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新高考物理一轮复习重难点过关训练专题12 功 功率（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点过关训练专题12 功 功率（含解析），共27页。试卷主要包含了9m和0，75kW；60kW等内容，欢迎下载使用。
专题12 功 功率
1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.
2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算.
3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
【典例1】（2022·新疆·三模）如图甲所示，质量的足够长的木板静止在光滑水平面上，质量的小物块静止在木板的右端。现对木板施加一水平向右的拉力，小物块与木板运动的速度图像如图乙所示，取。下列说法正确的是（ ）
A．水平拉力为
B．小物块与长木板间的动摩擦因数为
C．在时间内，水平拉力做的功为
D．在时间内，木板克服摩擦力所做的功为
【答案】D
【解析】B．设小物块与长木板间的动摩擦因数为，由图像可知木板与小物块发生相对滑动，小物块的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
B错误；
A．由图像可知木板的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
A错误；
C．在时间内，木板的位移大小为
水平拉力做的功为
C错误；
D．在时间内，木板克服摩擦力所做的功为
D正确。
故选D。
【典例2】（天津市红桥区教师发展中心高三期末）起重机以a=2m/s2的加速度，将重G=104N的货物由静止匀加速向上提升。那么，在1s内起重机对货物做的功是（g=10m/s2）（ ）
A．10000J B．12000J C．15000J D．20000J
【答案】B
【解析】货物收到竖直向上的拉力以及竖直向下的重力作用，根据牛顿第二定律可得
解得
1s内货物上升的距离为
故起重机对货物做的功
故选B。
考点二 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法
以例说法
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
【典例3】（2021·全国·高三专题练习）水平桌面上，长R=5m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W1=Fl1cos37°
W2=Fl2cos37°…
Wn=Flncos37°
W=W1+W2+…+Wn=F（cos37°）（l1+l2+…+ln）=Fcos37°·R=πJ
同理可得小球克服摩擦力做的功
Wf=μmg·R=πJ
拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为2。
故选C。
【典例4】（2021·全国·高三专题练习）一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为（ ）
A．3 J B．6 J
C．7 J D．8 J
【答案】B
【解析】力F对物体做的功等于图线与横轴x所包围面积的代数和，0-4s这段时间内力F对物体做的功为
4-5s这段时间内力F对物体做的功为
全过程中，力F对物体做的功为
W＝7 J－1 J＝6 J
故选B。
【典例5】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1>W2
B．W1
D．无法确定W1和W2的大小关系
【答案】A
【解析】轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正确．
考点三 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
【典例6】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）做俯卧撑时，要求身体俯卧、伸直，两脚用力撑地，使得上半身在手臂的支持下慢慢抬起，直到两臂伸直，如图所示。某同学身高1.75m，手臂长度为0.7m，体重750N，他在1分钟内完成了40个俯卧撑。估算该同学做俯卧撑克服重力做功的平均功率约为（ ）
A．180W B．260W C．360W D．480W
【答案】A
【解析】该同学一分钟做俯卧撑克服重力做的功为
则该同学做俯卧撑克服重力做功的平均功率约为
A正确，BCD错误。
故选A。
【典例7】（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m。若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则1min内克服重力做的功和相应的功率约为（g取10m/s2）（ ）
A．430J，7W B．4320J，72W C．720J，12W D．7200J，120W
【答案】B
【解析】设重心上升的高度为h，如下图所示根据相似三角形有
解得
h = 0.24m
则做一次俯卧撑克服重力做的功为
WG = mgh = 144J
所以一分钟克服重力做的功为
W = 30WG = 4320J
功率约为
P = W = 72W
故选B。
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速直线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
【典例8】（2022·全国·高三课时练习）图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从时刻由静止开始提升质量为m的物体，其图像如图乙所示，时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）
A．该起重机的额定功率为
B．该起重机的额定功率为
C．和时间内牵引力做的功之比为
D．和时间内牵引力做的功之比为
【答案】C
【解析】AB．当时，根据牛顿第二定律则有
解得该过程中物体所受牵引力大小为
则该起重机的额定功率为
故A、B错误；
CD．时间内牵引力做的功
时间内牵引力做的功
故在和时间内牵引力做的功之比为
故C正确，D错误；
故选C。
【典例9】（2021·广东东莞·高三阶段练习）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为m=2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则（ ）
A．汽车的额定功率为50kW
B．当汽车速度为15m/s时，加速度大小为1.5m/s2
C．汽车在前5s内的牵引力为6×103N
D．汽车的最大速度为20m/s
【答案】C
【解析】C．依题意，汽车受到的阻力
前5s内汽车的加速度由图可得
根据牛顿第二定律
求得汽车的牵引力
故C正确；
A．在末汽车达到额定功率，有
故A错误；
D．当牵引力等于阻力时，汽车达到最大速度，则最大速度
故D错误。
B．当汽车速度为15m/s时，此时汽车受到的牵引力为
根据牛顿第二定律有
代入数据可得此时的加速度大小为
故B错误。
故选C。
一、单选题
1.（2022·江苏省昆山中学模拟预测）如图所示，一个质量为60kg的运动员在做俯卧撑运动。已知运动员每分钟完成25个俯卧撑，则运动员克服重力做功的平均功率最接近（ ）
A．1W B．10W C．100W D．300W
【答案】C
【解析】假设运动员质量为60kg，每次重心上升的距离均为0.3m，则每分钟克服重力做功约为
则运动员克服重力做功的平均功率约为
故ABD错误C正确。
故选C。
2．（湖北·模拟预测）质量为m的赛车在水平直线赛道上以恒定功率P加速，受到的阻力不变，其加速度a与速度的倒数的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．赛车速度随时间均匀增大
B．赛车加速度随时间均匀增大
C．赛车加速过程做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．图中纵轴截距、横轴截距
【答案】C
【解析】A．由题图可知，加速度是变化的，故赛车做变加速直线运动，故A错误；
BC．根据题意，设汽车的牵引力为，由公式可得
由牛顿第二定律有
可得
可知，随着速度增大，加速度减小，即赛车加速过程做的是加速度逐渐减小的加速运动，故B错误C正确；
D．由C分析，结合图像可得，斜率为
纵轴截距为
横轴截距为
故D错误。
故选C。
3．（2022·上海黄浦·二模）如图所示，汽车以不变的速率通过路面abcd、ab段为平直上坡路，bc段为水平路，cd段为平直下坡路。设汽车在ab、bc、cd段行驶时发动机的输出功率分别为P1、P2、P3，不计空气阻力和摩擦阻力的大小变化，则 （ ）
A．P1＝P3＞P2 B．P1＝P3＜P2 C．P1＜P2＜P3 D．P1＞P2＞P3
【答案】D
【解析】设汽车质量为m，上坡与下坡的倾角分别为α和β，汽车所受阻力大小为f，根据平衡条件可得汽车在ab和bc段路面行驶时发动机的牵引力大小分别为
汽车在cd段行驶时，若，则
若，则汽车将受到与运动方向相反的制动力作用才能匀速行驶，此时发动机的牵引力为0。综上所属可知
根据可得
故选D。
4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测）根据机动车的运动情况，绘制如图图像，已知机动车质量为kg，其在水平路面沿直线行驶，规定初速度v0的方向为正方向，运动过程中所受阻力恒定为N。则以下说法合理的是（ ）
A．机动车牵引力恒定且大于阻力
B．机动车的初速度为20m/s
C．机动车的加速度为8m/s2
D．2秒末机动车牵引力功率为W
【答案】B
【解析】ABC．由图像设与的函数关系式为
整理可得
由运动学公式知上式中
加速度
即机车做匀减速直线运动，所以机动车牵引力恒定且小于阻力，故B正确，AC错误。
D．2秒末机车的速度为
根据牛顿第二定律
解得
故D错误。
故选B。
5.（2021·黑龙江·汤原县高级中学高三期中）用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为（ ）
A．（-1）d B．（-1）d C． D． d
【答案】B
【解析】铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得
，
联立解得
故ACD错误，B正确。
故选B。
6．（2022·浙江·高三专题练习）放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间的关系图象和拉力的功率与时间的关系图象如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的质量为kg
B．滑动摩擦力的大小为5N
C．0～6s拉力做的功为30J
D．0～2s内拉力做的功为20J
【答案】A
【解析】B．由题图知，在2～6s内，物体做匀速直线运动且速度v=6m/s，P=10W，有
F=f
则滑动摩擦力为
故B错误；
A．当P=30W时，v=6m/s，得到牵引力
0～2s内物体的加速度
a==3m/s2
根据牛顿第二定律得
代入数据可得
故A正确。
CD．在0～2s内，由图像围成的面积表示拉力做的功，可得
同理在2～6s内，拉力做的功
故0～6s拉力做的功为
故CD错误。
故选A。
7．（2022·贵州黔南·模拟预测）在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为，半径为，转动一周为，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为
C．驴转动一周拉力的平均功率为
D．磨盘边缘的线速度为
【答案】C
【解析】AB．驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长
所以拉力所做的功
故AB错误；
C．根据功率的定义得
故C正确；
D．线速度为
故D错误。
故选C。
8．（2022·浙江·模拟预测）小型的射电望远镜相比于大口径的射电望远镜，有能够全方位转动的优点。设地球上有两台直径分别为、的小型射电望远镜A和B，两者能观测到天体需要收集的电磁波总功率的最小值相同。在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。现仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，望远镜A能够观测到此类天体数量为N，则望远镜B能够观测到此类天体的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率相同，则
在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。设能接收到的最小功率为，直径为望远镜和能观测到的最远距离分别为、，则
又
可得
故D正确，ABC错误。
故选D。
9．（2022·全国·高三专题练习）动车组是由几节自带动力的车厢加几节不带动力的车厢组成的，带动力的车厢叫动车，不带动力的车厢叫拖车。每节动车与拖车质量都相等，每节动车的额定功率都相等。动车组运行过程中总阻力来自两部分：一部分是车轮与铁轨之间摩擦产生的机械阻力，阻力大小与动车组的质量成正比；另一部分来自于空气阻力，阻力大小与动车组速度的平方成正比。一列12节车厢的动车组，有3节动车时最大速度为160 km/h，此时空气阻力是总阻力的0.5倍。若要使12节车厢的动车组的速度达到240 km/h，则动车的节数至少为（ ）
A．7节 B．8节
C．9节 D．10节
【答案】B
【解析】12节车厢的质量为m,动车组受到的机械阻力为，受到的空气阻力为，则有
设每节动车的功率为P，则3节动车，速度为160km/h时
由题意可知
则当有n节动车，速度达到240km/h时，
解得
故至少有8节动车，故B正确。
故选B。
10.（2022·江西·模拟预测）一辆汽车由静止开始沿平直公路保持恒定的功率P0启动，假设汽车在启动过程中所受的阻力大小不变，在启动过程中利用计算机描绘出了汽车的加速度关于速度倒数的变化规律图像，如图所示，图线中标出的量均为已知量。则下列说法正确的是（ ）
A．阻力大小为 B．该汽车的最大速度为
C．该汽车的质量大小为 D．汽车从启动到速度达到最大所需的时间为
【答案】B
【解析】B．根据牛顿第二定律
而
整理得
速度最大时，加速度为零，由图像可知
A．汽车所受阻力大小
A错误
C．由于图像斜率可知
汽车的质量
C错误；
D．因为汽车以恒定功率运动，做变加速运动，加速度在变化，且未知汽车从启动到速度达到最大时走过的位移，则根据题目已知条件，无法求出汽车运动到最大速度的时间，D错误。
故选B。
二、多选题
11．（2022·全国·高三课时练习）下列各图是反映汽车（额定功率为）从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得
可知牵引力在匀加速阶段保持不变，由公式
可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速度的增大而增大，当时，功率保持不变，设此时的速度为，则有
之后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力时，加速度为零，汽车速度达到最大，汽车做匀速直线运动，则有
由以上分析可知，ACD正确，B错误；
故选ACD。
12．（2020·湖南·平江县第三中学高三阶段练习）如图所示，倾角为θ的斜劈放在水平面上，斜劈上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的质量为m的小球，当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，以下说法正确的是（ ）
A．小球的重力做功为零
B．斜劈对小球的弹力做功为
C．挡板对小球的弹力做功为零
D．合力对小球做功为零
【答案】ABD
【解析】
小球受重力、斜面支持力和挡板的支持力，三力平衡，如图所示
根据平衡条件，有
当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，位移为
A．位移水平向左，重力与位移垂直，故重力对小球不做功，A正确；
B．斜面对小球的弹力为，则弹力做功为
B正确；
C．挡板弹力为，故挡板对小球的弹力做功为
C错误；
D．整个装置匀速运动，合外力为零，故合外力做功为零，D正确。
故选ABD。
三、解答题
13．（2022·上海金山·二模）如图，固定斜面的长为2.4m、倾角为37°。质量为1kg的物体受到沿斜面向上、大小为2N的恒力F作用，从斜面底端以一定初速度沿斜面向上运动。已知物体与斜面间的动摩擦因数为0.25，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2
（1）求物体沿斜面向上运动的加速度大小；
（2）若物体上升到斜面中点时速度为零，求其在斜面上的运动时间；
（3）若物体沿斜面上升过程中恒力F的平均功率为5W，求物体的初速度大小。
【答案】（1）6m/s2；（2）1.73 s；（3）5m/s
【解析】（1）物体受力如图所示
根据牛顿第二定律
解得
a1=6m/s2
（2）物体沿斜面向上运动过程
解得
t1≈0.63s
物体沿斜面向下运动过程中，受力如图所示，根据牛顿第二定律得
解得
a2=2m/s2
解得
t2≈1.1 s
物体在斜面上运动时间为
（3）恒力F的平均功率
解得
上升过程的末速度为零，得
物体沿斜面做初速为5m/s、加速度大小为6m/s2的匀减速直线运动，向上运动的最大位移为2.08m，未离开斜面，符合题意。
14．（2021·山东·文登新一中高三期中）汽车发动机的额定功率为60kW，若其总质量为5t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为车重的0.1倍，g取10m/s2。
（1）汽车保持其额定功率不变从静止起动后能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2m/s2时，速度多大？当汽车的速度为6m/s时，加速度多大？
（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ 5s末和17s末的瞬时功率。
【答案】（1）12m/s；4m/s； 1m/s2；（2）16s；18.75kW；60kW
【解析】（1）当汽车的牵引力减小到等于阻力时，汽车的速度达到最大．根据
P=Fvm=fvm
得最大速度为
当汽车的加速度为2m/s2时，由牛顿第二定律可知
F′-f=ma
即为
F′=f+ma=0.1mg+ma=15000N
由
P=F′v′
可知
当汽车的速度为v′′=6m/s时，汽车的牵引力为
根据牛顿第二定律得
（2）由牛顿第二定律得：匀加速运动的牵引力为：
F1=0.1mg+ma1=7500N
设保持匀加速时间为t0，匀加速能达到的最大速度为v0，则此时有
v0=a1t0
由功率公式
P=F1v0
联立代入数据解之得
t0=16s
5s末的速度
v5=a1t5=2.5m/s
5s末的功率
P5=F1v5=18750W=18.75kW
17s末汽车已经达到额定功率，则此时瞬时功率为60kW。
15．（2022·全国·高三专题练习）电池技术作为电动汽车的核心和瓶颈，是电动汽车研究的重点和热点方向。国内某公司研发的全气候电池，在低温条件下，能实现充电时间缩短到1h内，自加热速率达到7℃/min，-10℃环境下电池总能量最多可释放90％。搭载该型号电池的国产电动汽车作为交通服务用车为北京冬奥会提供了交通保障。已知该型号电动汽车配置的全气候电池总能量是60kW·h，汽车电动机最大功率是160kW，最大车速是180km/h，在平直公路上行驶过程中受到阻的力f与车速v的关系式可以认为f=kv2，k为比例系数。求：
（1）电动汽车以最大速度行驶时的牵引力和比例系数k；
（2）电动汽车在电池充满电后，在-10℃的环境下，以54km/h的速度在平直公路匀速行驶时的最大续航里程（汽车电动机驱动汽车行驶的能量占电池释放能量的80％）。
【答案】（1）3200N；N/m2﹒s-2；（2）540km
【解析】（1）设汽车电动机最大功率为P，以最大速度vm行驶时的牵引力为F，则
当汽车以最大速度运行时的牵引力等于阻力，则
解得
F=3200N，N/m2﹒s-2
（2）设电池总能量为E=60kW·h，汽车发动机将电池能量转化为汽车动力的能量E1，则
E1=E×90%×80%=1.5552×108J
电动汽车在-10°C的环境下，在平直高速公路上以速度为
v1=54km/h=15m/s
匀速行驶，设牵引力为F1，阻力为f1，续航里程为S，则
E1=f1S
解得
S=540km
16．（2022·浙江·丽水第二高级中学高三阶段练习）在我国四川大凉山腹地，有一个悬崖村，它坐落在海拔1600米的悬崖顶上，交通十分不便，人均收入几乎为零，为了争取早日脱贫攻坚任务，当地政府与京东展开合作。村民们可以利用无人机（如下图）将山里的特产送下山，也可以利用无人机运输急救药品和生活必需品。某次无人机在基地进行物流配送与飞行测试。实验中该无人机空载先从地面由静止竖直向上匀加速起飞，上升到100m高度时无人机速度达到最大速度20m/s，随后以等大加速度减速正好到达目标所在位置。当无人机满载物品后，先以加速度匀加速下降。已知无人机在飞行测试阶段受到的空气阻力为重力的0.1倍，已知该无人机的空载质量为80kg，有效载荷为20kg，求：
（1）无人机从静止到目标所在位置的时间；
（2）在空载上升阶段中，当无人机速度达到最大速度20m/s瞬间，无人机发动机的输出功率；
（3）满载后，无人机从目标所在位置回到地面时，当达到最大速度20m/s后匀速飞行5s，最后匀减速直线运动回到地面速度恰好为零，求减速阶段无人机的升力。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据题意，匀加速上升时加速度为a，则
可得
加速上升期所用时间
匀减速阶段加速度大小等于
所以减速上升时间
所以静止到目标所在处总时间
（2）无人机上升，无人机空载，其质量为80kg，根据牛顿第二定律可知
可得
所以当达到最大速度20m/s时，发动机功率
（3）根据题目信息，上升阶段时，由于加速和减速加速度等大，所以可以推断无人机上升总高度为200m，匀加速下落直到达到最大速度下落的距离
匀速飞行5s下落距离
所以匀减速下落的加速度
可得
根据牛顿第二定律
可得
专题12 功 功率
1.理解功的概念，会判断某个力做功的正、负，会计算功的大小.
2.理解功率的概念，并会对功率进行分析和计算.
3.会分析、解决机车启动的两类问题．
考点一 恒力做功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生位移．
2．公式W＝Flcos α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体的位移．
(2)该公式只适用于恒力做功．
3．功的正负
(1)当0≤α＜时，W＞0，力对物体做正功．
(2)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当＜α≤π时，W＜0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功．
1．是否做功及做功正负的判断
(1)根据力与位移的方向的夹角判断；
(2)根据力与瞬时速度方向的夹角α判断：0≤α＜90°，力做正功；α＝90°，力不做功；90°＜α≤180°，力做负功．
2．计算功的方法
(1)恒力做的功：直接用W＝Flcos α计算．
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功．
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1.
【典例1】（2022·新疆·三模）如图甲所示，质量的足够长的木板静止在光滑水平面上，质量的小物块静止在木板的右端。现对木板施加一水平向右的拉力，小物块与木板运动的速度图像如图乙所示，取。下列说法正确的是（ ）
A．水平拉力为
B．小物块与长木板间的动摩擦因数为
C．在时间内，水平拉力做的功为
D．在时间内，木板克服摩擦力所做的功为
【答案】D
【解析】B．设小物块与长木板间的动摩擦因数为，由图像可知木板与小物块发生相对滑动，小物块的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
B错误；
A．由图像可知木板的加速度大小为
根据牛顿第二定律可得
解得
A错误；
C．在时间内，木板的位移大小为
水平拉力做的功为
C错误；
D．在时间内，木板克服摩擦力所做的功为
D正确。
故选D。
【典例2】（天津市红桥区教师发展中心高三期末）起重机以a=2m/s2的加速度，将重G=104N的货物由静止匀加速向上提升。那么，在1s内起重机对货物做的功是（g=10m/s2）（ ）
A．10000J B．12000J C．15000J D．20000J
【答案】B
【解析】货物收到竖直向上的拉力以及竖直向下的重力作用，根据牛顿第二定律可得
解得
1s内货物上升的距离为
故起重机对货物做的功
故选B。
考点二 变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
方法
以例说法
微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
平均
值法
当力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝·Δx
应用动
能定理
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
【典例3】（2021·全国·高三专题练习）水平桌面上，长R=5m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F=10N，F拉着物体从M点运动到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以
W1=Fl1cos37°
W2=Fl2cos37°…
Wn=Flncos37°
W=W1+W2+…+Wn=F（cos37°）（l1+l2+…+ln）=Fcos37°·R=πJ
同理可得小球克服摩擦力做的功
Wf=μmg·R=πJ
拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为2。
故选C。
【典例4】（2021·全国·高三专题练习）一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为（ ）
A．3 J B．6 J
C．7 J D．8 J
【答案】B
【解析】力F对物体做的功等于图线与横轴x所包围面积的代数和，0-4s这段时间内力F对物体做的功为
4-5s这段时间内力F对物体做的功为
全过程中，力F对物体做的功为
W＝7 J－1 J＝6 J
故选B。
【典例5】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1>W2
B．W1
D．无法确定W1和W2的大小关系
【答案】A
【解析】轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图及几何知识可知，ΔlAB>ΔlBC，故W1>W2，A正确．
考点三 功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用时间之比．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式：
(1)P＝，P描述时间t内力对物体做功的快慢．
(2)P＝Fv
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
③当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解．
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝.
(2)利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度．其中F为恒力，α不变．
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度．F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化．
(2)公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上的分速度．
【典例6】（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）做俯卧撑时，要求身体俯卧、伸直，两脚用力撑地，使得上半身在手臂的支持下慢慢抬起，直到两臂伸直，如图所示。某同学身高1.75m，手臂长度为0.7m，体重750N，他在1分钟内完成了40个俯卧撑。估算该同学做俯卧撑克服重力做功的平均功率约为（ ）
A．180W B．260W C．360W D．480W
【答案】A
【解析】该同学一分钟做俯卧撑克服重力做的功为
则该同学做俯卧撑克服重力做功的平均功率约为
A正确，BCD错误。
故选A。
【典例7】（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，质量为60kg的某运动员在做俯卧撑运动，运动过程中可将她的身体视为一根直棒。已知重心在c点，其垂线与脚、两手连线中点间的距离Oa、Ob分别为0.9m和0.6m。若她在1min内做了30个俯卧撑，每次肩部上升的距离均为0.4m，则1min内克服重力做的功和相应的功率约为（g取10m/s2）（ ）
A．430J，7W B．4320J，72W C．720J，12W D．7200J，120W
【答案】B
【解析】设重心上升的高度为h，如下图所示根据相似三角形有
解得
h = 0.24m
则做一次俯卧撑克服重力做的功为
WG = mgh = 144J
所以一分钟克服重力做的功为
W = 30WG = 4320J
功率约为
P = W = 72W
故选B。
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图像
和v－t
图像
OA
段
过程
分析
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
a＝不变⇒F不变P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动
性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，持续时间t0＝
AB
段
过程
分析
F＝F阻⇒a＝0⇒vm＝
v↑⇒F＝↓⇒a＝↓
运动
性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速直线运动
BC段
F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝做匀速直线运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝.
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝
【典例8】（2022·全国·高三课时练习）图甲是全球最大回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从时刻由静止开始提升质量为m的物体，其图像如图乙所示，时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则以下说法正确的是（ ）
A．该起重机的额定功率为
B．该起重机的额定功率为
C．和时间内牵引力做的功之比为
D．和时间内牵引力做的功之比为
【答案】C
【解析】AB．当时，根据牛顿第二定律则有
解得该过程中物体所受牵引力大小为
则该起重机的额定功率为
故A、B错误；
CD．时间内牵引力做的功
时间内牵引力做的功
故在和时间内牵引力做的功之比为
故C正确，D错误；
故选C。
【典例9】（2021·广东东莞·高三阶段练习）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其图像如图所示。已知汽车的质量为m=2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，g取10m/s2，则（ ）
A．汽车的额定功率为50kW
B．当汽车速度为15m/s时，加速度大小为1.5m/s2
C．汽车在前5s内的牵引力为6×103N
D．汽车的最大速度为20m/s
【答案】C
【解析】C．依题意，汽车受到的阻力
前5s内汽车的加速度由图可得
根据牛顿第二定律
求得汽车的牵引力
故C正确；
A．在末汽车达到额定功率，有
故A错误；
D．当牵引力等于阻力时，汽车达到最大速度，则最大速度
故D错误。
B．当汽车速度为15m/s时，此时汽车受到的牵引力为
根据牛顿第二定律有
代入数据可得此时的加速度大小为
故B错误。
故选C。
一、单选题
1.（2022·江苏省昆山中学模拟预测）如图所示，一个质量为60kg的运动员在做俯卧撑运动。已知运动员每分钟完成25个俯卧撑，则运动员克服重力做功的平均功率最接近（ ）
A．1W B．10W C．100W D．300W
【答案】C
【解析】假设运动员质量为60kg，每次重心上升的距离均为0.3m，则每分钟克服重力做功约为
则运动员克服重力做功的平均功率约为
故ABD错误C正确。
故选C。
2．（湖北·模拟预测）质量为m的赛车在水平直线赛道上以恒定功率P加速，受到的阻力不变，其加速度a与速度的倒数的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．赛车速度随时间均匀增大
B．赛车加速度随时间均匀增大
C．赛车加速过程做的是加速度逐渐减小的加速运动
D．图中纵轴截距、横轴截距
【答案】C
【解析】A．由题图可知，加速度是变化的，故赛车做变加速直线运动，故A错误；
BC．根据题意，设汽车的牵引力为，由公式可得
由牛顿第二定律有
可得
可知，随着速度增大，加速度减小，即赛车加速过程做的是加速度逐渐减小的加速运动，故B错误C正确；
D．由C分析，结合图像可得，斜率为
纵轴截距为
横轴截距为
故D错误。
故选C。
3．（2022·上海黄浦·二模）如图所示，汽车以不变的速率通过路面abcd、ab段为平直上坡路，bc段为水平路，cd段为平直下坡路。设汽车在ab、bc、cd段行驶时发动机的输出功率分别为P1、P2、P3，不计空气阻力和摩擦阻力的大小变化，则 （ ）
A．P1＝P3＞P2 B．P1＝P3＜P2 C．P1＜P2＜P3 D．P1＞P2＞P3
【答案】D
【解析】设汽车质量为m，上坡与下坡的倾角分别为α和β，汽车所受阻力大小为f，根据平衡条件可得汽车在ab和bc段路面行驶时发动机的牵引力大小分别为
汽车在cd段行驶时，若，则
若，则汽车将受到与运动方向相反的制动力作用才能匀速行驶，此时发动机的牵引力为0。综上所属可知
根据可得
故选D。
4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测）根据机动车的运动情况，绘制如图图像，已知机动车质量为kg，其在水平路面沿直线行驶，规定初速度v0的方向为正方向，运动过程中所受阻力恒定为N。则以下说法合理的是（ ）
A．机动车牵引力恒定且大于阻力
B．机动车的初速度为20m/s
C．机动车的加速度为8m/s2
D．2秒末机动车牵引力功率为W
【答案】B
【解析】ABC．由图像设与的函数关系式为
整理可得
由运动学公式知上式中
加速度
即机车做匀减速直线运动，所以机动车牵引力恒定且小于阻力，故B正确，AC错误。
D．2秒末机车的速度为
根据牛顿第二定律
解得
故D错误。
故选B。
5.（2021·黑龙江·汤原县高级中学高三期中）用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为（ ）
A．（-1）d B．（-1）d C． D． d
【答案】B
【解析】铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得
，
联立解得
故ACD错误，B正确。
故选B。
6．（2022·浙江·高三专题练习）放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间的关系图象和拉力的功率与时间的关系图象如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的质量为kg
B．滑动摩擦力的大小为5N
C．0～6s拉力做的功为30J
D．0～2s内拉力做的功为20J
【答案】A
【解析】B．由题图知，在2～6s内，物体做匀速直线运动且速度v=6m/s，P=10W，有
F=f
则滑动摩擦力为
故B错误；
A．当P=30W时，v=6m/s，得到牵引力
0～2s内物体的加速度
a==3m/s2
根据牛顿第二定律得
代入数据可得
故A正确。
CD．在0～2s内，由图像围成的面积表示拉力做的功，可得
同理在2～6s内，拉力做的功
故0～6s拉力做的功为
故CD错误。
故选A。
7．（2022·贵州黔南·模拟预测）在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为，半径为，转动一周为，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为
C．驴转动一周拉力的平均功率为
D．磨盘边缘的线速度为
【答案】C
【解析】AB．驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长
所以拉力所做的功
故AB错误；
C．根据功率的定义得
故C正确；
D．线速度为
故D错误。
故选C。
8．（2022·浙江·模拟预测）小型的射电望远镜相比于大口径的射电望远镜，有能够全方位转动的优点。设地球上有两台直径分别为、的小型射电望远镜A和B，两者能观测到天体需要收集的电磁波总功率的最小值相同。在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。现仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象，望远镜A能够观测到此类天体数量为N，则望远镜B能够观测到此类天体的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】地球上不同望远镜观测同一天体，单位面积上接收的功率相同，则
在宇宙大尺度上，天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。设能接收到的最小功率为，直径为望远镜和能观测到的最远距离分别为、，则
又
可得
故D正确，ABC错误。
故选D。
9．（2022·全国·高三专题练习）动车组是由几节自带动力的车厢加几节不带动力的车厢组成的，带动力的车厢叫动车，不带动力的车厢叫拖车。每节动车与拖车质量都相等，每节动车的额定功率都相等。动车组运行过程中总阻力来自两部分：一部分是车轮与铁轨之间摩擦产生的机械阻力，阻力大小与动车组的质量成正比；另一部分来自于空气阻力，阻力大小与动车组速度的平方成正比。一列12节车厢的动车组，有3节动车时最大速度为160 km/h，此时空气阻力是总阻力的0.5倍。若要使12节车厢的动车组的速度达到240 km/h，则动车的节数至少为（ ）
A．7节 B．8节
C．9节 D．10节
【答案】B
【解析】12节车厢的质量为m,动车组受到的机械阻力为，受到的空气阻力为，则有
设每节动车的功率为P，则3节动车，速度为160km/h时
由题意可知
则当有n节动车，速度达到240km/h时，
解得
故至少有8节动车，故B正确。
故选B。
10.（2022·江西·模拟预测）一辆汽车由静止开始沿平直公路保持恒定的功率P0启动，假设汽车在启动过程中所受的阻力大小不变，在启动过程中利用计算机描绘出了汽车的加速度关于速度倒数的变化规律图像，如图所示，图线中标出的量均为已知量。则下列说法正确的是（ ）
A．阻力大小为 B．该汽车的最大速度为
C．该汽车的质量大小为 D．汽车从启动到速度达到最大所需的时间为
【答案】B
【解析】B．根据牛顿第二定律
而
整理得
速度最大时，加速度为零，由图像可知
A．汽车所受阻力大小
A错误
C．由于图像斜率可知
汽车的质量
C错误；
D．因为汽车以恒定功率运动，做变加速运动，加速度在变化，且未知汽车从启动到速度达到最大时走过的位移，则根据题目已知条件，无法求出汽车运动到最大速度的时间，D错误。
故选B。
二、多选题
11．（2022·全国·高三课时练习）下列各图是反映汽车（额定功率为）从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】汽车从静止开始匀加速启动，根据牛顿第二定律可得
可知牵引力在匀加速阶段保持不变，由公式
可知在匀加速阶段，功率与速度成正比，随着速度的增大而增大，当时，功率保持不变，设此时的速度为，则有
之后牵引力减小，加速度减小，速度继续增加，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当牵引力时，加速度为零，汽车速度达到最大，汽车做匀速直线运动，则有
由以上分析可知，ACD正确，B错误；
故选ACD。
12．（2020·湖南·平江县第三中学高三阶段练习）如图所示，倾角为θ的斜劈放在水平面上，斜劈上用固定的竖直挡板挡住一个光滑的质量为m的小球，当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，以下说法正确的是（ ）
A．小球的重力做功为零
B．斜劈对小球的弹力做功为
C．挡板对小球的弹力做功为零
D．合力对小球做功为零
【答案】ABD
【解析】
小球受重力、斜面支持力和挡板的支持力，三力平衡，如图所示
根据平衡条件，有
当整个装置沿水平面以速度v向左匀速运动时间t时，位移为
A．位移水平向左，重力与位移垂直，故重力对小球不做功，A正确；
B．斜面对小球的弹力为，则弹力做功为
B正确；
C．挡板弹力为，故挡板对小球的弹力做功为
C错误；
D．整个装置匀速运动，合外力为零，故合外力做功为零，D正确。
故选ABD。
三、解答题
13．（2022·上海金山·二模）如图，固定斜面的长为2.4m、倾角为37°。质量为1kg的物体受到沿斜面向上、大小为2N的恒力F作用，从斜面底端以一定初速度沿斜面向上运动。已知物体与斜面间的动摩擦因数为0.25，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2
（1）求物体沿斜面向上运动的加速度大小；
（2）若物体上升到斜面中点时速度为零，求其在斜面上的运动时间；
（3）若物体沿斜面上升过程中恒力F的平均功率为5W，求物体的初速度大小。
【答案】（1）6m/s2；（2）1.73 s；（3）5m/s
【解析】（1）物体受力如图所示
根据牛顿第二定律
解得
a1=6m/s2
（2）物体沿斜面向上运动过程
解得
t1≈0.63s
物体沿斜面向下运动过程中，受力如图所示，根据牛顿第二定律得
解得
a2=2m/s2
解得
t2≈1.1 s
物体在斜面上运动时间为
（3）恒力F的平均功率
解得
上升过程的末速度为零，得
物体沿斜面做初速为5m/s、加速度大小为6m/s2的匀减速直线运动，向上运动的最大位移为2.08m，未离开斜面，符合题意。
14．（2021·山东·文登新一中高三期中）汽车发动机的额定功率为60kW，若其总质量为5t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为车重的0.1倍，g取10m/s2。
（1）汽车保持其额定功率不变从静止起动后能达到的最大速度是多大？当汽车的加速度为2m/s2时，速度多大？当汽车的速度为6m/s时，加速度多大？
（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ 5s末和17s末的瞬时功率。
【答案】（1）12m/s；4m/s； 1m/s2；（2）16s；18.75kW；60kW
【解析】（1）当汽车的牵引力减小到等于阻力时，汽车的速度达到最大．根据
P=Fvm=fvm
得最大速度为
当汽车的加速度为2m/s2时，由牛顿第二定律可知
F′-f=ma
即为
F′=f+ma=0.1mg+ma=15000N
由
P=F′v′
可知
当汽车的速度为v′′=6m/s时，汽车的牵引力为
根据牛顿第二定律得
（2）由牛顿第二定律得：匀加速运动的牵引力为：
F1=0.1mg+ma1=7500N
设保持匀加速时间为t0，匀加速能达到的最大速度为v0，则此时有
v0=a1t0
由功率公式
P=F1v0
联立代入数据解之得
t0=16s
5s末的速度
v5=a1t5=2.5m/s
5s末的功率
P5=F1v5=18750W=18.75kW
17s末汽车已经达到额定功率，则此时瞬时功率为60kW。
15．（2022·全国·高三专题练习）电池技术作为电动汽车的核心和瓶颈，是电动汽车研究的重点和热点方向。国内某公司研发的全气候电池，在低温条件下，能实现充电时间缩短到1h内，自加热速率达到7℃/min，-10℃环境下电池总能量最多可释放90％。搭载该型号电池的国产电动汽车作为交通服务用车为北京冬奥会提供了交通保障。已知该型号电动汽车配置的全气候电池总能量是60kW·h，汽车电动机最大功率是160kW，最大车速是180km/h，在平直公路上行驶过程中受到阻的力f与车速v的关系式可以认为f=kv2，k为比例系数。求：
（1）电动汽车以最大速度行驶时的牵引力和比例系数k；
（2）电动汽车在电池充满电后，在-10℃的环境下，以54km/h的速度在平直公路匀速行驶时的最大续航里程（汽车电动机驱动汽车行驶的能量占电池释放能量的80％）。
【答案】（1）3200N；N/m2﹒s-2；（2）540km
【解析】（1）设汽车电动机最大功率为P，以最大速度vm行驶时的牵引力为F，则
当汽车以最大速度运行时的牵引力等于阻力，则
解得
F=3200N，N/m2﹒s-2
（2）设电池总能量为E=60kW·h，汽车发动机将电池能量转化为汽车动力的能量E1，则
E1=E×90%×80%=1.5552×108J
电动汽车在-10°C的环境下，在平直高速公路上以速度为
v1=54km/h=15m/s
匀速行驶，设牵引力为F1，阻力为f1，续航里程为S，则
E1=f1S
解得
S=540km
16．（2022·浙江·丽水第二高级中学高三阶段练习）在我国四川大凉山腹地，有一个悬崖村，它坐落在海拔1600米的悬崖顶上，交通十分不便，人均收入几乎为零，为了争取早日脱贫攻坚任务，当地政府与京东展开合作。村民们可以利用无人机（如下图）将山里的特产送下山，也可以利用无人机运输急救药品和生活必需品。某次无人机在基地进行物流配送与飞行测试。实验中该无人机空载先从地面由静止竖直向上匀加速起飞，上升到100m高度时无人机速度达到最大速度20m/s，随后以等大加速度减速正好到达目标所在位置。当无人机满载物品后，先以加速度匀加速下降。已知无人机在飞行测试阶段受到的空气阻力为重力的0.1倍，已知该无人机的空载质量为80kg，有效载荷为20kg，求：
（1）无人机从静止到目标所在位置的时间；
（2）在空载上升阶段中，当无人机速度达到最大速度20m/s瞬间，无人机发动机的输出功率；
（3）满载后，无人机从目标所在位置回到地面时，当达到最大速度20m/s后匀速飞行5s，最后匀减速直线运动回到地面速度恰好为零，求减速阶段无人机的升力。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据题意，匀加速上升时加速度为a，则
可得
加速上升期所用时间
匀减速阶段加速度大小等于
所以减速上升时间
所以静止到目标所在处总时间
（2）无人机上升，无人机空载，其质量为80kg，根据牛顿第二定律可知
可得
所以当达到最大速度20m/s时，发动机功率
（3）根据题目信息，上升阶段时，由于加速和减速加速度等大，所以可以推断无人机上升总高度为200m，匀加速下落直到达到最大速度下落的距离
匀速飞行5s下落距离
所以匀减速下落的加速度
可得
根据牛顿第二定律
可得
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