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浙教版数学七年级下册 第3章 阅读材料 杨辉三角与两数和的乘方 教案
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这是一份浙教版数学七年级下册 第3章 阅读材料 杨辉三角与两数和的乘方 教案，共8页。
杨辉三角与两数和的乘方 【学情分析】 《杨辉三角与两数和的乘方》是教材中安排的一篇阅读材料，是在学习了整式乘法的基础上进行，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式的展开式奠定基础.通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养. 平时，在数学竞赛中时常有的公式应用，也曾看到中考把杨辉三角作为考点.对此，本节内容体现出：既是整式乘法的整合和补充，又是学生知识缺陷的弥补. 【教学目标】 知识与技能 1. 了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以拓宽整式乘法； 2. 通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）.在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力； 3. 运用杨辉三角的数学规律解决一些与之相关的中考题和实际问题。 过程与方法 1. 通过“求和”等活动，让学生充分感受知识的产生和发展过程，让学生始终处于积极思维状态之中； 2.通过探究杨辉三角规律等活动，让学生亲历发现事物特征和规律，激发学习兴趣，引发自行学习的内在动机。 情感、态度与价值观 1. 创造性使用阅读材料，使之探究化、价值化，从中不仅扩展了学生的知识，培养了学生学数学的兴趣，而且展现了数学的科学价值和人文价值； 2. 通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感， 【教学重难点】 教学重点：杨辉三角的发现、理解和初步应用. 教学难点：对赋值法验证理解。 【教法学法】 本学段的学生具有对与自己的直观经验相冲突的现象和对有挑战性任务感兴趣的特点，也初步具备个体和群体参与“探究性问题”、“开放性问题”活动的能力，并结合本节内容的特点，采用探究式学习方式.对于学生在探究过程中出现不全面、易出错等问题，教师给予即时的引导、点拨和激励评价.对新知学习都力求从学生实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入主题，展开数学探究 【教学过程】 一：创设情境，引发思考 引入： 若今天是星期一，再过8 天后是星期几？怎么算？ 生1：星期二，将问题转化为求“ 后的余数”是1. 变式;8改为 生：星期二，将问题转化为求“ 后的余数”是1， 生2： （此方法学生若未提及，教师给予讲解）. 变式2：改为 生：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1. 变式3：改为 生： 猜想星期二。将问题转化为求“后的余数是多少？” 教师引导：， 将问题转化为展开式中是否都含有7. ----引出课题; 探索的展开式 【设计意图：用实际问题创设情境引发思考，激发学生学习的欲望，鼓励学生探究的热情. 】 二：合作学习，探索新知 师：任何复杂的问题，我们都可以从它最简单的形式开始研究，从而得到其规律。 生： 师：=？ 师生合作： 师：试想 （学生独立完成） 生1： 生2： 师：按同样的方法我们可以依次获得5,6，…，但四次展开的计算量已经很大，很复杂，显然这样的运算很低效。 师：大家从项数，次数，系数观察一下前面获得的5条展开式， 有什么规律？从而直接得到展开式。 生1：展开式中的项数比乘方指数多1，即（n+1）项. 生2：展开式中每项字母的次数从高到低排列，字母的次数从低到高排列.且每一项的次数都是n次 生3：两边的系数都是1，中间的各个数分别等于它“肩上”的两数之和.（如：1＋2＝3） 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 师：你能按上述规律写出的展开式吗？ 生：.（同桌校对，一位学生板演.） 师：那现在我们能否解决引入的问题，若今天是星期一，再过 天后是星期几？ 生：的展开式中前项都含有7，所以除以7的余数是1，所以再过天后是星期二. 【设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习. 】 三、介绍杨辉，感受成就 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界. “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，该书还说明此表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的“开方作法本源图”，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．因此，我们把此表叫杨辉三角或贾宪三角. 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 【设计意图：了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感；让学生体会到研究杨辉三角就是体察杨辉的探索精神，以鼓励学生探究的热情. 】 四：纵横斜探，深度挖掘 师：杨辉三角如此的有成就，我们看看它还有什么神秘的性质？ 预设1：展开式的第二项系数都等于乘方的指数 预设2：展开式的第三项系数都是1+2+3+…+（n-1） 预设3：从求和的结果规律看，第行之和的结果为. 预设4：系数成左、右对称排列，且中间的数比两边都大 预设5：每一行数字组成的数都是11的幂的形式（从第2行到第5行成立，第六行开始需要进位的方法换算后才成立） ……… 还有很多，根据学生水平自由发挥，老师可提前多了解些 师：命题老师也觉得这个图形很漂亮，很神秘，所以在我们平时的竞赛或是中考中经常也出现与它相关的题 练习1：请依据“杨辉三角”，写出（x+ ）2018展开式中含x2016项的系数是 ． 练习2：根据“杨辉三角”计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为_______ 练习3： 补充： 练习4：的展开式中，系数绝对值最大的是第____项 的展开式中，系数绝对值最大的是第____项 若 展开式中，第6项系数绝对值最大，则n=_____ 师：我们再从右斜线上算各行数字之和，有什么规律？ 师：1，1，2，3，5，8，13，21，…. 从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和. 这就是著名的斐波那契数列 【设计意图：培养学生观察探究能力，再发现杨辉三角蕴涵了许多优美的规律，让学生充分展开思维进入研究状态，形成爱数学的好习惯. 】 练习1：意大利著名数学家斐波那契发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。 现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下 正方形： 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。 练习2：(根据学生情况而定)兔子的繁殖问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 答：等量关系：某月的兔子数=上月兔子数+新生兔子数（上上月兔子数） 兔子繁殖问题可以从斐波那契数列得到答案： 233． 练习3.欣赏斐波那契螺旋线 【设计意图：通过体验斐波那契数列，呈现数学的趣味性，提高课堂学习氛围，达到学以致用的目的. 】 【课堂小结】 师：我们一起来回顾这节课，你学到了什么，谈谈你的体会？ 生1：学到了利用杨辉三角的规律展开两数和的乘方公式 生2：我发现生活中处处有数学 生3：要多观察，多归纳 …… 师：今天很高兴和大家一起探索了“杨辉三角”，只要我们用心观察，善于思考，就可以发现数学中很多的美和神秘。 【作业布置】 （1）通过网络搜索有关杨辉三角资料，整理其相关问题回校与同学交流（有能力的学生写一篇数学小论文） （2）小练习（附件） 【教学反思】 以实际问题引入，灵活展开教学，使枯燥的数学问题变为活生生的探究，增强了学生对数学内容的亲切感，使学生学得主动、学得开心，真正成为学习的主人. 让学生亲历知识发生过程，积极探索规律，从中感悟和获取数学知识、方法和思想，从而达成多方位提高学生数学素养. 根据新课标要求“因材施教”，由于本校学生基础一般，所以我在教学设计中， 根据学生心理、学习需求，确定“以学定教”， 预设课堂，尽可能将问题具体化，在开放性的设计中保留提示性，彰显丰盈的数学课.然而现实并没有达到想象的效果，并没有完全达到开放探索的目标，课堂没有特别的活跃，很多学生还只能达到接收信息，很少有创新性或完整的表述，只有少数个别学生比较活跃。所以，在实际教学中，可以根据学生的层次，对问题难度适当调整。 作业附件： 1.如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写： a所表示的数：________。 b所表示的数：________。 2.在展开式中，含x2016的项的系数是________,含x2014项的系数是_______. 3. 展开式中各项系数和为64，则其常数项为__________。 4.将1， ， ， ， ， ，… 按一定规律排成下表： 试找出在第20行第8个数是____________ 5.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m,n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4,3）表示分数，那么（9,2）表示的分数是________. 6.杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 上图的构成规律你看懂了吗？ 请你直接写出 杨辉三角还有另一个特征： （1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为）都是上一行的数与____积． （2）从第六行开始，系数中开始出现二位数，同样我们可以发现用进位的方法把系数排列转换成数字排列，利用你发现的方法请你写出=___________________ （3）某行的各系数排列为：1 8 28 56 70 56 28 8 1 则为第__________行，转换成这一行的数字排列为：___________________________, 用11的幂的形式可表示为____________ 2某乐园的门票规定成人180元/人，现有几个成人去游 玩，买门票时付了750元又找回30元。问去了多少个成人？设成人人数为x 1 A列B列C列D列E列F列G列第0行1第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561第7行17213535217序号①②③④周长6101626板书设计杨辉三角和两数和的乘方 学生板演 范例讲解
杨辉三角与两数和的乘方 【学情分析】 《杨辉三角与两数和的乘方》是教材中安排的一篇阅读材料，是在学习了整式乘法的基础上进行，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式的展开式奠定基础.通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养. 平时，在数学竞赛中时常有的公式应用，也曾看到中考把杨辉三角作为考点.对此，本节内容体现出：既是整式乘法的整合和补充，又是学生知识缺陷的弥补. 【教学目标】 知识与技能 1. 了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以拓宽整式乘法； 2. 通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）.在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力； 3. 运用杨辉三角的数学规律解决一些与之相关的中考题和实际问题。 过程与方法 1. 通过“求和”等活动，让学生充分感受知识的产生和发展过程，让学生始终处于积极思维状态之中； 2.通过探究杨辉三角规律等活动，让学生亲历发现事物特征和规律，激发学习兴趣，引发自行学习的内在动机。 情感、态度与价值观 1. 创造性使用阅读材料，使之探究化、价值化，从中不仅扩展了学生的知识，培养了学生学数学的兴趣，而且展现了数学的科学价值和人文价值； 2. 通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感， 【教学重难点】 教学重点：杨辉三角的发现、理解和初步应用. 教学难点：对赋值法验证理解。 【教法学法】 本学段的学生具有对与自己的直观经验相冲突的现象和对有挑战性任务感兴趣的特点，也初步具备个体和群体参与“探究性问题”、“开放性问题”活动的能力，并结合本节内容的特点，采用探究式学习方式.对于学生在探究过程中出现不全面、易出错等问题，教师给予即时的引导、点拨和激励评价.对新知学习都力求从学生实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入主题，展开数学探究 【教学过程】 一：创设情境，引发思考 引入： 若今天是星期一，再过8 天后是星期几？怎么算？ 生1：星期二，将问题转化为求“ 后的余数”是1. 变式;8改为 生：星期二，将问题转化为求“ 后的余数”是1， 生2： （此方法学生若未提及，教师给予讲解）. 变式2：改为 生：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1. 变式3：改为 生： 猜想星期二。将问题转化为求“后的余数是多少？” 教师引导：， 将问题转化为展开式中是否都含有7. ----引出课题; 探索的展开式 【设计意图：用实际问题创设情境引发思考，激发学生学习的欲望，鼓励学生探究的热情. 】 二：合作学习，探索新知 师：任何复杂的问题，我们都可以从它最简单的形式开始研究，从而得到其规律。 生： 师：=？ 师生合作： 师：试想 （学生独立完成） 生1： 生2： 师：按同样的方法我们可以依次获得5,6，…，但四次展开的计算量已经很大，很复杂，显然这样的运算很低效。 师：大家从项数，次数，系数观察一下前面获得的5条展开式， 有什么规律？从而直接得到展开式。 生1：展开式中的项数比乘方指数多1，即（n+1）项. 生2：展开式中每项字母的次数从高到低排列，字母的次数从低到高排列.且每一项的次数都是n次 生3：两边的系数都是1，中间的各个数分别等于它“肩上”的两数之和.（如：1＋2＝3） 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 师：你能按上述规律写出的展开式吗？ 生：.（同桌校对，一位学生板演.） 师：那现在我们能否解决引入的问题，若今天是星期一，再过 天后是星期几？ 生：的展开式中前项都含有7，所以除以7的余数是1，所以再过天后是星期二. 【设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习. 】 三、介绍杨辉，感受成就 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界. “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，该书还说明此表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的“开方作法本源图”，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．因此，我们把此表叫杨辉三角或贾宪三角. 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 【设计意图：了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感；让学生体会到研究杨辉三角就是体察杨辉的探索精神，以鼓励学生探究的热情. 】 四：纵横斜探，深度挖掘 师：杨辉三角如此的有成就，我们看看它还有什么神秘的性质？ 预设1：展开式的第二项系数都等于乘方的指数 预设2：展开式的第三项系数都是1+2+3+…+（n-1） 预设3：从求和的结果规律看，第行之和的结果为. 预设4：系数成左、右对称排列，且中间的数比两边都大 预设5：每一行数字组成的数都是11的幂的形式（从第2行到第5行成立，第六行开始需要进位的方法换算后才成立） ……… 还有很多，根据学生水平自由发挥，老师可提前多了解些 师：命题老师也觉得这个图形很漂亮，很神秘，所以在我们平时的竞赛或是中考中经常也出现与它相关的题 练习1：请依据“杨辉三角”，写出（x+ ）2018展开式中含x2016项的系数是 ． 练习2：根据“杨辉三角”计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为_______ 练习3： 补充： 练习4：的展开式中，系数绝对值最大的是第____项 的展开式中，系数绝对值最大的是第____项 若 展开式中，第6项系数绝对值最大，则n=_____ 师：我们再从右斜线上算各行数字之和，有什么规律？ 师：1，1，2，3，5，8，13，21，…. 从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和. 这就是著名的斐波那契数列 【设计意图：培养学生观察探究能力，再发现杨辉三角蕴涵了许多优美的规律，让学生充分展开思维进入研究状态，形成爱数学的好习惯. 】 练习1：意大利著名数学家斐波那契发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。 现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下 正方形： 再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个 正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示： 若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。 练习2：(根据学生情况而定)兔子的繁殖问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 答：等量关系：某月的兔子数=上月兔子数+新生兔子数（上上月兔子数） 兔子繁殖问题可以从斐波那契数列得到答案： 233． 练习3.欣赏斐波那契螺旋线 【设计意图：通过体验斐波那契数列，呈现数学的趣味性，提高课堂学习氛围，达到学以致用的目的. 】 【课堂小结】 师：我们一起来回顾这节课，你学到了什么，谈谈你的体会？ 生1：学到了利用杨辉三角的规律展开两数和的乘方公式 生2：我发现生活中处处有数学 生3：要多观察，多归纳 …… 师：今天很高兴和大家一起探索了“杨辉三角”，只要我们用心观察，善于思考，就可以发现数学中很多的美和神秘。 【作业布置】 （1）通过网络搜索有关杨辉三角资料，整理其相关问题回校与同学交流（有能力的学生写一篇数学小论文） （2）小练习（附件） 【教学反思】 以实际问题引入，灵活展开教学，使枯燥的数学问题变为活生生的探究，增强了学生对数学内容的亲切感，使学生学得主动、学得开心，真正成为学习的主人. 让学生亲历知识发生过程，积极探索规律，从中感悟和获取数学知识、方法和思想，从而达成多方位提高学生数学素养. 根据新课标要求“因材施教”，由于本校学生基础一般，所以我在教学设计中， 根据学生心理、学习需求，确定“以学定教”， 预设课堂，尽可能将问题具体化，在开放性的设计中保留提示性，彰显丰盈的数学课.然而现实并没有达到想象的效果，并没有完全达到开放探索的目标，课堂没有特别的活跃，很多学生还只能达到接收信息，很少有创新性或完整的表述，只有少数个别学生比较活跃。所以，在实际教学中，可以根据学生的层次，对问题难度适当调整。 作业附件： 1.如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写： a所表示的数：________。 b所表示的数：________。 2.在展开式中，含x2016的项的系数是________,含x2014项的系数是_______. 3. 展开式中各项系数和为64，则其常数项为__________。 4.将1， ， ， ， ， ，… 按一定规律排成下表： 试找出在第20行第8个数是____________ 5.将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，若用有序实数对（m,n）表示第m行，从左到右第n个数，如（4,3）表示分数，那么（9,2）表示的分数是________. 6.杨辉三角是一个由数字排列成昀三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和． 上图的构成规律你看懂了吗？ 请你直接写出 杨辉三角还有另一个特征： （1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为）都是上一行的数与____积． （2）从第六行开始，系数中开始出现二位数，同样我们可以发现用进位的方法把系数排列转换成数字排列，利用你发现的方法请你写出=___________________ （3）某行的各系数排列为：1 8 28 56 70 56 28 8 1 则为第__________行，转换成这一行的数字排列为：___________________________, 用11的幂的形式可表示为____________ 2某乐园的门票规定成人180元/人，现有几个成人去游 玩，买门票时付了750元又找回30元。问去了多少个成人？设成人人数为x 1 A列B列C列D列E列F列G列第0行1第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561第7行17213535217序号①②③④周长6101626板书设计杨辉三角和两数和的乘方 学生板演 范例讲解
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