2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

2023-2024学年浙江省绍兴市柯桥区联盟校八年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列各组长度的三条线段能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是(    )

A. 两个角分别为， B. 两个角分别为，
C. 两个角分别为， D. 两个角分别为，

4.如图，，下列条件中不能使≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在平地上取一个直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，那么量出的长，就是、的距离．我们可以证明出≌，进而得出，那么判定和全等的依据是(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.如图，与关于直线对称，且，，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.已知等腰的底边，且，则腰的长为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

8.在如图的方格中，的顶点、、都是方格线的交点，则三角形的外角的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，在中，甲、乙两人想在上取一点，使得，其作法如下：
甲作的中垂线，交于点，则即为所求；
乙以为圆心，长为半径画弧，交于点，则即为所求．
对于两人的作法，下列判断何者正确？(    )

A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确

10.如图，等边中，为中点，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆如图所示，这样做的数学原理是______ ．

 

12.如图，在中，，于点，点、分别是的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分面积为______ ．

13.如图，五边形中有一等边三角形若，，，则的度数是______

14.如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于、，则的周长为______________．
 

15.如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线，于点、，连接、，若，则__．

 

16.三角形中有两个角分别为和，若则称的角为“幸运角”，此三角形为“幸运三角形”如果一个“幸运三角形”中有一个内角为，那么这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为______ ．

17.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ______ ．

18.如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是______．

19.如图，平分，于，于，，，若，则______．

20.如图是可调躺椅示意图数据如图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应______填“增加”或“减少” ______度．

三、解答题（本大题共7小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.本小题分
如图，，，，说出的理由．
解： ______ ，
，即．
在和中，，
≌ ______ ，
______ ．

22.本小题分
如图，网格中的与为轴对称图形．
利用网格线作出与的对称轴；
结合所画图形，在直线上画出点，使最小；
如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积______．

 

23.本小题分

如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．
若，求的度数．
若，的周长为，求的周长．

24.本小题分

如图，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点．
求证：≌．
当，，时，求的长．

25.本小题分
阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点与堤岸垂直停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．

任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．
任务二：凉亭与游艇之间的距离是______ 米
请你说明小明方案正确的理由．

26.本小题分
在中，平分交于点，点是线段上的动点不与点重合，过点作交射线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．

如图，点在线段上运动．
若，，则        ；
若，则        ；
探究与之间的数量关系，并说明理由；
若点在线段上运动时，直接写出与之间的数量关系．

27.本小题分
如图，在中，，为射线上不与、重合一动点，在的右侧射线的上方作，使得，，连接．

找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
延长交的延长线于点，若，
利用中的结论求出的度数；
当是等腰三角形时，直接写出的度数；
当在线段上时，若线段，面积为，则四边形周长的最小值是______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，
A、，不能组成三角形，故该选项不符合题意；
B、，不能够组成三角形，故该选项不符合题意；
C、，能组成三角形，故该选项符合题意；
D、，不能组成三角形，故该选项不符合题意．
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

3.【答案】 

【解析】根据锐角的概念判断即可．
解：当两个角分别为，时，这两个角都是锐角，和为，是直角，
则命题“两个锐角的和是锐角”是假命题，
故选：．
本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，直角三角形全等还有定理．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：、在和中，
，
≌，故本选项不符合题意；
B、在和中，
，
≌，故本选项不符合题意；
C、在和中，
，
≌，故本选项不符合题意；
D、根据、和不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：在和中，

≌，
故选：．
图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．
此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等解决实际问题．

6.【答案】 

【解析】【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形的内角和定理，理解轴对称的两个图形全等是关键．
首先根据对称的两个图形全等求得的度数，然后在中利用三角形内角和求解．
【解答】
解：，
则中，．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：
，而
或
所以或．
故选B．
已知等腰的底边，，根据三边关系定理可得，腰的长为或．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；理解绝对值的含义，得出两种情况并熟悉等腰三角形的性质是正确解答本题的关键．注意本题还要通过三边关系验证是否能组成三角形．

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
是等腰直角三角形，
是的外角，
．
故选：．
先根据勾股定理求出，及的值，再判断出的形状，根据三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是等腰直角三角形，熟知两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形是解答此题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图，

由甲的作图知垂直平分，
则，
，
又，
，
故甲的作图正确；
如图，

，
，
，
，
乙错误；
故选：．
根据甲乙两人作图的作法利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可证出结论．
本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形外角的性质，正确的理解题意是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，是等边三角形，为中点，
，，
，
，，
，
．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为．
故选：．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最小值问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

11.【答案】三角形具有稳定性 

【解析】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做根据的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案是：三角形具有稳定性．
根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
阴影部分面积．
故答案为：．
根据等腰三角形是轴对称图形知，和的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用和的面积相等是正确解答本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
在与中

≌，
，，，
，
，
故答案为：．
根据全等三角形的判定和性质得出与全等，进而得出，利用多边形的内角和解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出与全等．

14.【答案】 

【解析】解：为的垂直平分线，
，
的周长，
而，，
的周长为．
故答案为：．
由于为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，由此推出的周长，即可求得的周长．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据平行线的性质，即可得到，依据三角形内角和定理，即可得到的度数，进而得出的度数．
【解答】
解：直线，
，
，
，
，
故答案为：．

16.【答案】或或 

【解析】解：当时，，，
则此“幸运三角形”的“幸运角”度数为；
当时，，，
则此“幸运三角形”的“幸运角”度数为；
当时，根据可得，，
解得：，
即此“幸运三角形”的“幸运角”度数为；
综上分析可知，这个“幸运三角形”的“幸运角”度数为或或．
故答案为：或或．
分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别求出“幸运角”度数即可．
本题主要考查了三角形内角和定理，新定义运算，解题的关键是理解定义，注意分类讨论．

17.【答案】 

【解析】解：如图所示：
由题意可得：，
则．
故答案为：．
直接利用网格得出对应角，进而得出答案．
此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．

18.【答案】 

【解析】解：如图，

由折叠的性质得：，
根据外角性质得：，，
则，
则．
故答案为：．
由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
此题考查了翻折变换折叠问题，以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

19.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，
，，
，
即，
解得．
故答案为：．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，是基础题，熟记性质是解题的关键．

20.【答案】增加   

【解析】解：延长，交于点，如图：

，
．
，
．
，，
．
而图中，
应增加．
故答案为：增加；．
延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数；利用，和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论．
本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．

21.【答案】已知    全等三角形的对应角相等 

【解析】解：已知，
，即，
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等．
故答案为：已知；；；；；全等三角形的对应角相等．
根据题目给定条件，结合给定步骤，利用“”定理证明≌，据此补充过程即可．
本题考查全等三角形的判定与性质，掌握三边对应相等的两个三角形全等是解题关键．

22.【答案】解：如图所示，直线即为所求；

如图所示，点即为所求；
． 

【解析】【分析】
本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
利用网格特点，作的垂直平分线即可；
连接，与直线的交点即为所求；
利用割补法求解可得．
【解答】
解：见答案；
见答案；
的面积，
故答案为：．

23.【答案】解：，，
，
垂直平分，
，
，
，
垂直平分，
，
，
的周长

，
，
的周长． 

【解析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可；
根据三角形的周长公式解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．

24.【答案】证明：，
，，
是边上的中线，
，在和中，，
≌；
解：≌，
，
，
，，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，，由是边上的中线，得到，于是得到结论；
根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

25.【答案】 

【解析】解：任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示．
任务二：由≌得米，
故答案为：．
理由：如图，
由题意可知，米，米，米，，，
，，
在和中，
，
≌，
米，
小明的方案是正确的．
任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即≌，将图形补充完整即可；
任务二：由补充完整的图形可知，≌，且与是对应边，可知米，得出答案为；
由题意可知米，，与是对顶角，由“”可判定≌，则米，说明小明的方案是正确的．
此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形．

26.【答案】   

【解析】解：是平分线，是的平分线，
，，
，
，，
，


，
故答案为：；
由得，





故答案为：；
，理由为：
由得，



；
如图，

由的结论，可得，


，
即．
根据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
根据，，再代入计算即可；
根据的结论，可得，，
画出相应的图形，根据三角形内角和定理平行线的性质与判断得出答案．
本题考查角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形的内角和为以及题目中各个角之间的关系得出答案即可．

27.【答案】 

【解析】解：≌，证明如下：
，
，即，
在和中，
，
≌；
如图：

设，
，
，
，
，
由知≌，
，
，
，
解得，
；
由知，，
当时，如图：

，
，
当时，如图：

，
当是等腰三角形时，的度数为或；
如图：

同可证≌，
，
，
四边形周长最小时，最小，
，
当最小时，四边形周长最小时，此时，
，面积为，
，
四边形最小周长为，
故答案为：．
由，可得，即可证明≌；
设，可得，即得，，根据，有，故；
，分两种情况：当时，，当时，；
可证≌，得，即得，知四边形周长最小时，最小，而，可得当最小时，四边形周长最小时，此时，根据，面积为，得，从而可知四边形最小周长为．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判断与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明≌．