人教版九年级上册21.1 一元二次方程学案

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程学案，共9页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。

1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程的解法---配方法
在比较大小中
二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；
1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；
2、把常数项移到等号的右边；
3、方程两边都除以二次项系数；
4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
特别说明：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好．
【典型例题】
类型一、用配方法解一元二次方程
1. 用配方法解方程：．
【答案】，，
【分析】将原方程二次项系数化1，用配方法求解.
解：


∴ ，
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，配方法是常用方法，掌握配方法解方程的步骤是解答此题的关键.
举一反三：
【变式1】 用配方法解方程：．
【答案】，．
【分析】利用配方法得到（x﹣）2=，然后利用直接开平方法解方程即可．
解：x2﹣x=﹣，
x2﹣x+=﹣+，
（x﹣）2=
x﹣=±，
所以x1=，x2=1．
【点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
【变式2】 用配方法解方程：2x2－4x－1＝0.
【答案】x1＝＋1，x2＝1－
解：根据配方法解方程即可．
移项得，2x2-4x=1，
将二次项系数化为1得，，
配方得，x2-2x+1=+1，，
∴，
∴．
类型二、配方法在代数中的应用
2．我们在学习一元二次方程的解法时，了解到配方法．“配方法”是解决数学问题的一种重要方法．请利用以上提示解决下题：
求证：
不论取任何实数，代数式的值总是正数
当为何值时，此代数式的值最小，并求出这个最小值．
【答案】(1)证明见分析；（2）4.
【分析】（1）此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．
（2）根据（1）4m2-4（m+1）+9=（2m-1）2+4得出m取时代数式的值最小，最小值是4．
解：（1）
；
∴不论取任何实数，代数式的值总是正数．由（1）得：
时，此代数式的值最小，这个最小值是：．
【点拨】此题考查了配方法的应用，解题时要根据配方法的步骤进行解答，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
举一反三：
【变式1】 我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵
∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2 (2)当时，有最大值 (3)证明见分析
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；
（3）由题意可得，进而问题可求解．
(1) 解：由题意得：
，
∵
∴
∴当时，有最小值．
由题意得：，
∵
∴
∴当时，有最大值．
由题意得：
=
=；
∵
∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【点拨】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
【变式2】 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；（2）5；（3）当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．
解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，
则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点拨】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
类型三、配方法在几何中的应用
3．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）写出点Q的坐标是________；
（2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围；
（3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值.
【答案】（1）Q(-3，1)（2）a>3（3）0
【分析】(1)如图，作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，证明△OBQ≌△PAO(AAS)，从而可得OB=PA，QB=OA，继而根据点P的坐标即可求得答案；
(2)利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，再解不等式即可；
(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，代入所求式子得 ，继而根据偶次方的非负性即可求得答案 .
解：(1)如图，作PM⊥x轴于A，QN⊥x轴于B，则∠PAO=∠OBQ=90°，
∴∠P+∠POA=90°，
由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP，
∴∠QOB+∠POA=90°，
∴∠QOB=∠P，
∴△OBQ≌△PAO(AAS)，
∴OB=PA，QB=OA，
∵点P的坐标为(1，3)，
∴OB=PA=3，QB=OA=1，
∴点Q的坐标为(-3，1)；
(2)把点Q(-3，1)向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，
得到的点M的坐标为(-3+a，1-a)，
而M在第四象限，
所以，
解得a>3，
即a的范围为a>3；
(3)由(2)得，m=-3+a，n=1-a，
∴

，
∵，
∴当a=4时，代数式的最小值为0.
【点拨】本题考查了坐标与图形变换-旋转，象限内点的坐标特征，解不等式组，配方法在求最值中的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.
举一反三：
【变式1】 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+6x﹣1最小值．
解：x2+6x﹣1＝x2+2×3•x+32﹣32﹣1
＝（x+3）2﹣10
∵无论x取何实数，总有（x+3）2≥0．
∵（x+3）2﹣10≥﹣10，即x2+6x﹣1的最小值是﹣10．
即无论x取何实数，x2+6x﹣1的值总是不小于﹣10的实数．
问题：
（1）已知：y＝x2﹣4x+7，求证：y是正数．
知识迁移：
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，点P在边AC上，从点A向点C以2cm/s的速度移动，点Q在CB边上以cm/s的速度从点C向点B移动．若点P，Q均以同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设△PCQ的面积为Scm2，运动时间为t秒，求S的最大值．
【答案】（1）见分析；（2）当t＝时，S有最大值．
【分析】（1）根据例题中的配方求最值；
（2）根据三角形的面积公式求出S和t的关系式，再利用配方求最值．
解：（1）y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3．
∵（x﹣2）2≥0．
∴y≥0+3＝3．
∴y＞0．
∴y是正数．
（2）由题意：AP＝2t，CQ＝t，PC＝6﹣2t．（0≤t≤）
∴S＝PC•CQ．
＝（6﹣2t）•t
＝﹣t2+3t
＝﹣（t2﹣3t）
＝﹣（t﹣）2+．
∵（t﹣）2≥0．
∴当t＝时，S有最大值．
【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．
【变式2】 已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b的值．
【答案】a=4，b=2．
【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可
解：a2+b2-8a-4b+20=0，
a2-8a+16+b2-4b+4=0，
(a-4)2+(b-2)2=0
a-4=0，b-2=0，
a=4，b=2．
【点拨】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．