【期中真题】山东师范大学附属中学2021届高三11月学业水平测试数学试题.zip

山东师大附中2018级数学2020年11月学业质量检测题

（满分：150分  考试时间：120分钟）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式确定集合B，然后由交集定义计算．

【详解】由，得，解得，所以，

又，所以.

故选：D

2. 设i为虚数单位，，“复数是纯虚数“是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

先化简z，求出a，再判断即可.

【详解】复数是纯虚数，

则，，

是的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.

3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰或直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

由条件和余弦定理可得，然后化简可得答案.

【详解】因为，所以由余弦定理可得，即

所以，所以三角形的形状为直角三角形

故选：A

4. 已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知条件求得，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.

【详解】由题意可知，点在直线上，则，可得，

因此，.

故选：D.

5. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质求解即可.

【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为

由题意可得：

则数列为首项为，公比为的等比数列

即

则视力5.1的视标边长为

故选：A

【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.

6. 向量，满足，，，则在方向上投影为（    ）

A. -1 B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题条件，先求出，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.

【详解】因为向量，满足，，，

所以，即，则，

所以在方向上的投影为.

故选：B.

7. 已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

分析出函数为上的奇函数且为增函数，由，推导出，利用等差数列的求和公式可求得的值.

【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，

，

所以，函数为奇函数，

当时，由于内层函数为增函数，外层函数也为增函数，

所以，函数在上为增函数，

由于函数为奇函数，则该函数在上也为增函数，

因为函数在上连续，所以，函数在上为增函数，

因为，，可得.

因此，.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题考查等差数列求和，利用函数在上的单调性与奇偶性推导出是求解的关键.

8. 已知变量，且，若恒成立，则m的最大值为（为自然对数的底数）（    ）

A. e B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】

不等式两边同时取对数，然后构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.

【详解】，，

恒成立，

设函数，，，

在上为增函数，函数的导数，

，即函数的增区间是，

则的最大值为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等式变形，，转化为求函数的单调区间.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分．

9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A. 设，为非零向量，则“”是“”的充要条件

B. 设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角

C. 设，，为非零向量，则

D. 若点G为的重心，则

【答案】AD

【解析】

【分析】

利用向量数量积的运算可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用数乘及数量积定义可判断C，利用向量的线性运算可判断D.

【详解】对于A，因为

所以“”是“”的充要条件，A正确；

对于B，若，则，的夹角为锐角或零角，B错误；

对于C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以两者不一定相等，故C错误；

对于D，如图，设BC的中点为D，因为G为的重心，

所以，即，D正确.

故选：AD

10. 等差数列的前n项和记为，若，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 当且仅当时，

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质及可分析出结果.

【详解】因为等差数列中，

所以，

又，

所以，

所以，，故AB正确，C错误；
因，故D错误，

故选：AB

【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.

11. 已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 的图象关于点对称

C. 的图象关于对称 D. 在上的最大值是1

【答案】ABC

【解析】

【分析】

先由最小正周期求出，再根据函数的变换求出，结合三角函数的性质即可判断.

【详解】因为最小正周期为，，解得，

，

将的图象向左平移个单位长度得，

再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得，即，

则，故A正确；

，的图象关于点对称，故B正确；

，的图象关于对称，故C正确；

当时，，则，即，故在上的最大值为，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】结论点睛：判断对称轴和对称中心的方法：对于，若函数满足，则关于点对称；若函数满足，则关于对称.

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 函数是偶函数，且在上不单调

B. 函数是奇函数，且在上不单调递增

C. 函数在上单调递增

D. 对任意，都有，且

【答案】AD

【解析】

【分析】先化简，根据函数偶函数的定义，再根据偶函数的性质即可判断A；求导后，利用导数判断函数的单调性即可判断B；利用导数和函数单调性的关系即可判断C；利用导数和函数最值的关系和偶函数的性质即可判断D.

【详解】根据题意，

函数的定义域为，且

即函数是偶函数，且在上不单调，故A正确；

又由，

∴，

∴函数是奇函数，

∵恒成立，

∴函数在上单调递增，故B不正确；

当时，，，

∴上恒成立，

∴函数在上单调递减，故C不正确；

∵函数为偶函数，

∴对任意，都有，

当时，，∴函数在上单调递增，

∵函数为偶函数，

∴函数在上单调递减，

∴，

∴，故D正确，

故选：AD.

【点睛】关键点点睛：（1）通过导数与0的关系判断函数的单调性；

（2）奇偶性与单调性的关系：奇函数在对称区间内单调性相同，偶函数在对称区间内单调性相反.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若，其中、都是实数，是虚数单位，则________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用复数除法和复数相等的知识得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出的值.

【详解】，则，解得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.

14. 函数在其极值点处的切线方程为____________.

【答案】

【解析】

【详解】，令，此时

函数在其极值点处的切线方程为

考点：：导数的几何意义.

15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________．

【答案】16

【解析】

分析】

由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出的最值.

【详解】由题可知，

则由角平分线性质和三角形面积公式可得：

，

化简得，即，

所以，

当且仅当即时，取等号.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：

利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.

16. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_______．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】求出，由利用数量积公式求解的值即可；建立坐标系，设，则，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

所以

；

建立如图所示的坐标系，

因为，，，

可得，

设，因为，则，

所以，

，

当时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：,.

【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已如函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）先将函数整理，得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；

（2）由（1）根据题中条件，先求出，根据余弦定理，求出，进而可求出三角形面积的最值.

【详解】（1），

由，

得，

∴函数的单调递增区间为．

（2）∵，∴，即，

∵为锐角三角形，

∴，∴．

中，由余弦定理得：，

又，

∴，当且仅当时，，

∴，∴当时，．

【点睛】方法点睛：

求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.

18. 在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，满足__________，__________；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．

（1）求和的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）选择①②，可以判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由可判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；不能选择①③；根据的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；

（2）利用错位相减法可求解.

【详解】（1）选择①②：

当时，由得，

两式相减，得，即，

由①得，即，

∴，得．

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴．

选择②③：

当时，由③，得，

两式相减，得，∴，

又，得，

∴，∴为，公比为的等比数列，

∴．

选择①③，由于和等价，故不能选择；

设等差数列的公差为d，，

且，，成等比数列．

，即，

解得，（舍去），∴．

（2），，

，

∴，

．

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.

19. 如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）点在棱上，且，求二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，先证，再证，所以平面，又平面，所以平面平面.

（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法计算.

【详解】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，

因为是正三角形，

所以，

因为，所以.

在中，，，，

所以，

所以，

因为，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

可知，，，，，

所以，，

设平面ABM的法向量为，

所以，

令，得.

取平面ABC的一个法向量为，

记二面角的平面角为，，

易知为锐角，所以二面角为.

【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.

20. 已知数列，的前n项和分别为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若恒成立，求k的最小值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用与的关系，可得，再利用等差数列的通项公式即可求解.

（2）利用裂项求和法可得，再利用数列的单调性即可求解.

【详解】（1）当时，，解得．

当时，由，得，

两式相减并化简得，

由于，所以，即，

故是首项为3，公差为3的等差数列，所以．

（2）．

故

，

由于是单调递增数列，，

所以．故k的最小值为．

【点睛】易错点睛：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩下两项，后面也剩下两项；或者前面剩下几项，后面也剩几项.

（2）将通项裂项后，有时要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.

21. 冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．

（1）由上面等高条形图，填写列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？

附：参考公式：，其中．

【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.

【解析】

【分析】

（1）根据所给等高条形图，得到的列联表，利用公式，求得的观测值，比较即可得到结论；

（2）设修复费用为万元．得出可得0，0.1，0.2，0.3，求得相应的概率，得到的分布列，利用公式求得数学期望.

【详解】（1）根据所给等高条形图，得到的列联表：

的观测值，由于，

故有99%的把握认为试验成功与材料有关．

（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元．易知可得0，0.1，0.2，0.3．

，，

，，

则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）

修复费用的期望：．

所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．

【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：

1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；

2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；

3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；

4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.

22. 已知函数，，其中．

（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；

（2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数．

【答案】（1）增函数；；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）先对函数求导，得到，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.

（2）时，恒成立，当时，恒成立，故的零点即为函数的零点，讨论在的零点个数得到答案.

【详解】（1），

当时，，，∴，

当时，，，∴，

当时，，

所以当时，，即在R上是增函数；

又，所以的解集为．

（2））函数的定义域为

由（1）得，函数在单调递增，

当时，，又，

所以时，恒成立，即时，无零点.

当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点

下面讨论函数在的零点个数：

，所以

①当时，因为，

又函数在区间递减，所以

即当时，，

所以单调递减，由得：当时，递增

当时，递减

当时，，当时

又，

当时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点；

②当时，，由①得：当时，，递增，

当时，，递减，所以，，

所以当时函数有2个零点

③当时，

，，即成立，由，

所以当时函数有1个零点

综上所述：当或时，函数有1个零点；

当或时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点.

【点睛】思路点睛：

导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.