【期中真题】湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题.zip

长郡中学2022年下学期高一期中考试

数学

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果.

【详解】，.

故选：C.

2. 若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以，即，所以，故B正确；

当时，

，故A错误；

，故C错误；

，故D错误.

故选：B.

3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．

【详解】由题意得：，解得：，

由，解得：，

故函数的定义域是，

故选：B．

4. 已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.

【详解】解：因函数为减函数，

所以，

又因为，

所以.

故选：A.

5. 在直角梯形中，，，，，直线截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为，则函数的图像大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：，然后根据不同段上的函数的性质即可求解．

【详解】由题意可知：当时，，

当时，；

所以．

结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合．

故选：C．

6. “”是“函数是定义在上的增函数”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求得分段函数在上是增函数的充要条件，再从集合的包含关系即可判断和选择.

【详解】函数是定义在上的增函数的充要条件是：

，解得.

又是的真子集，

故“”是“函数是定义在上的增函数”的必要不充分条件.

故选：.

7. 是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】因为是定义在R上的奇函数，

所以当时，，此时，解得，

当时，，

（当且仅当时取等号，即时取等号），

即当时，，要想若对一切成立，

只需，综上所述：，

故选：B

8. 已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.

【详解】依题意，先作两个函数的草图，

因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，

令，得，故，代入直线，得，

故.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.

【详解】，是偶函数，且在上单调递增

是奇函数，在上单调递减

故选：AC

10. 下列说法正确的有（    ）

A. “，”的否定是“，”

B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是

C. 若，，，则“”的充要条件是“”

D. “”是“”的充分不必要条件

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据存在量词命题否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.

【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以“，”的否定是“，”，故A正确；

对于B，若命题“，”为假命题，

则方程无解，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，故B正确；

对于C，当时，，则由不能推出，

所以“”的充要条件不是“”，故C错误；

对于D，若，则，

故由可以推出，

若当时，，则由不可以推出，

所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.

故选：ABD.

11. 下列说法正确的是（    ）

A. 函数（且）的图像恒过定点

B. 若不等式的解集为或，则

C. 函数的最小值为6

D. 函数的单调增区间为

【答案】BD

【解析】

【分析】选项A，根据指数函数的性质即可判断；

选项B，根据一元二次不等式的性质即可判断；

选项C，根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可判断；

选项D，根据复合函数的单调性即可判断.

【详解】选项A，函数（且）图像恒过定点为，与不符，故A错；

选项B，不等式的解集为或，故必有，

解得，进而得到，故B正确；

选项C，，当且仅当，方程无解，故等号不可成立，故C错误；

选项D，函数是复合函数，由和，以及，三个函数复合而成，故所求函数的单调增区间为函数的单调递减区间，且要求，而函数的单调递减区间为，又因为，故，解得，得，综上，函数的单调增区间为，故D正确

故选：BD

12. 定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（    ）

A. 方程有且仅有三个解

B. 方程有且仅有三个解

C. 方程有且仅有九个解

D. 方程有且仅有一个解

【答案】AD

【解析】

【分析】通过利用或，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.

【详解】解：对于A中，设，则由，即，

由图象知方程有三个不同的解，设其解为，，，

由于是减函数，则直线与函数只有1个交点，

所以方程，，分别有且仅有一个解，

所以有三个解，故A正确；

对于B中，设，则由，即，

由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，

则直线与函数只有2个交点，

所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误；

对于C中，设，若，即，

方程有三个不同的解，设其解为，，，设，

则由函数图象，可知，，

由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点，

直线与函数只有1个交点，

所以或或共有7个解，

所以共有七个解，故C错误；

对于D中，设，若，即，

由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，

因为是减函数，则直线与函数只有1个交点，

所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.

故选：AD.

【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知集合，若，则实数的值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，即可求得结果.

【详解】当，即时，集合，不满足互异性，故舍去；

当，即（舍）或，此时，集合满足题意.

综上所述，实数的值为.

故答案为：.

14. 若关于的不等式的解集为R，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】分为和考虑，当时，根据题意列出不等式组，求出的取值范围.

【详解】当得：，满足题意；当时，要想保证关于的不等式的解集为R，则要满足：，解得：，综上：的取值范围为

故答案为：

15. 已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．

【答案】6

【解析】

【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

【详解】解：因为函数是幂函数，

所以，解得，

所以，

因为，

所以函数是上的奇函数，

又函数在上递增，且在定义域内连续，

所以函数在上递增，

不等式，即为不等式，

所以，解得，

所以实数的最大值是6.

故答案为：6.

16. 已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．

【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，

因为对任意的，都存在唯一的，满足，

则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.

当时，，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，

当时，

①当时，，此时，

，解得，

②当时，，

此时在上是减函数，取值范围是，

在上是增函数，取值范围是，

，解得，

综合得

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1），．   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合，再根据集合交并补运算求解即可；

（2）由题知，进而解不等式即可得答案.

【小问1详解】

当时，，又因为，

所以或，所以，．

【小问2详解】

因为，集合，或，

所以解得．所以实数的取值范围为．

18 （1）计算：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）1；（2）65.

【解析】

【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可.

【详解】（1）

．

（2）因为，所以，

所以，

所以．

19. 已知．

（1）若m＝0，求x+y的最小值；

（2）若，求xy的最小值．

【答案】（1）16    （2）64

【解析】

【分析】（1）根据题意整理可得，根据基本不等式中“1”的灵活运用运算求解；（2）根据题意整理可得，结合不等式运算求解.

【小问1详解】

若m＝0，则，即，

则，

当且仅当，即时等号成立，

故x+y的最小值为16.

【小问2详解】

若，则，即，

∵，则，

又∵，当且仅当时等号成立，即，

整理得：，解得或（舍去），

故xy的最小值为64.

20. 已知函数．

（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；

（2）当时，解关于x的不等式．

【答案】（1）证明见详解.   

（2）当时，；当时，；当时，.

【解析】

【分析】（1）利用函数单调性的定义、作差法进行证明.

（2）根据已知变形，把问题转化为含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论进行求解.

【小问1详解】

因为，所以，

对于任意的，且，

，

由于，且，所以，

故，所以在区间上单调递增；

【小问2详解】

不等式可化简为，

因为，所以上式化简得，

令，解得或，

当时，即时，得；

当时，即时，得；

当时，即时，得；

综上，当时，；

当时，；

当时，.

21. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．

（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：

方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；

方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；

问哪种方案较为合理？并说明理由．

【答案】（1），该设备从第2年开始实现总盈利；   

（2）方案二更合适，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果；

（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.

【小问1详解】

由题意可得，

由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．

【小问2详解】

方案二更合理，理由如下：

方案一：由（1）知，总盈利额，

当时，取得最大值160，

此时处理掉设备，则总利润为万元；

方案二：由（1）可得，

平均盈利额为

，

当且仅当，即时等号成立；

即时，平均盈利额最大，此时，

此时处理掉设备，总利润为万元．

综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．

22. 已知为偶函数，为奇函数，且满足.

（1）求、；

（2）若方程有解，求实数的取值范围；

（3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

【分析】（1）由已知条件可得出、的等式组，由此可解得这两个函数的解析式；

（2）令，分析可知函数在上有零点，分、两种情况讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；

（3）作出函数的图象，分析可知方程有两个不等的实根，从而方程有且只有一个根，数形结合可求得实数的取值范围.

【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，

即，所以，，解得；

（2）由可得，

令，当且仅当时，等号成立，则，

故有，其中，

令，其中，则函数在上有零点，

①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；

②当时，即当时，则有，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是；

（3），作出函数的图象如下图所示：

由可得，

由图可知，方程有两个不等的实根，

由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.

因此，实数的取值范围是.