预测05 与数轴、线段、角有关的复杂应用题（解答60题专练）-2023-2024学年七年级数学上学期期末考点预测（人教版）

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1．（2022秋•重庆期末）阅读理解：M、N、P为数轴上三点，若点P到M的距离是点P到N的距离的k（k＞0）倍，即满足PM＝k．PN时，则称点P关于M、N的“相对关系值”为k．例如，当点M、N、P表示的数分别为0、2、3时，PM＝3PN，则称点P关于M、N的“相对关系值”为3；PN＝MN，则称点N关于P、M的“相对关系值”为．
如图，点A、B、C、D在数轴上，它们所表示的数分别为﹣1、2、6、﹣6．
（1）原点O关于A、B的“相对关系值“为a，原点O关于B、A的“相对关系值”为b，则a＝ ，b＝ ．
（2）点E为数轴上一动点，点E所表示的数为x，若x满足|x+3|+|x﹣2|＝5，且点E关于C、D的“相对关系值”为k，则k的取值范围是 ．
（3）点F从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒，当经过t秒时，C、D、F三点中恰有一个点关于另外两点的“相对关系值”为2，求t的值．
2．（2022秋•望城区期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
3．（2022秋•达川区期末）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们可发现许多重要的规律：
①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为|a﹣b|，记作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如|3+1|＝|3﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示数3和﹣1在数轴上对应的两点之间的距离；
②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段AB的中点M表示的数为．
请借用数轴和以上规律解决下列问题：
如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）A、B两点的距离为 个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为 ；
（2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为 ；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ．（用含t的式子表示）
（3）P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？
（4）在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值．
4．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，（a+1）2与|a﹣b+10|互为相反数．线段CD在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M，N分别为AC，BD的中点．
（1）求AB的长；
（2）当CD等于2时，判断MN的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由；
（3）设CD＝m，线段CD运动的速度为2个单位长度每秒，则在运动过程中，线段CD从开始运动到完全通过线段MN的时间为 （用含m的式子表示）．
5．（2022秋•襄州区期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．
（1）求点A，B对应的数；
（2）动点M，N分别同时从AC出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，设运动时间为t（t＞0）．
①求点P，Q对应的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时OP＝BQ．
6．（2022秋•梁子湖区期末）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是[A，B]的好点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的好点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）线段MN上存在一点是[M，N]的好点，则此点表示的数是 ；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当运动时间t为何值时，点P、A、B中恰有一个点为其余两点的好点？
（3）在（2）条件下，若点P到达A点后继续向左运动，当P为[B，A]的好点时，请直接写出线段PB的长及此时点P表示的数．
7．（2022秋•武汉期末）已知线段AB＝30cm
（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，当点P在AB的上方，且∠POB＝60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．
8．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．
（1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是 单位．
（2）当QN＝8个单位时，求三个点的运动时间．
（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：
码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．
9．（2022秋•丰泽区校级期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“AC＝nAB”具有相同的含义．
【理解与应用】
（1）如图，点C在线段AB上．若AC＝3，AB＝4，则＝ ；
若，则＝ ．
【拓展与延伸】
（2）已知线段AB＝10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
10．（2022秋•鼓楼区校级期末）点C是线段AB上一点，若AC＝nBC（n为大于1的正整数），则我们称点C是（B，A）的最强CP点．例如，AB＝10，AC＝CD＝DE＝EB＝2，则AE＝3BE，称E是（B，A）的最强CP点；BD＝2CD，则D是（C，B）的最强CP点．
（1）点C在线段AB上，若AB＝14，n＝4，点C是（A，B）的最强CP点，则AC＝ ．
（2）若AB＝14，C是（B，A）的最强CP点，则AC＝ ．（用n的代数式表示）
（3）一直线上有两点A，B，AB＝30cm，点C从B点出发，以每秒3cm的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒5cm的速度沿射线AB运动，t为多少时，点B，C，D恰好有一个点是其余2个点的最强CP点．（用n的代数式表示）
11．（2022秋•天山区校级期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足|a+2|+（b﹣8）2＝0．
（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；
（2）若数轴上有两动点M，N，点M以2个单位/秒从A向右运动，同时点N以3个单位/秒从点B向左运动，问经过几秒M，N相遇？
（3）在（2）的条件下，动点M、N出发经过多少秒，能使MA＝3NO？
12．（2022秋•桥西区期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；
（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒25°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
13．（2022秋•洪山区校级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝30°．
（1）如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
（2）如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小；
（3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒12°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤19），当∠COD＝90°时，直接写出t的值．
14．（2022秋•思明区校级期末）如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为7，BC＝4，AB＝16，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CQ＝3CN．设运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为
（2）当t＜6时，求MN的长（用含t的式子表示）；
（3）t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．
15．（2022秋•管城区校级期末）如图1，O为直线DE上一点，过点O在直线DE上方作射线OC，∠EOC＝140°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）如图2，当t＝4时，∠AOC＝ ，∠BOE＝ ，∠BOE﹣∠AOC＝ ；
（2）当三角板旋转至边AB与射线OE相交时（如图3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明理由；
（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值，若不存在，请说明理由．
16．（2022秋•泗阳县校级期末）【感受新知】
如图1，射线OC在∠AOB在内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“和谐线”．[注：本题研究的角都是小于平角的角．]
（1）一个角的角平分线 这个角的“和谐线”．（填是或不是）
（2）如图1，∠AOB＝60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，求∠AOC的度数．
【运用新知】
（3）如图2，若∠AOB＝90°，射线OM从射线OA的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线ON从射线OB的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒7.5°的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为t（s），问：当射线OM、ON旋转到一条直线上时，求t的值．
【解决问题】
（4）在（3）的条件下，请直接写出当射线ON是∠BOM的“和谐线”时t的值．
17．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图1，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝6：7，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD（题目中所出现的角均小于180°且大于0°）．
（1）若∠AOD＝140°，∠AOM＝ ，∠CON＝ ；
（2）6∠CON﹣∠AOM的值是否随着∠AOD的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠A1OB1（OA，OB的对应边分别是OA1，OB1），若旋转时间为t秒（0＜t＜180），当∠A1OC+6°＝∠B1OD时，求出t的值．
18．（2022秋•黄石港区期末）已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．
（1）如图1，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；
（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB＝AB，求此时满足条件的b值；
（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝|AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是 ．
19．（2022秋•仙游县校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足|a+2|+（c﹣5）2＝0．
（1）填空；a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
①求经过多长时间，AB的长度是BC长度的两倍．
②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
20．（2022秋•荔湾区校级期末）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足|a+9|+（b﹣6）2＝0．点P沿数轴从A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动．
（1）则a＝ ，b＝ ．
（2）若点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，求点P运动的时间．
（3）若点Q在点P运动2秒后，从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相遇后，再同时都向右运动（速度不变）．试求在整个运动过程中，当P点运动时间为多少秒时，P，Q两点之间的距离为1？并求出此时Q点所对应的数．
21．（2022秋•顺庆区校级期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 个单位；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟过后：
①点A、B、C表示的数分别是 、 、 （用含t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2．试问：d1﹣d2的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出d1﹣d2值．
22．（2022秋•市北区校级期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为 ；运动1秒后线段AB的长为 ；
（2）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（3）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
23．（2022秋•广阳区期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 ．
（3）应用：
①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝ ．
②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝ ．
③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 ．
④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 ．
（4）拓展：
已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．
24．（2022秋•武侯区校级期末）已知b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，且a，b，c分别对应数轴上的点A，B，C．
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）若点P为一动点，从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，则点P运动几秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍？
（3）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．假设运动时间为t s，BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
25．（2021秋•红河州期末）数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度，每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．
（1）请直接写出a＝ ，b＝ ；
（2）如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动，同时点N从原点O出发沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点若MP＝MA，求t的值；
（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t时M运动到点A的右侧，若此时以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为142，求此时点M对应的数．
26．（2021秋•恩施市期末）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3．
（1）数轴上点A表示的数为 ．
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为 ．
②设点A的移动距离AA′＝x．
ⅰ．当S＝4时，x＝ ；
ⅱ．D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE＝OO′，当点D，E所表示的数互为相反数时，求x的值．
27．（2021秋•紫阳县期末）如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
28．（2022秋•金台区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图2，将图1中的三角形绕点O逆时针旋转，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）如图3，继续将图2中三角板绕点O逆时针旋转，使得ON在∠AOC的内部，探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线ON恰好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
29．（2021秋•思明区校级期末）如图，已知∠MAN＝90°，射线AP在∠MAN内部，点B在射线AN上，在线段AB的延长线上截取BC＝AB，动点D从点A的位置出发，沿射线AN的方向运动，与此同时，射线AQ从与射线AM重合的位置开始绕点A顺时针旋转（点D到达点C时，两者都停止运动）．设运动时间为t秒，∠MAQ的角度为α，线段CD的长为l．且α，l，t的关系如下：l＝20﹣2t，α＝mt．（l，m的单位分别为cm和°）
（1）若动点D运动到终点C，求t的值；
（2）当∠MAP＝2∠PAN时，
①若m＝6，动点D运动到点B的位置，射线AQ是哪个角的平分线？
②在AQ旋转的同时，射线AP也绕点A逆时针旋转，旋转速度是每秒7°，射线AP旋转后的对应射线记为AP′，若∠P′AQ＝18°，m，t均为正整数，求m，t的值．
30．（2021秋•南浔区期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在直线MN上，三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转．当OD第一次与射线OM重合时三角板ODC停止转动，设旋转时间为t秒．
（1）当t＝2s时，求∠BOC和∠AOD的度数；
（2）如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第一次与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动．
①用含t的代数式表示射线OA和射线OD重合前∠BOC和∠AOD的度数；
②整个旋转过程中，当满足|∠AOD﹣∠BOC|＝5°时，求出相应的t的值．
31．（2021秋•盘州市期末）已知二项式﹣m3n2﹣2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c．且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出A、B、C．
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是、2、 （单位长度/秒），当乙追上丙时，乙与甲相距多远？
（3）在数轴上是否存在一点P，使P到A、B、C的距离之和等于10？若存在，请直接指出点P对应的数；若不存在，请说明理由．
32．（2021秋•玄武区期末）如图，直线l上依次有三个点A、B、C，AB＝16cm，BC＝14cm．点M从点A出发，沿直线l以每秒6cm的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；同时，点N从点B出发，沿直线l以每秒2cm的速度向点C运动，到达点C后停止．运动过程中，若AB＝nMN（n为大于1整数），则称是MN是AB的“n分时刻”．设点M的运动时间为ts．
（1）当t＝2时，MN是AB的“ 分时刻”；
（2）若MN是AB的“8分时刻”，求t的值；
（3）进一步探究发现，对于每一个不同的n的取值，符合条件的t的个数也在变化，请直接写出t的个数及对应的n的取值范围．
33．（2021秋•文山市期末）已知线段AB＝30cm．
（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO＝PO＝4cm，∠POB＝60°，现点P绕着点O以30°/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线B自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．
34．（2022秋•荆门期末）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且|a+4|+（b﹣12）2＝0．动点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）写出数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点P表示的数为 （用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．
①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？
②式子mBQ﹣2MP的值不随时间t的变化而变化，求m的值．
35．（2022秋•市中区期末）数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．
36．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）．
（1）当t＝20时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ．
（2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数．
（3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1.5时所对应的t的值．
37．（2022秋•临县期末）如图，在数轴上从左往右依次有四个点A，B，C，D，其中点A，B，C表示的数分别是0，3，10，且CD＝2AB．
（1）点D表示的数是 ；（直接写出结果）
（2）线段AB以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时．
①求t的值；
②线段AB上是否存在一点P，满足BD﹣PA＝3PC？若存在，求出点P表示的数x；若不存在，请说明理由．
38．（2022秋•拱墅区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，
①用含t的代数式表示PB的长度；
②若PB＝2PA，求点P所表示的数；
（2）动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点A后立即原速返回．若P，Q两点同时出发，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值．
39．（2021秋•南关区校级期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，分别表示数﹣18、﹣10、20，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左边），PQ＝2，MN＝5，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点P运动到点A时，线段PQ、MN立即同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）．
（1）当t＝2时，点Q表示的数为 ，点M表示的数为 ．
（2）当开始运动后，t＝ 秒时，点Q和点C重合．
（3）在整个运动过程中，求点Q和点N重合时t的值．
（4）在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，请直接写出此时t的值．
40．（2021秋•青岛期末）数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26个单位长度．
动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 ；
（2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时，
O、M两点间的和谐距离|OM|＝ （用含有t的代数式表示）；
C、N两点间的和谐距离|CN|＝ （用含有t的代数式表示）；
t＝ 时，M、N两点相遇；
（3）当t＝ 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
当t＝ 时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
41．（2021秋•渝北区期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，点B对应的数是﹣4，点A，C对应的数分别为a，c，且a，c满足|a+12|+（c﹣3）2＝0．
（1）直接写出a，c的值；
（2）若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段EP＝2，线段FQ＝3（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段EP和FQ立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出此时点P表示的数，并把求其中一个点P表示的数的过程写出来；若不存在，请说明理由．
42．（2022秋•益阳期末）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．
a＝ ，b＝ ，c＝
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
43．（2022秋•新丰县期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
44．（2022秋•衡山县期末）已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且|x+100|+（y﹣200）2＝0，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒．
（1）求点A，B两点之间的距离；
（2）若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，点P立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？
（3）若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位长度/秒，点M、N分别是AP、OB的中点，设运动的时间为t（0＜t＜10），在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
45．（2020春•重庆期末）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的解x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 ；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．
46．（2022秋•商河县校级期末）已知OE是∠BOC的平分线．
（1）操作发现：如图①，∠COD＝90°，
①若∠AOC＝40°，则∠DOE＝ °．
②若∠AOC＝50°，则∠DOE＝ °．
③若∠AOC＝α，则∠DOE＝ ．（用含α的代数式表示）
（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
（3）如图3，已知OD⊥AB，∠COD＝60°，边OC、边OD分别绕着点O以每秒10°、每秒5°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，∠COD＝20°．
47．（2022秋•长春期末）钟面上的数学
【基本概念】
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，∠AOB即为某一时刻的钟面角，一般地，0°≤∠AOB≤180°．
【简单认识】
时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，角度为360°．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °；
【初步研究】
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为α，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当α＝90°时， ；
②当α＝180°时， ；
（3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角∠AOB＝ °；
【深入思考】
（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整），假设这一时刻是2点m分，请用含有m的代数式表示出此时刻钟面角（直接写出结论）．
48．（2021秋•荆门期末）点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知AB＝3，BC＝2，CD＝4．
（1）若点C为原点，则点A表示的数是 ；
（2）若点A、B、C、D分别表示有理数a，b，c，d，则|a﹣c|+|d﹣b|﹣|a﹣d|＝ ；
（3）如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向右运动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动．
①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离；
②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，PQ＝5？
49．（2021秋•修水县期末）已知：a、b、c满足a＝﹣b，|a+1|+（c﹣4）2＝0，请回答问题：
（1）请求出a、b、c的值；
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P在线段BC上时，请化简式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|（请写出化简过程）；
（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC＝3PB？
50．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN＝4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM＝2PN时，请直接写出t的值．
51．（2021秋•紫金县期末）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C到点A、点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒．
（1）点C表示的数是 ．
（2）求当t等于多少秒时，点P到达点A处？
（3）点P表示的数是 （用含字母t的式子表示）
（4）求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
52．（2021秋•江北区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOD＝∠AOB，则∠DOE＝ ；
（2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值；
（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t＜）后得到∠COP＝∠AOQ，求t的值．
53．（2021秋•惠山区期末）【探索新知】
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC＝3，则AB＝ ；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC DB；（填“＝”或“≠”）
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与图中以O、C、D中某两点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，直接写出D点所表示的数．
54．（2021秋•城关区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；
（2）数轴的原点右侧是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？
55．（2021秋•临江市期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）
（1）如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，则∠AOD垂角为 和 ；
（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；
（3）如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为t s（0＜t＜20），试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角？
56．（2020秋•青羊区校级期末）如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1＝80°，∠2＝20°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是∠1的“伙伴角”．
（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，则∠AOE的“伙伴角”是 ；
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，将∠BOC绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得∠DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何值时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”；
（3）如图3，∠AOB＝160°，射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒（0＜t＜），射线OM平分∠AOI，射线ON平分∠BOI，射线OP平分∠MON，问：是否存在t的值使得∠AOI与∠POI互为“伙伴角”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
57．（2020秋•新丰县期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数 ；点P表示的数 （用含t的代数式表示）
（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是 ．
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
58．（2020秋•香河县期末）数轴上A点对应的数为﹣5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．
（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；
（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；
（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
59．（2020秋•龙岩期末）若点C在直线AB上，且AC＝2BC或BC＝2AC，我们就称点C是点A，B的“倍分点”；若点A是点C，B的“倍分点”，同时点C是点A，B的“倍分点”，而点B不是点A，C的“倍分点”，我们就称点A，C互为“伴生倍分点”．
（1）数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，点C1，C2，C3，C4分别表示数﹣，0，2，3，那么点C1，C2，C3，C4中是点A，B的“倍分点”的是 ；
（2）数轴上点M表示数﹣5，点N表示数15，点K是数轴上一点，点K表示数x；若点K在点N的左侧，且点K是点M，N的“倍分点“，求数x；若点K在点N的右侧，则点M，N，K中，是否存在”伴生倍分点”？若存在，求出数x；若不存在，请说明理由．
60．（2021秋•阳谷县期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，PD＝2AC，请求出AP的长；
（2）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长．