2023-2024学年度高一暑假预习讲义第3讲：集合的概念及其表示(讲义+课后测+课后巩固+答案）

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模块1：元素与集合的概念与集合的性质
模块2：集合的表示法
【重要考点讲解】
模块1：元素与集合的概念与集合的性质
【知识精讲】
1．元素与集合的概念
（1）元素与集合：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
（2）元素与集合的符号表示
元素：通常用小写拉丁字母表示，如；
集合：通常用大写拉丁字母表示，如．
（3）不含任何元素的集合叫做空集，记作．
2．集合的性质
①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．
②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个．
③无序性：集合中的元素是无次序关系的．
3．元素与集合的的关系
4．常用数集
【夯实基础】
题型1：集合概念的理解
例题1．下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）．
①高中学生中的游泳能手；
②平面上到原点的距离等于2的点；
③正三角形；
④比较小的正整数；
⑤满足不等式的的取值；
⑥之间的所有奇数；
⑦南宁市2023-2024学年度高一新生；
⑧直线上的所有的点；
⑨方程的所有实数根；
⑩是平面的定点，在平面内与等距离的点．
【解答】解：①所有的好人，“好人”无确定的标准，故①不能构成集合，
②平面上到原点的距离等于2的点，对象是确定的，故②能构成集合，
③正三角形，对象是确定的，故③能构成集合，
④比较小的正整数，“比较小”无确定的标准，故④不能构成集合，
⑤足不等式的的取值，即，对象是确定的，故⑤能构成集合．
故答案为：②③⑤⑥⑦⑧⑨⑩．
题型2：集合的性质
例题2．（1）已知集合中的三个元素，，分别是的三边长，则一定不是
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【解答】解：根基集合元素的互异性可知，，，互不相等，
故一定不是等腰三角形．
故选：．
（2）如果有一集合含有三个元素1，，，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：根据集合元素的互异性，需满足：
；
解得，且，且，且；
实数的取值范围为：．
故答案为：，且，且，且．
（3）由实数，，，，所构成的集合中最多含有 个元素．
【解答】解：由实数，，，，所构成的集合中，
由于至少与和中的一个相等，
故集合中至多有4个元素．
故答案为：4．
（4）已知集合是由0，，三个元素构成的集合，且，则实数为 ．
【解答】解：由题意知，或，
解得或或，
经验证，当或时，不满足集合中元素的互异性，
当时，满足题意．
故答案为：3
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/17 10:26:51；用户：高中数学；邮箱：18575989927；学号：40151830
题型3：元素与集合的关系
例题3．用符号“”或“”填空：
（1）设为所有亚洲国家组成的集合，则中国 ，美国 ，印度 ，英国 ．
【解答】解：；；；．
（2）①___；②___；③__；④___；⑤___；⑥___； = 7 \* GB3 ⑦___R．
【答案】；；；；；；．
例题4．下列叙述中正确的个数是（ ）
①若，则；
②若，则；
③，若，则；
④，若，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】①正确；②错误，如；③正确；④错误，如
【答案】C．
【能力提升】
例题5．（1）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，分4种情况讨论；
①、，，全部为负数时，则也为负数，则；
②、，，中有一个为负数时，则为负数，则；
③、，，中有两个为负数时，则为正数，则；
④、，，全部为正数时，则也正数，则；
则，0，；分析选项可得符合．
故选：．
（2）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，，都有（除数，则称是一个数域，则下列集合为数域的是
A．B．C．D．，
【解答】解：1，，，故不是数域，选项错误，同理选项错误；
任意，，都有（除数，故是一个数域，选项正确；
对于集合，，，，故，不是数域，选项错误．
故选：．
模块2：集合的表示方法
【知识精讲】
1．列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：，．
【注意】
①列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集
②有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程的解集可以写成；直线与直线的交点集合可以写成．
③用列举法表示集合时应注意：
元素之间用“，”而不是“、”隔开；
元素不能重复，满足元素的互异性；
元素无顺序，满足元素的无序性；
2．描述法（又称特征性质描述法）：
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为．
例如：大于的所有整数用描述法表示为．
方程的实根用描述法表示为．
【注意】
①描述法给出了一个客观的标准，用表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．
②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为．
③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即与表示的是同一个集合．
【夯实基础】
题型4：列举法
例题6．（1）用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程的所有实数解组成的集合；
③直线与轴的交点所组成的集合；
④方程组的解．
【解答】解：①因为不大于10是小于或等于10，非负是大于或等于0，
所以不大于10的非负偶数集是，2，4，6，8，．
②方程的解是或，所以方程的解组成的集合为，．
③将代入，得，即交点是，
故两直线的交点组成的集合是．
④解方程组，得，
用列举法表示方程组的解集是．
（2），，，，，试用列举法表示集合 ．
【解答】解：集合，，，，
，，，
则，3，，
故答案为：，3，．
例题7．用列举法表示下列集合：
（1）； （2）；
（3）； （4）D=
【解析】（1）
【答案】（1）；
（2）
（3）
（4）；
题型5：描述法法
例题8．用描述法表示下列集合：
（1）小于7的正整数构成的集合；
（2），3，5，7，；
（3），4，6，8，；
（4）梯形的全体构成的集合；
（5）能被3整除的自然数构成的集合；
（6）被4除余数为1的自然数构成的集合．
【解答】解：（1），；
（2），；
（3），；
（4）是梯形；
（5），；
（6），．
例题9．（1）下列各组集合表示同一集合的是
A．，，B．，
C．，D．，，，
【解答】解：对于，集合为数集，集合为点集，故错误，
对于，，，故错误，
对于，，，集合，表示点的坐标不同，故错误，
对于，，，，，由集合的无序性可知，集合，相同，故正确．
故选：．
（2）对集合，5，9，13，用描述法来表示，其中正确的一个是
A．是小于18的正奇数B．，，且
C．，，且D．，，且
【解答】解析：中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；
中取负数，多了若干元素；
中时多了这个元素，
只有是正确的．
故选：．
（3）用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．
【解答】解：图中的阴影部分的点设为则
，，或，
且，
故答案为：，且，．
【能力提升】
例题10．已知集合，其中．
（1）1是中的一个元素，用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；
（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围．
【解答】解：（1）是的元素，是方程的一个根，
，即，
此时．
，，此时集合；
（2）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根，
若，则当且仅当方程的判别式△，即时，
方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，
所求集合，；
（3）集合中至多有一个元素包括有两种情况，
①中有且仅有一个元素，由（2）可知此时或，
②中一个元素也没有，即，此时，且△，解得，
综合①②知的取值范围为或
例题11．设数集由实数构成，且满足：若且，则．
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
【解答】解：（1）证明：数集由实数构成，且满足：
若且，则．
，，
，，
集合中还有另外两个元素和；
（2）由题意若，则，
则，
若，则，
集合中应包含，，，
集合不是双元素集合．
（3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6，
，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，
中应有6个元素，且其中一个元素为，
，结合条件可得，，
，剩余的三个元素和为，
即，
解得，
，．
【高考真题体验】
1．（2015•湖北）已知集合，，，，，，，定义集合⊕，，，，，则⊕中元素的个数为
A．77B．49C．45D．30
【解答】解：法一：（最优解）因为集合，，，
所以集合中有5个元素，即图中圆中的整点，，，，，中有个元素，
即图中正方形中的整点，
⊕，，，，的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
法二：，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
⊕，，，，，
⊕，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共45个元素．
故选：．
第3讲：集合的概念及其表示课后巩固
模块1：元素与集合的概念与集合的性质课后演练
1．下列所给的对象能构成集合的是 ．
（1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；
（2）高一（3）班的高个子；
（3）英文26个字母；
（4）中国古代四大发明；
（5）方程的实数根．
【解答】解：对于（1），高中数学必修第一册课本上所有的难题，
“所有的难题”不确定，不满足集合的确定性，故（1）不能构成集合；
对于（2），高一（3）班的高个子，“高个子”不确定，
不满足集合的确定性，故（2）不能构成集合；
对于（3），英文26个字母，是确定的且满足互异性，故（3）能构成集合；
对于（4），中国古代四大发明，是确定的且满足互异性，故（4）能构成集合；
对于（5），方程没有实数根，故能构成空集，
故能构成集合的是（3）（4）（5），
故答案为：（3）（4）（5）．
2．以实数，，，，为元素所组成的集合最多含有 个元素．
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：当时，，，此时集合共有2个元素；
当时，，此时集合共有1个元素；
当时，，，此时集合共有2个元素，
故由以实数，，，，为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个．
故选：．
3．设集合，，，若，则
A．或或2B．或C．或2D．或2
【解答】解：若，则，
，
，4，；
若，则或，
时，，
，，；
时，（舍，
故选：．
4．已知，，均不为0，则的所有可能的值组成的集合是 ．
【解答】解：当，，全部为正数时，，
当，，为一正两负时，，
当，，为两正一负时，，
当，，为全负时，，
故的所有可能的值组成的集合是，1，．
故答案为：，1，．
5．用适当的符号填空①若， ；②若，则3 ；③若，，则8 ；④若，，则1.5 ．
【解答】解：①由得，，，所以，
②由得，，，所以，
③由，，易判断；
④由，，为整数，而1.5不是整数，显然可得．
故答案为：，，；
模块2：集合的表示方法课后演练
6．设集合，，，则用列举法表示集合为 ．
【解答】解：因为集合，，，
则当时，，当时，，
所以则用列举法表示集合，，
故答案为：，．
7．用列举法表示 ．
【解答】解：且，
或 或或，解得或或或，
对应的值为6，3，2，1，
故，2，3，．
故答案为：，2，3，．
8．已知集合，2，，，，设集合，，．则用列举法表示集合为 ．
【解答】解：时，或2，，或；
时，或2，，或0；
时，或2，，或1；
的元素为0，，1，2；
列举法表示集合，，1，．
9．集合，，，，用描述法可表示为
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：集合，，，，中的第项的分线为，分子为，
集合，，，，用描述法可表示为：，．
故选：．
10．下列各组中的、表示同一集合的是
①，，；
②，；
③，；
④，．
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：在①中，，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误；
在②中，，表示的不是同一个点，故②错误；
在③中，，，，，二者表示同一集合，故③正确；
在④中，表示数集，表示一条抛物线，故④错误．
故选：．
11．用描述法表示图中的阴影部分可以是 ．
【解答】解：图中的阴影部分用描述法表示为：且，
故答案为：且．
12．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是
A．B．，C．D．，
【解答】解：集合中有且只有一个元素，
或，
解得或，
实数的取值集合是，．
故选：．
13．若给定集合，对，，有且，则称集合为“好集合”．
（1）判断，，0，2，，，，，，0，2，4，6，是否为“好集合”？（只需结果，不需过程）
（2）证明：，为“好集合”．
【解答】解：（1），，0，2，不是“好集合”，
，，，，0，2，4，6，是“好集合”；
（2）证明：对，，，
存在，，使，，
则，，
，，，，
，，
故集合为“好集合”；
【思维拓展训练】
1．已知是满足下列条件的集合：
①，；
②若，，则；
③若且，则．
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：若，，则；
（3）证明：若，，则．
【解答】（1）解：正确．
理由如下：由①知，，
由②可得，，，
由③得．
（2）证明：由①知，
由题知，由②可得，
又，即．
（3）证明：，，由②可得，再由③可得，
，
即，，
即，，
即当，，
由（2）可知，当，，，
，
当，，
，可得，
．
关系
定义
记法
读法
属于
是集合的元素
属于
不属于
不是集合的元素
不属于
集合
非负整数集（自然数集）
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或