2023-2024学年度初三暑假讲义第12讲：锐角三角函数(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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夯实基础
题型1：锐角三角函数的定义
例题1．（1）（2022•滨州）在中，若，，，则的值为 ．
（2）（2020•桂林）如图，在中，，，，则的值是 ．
（3）（2018•云南）在中，，，，则的正切值为
A．3B．C．D．
（4）（2019•杭州）在直角三角形中，若，则 ．
（5）（2016•乐山）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是
A．B．C．D．
例题2．（1）（2020•杭州）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则
A．B．C．D．
（2）（2020•雅安）如图，在中，，，若，则的长为
A．8B．12C．D．
（3）（2019•无锡）已知，在中，，若，，则长为
A．6B．C．D．
题型2：特殊角的三角函数值
例题3．（1）（2022•荆门）计算： ．
（2）（2022•岳阳）计算： ．
（3）计算： ．
（4）（2015•甘肃）已知、均为锐角，且满足，则 ．
能力提升
题型3：三角函数值的复杂计算
例题4．（1）（2022•扬州）在中，，、、分别为、、的对边，若，则的值为 ．
（2）（2022•贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是
A．B．C．D．
（3）（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为
A．B．C．D．
模块二 锐角三角函数的性质
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夯实基础
题型4：同角三角函数关系
例题5．（1）已知，则 ．
（2）在中，，，则等于
A．B．C．D．
（3）已知：为锐角，且，则的值等于
A．B．2C．3D．2.5
（4）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知， ．
题型5：互为余角三角函数关系、锐角三角函数的增减性与锐角三角函数的范围
例题6．（1）已知，则锐角的取值范围是
A．B．C．D．
（2）在①为锐角）②③④；其中正确的是
A．①③B．②④C．①④D．③④
（3）若是锐角，且，则的取值范围是 ；将，，，的值，按由小到大的顺序排列是 ．
（4）如图，若锐角内接于，点在外（与点在同侧），则下列三个结论：①；②；③中，正确的结论为
A．①②B．②③C．①②③D．①③
能力提升
题型6：锐角三角函数的性质综合应用
例题7．（1）已知，则的值为
A．B．C．D．
（2）计算 ．
（3）已知，求的值．
模块三 解直角三角形
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夯实基础
题型7：解直角三角形
例题8．（1）（2022•陕西）如图，是的高．若，，则边的长为
A．B．C．D．
（2）（2019•柳州）如图，在中，，，，则的长为 ．
（3）（2019•西宁）如图，中，，，，，则 ．
（4）（2022•乐山）如图，在中，，，点是上一点，连结．若，，则的长为
A．B．3C．D．2
能力提升
题型8：已知三角形两边与其中一边的对角的分类讨论
例题9．（1）（2022•齐齐哈尔）在中，，，，则 ．
（2）（2017•黑龙江）中，，，，则的面积是 ．
秋季你将遇见
例题10．设计一种方法计算、、．
第12讲：锐角三角函数关系课后巩固
1．（2021•湖州）如图，已知在中，，，，则的值是 ．
2．（2017•哈尔滨）在中，，，，则的值为
A．B．C．D．
3．（2017•金华）在中，，，，则的值是
A．B．C．D．
4．（2019•牡丹江）在中，，，，则边的长是
A．16B．20C．15D．12
5．计算： ； ．
6．（2018•青海）在中，若，则的度数是 ．
7．（2013•连云港）在中，，若，则的值为
A．B．C．D．
8．（2007•雅安）若是直角三角形的一个锐角，，则
A．B．C．D．
9．若锐角满足且，则的范围是
A．B．C．D．
10．已知，则锐角的取值范围是 ．
11．三角函数、、之间的大小关系是
A．B．
C．D．
12．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角，都有．如果关于的方程有实数根，那么锐角的取值范围是 ．
13．（2020•南充）如图，点，，在正方形网格的格点上，则
A．B．C．D．
14．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为
A．B．C．D．
15．（2015•日照）如图，在直角中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值
A．B．C．D．
16．（2020•安徽）如图，中，，点在上，．若，，则的长度为
A．B．C．D．4
17．（2019•绵阳）在中，若，，，则的面积是 ．
思维拓展训练
1．（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，如图．在中，，，延长使，连接，得，所以．类比这种方法，计算的值为
A．B．C．D．
2．（2022•桂林）如图，在中，，，若，则的面积是
A．B．C．D．
定义
示例剖析
锐角三角函数定义：
在中，，、、所对三角形的边分别为、、．
正弦：；
余弦：；
正切：；
若，，
则
三角函数
角度
特殊角的三
角函数值：
锐角三角函数的性质
示例剖析
1. 同角三角函数关系：
，
.
2. 互为余角三角函数关系：
（1） 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；
（2）任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；
1．，
.
2．
锐角三角函数值的变化规律
示例剖析
锐角三角函数值的变化规律：
当角度在范围内变化时，
正弦值随角度增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随角度增大（或减小）而减小（或增大）．
正切值随角度增大（或减小）而增大（或减小）；
比较角的正弦、余弦、正切值的大小，其规律是：
为锐角且，则，，．该规律反过来也成立．
锐角三角函数的范围
在中，，，，，，，
又，，，所以，，．
解直角三角形的概念
1．解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系：．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：．
解直角三角形的四种基本类型
已知条件
解法类型
一条边和一个锐角
斜边和锐角
，，
直角边和锐角
，，
两条边
两条直角边和
，由，求，
斜边和直角边
，由，求，
解直角三角形中的基本图形