2024年高考数学第一轮复习精品导学案第41讲 等差数列（学生版）+教师版

这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第41讲 等差数列（学生版）+教师版，共2页。学案主要包含了等差数列中基本量的运算等内容，欢迎下载使用。

1、 数列的通项公式
一般地，如果数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的 ．
注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
2、数列的表示方法
数列可以用 来描述，也可以通过 或 来表示．
3、等差数列的有关概念
(1)定义： 这个常数叫做等差数列的 ，
符号表示为 (n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是 ，其中A叫做a，b的等差中项．
4、等差数列的有关公式
(1)通项公式： ，an是关于n的一次函数．
(2)前n项和公式： ⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
1、（2023•甲卷（文））记为等差数列的前项和．若，，则
A．25B．22C．20D．15
2、（2022•乙卷（文））记为等差数列的前项和．若，则公差 ．
3、（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 个．
4、（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
5、（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求使成立的的最小值．
6、（2021•甲卷（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
7、（2023•乙卷（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
1、在等差数列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于( )
A．－2 B．0 C．3 D．6
2、记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为( )
A．3 B．2 C．－2 D．－3
3、是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）
A．64B．100C．110D．120
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则的前项和___________.
考向一 等差数列中基本量的运算
例1、（2022·福建省诏安县高三模拟试卷）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 是递增数列B.
C. 当时，D. 当或4时，取得最大值
变式1、（2022年福建省永泰县高三模拟试卷）已知等差数列的前项和为，且，则下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 数列中最大项为
变式2、(1) 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________；
(2) 已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a eq \\al(2,2)－4，则an＝________；
(3) 已知在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
①求数列{an}的通项公式；
②若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
变式3、（2022年江苏省淮安市高三模拟试卷）记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
方法总结：(1)a1，d是等差数列的基本量，把所给的条件代入等差数列的通项公式，可列出方程组，如果能把a1－1作为一个整体处理，则能简化运算．一般地，给出含有a1，d的两个独立条件，即可求出该等差数列的通项公式，进而求出其前n项和．
(2)第(2)小问，充分利用等差数列的第二通项公式a5＝a2＋3d，a3＝a2＋d，则简化了运算．
考向二 等差数列的性质
例2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校上学期期中）已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．1C．D．2
变式2、(1) 若等差数列{an}的前17项和 S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________；
(2) 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项和S9＝________；
(3) 已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 eq \f(Sn,Tn)＝ eq \f(3n－2,2n＋1)，则 eq \f(a7,b7)等于( )
A. eq \f(37,27) B. eq \f(19,14) C. eq \f(39,29) D. eq \f(4,3)
变式3、(1)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－1,3n－2)，则eq \f(a11,b6＋b10)＋eq \f(a5,b7＋b9)的值为________．
(2) 等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 eq \f(Sn,Tn)＝ eq \f(3n－2,2n＋1)，则 eq \f(an,bn)＝________；
方法总结：如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am＝eq \f(1,2)(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋an＋m的值．
考向三 等差数列的判定及证明
例3、（2023·安徽宿州·统考一模）在数列中，，且.
(1)令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求.
变式1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝ eq \f(1,2)，an＝－2SnSn－1(n≥2).
(1) 求证：数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,Sn)))是等差数列；
(2) 求Sn和an.
变式2、已知在数列{an}中，a1＝ eq \f(3,5)，an＝2－ eq \f(1,an－1)(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝ eq \f(1,an－1)(n∈N*).
(1) 求证：数列{bn}是等差数列；
(2) 求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
等差数列的判定方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn．在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．
1、（2022年广州番禺高三模拟试卷）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）尺.
A. 1B. 1.25C. 1.5D. 2
2、（2022年河北省张家口高三模拟试卷）已知等差数列的前n项和为，若，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
3、（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
3、（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（ ）
A．B．
C．D．
4、（多选）（2023·重庆·统考三模）对于数列，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．
5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式．