2023-2024学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）

2023-2024学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.用配方法解方程，配方后可得(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3.下列说法正确的是(    )

A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形

4.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，矩形中，对角线，交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，在菱形中，，对角线、相交于点，为中点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.在一个不透明的袋子里装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有个(    )

A.  B.  C.  D.

8.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色若指针指在分界线上，则重转，则配成紫色的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.某超市月份营业额为万元，月、月的营业额共万元，如果平均每月营业额的增长率为，则由题意可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，正方形中，，点在边上，将沿对折至，延长交边于点，且，连接、下列结论：；；；；其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.方程的根为______．

12.若是方程的一个根，则的值为______．

13.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，，垂足为点，则______．

14.若一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围______．

15.已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

16.用指定方法解下列一元二次方程
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法

四、解答题（本大题共6小题，共43.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
“端午节”所示我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的肉馅棕、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽以下分别用、、、表示这四种不用口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．

请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的居民有多少人？
将两幅不完整的图补充完整；
若居民区有人，请估计爱吃粽的人数；
若有外型完全相同的、、、粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个恰好吃到的是粽的概率．

18.本小题分
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．求：
若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？
每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

19.本小题分
已知关于，的方程组与的解相同．
求，的值；
若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

20.本小题分

如图，已知：在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且．
求证：四边形是菱形；
当        时，四边形是正方形；
在的条件下，若，则四边形的面积为        ．

21.本小题分
如图，中，，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
根据题意知：______，______；用含的代数式表示
为何值时，的面积等于四边形的面积的？
点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由．

22.本小题分

小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______
性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系：______ ．
问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，．
求证：四边形为垂美四边形；
求出四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，
点是的中点，，
，
故选：．
根据矩形的性质可得为中点，进而根据中位线定理可得结果．
本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：、四边相等的四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线平分互相垂直且相等的四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，符合题意；
D、对角线平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
故选：．
根据矩形、正方形、菱形的判定判断即可．
此题考查正方形的判定，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．

4.【答案】 

【解析】解：点、的坐标分别为、，
，，
，
四边形是菱形，
，，
点坐标为，
故选A．
由菱形的性质可得，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，掌握菱形的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和等边三角形的判定与性质，可以得到和的长，再根据勾股定理即可求得的长．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，，
，，
，
为的中点，
，
．
故选：．
由菱形的性质可求解，结合直角三角形的性质可求得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可求解．
本题主要考查菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，求解的度数是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
由摸到红球的频率稳定在附近，得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
解：设白球个数为个，
摸到红色球的频率稳定在左右，
口袋中得到红色球的概率为．
．
解得：．
即袋中的白球大约有个．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表格知共有种等可能出现的结果数，其中能配成紫色的结果数有种，
则配成紫色，
故选：．
列表得出所有等可能的情况数，找出能配成紫色的情况数，即可求出所求的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：设平均每月增长率为，
．
即：，
故选：．
如果平均每月增长率为，根据某超市一月份营业额为万元，二月、三月的营业额共万元，可列方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，重点考查理解题意的能力，分别求出二，三月份的营业额，以总和为等量关系列出方程．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积计算等知识的综合运用；解折叠问题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
依据即可判定≌；依据，，即可得到；依据勾股定理列方程，即可得到，，进而得出；依据三角形外角性质，即可得到，即可得到；根据，，和等高，即可得到．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
，
由折叠可得，，
，故正确；
由题意得：，，
设，则．
在直角中，根据勾股定理，得，
即，
解得：，
，，
，故正确；
，，
，
．
又≌，
，
，
，
，故正确；
，
，，和等高，
：：，
，故正确．
故选：．

11.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
或．
故答案为：，．
将看作整体，先移项，再提公因式，求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，是基础知识比较简单．

12.【答案】 

【解析】解：把代入，得
，
解得：．
故答案是：．
把代入已知方程得到关于的新方程，通过解新方程求得的值即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，由勾股定理得：，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，，，求出和，求出，根据菱形的面积公式求出即可．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．

14.【答案】且 

【解析】解：一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：，
，
的取值范围为： 且．
故答案为： 且．
由一元二次方程有两个不相等实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
此题考查了根的判别式．注意方程有两个不相等的实数根．

15.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，，
，



．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系得到，，，然后把原式整理整体代入得出答案即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

16.【答案】解：，
移项，得 ，
两边都除以，得，
两边开平方，得，
移项，得，
解得：，；
，
两边都除以，得，
移项，得，
配方，得，即，
解得：，
即，；
，
这里，，，
，
，
解得：，；
，
方程左边因式分解，得，即，
解得：，． 

【解析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程利用配方法求出解即可；
方程利用公式法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．

17.【答案】解：人．
答：本次参加抽样调查的居民由人；
，，；
补全统计图如图所示：

人．
答：该居民区有人，估计爱吃粽的人有人；
如图：

第二次吃到粽．
答：他第二个恰好吃到的是粽的概率为 

【解析】本题主要考查的是条形统计图、扇形统计图以及概率的计算，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．
利用频数百分比总数，求得总人数；
根据条形统计图先求得类型的人数，然后根据百分比频数总数，求得百分比，从而可补全统计图；
用居民区的总人数即可；
首先画出树状图，然后求得所有的情况以及他第二个恰好吃到的是粽的情况，然后利用概率公式计算即可．

18.【答案】解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得
，
解得：，，
要扩大销售，减少库存，
每件衬衫应降价元；
设商场每天的盈利为元，由题意，得
，

，
时，最大元．
答：每件衬衫应降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 

【解析】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程二次函数关系式是解题的关键．

设每件衬衫应降价元，根据“商场盈利单件盈利销售数量”，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值，再结合减少库存即可确定的值；
设每件衬衫降价元时，商场所获得的利润为元，根据“商场盈利单件盈利销售数量”，即可找出关于的二次函数关系式，配方后根据二次函数的性质即可得出每件衬衫降价多少元时盈利最大．

19.【答案】解：由题意得，关于，的方程组与的相同解，就是方程组的解，
解得，，
，，
解得，，；
当，时，关于的方程为，
解得，，
又，
以、、为边的三角形是等腰直角三角形． 

【解析】本题考查二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理，掌握一元二次方程的解法和勾股定理的逆定理是得出正确答案的关键．
关于，的方程组与的解相同．首先求出方程组的解，进而确定、的值；
将、的值代入关于的方程，求出方程的解，再根据方程的两个解为边长与为边长，判断三角形的形状．

20.【答案】解：证明：垂直平分，
，，
，

，
，
，，
在和中

≌，
，
，
四边形是菱形；
 
 

【解析】证明：垂直平分，
，，
，

，
，
，，
在和中

≌，
，
，
四边形是菱形；
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
若四边形是正方形，则，
，
，
，
，
由知四边形是菱形，
四边形是正方形；
故答案为：；
解：由知，四边形是正方形，，
四边形的面积为，
故答案为：．
根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有，，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
若四边形是正方形，则，而，则，若，则，可得四边形是正方形；
根据梯形面积公式即可得到答案．
本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．

21.【答案】解：动点、同时出发，动点从出发向点移动，
，
动点从点出发向点移动，
，
故答案为：，．
当的面积等于四边形的面积的时，则的面积等于的面积的，
根据题意得，
整理得，
解得，
答：，即运动秒时，的面积等于四边形的面积的．
不可以，理由如下：
 如果可以，则由勾股定理得，
整理得，
，
该方程没有实数根，
的长不可以是． 

【解析】根据动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，可以得出，；
先确定当的面积等于四边形的面积的时，则的面积等于的面积的，再列方程求出的值；
假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，则说明的长不可以是．
此题考查解一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式、列一元二次方程解应用题等知识与方法，解第题时应注意根据一元二次方程根的判别式判定方程没有实数根．

22.【答案】菱形、正方形  

【解析】解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
解：如图所示：

四边形的面积的面积的面积；
故答案为：；
证明：连接、，如图所示：

四边形和四边形是正方形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
，
，
四边形为垂美四边形；
解：，，，
，
，
在中，，
，
四边形为垂美四边形，
四边形的面积．
由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
四边形的面积的面积的面积；
连接、，证出，由证明≌，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；
根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合的结论计算即可．
本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．