意作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
10．A
【分析】求出，根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半求出BC，同理求出BD即可；
【详解】解：∵在中，，
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
11．40°
【分析】由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB′，由两角对应相等可得△ADF∽△B′GF，那么∠CGE=∠ADF的度数，则∠CEG=180°-∠C-∠CGE．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由翻折可得∠B′=∠B=60°，
∴∠A=∠B′=60°，
∵∠AFD=∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF=∠B′GF，
∵∠EGC=∠FGB′，
∴∠EGC=∠ADF=80°，
∴∠CEG=180°-∠C-∠CGE=180°-60°-80°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】此题考查翻折变换问题，得到所求角与所给角的度数的关系是解题的关键．
12．80
【分析】根据三角形外角性质即可知EOC＝EBC＋BCD，又由分别沿着、边翻折形成的图形与原图形全等，可以求出EBC与BCD的和，即可．
【详解】解：EOC是OBC的外角
EOC＝EBC＋BCD
和是分别沿着、边翻折形成的
可知：翻折前后图形全等
即：ABE＝ABC，ACD＝ACB
ABC＋ACB＝40
EOC＝EBC＋BCD＝2（ABC＋ACB）＝80
故答案为80
【点睛】本题考查了翻折前后图形全等及三角形外角性质的知识点，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
13．2
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD=4，然后根据AD=AC-DC求解即可．
【详解】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=4，
∵AC＝6，
∴AD＝AC-CD=6−4＝2，
∴AD＝2．
故填2．
【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
14．130°．
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解．
【详解】∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，
∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，
∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，
∴∠BOC＝40°，
∵OC＝OA＝OB，
∴∠OBC＝70°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质.
15．4．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
16．100
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=×（180°-100°）=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABC＝20°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=×（180°-∠DBE）=80°，
∴∠DEC=180°-∠BED=100°，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．2或6/6或2
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可；
【详解】根据题意分两种情况：
当点P在线段OC上时，
设t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s，
当是等腰三角形时，，
∴是等边三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解．
18．4
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
∵∠BAC=120°
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°
∵AE是∠BAD的角平分线
∴∠DAE=∠EAB=30°
∵DFAB
∴∠F=∠BAE=30°
∴∠DAF=∠F=30°
∴AD=DF
∵AB=8，∠B=30°
∴AD=4
∴DF=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD=DF是解此题的关键．
19．15
【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
【详解】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
∴GC=BC=3cm，DH=DE=2cm．
∴GH=3+3+2=8cm，FA=PA=PG-AB-BG=8-1-3=4cm，EF=PH-PF-EH=8-4-2=2cm．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15cm．
故答案为：15cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．
20．20°
【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．
【详解】解：如图，延长至点E使，连接．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，则．在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．
21．80°
【分析】根据对边对等角可求出的度数，再根据线段垂直平分线可得出，最后根据三角形外角性质即可得出答案．
【详解】解：∠BAC=100° ，AB=AC，
,
EF是AB的垂直平分线,
,
．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22．或
【分析】根据题意作出图形，可得∠BAE=45°．当AE=EP时分两种情况：点P在边AB上时，点在边BC上时，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理与外角的性质求解即可．
【详解】解：根据题意作出图形，如图所示，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∵∠AEB=105°，
∴∠BAE=45°．
当AE=EP且点P在边AB上时，
∴∠EAB=∠APE=45°，
∴∠AEP=90°；
当且点在边BC上时，
连接CE，
∵BD垂直平分AC，
∴AE=AC=，
∴∠EAD=∠ECD=15°，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：90°或120°．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的定义与性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质等知识，根据题意作出图形是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形的性质证∠B=∠DAF=45°，直角三角形性质得AD=BD，再证明△BDE≌△ADF(SAS)，即可由全等三角形性质得出结论；
（2）由△BDE≌△ADF，得∠BDE=∠ADF，再由等腰三角形的性质证AD⊥BC，即可得出结论．
（1）
证明：连接AD，如图，
∵∠BAC=90°，为的中点，
∴AD=BD=CD=，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵AB=AC，为的中点，
∴∠DAC=∠BAC=，
∴∠B=∠DAF=45°，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴DE=DF．
（2）
证明：由（1）知：△BDE≌△ADF，
∴∠BDE=∠ADF，
∵AB=AC，为的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADB=90°，
∴∠EDF=∠ADF+∠EDA=90°，
∴DE⊥DF．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△ADF是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，可得∠A＝∠D，利用SAS证明△ABE≌△DCF即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC，进而可得∠BEF＝∠CFE，然后利用角平分线的定义等量代换后可得∠BEF＝∠BFE，求出BE＝BF可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠A＝∠D，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝CF；
（2）证明：∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵∠BEF＝180°－∠AEB，∠CFE＝180°－∠DFC，
∴∠BEF＝∠CFE，
又∵平分，
∴∠BFE＝∠CFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
25．(1)证明见详解
(2)1
【分析】（1）由线段垂直平分线的判定可得垂直平分，由等腰三角形的性质可得结论；
（2）过点作于，由“”可证，可得，，由“HL”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
垂直平分，
，
平分；
（2）解：如图，过点作于，
，，
，
在和中，
，
（AAS），
，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，证明，由此可得；
（2）由勾股定理证，由证，设，，则由题意可列出关于，的二元一次方程组，由此进行求解．
【详解】（1）证明：连接，．
平分，，，
．
垂直平分，
．
在与中，
，
．
．
（2）解：，
．
，
，即，
．
设，，
则①，
②．
联立①②，解得，．
的长度为．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解二元一次方程组，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理．
27．（1）证明见解析；（2）当点P在E处时，PB+PC＝15cm．
【分析】（1）根据等边三角形“三合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE＝CE，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE＝∠B；最后根据等角对等边证得CE＝BE，所以AE＝CE＝BE；
（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC＝PA；由等量代换知PB+PC＝PB+PA；根据两点之间线段最短可知，当点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
【详解】（1）在等边三角形ADC中，∵DF⊥AC，∴DF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE（等边对等角）；
∵∠ACB＝90°（已知），∴∠ACE+∠BCE＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝BE（等角对等边），∴AE＝CE＝BE；
（2）由（1）知，DE垂直平分AC，∴PC＝PA，∴PB+PC＝PB+PA；
∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
当点P在E处时，PB+PC＝EB+EC＝EB+EA＝AB＝15cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答（2）题时，主要利用“两点之间线段最短”来确定点P的位置．
28．(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质由得到BE平分，则可求出，再由得到，利用外角的性质求出，最后利用等角对等边即可证明；
（2）过点E作EF//BD交AB于点F，如图（见详解），根据平行得到同位角相等继而得到是等边三角形，利用边角边证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴BE平分，．
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，
则，，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
∴，
即．
∵是的外角，是的外角，
∴，
在和中，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定以及外角的性质等，解题的关键是要熟练掌握相关的性质和判定定理，并能够在图中作出适当的辅助线解决问题．
第十三章 轴对称 （B卷能力提升）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列城市的地铁图标中，不是轴对称图形的是（ ）
A．天津 B．南京
C．深圳 D．沈阳
2．如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（ ）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
4．已知点和点关于轴对称，则等于( )
A．1 B． C．2019 D．
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．10 B．6 C．7 D．8
6．如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小
8．如图，四边形中，，，在、上分别找到一点、，使周长最小时，则的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，于点D，，则等于（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
二、填空题
11．如图，已知等边三角形中，点分别在边上，把沿直线翻折使点落在处，、分别交边于点、，若，则度数为 ．
12．如图，和是分别沿着、边翻折形成的，若，则的度数为 度．
13．如图，在△ABC中，AC＝6，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于D，连接BD．若BD＝4，则AD＝ ．
14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是 ．
15．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，交AC于D，BD＝BE，则∠DEC＝ 度；
17．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝ s时，△POQ是等腰三角形．
18．如图，在中，，，AD是的中线，AE是的角平分线，交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
19．如图，六边形的六个角都是120°，边长，，，，则这个六边形的周长是 ．
20．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是 ．
21．如图，在△ABC中，∠BAC=100° ，AB=AC， AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC= ．
22．在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为 ．
三、解答题
23．如图，在中，，，为的中点，，分别是，上的点，且，求证：
(1)；
(2)．
24．如图，已知，
(1)求证：；
(2)若平分，求证：是等腰三角形．
25．如图．等腰中，，点D为直线BC下方一点，
(1)如图1，若，求证：AD平分
(2)如图2，若，DA平分，过点A作CD的垂线，垂足为点E，．求BD的长度．
26．如图，△ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G．
(1)求证：BG＝CF；
(2)若AB＝17，AC＝5，求AF的长度．
27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．
28．如图，在等边中，点E在上，点D在的延长线上．
(1)如图1，，求证：；
(2)如图2，若E为上异于A、C的任一点，，（1）中结论是否仍然成立？为什么？
参考答案：
1．D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．C
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
3．B
【详解】试题分析：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴PA=AG，PB=BH，
∴△PAB的周长=AP+PB+AB=AG+AB+BH=GH=10cm．
故选B．
考点：轴对称的性质．
4．A
【分析】先根据轴对称的坐标特征分别求得，，再代入即可得出答案.
【详解】点和点关于轴对称
，.
故选A.
【点睛】本题考查了轴对称的坐标特征，熟练掌握两坐标关于x轴对称，纵坐标的值互为相反数；两坐标关于y轴对称，横坐标的值互为相反数.
5．D
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定．解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
6．B
【分析】根据题意得出对称的性质，C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，则根据对称点到对称轴距离相等，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，
∵点C的坐标为（4，1），
∴设B（x,1）则，解得x=-2
则点B的坐标为：（-2，1）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，得出C，B关于直线m对称是解题关键．
7．A
【分析】在上截取，连接，根据等边三角形的性质证明，即可得到结论；
【详解】如图，在上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，∴．
∵是等边三角形，
∴，．
∵，
，
∴．在和中，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴的大小不变，故选A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，结合三角形全等求解是解题的关键．
8．C
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A'，A″，即可得出∠AA'M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA'M+∠A″）即可得出答案．
【详解】作A关于BC和CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于M，交CD于N，则A'A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，∴∠AA'M+∠A″=60°．
∵∠MA'A=∠MAA'，∠NAD=∠A″，
且∠MA'A+∠MAA'=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA'A+∠MAA'+∠NAD+∠A″=2（∠AA'M+∠A″）=2×60°=120°．
故选C．
【点睛】本题考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题的关键．
9．B
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：过点C作CD⊥AD，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选：B．
【点睛】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形，根据题意作出辅助线，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
10．A
【分析】求出，根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半求出BC，同理求出BD即可；
【详解】解：∵在中，，
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
11．40°
【分析】由对顶角相等可得∠CGE=∠FGB′，由两角对应相等可得△ADF∽△B′GF，那么∠CGE=∠ADF的度数，则∠CEG=180°-∠C-∠CGE．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由翻折可得∠B′=∠B=60°，
∴∠A=∠B′=60°，
∵∠AFD=∠GFB′，
∴△ADF∽△B′GF，
∴∠ADF=∠B′GF，
∵∠EGC=∠FGB′，
∴∠EGC=∠ADF=80°，
∴∠CEG=180°-∠C-∠CGE=180°-60°-80°=40°．
故答案为：40°．
【点睛】此题考查翻折变换问题，得到所求角与所给角的度数的关系是解题的关键．
12．80
【分析】根据三角形外角性质即可知EOC＝EBC＋BCD，又由分别沿着、边翻折形成的图形与原图形全等，可以求出EBC与BCD的和，即可．
【详解】解：EOC是OBC的外角
EOC＝EBC＋BCD
和是分别沿着、边翻折形成的
可知：翻折前后图形全等
即：ABE＝ABC，ACD＝ACB
ABC＋ACB＝40
EOC＝EBC＋BCD＝2（ABC＋ACB）＝80
故答案为80
【点睛】本题考查了翻折前后图形全等及三角形外角性质的知识点，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
13．2
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得CD＝BD=4，然后根据AD=AC-DC求解即可．
【详解】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD=4，
∵AC＝6，
∴AD＝AC-CD=6−4＝2，
∴AD＝2．
故填2．
【点睛】本题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键．
14．130°．
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACO＝60°﹣，由外角性质可求∠BOC＝40°，即可求解．
【详解】∵△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，OA＝OB＝AB，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝＝＝60°﹣，
∵∠CAB+∠OBA＝∠COB+∠ACO，
∴20°+60°＝∠COB+60°﹣，
∴∠BOC＝40°，
∵OC＝OA＝OB，
∴∠OBC＝70°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质和外角的性质.
15．4．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
16．100
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=×（180°-100°）=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠ABC＝20°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=×（180°-∠DBE）=80°，
∴∠DEC=180°-∠BED=100°，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．2或6/6或2
【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：当点P在线段OC上时；当点P在CO的延长线上时，分别列式计算即可；
【详解】根据题意分两种情况：
当点P在线段OC上时，
设t秒后是等腰三角形，
有，即，解得：；
当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用3s，
当是等腰三角形时，，
∴是等边三角形，
∴，
即，解得：；
故答案是：2或6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，解决本题的关键要注意分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧分别求解．
18．4
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
∵∠BAC=120°
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°
∵AE是∠BAD的角平分线
∴∠DAE=∠EAB=30°
∵DFAB
∴∠F=∠BAE=30°
∴∠DAF=∠F=30°
∴AD=DF
∵AB=8，∠B=30°
∴AD=4
∴DF=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD=DF是解此题的关键．
19．15
【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
【详解】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
∴GC=BC=3cm，DH=DE=2cm．
∴GH=3+3+2=8cm，FA=PA=PG-AB-BG=8-1-3=4cm，EF=PH-PF-EH=8-4-2=2cm．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15cm．
故答案为：15cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．
20．20°
【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．
【详解】解：如图，延长至点E使，连接．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴设，则．在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．
21．80°
【分析】根据对边对等角可求出的度数，再根据线段垂直平分线可得出，最后根据三角形外角性质即可得出答案．
【详解】解：∠BAC=100° ，AB=AC，
,
EF是AB的垂直平分线,
,
．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22．或
【分析】根据题意作出图形，可得∠BAE=45°．当AE=EP时分两种情况：点P在边AB上时，点在边BC上时，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理与外角的性质求解即可．
【详解】解：根据题意作出图形，如图所示，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∵∠AEB=105°，
∴∠BAE=45°．
当AE=EP且点P在边AB上时，
∴∠EAB=∠APE=45°，
∴∠AEP=90°；
当且点在边BC上时，
连接CE，
∵BD垂直平分AC，
∴AE=AC=，
∴∠EAD=∠ECD=15°，
∴
∴
∴
∴．
故答案为：90°或120°．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的定义与性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质等知识，根据题意作出图形是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形的性质证∠B=∠DAF=45°，直角三角形性质得AD=BD，再证明△BDE≌△ADF(SAS)，即可由全等三角形性质得出结论；
（2）由△BDE≌△ADF，得∠BDE=∠ADF，再由等腰三角形的性质证AD⊥BC，即可得出结论．
（1）
证明：连接AD，如图，
∵∠BAC=90°，为的中点，
∴AD=BD=CD=，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵AB=AC，为的中点，
∴∠DAC=∠BAC=，
∴∠B=∠DAF=45°，
在△BDE与△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF(SAS)，
∴DE=DF．
（2）
证明：由（1）知：△BDE≌△ADF，
∴∠BDE=∠ADF，
∵AB=AC，为的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADB=90°，
∴∠EDF=∠ADF+∠EDA=90°，
∴DE⊥DF．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△ADF是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，可得∠A＝∠D，利用SAS证明△ABE≌△DCF即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB＝∠DFC，进而可得∠BEF＝∠CFE，然后利用角平分线的定义等量代换后可得∠BEF＝∠BFE，求出BE＝BF可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠A＝∠D，
在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝CF；
（2）证明：∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB＝∠DFC，
∵∠BEF＝180°－∠AEB，∠CFE＝180°－∠DFC，
∴∠BEF＝∠CFE，
又∵平分，
∴∠BFE＝∠CFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
25．(1)证明见详解
(2)1
【分析】（1）由线段垂直平分线的判定可得垂直平分，由等腰三角形的性质可得结论；
（2）过点作于，由“”可证，可得，，由“HL”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
垂直平分，
，
平分；
（2）解：如图，过点作于，
，，
，
在和中，
，
（AAS），
，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，证明，由此可得；
（2）由勾股定理证，由证，设，，则由题意可列出关于，的二元一次方程组，由此进行求解．
【详解】（1）证明：连接，．
平分，，，
．
垂直平分，
．
在与中，
，
．
．
（2）解：，
．
，
，即，
．
设，，
则①，
②．
联立①②，解得，．
的长度为．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解二元一次方程组，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理．
27．（1）证明见解析；（2）当点P在E处时，PB+PC＝15cm．
【分析】（1）根据等边三角形“三合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE＝CE，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE＝∠B；最后根据等角对等边证得CE＝BE，所以AE＝CE＝BE；
（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC＝PA；由等量代换知PB+PC＝PB+PA；根据两点之间线段最短可知，当点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
【详解】（1）在等边三角形ADC中，∵DF⊥AC，∴DF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE（等边对等角）；
∵∠ACB＝90°（已知），∴∠ACE+∠BCE＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝BE（等角对等边），∴AE＝CE＝BE；
（2）由（1）知，DE垂直平分AC，∴PC＝PA，∴PB+PC＝PB+PA；
∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．
当点P在E处时，PB+PC＝EB+EC＝EB+EA＝AB＝15cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质．解答（2）题时，主要利用“两点之间线段最短”来确定点P的位置．
28．(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质由得到BE平分，则可求出，再由得到，利用外角的性质求出，最后利用等角对等边即可证明；
（2）过点E作EF//BD交AB于点F，如图（见详解），根据平行得到同位角相等继而得到是等边三角形，利用边角边证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴BE平分，．
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，
则，，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
∴，
即．
∵是的外角，是的外角，
∴，
在和中，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定以及外角的性质等，解题的关键是要熟练掌握相关的性质和判定定理，并能够在图中作出适当的辅助线解决问题．
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