广东省东莞市东莞市东华高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题(含答案)

这是一份广东省东莞市东莞市东华高级中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、为庆祝党的二十大胜利召开,某校举办“学习党的历史,争做新时代好少年”主题教育活动.为评估本次教育活动的效果,拟抽取150名同学进行党史测试.已知该校高一学生360人,高二学生300人,高三学生340人,采用分层抽样的方法,应抽取高一学生人数为( )
A.60B.54C.51D.45
2、若复数z满足（为虚数单位）,则( )
A.B.iC.D.
3、如图所示的正方形的边长为,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积为( )
A.B.C.D.
4、在平面直角坐标系xOy中,,,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5、如图所示,直三棱柱中,,M,N分别是的中点,,则BN与AM所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6、某班12名篮球队队员的身高（单位：）分别是：162,170,170,171,181,163,165,179,168,183,168,178则第85百分位数是( )
A.178B.179C.180D.181
7、在中,,,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上,,是边长为2的正三角形,E、F分别是PA、AB的中点,平面PAC,则球O的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知某随机试验的两个随机事件A,B概率满足,事件“事件A与事件B恰有一个发生”,则下列命题正确的有( )
A.若,则A,B是互斥事件
B.若A,B是互为独立事件,则A,B不可能是互斥事件
C.
D.
10、已知不是直角三角形,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则( )
A.B.
C.D.
11、某保险公司为客户定制了5个险种：甲,一年期短期;乙,两全保险;丙,理财类保险;丁,定期寿险;戊,重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,得到如图所示的统计图表.则( )

A.丁险种参保人数超过五成
B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C.18－29周岁人群参保的总费用最少
D.人均参保费用不超过5000元
12、如图,在等腰梯形ABCD中,,.将沿着AC翻折,使得点D到点P,且.下列结论正确的是( )

A.平面平面ABC
B.二面角的大小为
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.点C到平面APB的距离为
三、填空题
13、已知采用分层抽样得到的高三男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172cm,方差为120,女生样本平均数165cm,方差为120,则总体样本方差是_____________.
14、在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则使该三角形有唯一解的x的值可以是______________.（仅需填写一个符合要求的数值）
15、某电路由A,B,C三种部件组成（如图）,若在某段时间内A,B,C正常工作的概率分别为,,则该电路正常运行的概率为_____________.

16、在平面直角坐标系xOy中,点P为单位圆O上的任一点,、.若,则的最大值为_______________.
四、解答题
17、现有7名学生,其中,,的数学成绩优秀,,的物理成绩优秀,,的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.
(1)求被选中的概率;
(2)求和至多有一个被选中的概率.
18、如图,在长方体木块中,,,.棱上有一动点E.
(1)若,过点E画一个与棱BC平行的平面,使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形EFGH（其中交线GH在平面ABCD内）.在图中画出这个正方形EFGH（不必说出理由）,并求平面EFGH将长方体分成的两部分的体积比;
(2)若平面交棱CD于Q,求四边形的周长的最小值.
19、现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值,其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg,近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条,从中随机抽取了200条鱼作为样本,检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg）,由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值,并估计这200条鱼汞含量的样本平均数;
(2)用样本估计总体的思想,估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标;
(3)从这批鱼中顾客甲购买了2条,顾客乙购买了1条,甲乙互不影响,求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.
20、如图,在平面四边形ABCD中,点B与点D分别在直线AC的两侧,.

(1)已知,且
（i）当时,求的面积;
（ii）若,求.
(2)已知,且,求AC的最大值.
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧棱底面ABCD,.
(1)证明：平面平面PBD;
(2)点H在棱PC上,当二面角的余弦值为时,求.
22、地球自西向东自转,造成了太阳每天东升西落运动.因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果,所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动,其实质是地球自转的一种反映.研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义.太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关,也与观测者当地的纬度有关.下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图,O为当地观测者位置,圆平面ESWN是观测者所在的地平面.直线为天轴,其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面EAWC,且与直线NS在同一圆面上.两直线和NS相交于点O,夹角为.太阳早上从正东方点的地平面升起,中午处于天空最高点A,傍晩从正西方W点处落入地平面.

(1)太阳视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？
(2)若图上B点为下午太阳所在位置,此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN的夹角）为多少？
参考答案
1、答案：B
解析：,
所以应抽取高一学生人数为54人,
故选：B.
2、答案：A
解析：由,得,
,
故选：A.
3、答案：C
解析：由正方形的边长为,可得,
根据斜二测画法的规则,平面图形OACB中,可得,
如图所示,所以原图形OACB的面积为.
故答案为：C.
4、答案：B
解析：由平面直角坐标系xOy中,,,可得,
则,
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
5、答案：A
解析：如下图所示：
分别取AC,的中点D,E,连接,,BD由题意有,,
所以BN与AM所成角的大小等于,不妨设,则,所以,
又因为且,所以,;
由余弦定理可得,所以与AM所成角的余弦值为.
故选：A.
6、答案：D
解析：这12个数从小到大排列为：
162,163,165,168,168,170,170,171,178,179,181,183,
因为,
所以第85百分位数为第11个数181,
故选：D.
7、答案：D
解析：设,则,,
所以,
由余弦定理可得,
所以,
所以,
所以的取值范围是.
故选：D.
8、答案：D
解析：E、F分别是PA、AB的中点,则,平面PAC,则平面PAC,
PA,平面PAC,故,,
根据条件可知,,
故,所以PA,PB,PC两两垂直,
将三棱锥放入正方体中,如图所示：
因为是边长为2的正三角形,所以正方体的边长为,
故外接球半径,
所以球O的体积.
故选：D.
9、答案：AB
解析：对于A,若,则A,B为对立事件,它们一定是互斥事件,故A正确;
对于B,若A,B是互为独立事件,由,则,则A,B不可能是互斥事件,故B正确;
对于C,因为表示“事件A与事件B至少有一个发生”,,当A,B为互斥事件时,,故C错误;
对于D,例如掷一次骰子,事件A表示得到1或2点,事件B表示得到1点,则事件C表示得到2点,
所以,,,此时,故D错误.
故选：AB.
10、答案：ACD
解析：对于A,因为,所以,所以A正确,
对于B,因为,所以,所以B错误,
对于C,因为,所以
,所以C正确,
对于D,因为,所以,
所以,
所以由正弦定理得,所以D正确,
故选：ACD.
11、答案：ACD
解析：由参保险种比例图可知,丁险种参保人数比例,故A正确
由参保人数比例图可知,41岁以上参保人数超过总参保人数的不到五成,B错误
由不同年龄段人均参保费用图可知,周岁人群人均参保费用最少,但是这类人所占比例为,
54周岁以上参保人数最少比例为,54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少,故C正确.
由不同年龄段人均参保费用图可知,人均参保费用不超过5000元,故D正确
故选：ACD.
12、答案：ACD
解析：中,,,,
由余弦定理可得,
, .
,,AP,平面APC,平面APC,
平面ABC,平面平面ABC,故A对;
取AC的中点E点,过点E作于点F,如图,
, ,
平面平面ABC,平面平面,平面APC,
平面ABC,又平面ABC,,又,,PE,平面PEF,平面PEF,而平面PEF,
,是二面角的平面角,在中,,
,故B错;
在中,取AB的中点,过点作PE的平行直线,如图,

由平面ABC可知平面ABC,又为底面的外接圆圆心,
则三棱锥的外接球的球心O在这条直线上,设外接球O的半径为R,
过作交PE于K,易知四边形为矩形,
则在与中,,
,
,解得,故外接球O的表面积为,故C对;
由平面ABC,.
在中,,,由余弦定理得,
设点C到平面APB的距离为d,由可得,故D对.
故选：ACD.
13、答案：132.25
解析：设男生样本平均数为,方差为,女生样本平均数为,方差为,总体平均数为,总体方差为,则由已知可得,,,,
所以,总体平均数.
根据分层抽样总体的方差公式可知,
总体样本方差.
故答案为：.
14、答案：8（答案不唯一,满足或即可）
解析：在中,,,,
由正弦定理得：,则,
当时,,三角形无解;
当时,,,三角形有唯一解;
当时,即,则,由,得,或,所以三角形有两解,
当时,即,则,由,得,,
因为在上单调递增,所以三角形有唯一解;
故答案为：8（答案不唯一,满足或即可）.
15、答案：
解析：要使电路正常运行,则需要A正常,两个B至少有一个正常,C正常,
所以电路正常运行的概率为.
故答案为：.
16、答案：
解析：设点,由,
所以,,可得,
所以,,为锐角,且,
所以,的最大值为.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）用表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,
则对应的样本空间
,共有12个样本点,
记事件“被选中”,则
,
共有6个样本点,所以被选中的概率.
（2）记事件“,至多有一个被选中”,则其对立事件“,全被选中”
可得,共2个样本点,所以.
由对立事件的概率公式得.
18、答案：(1)作图见解析, 体积的比值为或
(2)
既如此：（1）分别在,,上取,,使,,
则,,此时,
又,又,平面,
所以平面,平面,所以,
则交线围成的正方形EFGH如图所示.
因为EFGH为矩形,所以,
又平面,平面EFGH,所以平面EFGH

因为长方体被平面（正方形EFGH）分成两个高为的直棱柱,
所以其体积比为它们各自的底面的面积比,又,
所以.
（2）平面交棱CD于Q,
因为平面平面,平面平面,
平面平面,
所以,同理可得,所以四边形为平行四边形,
平行四边形的周长最小当且仅当最小,将平面沿翻折到与平面同一水平面,
当A,E,三点共线时,最小为,
故四边形周长最小为.

19、答案：(1),这200条鱼汞含量的样本平均数为;
(2)
(3)
解析：（1）由,解得.
则这200条鱼汞含量的样本平均数为.
（2）样本中汞含量在内的频率为.
则估计进口的这批鱼中共有条鱼汞含量超标.
（3）由题意可知,样本中汞含量在内的频率为.
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为,
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为.
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为.
20、答案：(1)（i）;（ii）;
(2).
解析：（1）（i）设,在中,由余弦定理得,解得,
在中,,则底边AC上的高,
所以的面积.
（ii）设,依题意,,
则,,即,而,
所以.
（2）连接BD,中,,,

由余弦定理得,
则,,设,在中,,
于是,在中,,
由余弦定理得：,
则
,
当且仅当,即时取等号,
所以当时,,
所以AC的最大值是.
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连结AC,侧棱底面ABCD,
平面ABCD, .
又底面ABCD是正方形, .
而且,PD,平面.
∴平面PBD.又平面PAC,
平面平面PBD.
（2）过H作交DC于E,过E作于F,连接HF.
在平面PDC中,,,
,因为底面ABCD, 平面ABCD,
又平面ABCD, ,
又,,EF,平面HEF,
平面HEF,又平面HEF, ,
为二面角的平面角.
故,则.
设,则,,.
在中,, .
在中,,
.所以,当二面角的余弦值为时,.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）根据题意,可得,,
由二面角定义可知,为圆平面EAWC与地平面ESWN的锐二面角,
在半圆NAS中,,,
所以,
即圆平面EAWC与地平面ESWN所成的锐二面角为.
（2）过B作平面ESWN,BG与平面ESWN交G,
所以为直线BO与地平面的夹角,
过B作直线,与直线EW交于H,连接OG,OH,
因为平面,平面,所以,
又因为,,且BG,平面BGH,
所以平面BGH,所以是平面EAWC与平面ESWN所成角的平面角,
则,
由B点为下午太阳所在位置,,
所以,,
在直角三角形BOG中,,
所以直线BO与地平面的夹角为,即此时阳光入射当地地平面的角度为.