专题5.1 期中复习——解答压轴题专项训练（压轴题专项训练）-2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

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（1）填空：AB=______，BC=______．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC−AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒0≤t≤19，写出P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；
（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边．
【解题过程】
（1）解： AB=−8−−18=10，BC=8−−8=16，
（2）解：不变，
因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是−18−t，−8+4t，8+9t，
所以：BC=8+9t−−8+4t=16+5t， AB=−8+4t−−18−t=10+5t，
所以：BC−AB=16+5t−10+5t=6，
所以BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）解：经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是−18+t，−18+2t−6，
当点Q追上点P时，−18+t−[−18+2t−6]=0，
解得：t=12，
①当0所以：PQ=t，
②当6所以：PQ=−18+t−−18+2t−6=−t+12，
③当12所以：PQ=−18+2t−6−−18+t=t−12，
综上所述，P、Q两点间的距离为t或−t+12或t−12．
2．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）数学课上李老师和同学们玩一个找原点的游戏．
（1）如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．

①如果点A所表示的数是−5，那么点B所表示的数是______________；
②请在图1中标出原点O的位置；
（2）图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．请你帮她标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是____________；

（3）如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如AB=1），且c−2a=8．

①试求a的值；
②若点D也在这条数轴上，且CD=3，设D点所表示的数为d，求d的值．
【思路点拨】
（1）①根据相反数的定义可得点B表示的数，②根据A、B的位置可得原点的位置；
（2）根据A、B所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点C表示的数；
（3）①由数轴可得c−a=6，再结合c−2a=8可得a的值；②根据a的值可得c，根据CD=3可得c−d=3或d−c=3，即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：①点A所表示的数是−5，点A、点B所表示的数互为相反数，
所以点B所表示的数是5，
故答案为：5；
②在图1中表示原点O的位置如图所示：

（2）原点O的位置如图所示，

点C所表示的数是4．
故答案为：4；
（3）①由题意得：AC=6，
∴c−a=6，
又∵c−2a=8，
∴a=−2；
②设D表示的数为d，
∵c−a=6，a=−2，
∴c=4，
∵CD=3，
∴c−d=3或d−c=3，
∴d=1或d=7．
3．（2022秋·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，−1，0，1所对应的点分别是C1,C2,C3，其中是点A，B的“联盟点”的是___________；
（2）点A表示数−10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：
①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．
【思路点拨】
（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解；
（2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：设C点表示的数为x，且C点是点A，B的“联盟点”，
∴根据−1，0，1三个数在数A、B之间，可得CA=2CB或CB=2CA，
∴x+3=2|x−3|或|x−3|=2x+3，
当x+3=2|x−3|时，解得x=1或x=9（舍），
当|x−3|=2x+3时，解得x=−1或x=−9（舍），
∴C1，C3是点A，B的“联盟点”，
故答案为：C1，C3；
（2）①设P点表示的数是a，点P在点A的左侧，
∴PA＜PB，PA=−10−a，PB=5−a，
∵点P是点A，B的“联盟点”，
∴PB=2PA，
∴2−10−a=5−a，
解得a=−25，
即P点表示的数是−25；
②设P点表示的数是b，点P在点B的右侧，
当P是点A，B的“联盟点”时，PA=2PB，
∴b+10=2b−5，
解得b=20；
当A是点P，B的“联盟点”时，PA=2AB，
∴b+10=2×15，
解得b=20；
当B是点P，A的“联盟点”时，PB=2AB或AB=2PB，
∴b−5=2×15或15=2b−5，
解得b=35或b=12.5；
综上所述：P点表示的数为20或35或12.5．
4．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为∥POQ∥．例如，P，Q两点表示的数如图（1）所示， 则POQ=PO−QO=3−1=2．
（1）A，B两点表示的数如图（2）所示．
①求A，B两点的“绝对距离”；
②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且||AOB||=2||AOC||，求点C表示的数；
（2）点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且MN=2，||MON||=1， 请直接写出点M表示的为___________．
【思路点拨】
（1）①根据绝对距离的定义即可解题；
②由题意可求出||AOC||=1，再根据绝对距离的定义即可解题；
（2）由题意可知||MON||=|MO−NO|=1，即得出MO−NO=1或NO−MO=1．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合MN=2，即可求解；
【解题过程】
（1）①AOB=AO−BO=1−3=2；
②∵AOB=2，||AOB||=2||AOC||，
∴||AOC||=1，
∴|AO−CO|=1，
∴1−CO=1或CO−1=1，
解得：CO=0或2，
∵C点不与O点重合，
∴点C表示的数为2或−2；
（2）由题可知||MON||=|MO−NO|=1，
∴MO−NO=1或NO−MO=1．
∵点M在点N左侧，
故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，
∴MO−NO=1．
∵MN=2，
∴MO−NO=1≠MN=2，
∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，
∵MN=2，
∴NO−MO=1≠MN=2，
∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，
∵MN=2，
∴MO+NO=2．
∵MO−NO=1或NO−MO=1，
∴MO=32或MO=12，
∴点M表示的数为−32或−12．
故答案为：−32或−12．
5．（2022秋·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…….
（1）求出2.5秒钟后动点Q所在的位置；
（2）第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s；
（3）第n次移动后，点Q运动时间为______s，当n为奇数时，点Q在表示数______的位置上；当n为偶数时，点Q在表示数______的位置上；
（4）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间；
（3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解；
（4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【解题过程】
（1）解：∵4×2.5=10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，
Q处于：1−2+3−4=4−6=−2；
（2）解：Q处于：1−2+3−4+5−6+7=−3+7=4；
∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28
∴28÷4=7秒，
故答案为：4，7．
（3）解：第n次移动后，点Q运动时间为1+−2+3+−4+5+…+n÷4 =1+n2×n÷4=nn+18，
设S=1−2+3−4+5−6+…+n，当n为奇数时，S=−n−12+n=n+12
∴点Q在表示数为n+12的位置上；
当n为偶数时，S=−n2点Q在表示数−n2的位置
故答案为：nn+18，n+12，−n2．
（4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则
n+12=48，
解得n=95，
∴动点Q走过的路程是
1+|−2|+3+|−4|+5+…+|−94|+95
=1+2+3+…+95
= 1+95×952
=4560，
∴时间=4560÷4=1140(秒)；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则n2 =48，
解得n=96，
∴动点Q走过的路程是
1+|−2|+3+|−4|+5+…+95+|−96|
=1+2+3+…+96
= 1+96×962
=4656，
∴时间=4656÷4=1164(秒)．
6．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）如图所示，在数轴上点A、B、C表示的数分别为−2，1，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．

（1）则AB= ，BC= ，AC= ；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、点C分别以每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问：
①运动t秒后，点A与点B之间的距离AB为多少？（用含t的代数式表示）
② BC−AB的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
（3）由第（1）小题可以发现，AB+BC=AC．若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，AB，BC，AC之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）①由点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点A表示的数为−2−t，点B表示的数为1+2t，再根据两点间的距离公式即可得到答案；②由点C以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动t秒后，点C表示的数为6+5t，从而得到BC=3t+5，再计算出BC−AB=2，即可得到答案；
（3）分别表示出AB，BC，AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：∵在数轴上点A、B、C表示的数分别为−2，1，6，
∴AB=1−−2=1+2=3，BC=6−1=5，AC=6−−2=6+2=8，
故答案为：3，5，8；
（2）解：① ∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴运动t秒后，点A表示的数为：−2−t，点B表示的数为：1+2t，
∴点A与点B之间的距离为：AB=1+2t−−2−t=1+2t+2+t=3t+3；
② ∵点C以每秒5单位长度的速度向右运动，
∴运动t秒后，点C表示的数为：6+5t，
∴BC=6+5t−1+2t=6+5t−1−2t=3t+5，
∴BC−AB=3t+5−3t+3=3t+5−3t−3=2，
∴BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（3）解：∵点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴运动t秒后，点A表示的数为：−2+t，点B表示的数为：1+2t，点C表示的数为：6−3t，
∴AB=1+2t−−2+t=t+3，BC=6−3t−1+2t=5−5t，AC=6−3t−−2+t=8−4t，
当t<1时，AB+BC=3+t+5−5t=8−4t=AC，
当1≤t≤2时，BC+AC=5t−5+8−4t=t+3=AB，
当t>2时，AB+AC=t+3+4t−8=5t−5=BC，
∴随着运动时间t的变化，AB，BC，AC之间存在类似于（1）的数量关系．
7．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示−8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为−8−18=26个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离MN为__________；
（2）当点M、N都运动到折线段O−B−C上时，O、M两点间的和谐距离OM=__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离CN=__________（用含有t的代数式表示）；t=__________时，M、N两点相遇；
（3）当t=__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当t=__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．
【思路点拨】
（1）当t=2秒时，M表示的数是−8+2×4=0，N表示的数是18−3×2=12，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离MN为|12−0|=12；
（2）当点M、N都运动到折线段O−B−C上，即t≥2时，M表示的数是42×(t−2)=2t−4，N表示的数是12−3(t−2)=18−3t，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得2t−4=18−3t，可解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得|2t−4−(18−3t)|=4，可解得t=265或t=185，由t=2时，M运动到O，同时N运动到C，可知t<2时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当2≤t≤8，即M在从点O运动到点C时，有2t−4=|6−(18−3t)|，可解得t=8或t=165，当8【解题过程】
（1）当t=2秒时，M表示的数是−8+2×4=0，N表示的数是18−3×2=12，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离MN为|12−0|=12，
故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，
∴当点M、N都运动到折线段O−B−C上，即t≥2时，M表示的数是42×(t−2)=2t−4，N表示的数是12−3(t−2)=18−3t，
∴O、M两点间的和谐距离|OM|=|2t−4−0|=2t−4，C、N两点间的和谐距离|CN|=|12−(18−3t)|=3t−6，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴2t−4=18−3t，
解得t=225，
故答案为：2t−4，3t−6，225；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴|2t−4−(18−3t)|=4，即|5t−22|=4，
∴5t−22=4或5t−22=−4，
解得t=265或t=185，
由（1）知，t=2时，M运动到O，同时N运动到C，
∴t<2时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当2≤t≤8，即M在从点O运动到点C时，
2t−4=|6−(18−3t)|，即|3t−12|=2t−4，
∴3t−12=2t−4或3t−12=4−2t，
解得t=8或t=165，
当8故答案为：265或185；8或165．
8．（2022秋·全国·七年级期中）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且AB=12，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）写出数轴上点B表示的数为______，P所表示的数为_______（用含t的代数式表示）．
（2）问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度．
（3）如图2，分别以BQ和AP为边，在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形APEF面积的一半，请直接写出结论．t=______秒．
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离可确定点B表示的数，根据P的运动规律可表示出点P表示的数；
（2）分别根据P、Q两点的运动规律，用变量t表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得；
（3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得．
【解题过程】
（1）解：∵点B在点A的左边，AB=12，点A表示4，
∴点B表示的数为4−12=−8，
动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为4−t，
故答案为：−8；4−t；
（2）解：依题意得，点P表示的数为4−t，点Q表示的数为−8+2t，
①若点P在点Q右侧时：4−t−−8+2t=3，
解得：t=3；
②若点P在点Q左侧时：−8+2t−4−t=3，
解得：t=5；
综上所述，点P运动3秒或5秒时与Q相距3个单位长度；
（3）解：①如图1，P、Q均在线段AB上，
∵两正方形有重叠部分，
∴点P在点Q的左侧，
PQ=−8+2t−4−t
=3t−12，
∵PE=AP=4−4−t=t，
∴重叠部分面积S=PQ⋅PE=3t−12⋅t，
∵重叠部分的面积为正方形APEF面积的一半，
∴ (3t−12)⋅t=12t2，
解得t1=0（舍去），t2=4.8；
②如图2，P、Q均在线段AB外，
∴AB=12，AF=AP=t，
∴重叠部分面积S=AB⋅AF=12t，
∴12t=12t2，
解得t1=0（舍去），t2=24，
故答案为：4.8或24．
9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：m−7+n+22=0．

（1）求m、n的值；
（2）①情境：有一个玩具火车AB如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为__________个单位长度；
②应用：如图1所示，当火车AB匀速向右运动时，若火车完全经过点M需要2秒，则火车的速度为__________个单位长度/秒．
（3）在（2）的条件下，当火车AB匀速向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车AB运动后对应的位置为A1B1．是否存在常数k使得kPQ−B1A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值：若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据m−7+n+22=0得m−7=0,n+2=0，计算即可．
（2）①设A表示的数为xA, B表示的数为xB,小火车的长度为l,根据题意7−xB=l，xA−−2=l，xB−xA=l，建立方程计算即可．
②根据①得xA=1,xB=4，火车完全经过点M需要2秒，点A运动路程为3单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可．
（3）设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点B1的距离为32t个单位长度，此时点B1表示的数是32t+4，继而得到B1A=32t+4−1=32t+3，根据题意，得到点Q表示的数是2t+7，点9表示的数是−2−t，继而表示PQ=2t+7−−2−t=9+3t，代入kPQ−B1A化简，令t的系数为零计算即可．
【解题过程】
（1）∵m−7+n+22=0，
∴m−7=0,n+2=0，
∴m=7,n=−2．
（2）①设A表示的数为xA, B表示的数为xB，小火车的长度为l,
根据题意，得7−xB=l，xA−−2=l，xB−xA=l，
∴9−xB−xA=2l，
∴9−l=2l，
解得l=3，
即玩具火车长3个单位长度，
故答案为：3．
②根据①得xA=1,xB=4，火车完全经过点M需要2秒，
故点A运动路程为３单位长度，
∴玩具火车的速度为：3÷2=32（单位长度/秒）
故答案为：32．
（3）存在，k=12，32理由如下：
设玩具火车运动的时间为t秒，则点B运动到点B1的距离为32t个单位长度，此时点B1表示的数是32t+4，
∴B1A=32t+4−1=32t+3，
根据题意，得到点Q表示的数是2t+7，点9表示的数是−2−t，
∴PQ=2t+7−−2−t=9+3t，
∴kPQ−B1A=k9+3t−32t+3=9k−3+3k−32t，
∵常数k使得kPQ−B1A的值与它们的运动时间无关，
∴3k−32=0，
解得k=12，
故9k−3=32，
故当k=12时，常数k使得kPQ−B1A的值与它们的运动时间无关，此时值为32．
10．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为10，我们就称点C是A,B的美好点．例如：点M、N、P表示的数分别为−6、2、0，则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是M,N的美好点，而点P就不是N,M的美好点．
（1）若点M、N、P表示的数分别为3、6、7，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入M、N、P）
（2）若点M、P表示的数分别为−4、−2，且P是M,N的美好点，则点N为 ．
（3）如图，数轴上A，B，C三点分别表示的数为−10、12、2，点Q从B点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P，Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为P,Q的美好点？

【思路点拨】
（1）先求出点M到点P和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；
（2）设点N表示的数为n，得到点P到点M和点N的距离，再根据美好点的定义，即可得到答案；
（3）分三种情况讨论：①当0【解题过程】
（1）解：点M、N、P表示的数分别为3、6、7，
∴点M到点P的距离是4，到点N的距离是3，
∵4+3×2=10，
∴点M是P,N的美好点，
故答案为：M，P，N;
（2）解：设点N表示的数为n，
∵点M、P表示的数分别为−4、−2，
∴点P到点M的距离是2，到点N的距离是n−−2=n+2
∵点P是M,N的美好点，
∴2+2n+2=10，
∴n=−6或2；
（3）解：①当0根据题意得：点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为12−8t，
∵点C表示的数为2，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=12−8t−2=10−8t，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+210−8t=10，
当0解得：t=119；
当54≤t<114时，12−2t+210−8t=12−2t+28t−10=14t−8=10，
解得：t=97；
②当114≤t<112时，此时点Q第一次到达A点这番折返出发向右匀速运动，
根据题意得：点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为−10+8t−228=8t−32，
∵点C表示的数为2，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=8t−32−2=8t−34，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+28t−34=10，
当114解得：t=359；
当174≤t<112时，12−2t+28t−34=12−2t+28t−34=14t−56=10，
解得：t=337；
③当112≤t≤6时，此时点Q第二次从B点出发向左匀速运动，
点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为12−8t−448=56−8t，
∴CP=2−−10+2t=12−2t，CQ=56−8t−2=54−8t，
∵点C恰好为P,Q的美好点，
∴12−2t+254−8t=10，
解得：t=559（舍），
综上可知，当t值为119或97或359或337秒时，点C恰好为P,Q的美好点．
11．（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）已知A、B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且b+4+a−62=0，P是数轴上的一个点．

（1）在数轴上标出A、B的位置，并求出A、B两点之间的距离．
（2）数轴上一点C距A点7个单位长度，其对应的数c满足ac=−ac．
①写出B，C两点之间的距离．
②若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当P点满足PB=2PC时，直接写出点P对应的数．
（3）动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点P和与A能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性可求出a、b的值，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案；
（2）①由绝对值的定义得ac<0，从而推断出c<0，由两点间的距离即可求出点C所表示的数，从而即可得到答案；②分两种情况：当点P在B、C之间时；当点P在C的右侧时，根据BC、PB、PC之间的关系，分别求出点P表示的数即可得到答案；
（3）先表示出移动N次后，点P对应的数为：−4+−1+3+−5+…+−1N2N−1，再分当N为偶数时，当N为奇数时，分别求解即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：∵ b+4+a−62=0，b+4≥0，a−62≥0，
∴b+4=0，a−6=0，
解得：a=6，b=−4，
∴点A在数轴上对应的数为6，点B在数轴上对应的数为−4，画出图如下：
，
∴AB=6−−4=6+4=10；
（2）解：①由（1）可知：b=−4，a=6>0，
∵ac=−ac，
∴ac<0，
∴c<0，
∵数轴上一点C距A点7个单位长度，
∴点C在数轴上表示的数为：6−7=−1，
∴BC=−1−−4=−1+4=3；
②如图，A、B、C在数轴上的位置表示如下：
，
∵点P满足PB=2PC，
∴点P可能在B、C之间，也可能在C的右侧，
当点P在B、C之间时，BC=PB+PC=2PC+PC=3PC=3，
∴PC=1，
∴点P对应的数为：−1−1=−2，
当点P在C的右侧时，BC=PB−PC=2PC−PC=PC=3，
∴点P对应的数为：−1+3=2，
综上所述：点P对应的数为−2或2；
（3）解：点P和与A能重合，
理由如下：
∵动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…，
∴移动N次后，点P对应的数为：−4+−1+3+−5+…+−1N2N−1，
当N为偶数时，点P对应的数为：
−4+−1+3+−5+7+…+−2N−1−1+2N−1
=−4+2×N2=−4+N=6，
∴N=10，
当N为奇数时，点P对应的数为：
−4+−1+3+−5+7+…+−2N−2−1+2N−1−1−2N−1
=−4+2×N−12−2N−1
=−4+N−1−2N+1=6，
∴N=−10<0，不符合题意，舍去，
∴综上所述，点P第10次移动时，点P与点A重合．
12．（2023春·福建泉州·七年级校考期中）已知有理数a，b满足a+20+b−302=0，且在数轴上对应的点分别是A和B两点如图，我们把数轴上A、B两点之间的距离用AB=a−b表示．

（1）求AB的值；
（2）若数轴上有一点C，满足2AC=3BC，求C点表示的数．
（3）若动点P和Q分别从A、B两点出发，分别以2单位/s和4单位/s的速度运动，Q点向左运动，P点运动到何处时PQ=30？
【思路点拨】
（1）根据非负数的性质得a+20=0，b−30=0，求得a、b值，再代入计算即可；
（2）分两种况：①当点C在点A、B之间，即点C在线段AB上时，②当点C在点B右边，即点C在AB延长线上时，根据2AC=3BC分别求解即可；
（3）分两种况：①当点P向左运动时，I）当点P与点Q相遇前时，II）当点P与点Q相遇后时，②当点P向右运动时，I）当点Q追上点P前时，II）当点Q追上点P以后时，根据PQ=30，分别求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵a+20+b−302=0
∴a+20=0，b−30=0，
解得：a=−20，b=30，
∴AB=a−b=−20−30=50；
（2）解：设C点表示的数为c，
分两种况：①当点C在点A、B之间，即点C在线段AB上时，如图，

由图可知：a∵2AC=3BC，
∴2a−c=3c−b，
∴2c−2a=3b−3c，
∴5c=2a+3b，
由（1）知：a=−20，b=30，
∴5c=2×−20+3×30，
∴c=10，
∴C点表示的数为10；
②当点C在点B右边，即点C在AB延长线上时，如图，

由图可知：a∵2AC=3BC，
∴2a−c=3b−c，
∴2c−2a=3c−3b
∴c=3b−2a
由（1）知：a=−20，b=30，
∴c=3×30−2×−20=130
∴C点表示的数为130；
综上，C点表示的数为10或130；
（3）解：设t秒后，PQ=30，
分两种况：①当点P向左运动时，则点P点表示的数为−20+2t，点Q点表示的数为30−4t，
I）当点P与点Q相遇前时，如图，

∵PQ=30
∴30−4t−−20+2t=30
解得：t=103，
∴−20+2t=−20+2×103=−403，
∴点P点表示的数为−403；
II）当点P与点Q相遇后时，如图，

∵PQ=30
∴−20+2t−30−4t=30
解得：t=403，
∴−2+2t=−20+2×403=203
∴点P点表示的数为203
②当点P向右运动时，则点P点表示的数为−20−2t，点Q点表示的数为30−4t，
I）当点Q追上点P前时，如图，

∵PQ=30
∴30−4t−−20−2t=30
解得：t=10
∴−20−2t=−20−2×10=−40，
∴点P点表示的数为−40；
II）当点Q追上点P以后时，如图，

∵PQ=30
∴−20−2t−30−4t=30
解得：t=40
∴−20−2t=−20−2×40=−100，
∴点P点表示的数为−100；
综上，P点运动到表示的数为−403或203或−40或−100时PQ=30．
13．（2022秋·浙江金华·七年级校联考期中）【定义新知】
我们知道：式子x−3的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离AB=a−b．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题：
（1）式子x+5在数轴上的几何意义是____________________________________，若x+5=6，则x的值为_________；
（2）当x+3+x−1|取最小值时，x可以取整数_________；
（3）当x=_________时，x+2+x+6+x−1的值最小，最小值为_________；
【解决问题】
（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km，右侧1km，右侧3km．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？
【思路点拨】
（1）结合题意直接可以得出x+5在数轴上的几何意义，x+5=6表示数轴上与有理数−5的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可；
（2）x+3+x−1表示数轴上x到−3与x到1的距离之和最小，x应该在−3与1之间的线段上，找到满足条件的点即可；
（3）x+2+x+6+x−1表示数轴上x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，x应该在−6与1之间的线段上，当x=−2是，x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，
（4）A、B、C在数轴上分别表示−5，1,3，P表示x，使总运输和包装成本最低即x+5+2x−1+3x−3最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低．
【解题过程】
（1）解：由题意可知，
式子x+5在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−5的点之间的距离；
x+5=6表示数轴上与有理数−5的点之间的距离等于6的点，由数轴可知为：
−11或1，
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−5的点之间的距离；−11或1，
（2）x+3+x−1表示数轴上x到−3与x到1的距离之和最小，
所以x应该在−3与1之间的线段上，
所以x可以取整数−3，−2，−1，0,1
故答案为：−3，−2，−1，0,1
（3）x+2+x+6+x−1表示数轴上x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，
所以x应该在−6与1之间的线段上，
且当x=−2是，x到−6、x到−2与x到1的距离之和最小，
最小值为−6到1的距离为7；
故答案为：−2，7；
（4）A、B、C在数轴上分别表示−5，1,3，P表示x，
使总运输和包装成本最低
即x+5+2x−1+3x−3最小，
x+5+x−1+x−3+x−1+x−3+x−3
x在1时，x+5+x−1+x−3最小；
x在1与3之间的线段上x−1+x−3最小
所以x在1时x+5+2x−1+3x−3最小，最小值为1+5+21−1+31−3=12
所以实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．
14．（2022秋·浙江宁波·七年级慈溪市上林初级中学校考期中）同学们都知道，7−−1表示7与−1之差的绝对值，实际上也可理解为7与−1两数在数轴上所对的两点之间的距离．如x−6的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶
（1）求3−−2=__________；若x+2=3，则x=__________；
（2）x−1+x+3的最小值是__________；
（3）当x=__________时，x+1+x−2+x−4的最小值是__________；
（4）已知x+1+x−2×y−2+y+1×z−3+z+1=36则求出x+y+z的最大值和最小值．
【思路点拨】
（1）数轴上表示3的点与表示−2的点的距离为5，与表示−2的点的距离为3的点表示的数为1或−5，由此可解；
（2）x−1+x+3可以理解为表示x的点到表示1和表示−3的点的距离之和，利用数轴上两点间距离公式即可求出最值；
（3）由（2）可知，当−1≤x≤4时，x+1+x−4有最小值，又当x=2时，x−2有最小值，由此可解；
（4）先根据已知式子得出x+1+x−2=3，y−2+y+1=3，z−3+z+1=4，进而分别求出x，y，z的最大值和最小值，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵数轴上表示3的点与表示−2的点的距离为5，
∴ 3−−2= 3+2=5；
∵ x+2=x−−2=3，
∴表示x的点与表示−2的点的距离为3，
∵ −2+3=1，−2−3=−5，
∴ x=1或−5．
（2）解：∵ x−1+x+3可以理解为表示x的点到表示1和表示−3的点的距离之和，
∴当表示x的点在表示1和表示−3的两点之间的线段上，即−3≤x≤1时，x−1+x+3有最小值，
最小值为：1−−3=4．
（3）解：∵ x+1+x−2+x−4可以理解为表示x的点到表示−1、2、4三点的距离之和，
当−1≤x≤4时，x+1+x−4有最小值，最小值为：4−−1=5，
当x=2时，x−2有最小值，最小值为：2−2=0，
∴当x=2时，x+1+x−2+x−4有最小值，最小值为：5+0=5，
即当x=2时，x+1+x−2+x−4的最小值是5．
（4）解：∵ x+1+x−2≥3，y−2+y+1≥3，z−3+z+1≥4，
∴ x+1+x−2×y−2+y+1×z−3+z+1≥3×3×4=36，
∵ x+1+x−2×y−2+y+1×z−3+z+1=36，
∴ x+1+x−2=3，y−2+y+1=3，z−3+z+1=4，
∴ −1≤x≤2，−1≤y≤2，−1≤z≤3，
∴ x+y+z的最大值为：2+2+3=7，最小值为：−1−1−1=−3，
即x+y+z的最大值为7，最小值为−3．
15．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）【问题提出】a−1+a−2+a−3+⋅⋅⋅+a−2021的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么a−1可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；a−1+a−2就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究a−1+a−2的最小值．
我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．
如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，a−1+a−2有最小值1．
【问题解决】
（1）a−4+a−7的几何意义是 ，请你结合数轴研究：a−4+a−7的最小值是 ；
（2）请你结合图④探究a−1+a−2+a−3的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
（3）a−1+a−2+a−3+a−4+a−5的最小值是 ；
（4）a−1+a−2+a−3+⋅⋅⋅+a−2021的最小值为 ；
（5）如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【思路点拨】
（1）由a−1+a−2的几何意义以及a−1+a−2有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：a−−1+a−2<4，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【解题过程】
（1）由题可知，a−4+a−7的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时a−4+a−7取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小
a−1+a−2+a−3的最小值是1＋0＋1＝2
故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小
a−1+a−2+a−3+a−4+a−5的最小值是2+1+0+1+2=6 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
a−1+a−2+a−3+⋅⋅⋅+a−2021的最小值为：
1010+1009+1008+1007+⋯+1+0+1+2+3+⋯+1010
=1010×1010+1=1021110
故答案为：1021110
（5）∵a使它到－1，2的距离之和小于4
∴ a−−1+a−2<4
①当a≥2时，则有a−(−1)+a−2<4
解得：a<2.5
∴2≤a<2.5；
②当−1≤a≤2时，则有a−(−1)+2−a=3<4
∴−1≤a≤2
③当a<−1时，则有−1−a+2−a<4
解得：a>−1.5
∴−1.5综上，a的取值范围为：−1.5故答案为：−1.516．（2022秋·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如，式子x−2的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为x+1=x−−1，所以x+1的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）若x−2=3，则x= ；x−3+x+2的最小值是 ．
（2）若x−3+x+2=7，则x的值为 ；若x+4+x−3+x+1=13，则x的值为 ．
（3）是否存在x使得3x+4+2x−3+x+1取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时x的取值情况；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）对于x−2=3直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，则x−3+x+2表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧x−3+x+2的取值即可得到答案；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之间（包含A、B）时，x−3+x+2=5，当P在A点左侧时x−3+x+2=2PA+5，当P在B点右侧时x−3+x+2=5=2PB+5，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当x>3时，当x<−4时，当−4≤x<−1时，当−1≤x≤3时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案；
（3）分当x>3时，当x<−4时，当−4≤x<−1时，当−1≤x≤3时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）∵x−2=3，
∴x−2=±3，
∴x=2±3，
∴x=5或x=−1；
设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
∴x−3+x+2表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，
如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，PA+PB=AB=3−−2=5；
当P在A点左侧时PA+PB=2PA+AB=2PA+5>5；
同理当P在B点右侧时PA+PB=2PB+AB=2PB+5>5；
∴x−3+x+2的最小值为5，
故答案为：5或-1；5；
（2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，
由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，x−3+x+2=5，当P在A点左侧时x−3+x+2=2PA+5，当P在B点右侧时x−3+x+2=5=2PB+5
∵x−3+x+2=7，
∴当P在A点左侧时2PA+5=7即PA=1，
∴x=−2−1=−3；
同理当P在B点右侧时2PB+5=7即PB=1，
∴x=3+1=4；
∴当x−3+x+2=7时，x=−3或4；
当x>3时，
∵x+4+x−3+x+1=13，
∴x+4+x−3+x+1=13，
解得x=113符合题意；
当x<−4时，
∵x+4+x−3+x+1=13，
∴−x−4−x+3−x−1=13，
解得x=−5符合题意；
当−4≤x<−1时
∵x+4+x−3+x+1=13，
∴x+4−x+3−x−1=13，
解得x=−7不符合题意；
当−1≤x≤3时
∵x+4+x−3+x+1=13，
∴x+4−x+3+x+1=13，
解得x=5不符合题意；
∴综上所述，当x+4+x−3+x+1=13，x=−5或113；
故答案为：−3或4；−5或113；
（3）当x>3时，
∴3x+4+2x−3+x+1=3x+12+2x−6+x+1=6x+7>25，
当x<−4时，
∴3x+4+2x−3+x+1=−3x−12−2x+6−x−1=−6x−7>17，
当−4≤x<−1时
∴3x+4+2x−3+x+1=3x+12−2x+6−x−1=17，
当−1≤x≤3时
∴3x+4+2x−3+x+1=3x+12−2x+6+x+1=2x+19，
∴此时17≤3x+4+2x−3+x+1≤25
∴综上所述，3x+4+2x−3+x+1的最小值为17，此时−4≤x≤−1．
17．（2022秋·江苏南通·七年级统考期中）对于有理数x，y，a，t，若x−a+y−a=t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则2−1+3−1=3，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）−3和5关于2的“美好关联数”为______；
（2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；
（3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41的“美好关联数”为1，…．
①x0+x1的最小值为______；
②x1+x2+x3+⋅⋅⋅+x40的值为______．
【思路点拨】
（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【解题过程】
（1）解：|−3−2|+|5−2|=8，
故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴|x−3|+|2−3|=4，
∴|x−3|=3，
解得x=6或x=0；
（3）解：①∵x0和x1关于1的“美好关联数”为1，
∴|x0−1|+|x1−1|=1，
∴在数轴上可以看作数x0到1的距离与数x1到1的距离和为1，
∴只有当x0=0，x1=1时，
x0+x1有最小值1，
故答案为：1；
②由题意可知：
|x1−2|+|x2−2|=1，x1+x2的最小值3；
|x3−4|+|x4−4|=1，x3+x4的最小值7；
|x5−6|+|x6−6|=1，x5+x6的最小值11；
|x7−8|+|x8−8|=1，x7+x8的最小值15；
⋯
|x39−40|+|x40−40|=1，x39+x40的最小值79；
∴x1+x2+x3+…,+x40的最小值：
3+7+11+15+…+79=(3+79)×202=820．
故答案为：820．
18．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）对于有理数a，b，n，d，若|a−n|+|b−n|=d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2−1|+|3−1|=3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）−4和6关于2的“相对关系值”为_____；
（2）若a和3关于1的“相对关系值”为7，求a的值；
（3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1，a1和a2关于2的“相对关系值”为1，a2和a3关于3的“相对关系值”为1，…，a100和a101关于101的“相对关系值”为1．
①a0+a1的最大值为_____；
②直接写出所有a1+a2+a3+⋯+a100的值．（用含a0的式子表示）
【思路点拨】
（1）根据“相对关系值”的定义，求解即可；
（2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可；
（3）①根据题意列出方程a0−1+a1−1=1，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分五种情况计算即可．
【解题过程】
（1）解：根据“相对关系值”的定义，可得−4−2+6−2=6+4=10
故答案为：10；
（2）由题意可得：a−1+3−1=7，即a−1=5，
解得a=6或a=−4；
（3）①根据题意得，|a0−1|+|a1−1|=1，
分四种情况：
当a0≥1，a1≥1时，a0−1+a1−1=1，则a0+a1=3；
当a0≥1，a1<1时，a0−1+1−a1=1，则a0−a1=1，
得到a0+a1=1+2a1<3；
当a0<1，a1≥1时，1−a0+a1−1=1，则a1−a0=1，
得到a0+a1=1+2a0<3；
当a0<1，a1<1时，1−a0+1−a1=1，则a0+a1=1<3，
由此可知a0+a1的最大值为3；
②分五种情况，
当a0=0时，0−1+a1−1=1，解得a1=1，
由1−2+a2−2=1可得，a2=2，
……
可得a100=100，
a1+a2+a3+⋯+a100=1+2+3+⋯+100=5050；
当a0=1时，a1=0，a1−2+a2−2=2+a2−2>1，此种情形不存在；
当0a1−2+a2−2=1，
a2−3+a3−3=1
……
a99−100+a100−100=1，
∴1∴1−a0+a1−1=1，即a1−a0=1，
2−a1+a2−2=1，即a2−a1=1，
同理可得：a3−a2=1，……，a100−a99=1，
∴a1=1+a0，a2=1+a1=2+a0，a3=1+a2=3+a0，……，a100=1+a99=100+a0，
a1+a2+a3+⋯+a100=1+a0+2+a0+3+a0+⋯+100+a0=5050+100a0；
当1即a2−2=a1−1<0，此种情形不存在；
当1∴a1=3−a0，a2=4−a0，a3=5−a0，a100=102−a0，
a1+a2+a3+⋯+a100=3−a0+4−a0+5−a0+⋯+102−a0=5250−100a0；
综上，a1+a2+a3+⋯+a100的值为5050或5050+100a0或5250−100a0．
19．（2022秋·甘肃兰州·七年级兰州十一中校考期中）若将正整数N的各位数字反向排列所得自然数N1与N相等，则称N为“回文数”131，4554，369963分别为三位、四位、六位回文数．我校七年级（2）班某数学兴趣小组欲研究四位回文数的构造方式，初步得到以下结论：
对于一个两位正整数e（各位均不为0），将其十位和个位上的数字对调得到新的两位数e∗，称e∗为e的“回文因子”e∗放在e的左侧即可得到一个四位回文数，记为e1，将e∗放在e的右侧可得到一个另一个四位回文数，记为e2．
规定De=e1−e299，并称De为e的“回文差商”，45的回文因子为54，则其回文差商为D45=5445−455499=9．
（1）填空：D39=______；
（2）证明：对于任意一个两位数z（各位均不为0），其回文差商为整数且能被9整除；
（3）若s=11+2c（c为整数，1≤c≤4），t=76+d（d为整数，1≤d≤9），s和t的各位均不为0，且s与t的回文因子之差能被11整除，试求两数回文差商的比值．
【思路点拨】
（1）根据给出的定义，直接运算即可；
（2）设z的十位数字是a，个位数字是b，再由定义分别求出e1=1001b+110a,e2=1001a+110b，求出Dz=9b−a，即可证明；
（3）根据题意分别求出s∗=20c+11，当1≤d≤3时，t∗=67+10d，当4≤d≤9时，t∗=10d−32，再由s与t的回文因子之差能被11整除，得到9c+d−1能被11整除，根据c与d的范围确c、d的具体值，从而求出s、t，再求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵e=39，
∴e∗=93，
∴e1=9339，e2=3993，
∴D(39)=|9339−3993|99=54，
故答案为：54；
（2）证明：设z的十位数字是a，个位数字是b，
则z=10a+b,z∗=10b+a，
∴e1=1000b+100a+10a+b=1001b+110a，
e2=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，
∴D(z)=1001b+110a−1001a−110b99=9b−a，
∵a、b是整数，
∴b−a是整数，
∴z的回文差商为整数且能被9整除；
（3）解：∵s=11+2c，
∴s∗=101+2c+1=20c+11，
∵t=76+d，
∴1≤d≤3时，t∗=106+d+7=67+10d
当4≤d≤9时，t∗=106+d−10+8=10d−32．
∴1≤d≤3时，s∗−t∗=20c+11−67+10d=20c−10d−56=11c−d−5+9c+d−1，
∵s与t的回文因子之差能被11整除，
∴9c+d−1能被11整除，
∴c=1时，d=3；
∴s=13,t=79；
∴D(s)=|1331−3113|99=18,D(t)=|9779−7997|99=18，D(s)D(t)=1；
当4≤d≤9时，
s∗−t∗=20+11−10d−32=20c−10d+43=11c−d+4+9c+d−1
∵s与t的回文因子之差能被11整除，
∴9c+d−1能被11整除，
∴c=2时，d=5；c=3时，d=7；c=4时，d=9；
①c=2，d=5时，s=15,t=81：
∴D(s)=|5115−1551|99=36，D(t)=|1881−8118|99=63，D(s)D(t)=47；
②c=3，d=7时，s=17,t=83：
D(s)=|7117−1771|99=54,D(t)=|3883−8338|99=45，D(s)D(t)=65；
③c=4，d=9时，s=19,t=85：
∴D(s)=|9119−1991|99=72,D(t)=|8558−5885|99=27, D(s)D(t)=83；
综上所述：两数回文差商的比值是1或47或65或83．
20．（2022秋·天津南开·七年级统考期中）有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整数求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，再输入整数x2，显示x1−x2的结果．比如依次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运算结果．
（1）若小明依次输入−1，0，1，则显示_______________；
（2）若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为________；所有显示结果的最大值为____________；
（3）若小明依次输入四个连续整数n，n+1，n+2，n+3（其中n为整数），则显示结果为____________；
（4）若小明将四个连续整数n，n+1，n+2，n+3（其中n为整数），打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为_______________；
（5）若小明将1到2022这2022个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的最大值为_____________．
【思路点拨】
（1）根据题意运算顺序进行计算即可；
（2）根据2−3=1，3−4=1，4−5=1，1−3=2，2−4=2，3−5=2，1−4=3，2−5=3，可得按如下顺序2−4−5−3=0，2−4−3−5=4，可得最大值与最小值；
（3）根据题意运算顺序进行计算即可；
（4）根据n−(n+1)−(n+2)−(n+3)可得最小值；
（5）先将1到n(n≥3)这n个正整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的最后结果为m，根据分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按(∗)式结构计算分别得出最大值与最小值，从而得出n=2022时的最大值．
【解题过程】
（1）解：根据题意得：−1−0=1，1−1=0，
故答案为：0；
（2）根据题意可以得出：2−3=1，3−4=1，4−5=1，
1−3=2，2−4=2，3−5=2，
1−4=3，2−5=3，
对于2,3,4,5，按如下顺序2−4−5−3=0，2−4−3−5=4，
∴所有显示结果最小值为0，最大值为4，
故答案为：0，4；
（3）根据题意可得：n−(n+1)−(n+2)−(n+3)=2，
故答案为：2；
（4）打乱顺序输入，显示结果最小的是n−(n+1)−(n+3)−(n+2)=0，
故答案为：0；
（5）对于任意两个正整数x1,x2，x1−x2一定不超过x1,x2中较大的一个，
对于任意三个正整数x1,x2,x3，x1−x2−x3一定不超过x1,x2,x3中最大的一个，
以此类推，设小明出入的n个数的顺序为x1,x2,，则m=−x2−x3−...−xn，
m一定不超过x1,x2,中最大的数，
∴0≤m≤n，
易知，m与1+2+...+n的奇偶性相同，
1,2,3可以通过这种方式得到0：3−2−1=0，
任意四个连续正整数可以通过这种方式得到0：a−(a+1)−(a+3)−(a+2)=0(∗)，
下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k为非负整数，连续四个正整数结合指的是按(∗)式结构计算．
当n=4k时，1+2+…+n为偶数，则m为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当n=4k+1时，1+2+…+n为奇数，则m为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n，则最大值为n；
当n=4k+2时，1+2+…+n为奇数，则m为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n和n−1，
则最小值为1，
从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n，最大值为n−1；
当n=4k+3时，1+2+…+n为偶数，则m为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0，
则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n，
则最大值为n−1．
∴当n=2022时，2022÷4=，
满足n=4k+2，
∴m的最大值为2022−1=2021，最小值为1，
故答案为：2021．