2023-2024学年河北省石家庄市赵县九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析)

2023-2024学年河北省石家庄市赵县九年级（上）月考数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共16小题，共38.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列函数是二次函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.若抛物线的开口向下，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3.若是关于的一元二次方程，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.老师设计了一个用合作的方式完成配方法解一元二次方程的接力游戏，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图所示，老师看后，发现有一位同学负责的步骤是错误的，这位同学是(    )

 

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6.二次函数的图象与轴有两个交点，则“”表示的数可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由元降为元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

9.在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是(    )

A. 函数图象的顶点坐标为 B. 的最小值为
C. 函数图象与坐标轴有三个交点 D. 当时，随的增大而减小

10.某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程：

下列选项中说法正确的是(    )

A. 只有小明的解法正确 B. 只有小琛的解法正确
C. 只有小逸的解法错误 D. 小逸和小琛的解法都是错误的

11.已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点(    )

A.  B.  C.  D.

12.一个弹性球从地面竖直向上弹起时的速度为米秒，经过秒时，球距离地面的高度米满足公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间是(    )

A.  B.  C.  D.

13.已知，是一元二次方程的两根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

14.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是(    )

A.  B.  
C.  D.

15.如图，这是一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

16.嘉琪同学在研究二次函数为常数的性质时得到以下结论：这个函数图象的顶点始终在直线上；当时，随的增大而减小，则的取值范围为；点与点在函数图象上，若，则；存在一个的值，使得函数图象与轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17.已知关于的方程的一个根是，则的值是______ ．

18.已知抛物线，若该抛物线的开口向上，则的取值范围为______ ；若抛物线经过原点，则 ______ ．

19.如图，这是抛物线的部分图象，则 ______ ；若，则自变量的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分
请用适当的方法解一元二次方程．
；
．

21.本小题分
已知抛物线，点，落在抛物线上，且满足．
请比较与的大小．
抛物线经过怎样的变换，可以使其顶点与原点重合？只写出一种平移方式即可

22.本小题分
已知一元二次方程．
若满足，则方程必有一个根为______ ．
若，，满足求一元二次方程的根．

23.本小题分
某纪念品的进价为每件元，售价为每件元，每星期可卖出个经市场调查发现：以不低于现售价的价格销售该商品，售价每上涨元，则每星期少卖个每件售价不高于元，设每件商品销售单价为元，每星期销售量为个．
求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
将该纪念品的销售单价定为多少元时，每星期销售这种产品获得的利润最大？最大利润是多少元？

24.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论取何值，方程总有实数根．
若方程的根为整数，求的值．

25.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
若抛物线过点，求该抛物线的解析式．
若当时，的最小值是，则当时，求的最大值．
已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值．

26.本小题分
将小球看作一点从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．
若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度．
求小球达到的最大高度；
当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中长为，宽为，若要使小球落入筐中，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义判断即可．
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．

2.【答案】 

【解析】解：的开口向下，
，
故选：．
根据抛物线的开口向下，可以得到，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确抛物线开口向下时，．

3.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：或且，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义可得：且，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：将一元二次方程化成一般形式，即：，
当二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别为，，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：形如为常数且，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
或，
，，
接力中，负责的步骤出现错误的是乙，
故选：．
根据解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
方程有两个不同的实数根，
，
解得，．
故选：．
由抛物线与轴的交点个数转化为对应的一元二次方程解的个数，得到，进而可以判断得解．
本题考查了抛物线与轴的交点，把求二次函数是常数，与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程问题，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．

7.【答案】 

【解析】解：设降价的百分率为，
由题意可得：，
解得：，舍去，
故选：．
设降价的百分率为，由题意列出方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得函数的解析式为，即．
故选：．
直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

9.【答案】 

【解析】解：由题意，抛物线．
A、二次函数的顶点坐标为，故正确，不符合题意；
B、由函数解析式可知，二次函数最小值为，故不正确，符合题意；
C、令，可得与轴有两个交点，令，可得与轴的交点为，故正确，不符合题意；
D、图象开口向上，当时，随的增大而减小，故正确，不符合题意．
故选：．
根据二次函数的性质、二次函数的最值问题对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质、二次函数的最值问题是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：小逸的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；
小明利用配方法解方程，计算正确；
小琛利用解一元二次方程因式分解法，计算正确；
故选：．
分别利用解一元二次方程因式分解法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的点为，
该抛物线必然还经过点，
故选：．
根据抛物线的对称性求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：令，得：，
解得：或，
那么球弹起后又回到地面所花的时间是秒；
故选：．
根据二次函数的性质即可得到结论．
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
．
故选：．
根据”少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱“和总价单价数量可得出相应的方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：，
，则，
根据图形可得：剩下的钢板面积



，
，，
，即剩下的钢板面积，
剩下的钢板面积的最大值为，只有选项B符合；
故选：．
首先根据题意可得，然后根据图形写出剩下的钢板面积，然后利用配方法可把代数式配成的形式，利用偶次方的非负性即可解出答案．
本题考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成完全平方式．

16.【答案】 

【解析】解：二次函数为常数，
顶点坐标为且当时，，
这个函数图象的顶点始终在直线上，
故结论正确；
当时，随的增大而减小，且，
则的取值范围为，故结论正确；
，
二次函数为常数的对称轴为直线，
点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，
，
故结论正确；
假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形
令，得，其中，
解得：，，
顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形，

解得：或，
当时，二次函数，此时顶点为，与轴的交点也为，不构成三角形，舍去；
存在，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形，
故结论正确．
故选：．
根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可．
本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，利用数形结合思想是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：将代入，得．
解得．
故答案为：．
一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将代入方程式即可求解．
本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

18.【答案】   

【解析】解：抛物线开口向上，
，
解得，
若抛物线经过原点，把，代入得，

，
，
，
，
故答案为：，．
根据抛物线开口向上可得，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

19.【答案】   

【解析】解：由题意，对称轴为直线，
中．
又抛物线与轴一交点为，且对称轴为直线，
与轴另一交点为．
由抛物线开口向上，
当时，自变量的范围是．
故答案为：，．
依据题意，有图象可得对称轴为直线，从而可得的值，再有与轴一交点为，进而由对称性可以得另一交点为，故可判断时对应自变量取值范围．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．

20.【答案】解：，
，
，
，
所以，；
，
，，，
，
则，
所以，． 

【解析】利用配方法求解可得；
利用公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

21.【答案】解：，
抛物线对称轴为，开口向上，
又．
点、都在对称轴右侧，函数值随的增大而增大，
；
该抛物线可以通过向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度使其顶点与原点重合． 

【解析】根据抛物线顶点式可知对称轴，再根据函数的增减性即可求解；
根据左加右减，上加下减求解即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记二次函数图象平移的规律是解题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：当时，方程左边，因为，
左边右边，
是方程的一个根．
方程必有一个根为，
故答案为：．
根据题意得：，
解得：，
则方程是：，
即，
或，
，．
根据方程的根的定义判断即可．
首先根据二次根式，任何数的绝对值和平方一定是非负数，几个非负数的和是，则每个数都等于，即可求得，，的值，得到方程，然后利用因式分解法即可解方程．
考查了一元二次方程的解的定义及一元二次方程的解法，此类题目的解法是常常将或或代入方程，来推理判断方程系数的关系．

23.【答案】解：由题意得：

．
自变量的取值范围为．
设每星期销售这种产品获得的利润为元，
由题意得：


，
，，
当时，取得最大值，最大值为：，
答：单价定为元时，每星期销售这种产品获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】销售量，自变量的取值范围为．
根据销售利润销售量售价进价，列出与的函数关系式，配方后，根据，求最大值即可得到结果．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄清题意，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．

24.【答案】解：当时，方程为，此时方程有根．
当时，原方程为一元二次方程．
，
此时方程有两个实数根．
综上所述，无论为任何实数，方程总有实数根；
，
，
，．
方程的根为整数，
是整数，
或或． 

【解析】首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；
，此时方程为一元二次方程，可利用根的判别式，结合非负数的性质进行证明．
求出方程的两个根，再讨论即可．
本题考查根的判别式和解一元二次方程的应用，解答中涉及分类讨论思想，能正确运用相关知识是解题的关键．

25.【答案】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

由抛物线的表达式知，其对称轴为，
当时，的最小值是，即在顶点处取得最小值，
即，则，
则抛物线的表达式为：，
当时，取得最大值，即；

由两个函数的表达式知，两个交点其中一个为：，
两个交点到轴的距离相等，
则另外一个交点只能在轴下方，即交点的纵坐标为，
当时，，则，
即另外一个交点的坐标为：，
将代入抛物线表达式得：，
解得：． 

【解析】将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
当时，的最小值是，即在顶点处取得最小值，求出，进而求解；
由两个函数的表达式知，两个交点其中一个为：，两个交点到轴的距离相等，另外一个交点只能在轴下方，即交点的纵坐标为，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，正确理解题意，确定两个函数其中一个交点为，是本题解题的关键．

26.【答案】解：根据题意得，
当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，
，
解得，
，
当时，，
答：小球达到的最大高度为．
当时，即，
解得，不合题意舍去，
答：小球落地时的水平距离为米；
根据题意知：，，
．
．
当抛物线过点时，有：，
解得；
当抛物线过点时，有：，
解得，
要使小球落入筐中，的取值范围是． 

【解析】根据题意得，解方程组即可得到结论；根据题意解方程即可得到结论；
当抛物线过点时，当抛物线过点时，解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，难度不大．利用数形结合与方程思想是解题的关键．