2023-2024学年天津市和平区耀华中学高二上学期12月月考数学试卷
一、单选题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线x24−y29=1的渐近线方程是( )
A. y=±32x B. y=±23x C. y=±94x D. y=±49x
2.已知数列 an为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2⋅a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为54,则S5=.
A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
3.已知A(−1,0),B(1,0),点C(x,y)满足: (x−1)2+y2|x−4|=12,则|AC|+|BC|=( )
A. 6 B. 4 C. 2 D. 不能确定
4.抛物线y2=2px与直线ax+y−4=0交于A,B两点,其中A点的坐标是(1,2).该抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|=
A. 7 B. 3 5 C. 6 D. 5
5.双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,过焦点F₂且垂直于x轴的弦为AB,若∠AF₁B=90°,则双曲线的离心率为( )
A. 122− 2 B. 2−1 C. 2+1 D. 122+ 2
6.若椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)和双曲线x2m−y2n=1(m,n>0)有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的交点,则PF1⋅PF2的值是( )
A. b− n B. a− m C. b−n D. a−m
7.规定:直线l:x=a2c是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右准线,以原点为圆心且的圆,且过双曲线的顶点的圆,被直线l分成弧长为2:1的两段圆弧,则该双曲线的离心率是( )
A. 2 B. 2 C. 62 D. 5
8.直线x4+y3=1与椭圆x216+y29=1相交于A、B两点,该椭圆上点P,使得△APB的面积等于3.这样的点P共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9.曲线y=- 4−x2(x≤1)的长度是( )
A. 4π3 B. 2π3 C. 8π3 D. 3π
10.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(−12,−15),则E的方程式为
A. x23−y26=1 B. x24−y25=1 C. x26−y23=1 D. x25−y24=1
11.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x−3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是( )
A. (x−3)2+(y−73)2=1 B. (x−2)2+(y−1)2=1C. (x−1)2+(y−3)2=1 D. (x−32)2+(y−1)2=1
12.给出下列结论,其中正确的个数是( )
①渐近线方程为y=±bax(a>0,b>0)的双曲线的标准方程一定是x2a2−y2b2=1
②抛物线y=-12x2的准线方程是x=12
③等轴双曲线的离心率是 2
④椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的焦点坐标是F1− m2−n2,0,F2 m2−n2,0
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如果正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量DE=12BC,那么以B,C为焦点且过点D,E的双曲线的离心率是
14.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则P= .
15.与直线x+y−2=0和曲线x2+y2−12x−12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
16.已知数列an满足a1=33,an+1−an=2n,则ann的最小值为 .
三、解答题:本题共3小题,共36分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)已知圆锥曲线C经过定点P(3,2 3),它的一个焦点为F(1,0),对应于该焦点的准线为x=−1,斜率为2的直线l交圆锥曲线C于A、B两点,且AB =3 5,求圆锥曲线C和直线l的方程.
18.(本小题12分)
如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP⋅AM=0,点N的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足FG=λFH,求λ的取值范围.
19.(本小题12分)
如图所示的几何体ABCDE 中,DA⊥平面EAB ,AB=AD=AE=2BC=2,CB//DA,EA⊥AB, M是EC上的点(不与端点重合),F为AD上的点,N为BE的中点.
(1)若M为CE的中点,AF=3FD.
(i)求证:FN//平面MBD
(ii)求点F 到平面MBD的距离.
(2)若平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为13,试确定点M在EC上的位置.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.
【详解】双曲线x24−y29=1的渐近线方程是:y=±32x
故选:A
2.【答案】C
【解析】【详解】试题分析:由题意得,设等比数列的公比为q,则a2a3=a1q⋅a1q2=2a1,所以a4=2,
又a4+2a7=a4+2a4q3=2×54,解得q=12,a1=16,所以S5=a1(1−q5)1−q=16(1−(12)5)1−12=31,故选C.
考点:等比数列的通项公式及性质.
3.【答案】B
【解析】【分析】根据椭圆的第二定义,结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为 (x−1)2+y2|x−4|=12,
所以点C(x,y)是以B(1,0)为右焦点,x=4为右准线,离心率为12的椭圆,
则有c=1,ca=12⇒a=2,显然|AC|+|BC|=2a=4,
故选:B
4.【答案】A
【解析】【详解】分析:首先应用曲线的交点应该同时落在各条曲线上,得到点A(1,2)既在抛物线y2=2px上,又在直线ax+y−4=0上,利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线方程,从而求得p,a的值,联立方程组求得另一个交点B的坐标,之后结合抛物线的定义求得最后的结果.
详解:将点A(1,2)的坐标代入抛物线y2=2px与直线ax+y−4=0,得a=p=2,
所以得抛物线y2=4x与直线2x+y−4=0,
由2x+y−4=0y2=4x得x=1y=2或x=4y=-4,所以得B(4,-4),
又抛物线的准线是x=-1,
再结合抛物线的定义得|FA|+|FB|=[1−(−1)]+[4−(−1)]=7,故选A.
点睛:该题考查的是有关直线与抛物线相交的问题,在解题的过程中,需要明确两曲线相交交点的特征以及点在曲线上的条件,求得参数的值,从而确定抛物线和直线的方程,再联立方程组求得直线与抛物线的另一个交点,之后借助抛物线的定义,将其转化为到准线的距离即可求得结果.
5.【答案】C
【解析】【分析】直接利用双曲线的通径与∠AF1B=90o,得到a,b,c的关系,根据离心率公式,求出双曲线的离心率.
【详解】由题意可知,双曲线的通径为:2b2a,
因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB,则|AB|=2b2a,
若∠AF1B=90o,所以2c=b2a,所以2ac=b2=c2−a2,由于e=ca,
所以e2−2e−1=0,解得e=1± 2,因为e>1,所以e=1+ 2.
故选:C.
6.【答案】D
【解析】【分析】由椭圆和双曲线的定义可得PF1+PF2=2 a,PF1−PF2=2 m,从而由|PF1|⋅|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2−(|PF1|-|PF2|)24即可得解.
【详解】∵椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)和双曲线x2m−y2n=1(m,n>0)有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的交点,
∴PF1+PF2=2 a,PF1−PF2=2 m,
∴|PF1|⋅|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2−(|PF1|-|PF2|)24=a−m,
故选D.
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义,属于基础题.
7.【答案】A
【解析】【分析】先根据圆被直线l 分成弧长为2:1的两段圆弧及圆的对称性,得出∠AOB=60∘;再根据三角形中的边角关系即可求解.
【详解】设圆与直线l相交于点B和C,双曲线的右顶点为A,如图所示:
由题意得:圆的圆心为O,半径为|OB|=|OC|=a.
由圆被直线l 分成弧长为2:1的两段圆弧,可得∠COB=120∘.
所以根据圆的对称性可得∠AOB=60∘.
由直线方程l: x=a2c可得:a2ca=cos∠AOB,即c=2a.
所以双曲线的离心率e=ca=2.
故选:A.
8.【答案】B
【解析】【解析】设出P1的坐标,表示出四边形P1AOB面积S,利用辅角公式整理化简,再利用三角函数的性质求得面积的最大值,进而求得△P1AB的最大值,利用6 2−6<3判断出点P不可能在直线AB的上方,进而推断出在直线AB的下方有两个点P.
【详解】设P1(4cosα,3sinα)0<α<π2,即点P1在第一象限的椭圆上,
考虑四边形P1AOB面积S,
S=S△OAP1+S△OBP1=12×43sinα+12×34cosα=6sinα+cosα=6 2sinα+π4 ,
∴Smax=6 2.
∵S△OAB=12×4×3=6为定值,
∴S△P1AB的最大值为6 2−6.
∵6 2−6<3,
∴点P不可能在直线AB的上方,显然在直线AB的下方有两个点P.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
9.【答案】A
【解析】【分析】根据题意,化简得到曲线表示的轨迹为弧AB⌢,所在圆的半径为2,且∠AOB=2π3,结合弧长公式,即可求解.
【详解】由曲线y=- 4−x2(x≤1),可得x2+y2=4,其中x≤1,y≤0,
如图所示,曲线表示的轨迹为弧AB⌢,且扇形OAB所在圆的半径为2,且∠AOB=2π3,
所以曲线表示的长度为2π3×2=4π3.
故选:A.
10.【答案】B
【解析】【详解】∵kAB=0+153+12=1,
∴直线AB的方程为y=x−3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),
则x2a2−(x−3)2b2=1.整理,得
(b2−a2)x2+6a2x−9a2−a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6a2a2−b2=2×(−12),
∴a2=−4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为x24−y25=1.故选B.
11.【答案】B
【解析】【详解】由题意知圆心坐标为(x0,1),
圆心到直线4x−3y=0的距离d=|4x0−3| 42+32=1,解得x0=2或x0=-12(舍去),
所以圆的方程为(x−2)2+(y−1)2=1.
故选:B.
12.【答案】A
【解析】【分析】分别利用双曲线渐近线方程与标准方程之间的关系,抛物线开口方向与标准方程的关系,等轴双曲线的概念,椭圆焦点位置与标准方程之间的关系对每个选项逐一判断即可.
【详解】对于①:渐近线方程为y=±bax(a>0,b>0)的双曲线的标准方程是 x2a2−y2b2=λ(λ≠0),故①错;
对于②:抛物线y=-12x2即x2=-2y,它的准线方程是y=12,故②错;
对于③:等轴双曲线中a=b,故c2=a2+b2=2a2,所以离心率e=ca= 2,③正确;
对于④:椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的焦点位置不确定,焦点可能在x轴,也可能在y轴,故④错;
故选:A.
13.【答案】 3+1
【解析】【分析】设出正三角形的边长,根据DE=12BC判断出D,E的位置,根据双曲线的定义和离心率的计算公式,计算出离心率.
【详解】依题意,不妨设正三角形ABC的边长为2,
由于DE=12BC,所以DE是三角形ABC的中位线,即D是AB的中点,
由于D在双曲线上,B,C是双曲线的焦点,
而|CD|= 3,|BD|=1,|BC|=2,
所以e=2c2a=|BC||CD|−|BD|=2 3−1= 3+1.
故答案为: 3+1.
14.【答案】2
【解析】【详解】设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y=x−p2,把y=x−p2代入y2=2px,得x2−3px+14p2=0,∴x1+x2=3p,∵|AB|=x1+x2+p=4p=8,∴p=2.
15.【答案】(x−2)2+(y−2)2=2
【解析】【详解】曲线化为(x−6)2+(y−6)2=18,
其圆心到直线x+y−2=0的距离为d=|6+6−2| 2=5 2.
所求的最小圆的圆心在直线y=x上,其到直线的距离为 2,圆心坐标为(2,2).
标准方程为(x−2)2+(y−2)2=2.
16.【答案】212
【解析】【分析】先利用累加法求出an=33+n2−n,所以ann=33n+n−1,设f=33n+n−1,由此能导出n=5或6时f有最小值.借此能得到ann的最小值.( )
【详解】解:∵an+1−an=2n,∴当n≥2时,an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+…+(a2−a1)+a1=2[1+2+…+(n−1)]+33=n2−n+33
且对n=1也适合,所以an=n2−n+33.
从而ann=33n+n−1
设f=33n+n−1,令f′=−33n2+1>0,( )
则f在( 33,+∞)上是单调递增,在(0, 33)上是递减的,( )
因为n∈N+,所以当n=5或6时f有最小值.( )
又因为a55=535,a66=636=212,
所以ann的最小值为a66=212
故答案为 212
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累加法.还考查函数的思想,构造函数利用导数判断函数单调性.
17.【答案】由于曲线C的焦点对应的数量是1,而准线对应的数量是−1,故猜想曲线C是抛物线,根据p2=1,求得2p=4,故抛物线的方程是y2=4x,将P3,2 3代入得2 32=4×3,符合题意,故曲线C的方程是y2=4x.由于直线的斜率为2,故可设直线的方程为y=2x+b,代入抛物线方程并化简得4x2+(4b−4)x+b2=0,故x1+x2=1−b,x1⋅x2=b24,所以|AB|= 1+22⋅ (1−b)2−4⋅b24=3 5,解得b=-4,故直线l的方程是y=2x−4.
【解析】根据焦点和准线判断出曲线C为抛物线,由此写出抛物线的方程.设出直线l的方程斜截式,利用弦长公式和弦长|AB|=3 5列方程,解方程求得直线的截距.由此求得直线l的方程.【点睛】本小题考查抛物线的概念的识别,考查抛物线的方程,考查直线和抛物线相交所得弦长公式的应用,属于中档题.
18.【答案】(1)连接AN,
∵AM=2AP ,NP⋅AM=0,
∴NP 为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM| ,
又|CN|+|NM|=2 2,∴|CN|+|AN|=2 2>2 ,
∴动点N的轨迹是以点C(−1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,且椭圆长轴长为2a=2 2,焦距2c=2,∴a= 2 ,c=1,∴b2=a2−c2=1,
∴曲线E的方程为x22+y2=1.
(2)①当直线GH斜率不存在,方程为x=0,则FG=13FH,∴λ=13.
②当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为y=kx+2,
代入椭圆方程x22+y2=1得:12+k2x2+4kx+3=0.
由Δ=16k2−1212+k2>0得:k2>32.
设Gx1,y1,Hx2,y2,
则x1+x2=−4k12+k2=−8k1+2k2,x1x2=312+k2=61+2k2,
又FG=λFH,∴x1,y1−2=λx2,y2−2 ,∴x1=λx2 ,则λ=x1x2,
∴x1+x22x1x2=x1x2+x2x1+2=λ+1λ+2=32k231+2k2=3232+1k2
∵k2>32 ,∴4<3231k2+2<163 ,∴4<λ+1λ+2<163 ,解得:13<λ<3.
又0<λ<1,∴13<λ<1 .
综上所述:λ的取值范围为13,1
【解析】(1)由垂直平分线性质可推导得到|CN|+|AN|=|CN|+|NM|=2 2>2,由椭圆定义可确定曲线E的方程;
(2)当直线GH斜率不存在时,易得λ=13;当直线GH斜率不存在时,将直线GH方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式,根据FG=λFH可得λ=x1x2,利用x1+x22x1x2可构造k与λ的方程,由k的范围可得关于λ的不等式,解不等式可求得结果;综合两种情况可得结果.
【点睛】思路点睛:本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:
①假设直线方程,与椭圆方程联立,整理为关于x或y的一元二次方程的形式;
②利用Δ>0求得变量的取值范围,得到韦达定理的形式;
③利用韦达定理表示出所求量,将所求量转化为关于变量的函数的形式;
④化简所得函数式,利用函数值域的求解方法求得取值范围.
19.【答案】(1)∵ DA⊥平面 EAB,EA⊥AB,,
∴以点A为坐标原点,AE、AB、AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
∵AB=AD=AE=2BC=2 ,
则A(0,0,0),B(0,2,0),D(0,0,2),E(2,0,0),C(0,2,1),
∵M 为CE的中点,AF=3FD,N 为BE的中点,
∴M1,1,12 ,F0,0,32,N(1,1,0),
∴FN=1,1,−32 ,BD=(0,-2,2),BM=1,-1,12,CE=(2,-2,-1),
设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),
则n⋅BD=0n⋅BM=0,即−2y+2z=0x−y+12z=0,令y=2,得n=(1,2,2).
(i) ∵FN⋅n=1×1+1×2−32×2=0 ,
∴FN⊥n ,
又∵FN⊄ 平面MBD,
∴FN/\!/ 平面MBD;
(ii) ∵FD=0,0,12 ,平面MBD的法向量为n=(1,2,2),
∴点F 到平面MBD的距离为:FD⋅nn=1 12+22+22=13;
(2)由M是EC上的点(不与端点重合),可设CM=λCE,0<λ<1,
∵CE=(2,-2,-1) ,C(0,2,1),
∴点M坐标为(2λ,-2λ+2,-λ+1)
∴BM=(2λ,-2λ,-λ+1)
设平面MBD的法向量为m=x1,y1,z1,
则m⋅BM=0m⋅BD=0,即2λx1−2λy1+(1−λ)z1=0−2y1+2z1=0,令y1=1,得m=3λ−12λ,1,1.
∵DA⊥平面 EAB ,AE⊂平面 EAB
∴DA⊥AE
又∵EA⊥AB ,AD∩AB=A,AD⊂平面ABD,AB⊂平面ABD,
∴AE⊥ 平面ABD,
∴平面ABD的一个法向量为AE=(2,0,0)
∵平面MBD与平面ABD所成角(锐角)的余弦值为 13,
∴AE⋅mAEm=3λ−12λ×22× 3λ−12λ2+12+12=13 ,解得λ=12或λ=14
∴点M是EC的中点或是EC上的靠近点C的四等分点.
【解析】(1)建立空间直角坐标系,写出点和向量的坐标;(i)求出FN的方向向量和平面MBD法向量即可证明FN//平面MBD;(ii)根据点到平面距离的向量计算方法即可求解.
(2)先根据点M是EC上的点(不与端点重合),利用向量共线的坐标表示得出点M坐标;再求出平面MBD与平面ABD的法向量;最后根据面面所成角的向量计算方法即可求解.