高二上学期数学核心专题14.数列求和的七大核心考点

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倒序相加法是计算等差数列前项和的重要方法，数学王子高斯利用它很快的计算出来了1到100相加之和. 实质上，倒序将加法的核心点即在于“等距配对，其和相等”，倘若能够把握住这个点，我们会发现该方法不仅适合等差数列求和公式推导，还可以与中心对称的函数完美搭配，命制出一些综合性较强的函数与数列综合问题，其往往以压轴题出现，颇具挑战性！
1.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1). ；(2).
一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.
注：由中心对称的定义可知，距离对称点距离相等的点与，它们的函数值之和是相等的，这就符合“等距配对，其和相等”的特点！
2.常见的一些中心对称函数.
此处近列举奇函数的情形，因为中心对称的函数皆可由奇函数平移产生.同时，对于一些较常见的奇函数：正弦函数等不再单独列举. 假设且.
①.为奇函数
②.为奇函数
③.可转化为②或③
④.都是奇函数.
注意：个人觉得，要想把倒序相加法这类题目做好，上面这些函数一定要非常面熟才行，否则，往往不知道真实的命题意图. 只有熟悉上述函数的对称性，才可通过平移找到对称中心.
例1．若，满足，则
A．2022B．2023C．4044D．4046
解析：由于，故．
另一方面，由于，则．令，则，两式相加得，．故选:A
其实下面这道高考压轴试题本质上也是倒序相加法的体现，两个函数图像均关于同一个点中心对称.
例2.（2016年全国卷理科）
已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则
A. B. C. D.
解析：选B.
例3．设，设，．
（1）计算的值．
（2）求数列的通项公式．
（3）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
解析：（1）.
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以.又不符合，所以.
（3）由（2）知，，因为，所以，，
由，得，，当时，，，
，
，
由，得，因为对勾函数在上单调递增，又，所以，，所以，综上，由，得.
小结：若函数的对称中心是.
，
.
.
2．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.
例4.(2018年全国2卷)记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值.
解析：（1）设的公差为，由题意得，由，得，所以的通项公式为.
（2）代入等差数列求和公式，得，所以当时，取到最小值，且最小值为.
例5.（2020新高考2卷）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
解析：（1）设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，，数列的通项公式为：.
（2）由于：，故：
.
类型3．裂项相消求和
1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：
.
2.有理化后求和：.
3.指对式裂相求和：，一般地，
指数型：
对数型：
三类应用： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①裂相求和； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②证明不等式； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③求范围.
例6.(2015年全国2卷)为数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解析：（1）与已知作差得：，，当时，，.
（2），.
例7（2018年天津）．设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
解析：（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（2）（i）由（I），有，
故.
（ii）因为，
所以.
类型4：错位相减法
型如的数列求和，其基本解题步骤如下：
Step1：由题可得：
Step2：故 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
Step3：由 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①－ = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②得：
Step4：化简： .
例8.(2020年新课标全国卷 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I17)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和.
解析：（1）设公比为，得 即， 得（舍去），.
（2）设为的前n项和，由（1）及题设可得，，所以
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，用 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①- = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可得：
故.
类型5. 分组求和
适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.
例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.或者分段型，具体见下面的2021新高考1卷.
例9.（2021新高考1卷）.已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
解析：（1）由题设可得
又，，故即即
所以为等差数列，故.
设的前项和为，则，进一步分组可得：
因为，所以
.
除上例之外，分组求和还适用于出现摆动数列型中，具体解法见下例.
例10.（2014年湖南文科）已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解析：（1）当时，；
当时，，故数列的通向公式为：
.
（2）由（1）知，，记数列的前项和为，则
,进一步，若记，
，分别求和可得：
，，
故数列的前项和为.
注：此处是一个分段形式：，分组求和是处理分段形式的数列求和的一把利器！
类型6. 并项求和
在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如型，分奇偶后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.
再例如下面例9中，我们将相邻两项合并，就可以得到一个相邻两项和成等比的结构来处理.
例11．已知数列的前n项和公式为．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，求数列的前n项和.
解析：（1）数列的前n项和，，则当时，，即，当时，，解得，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，，，当n为偶数时，，于是得，当n为奇数时，，所以.
例12．已知数列满足：，，（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
解析：（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．
（2）由（1）知，， 当时，
，当n=1时，满足上式．
例13．已知数列的前项和为，，，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，所以，又，
所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，则数列也是等比数列，公比为，首项为3．所以．故选：A．