2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知直线的方程为x﹣y+1＝0，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）“m＝4”是“2，m，8成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a7＝18，则数列{an}的前8项和S8等于（ ）
A．42B．50C．72D．90
4．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，O为D1B的中点，则用向量，，可表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知直线l的方向向量是（3，﹣2，1），平面α的法向量是（1，2，1），则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥αB．l∥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
6．（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角θ满足（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知点P是抛物线x2＝4y上的一个动点，则点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
8．（5分）直线y＝kx交椭圆于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列1，0，1，0，⋯与数列0，1，0，1，⋯是同一数列
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．若数列{an}的前n项和Sn＝n2+2n+1，则a3＝7
（多选）10．（5分）已知双曲线，则下列关于双曲线C的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6
B．焦距为5
C．离心率为
D．焦点到渐近线的距离为4
（多选）11．（5分）在平面上，动点M与两定点A，B满足|MA|＝λ|MB|（λ＞0且λ≠1），则M的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆．已知动点M（x，y）与两定点A（﹣3，0），B（0，0）满足|MA|＝2|MB|，记M的轨迹为圆C．则下列结论正确的是（ ）
A．.圆C方程为：（x﹣1）2+y2＝4
B．.过点P（0，3）作圆C的切线，则切线长是
C．.过点Q（0，）作圆C的切线，则切线方程为
D．.直线（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值是2
（多选）12．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．直线EF与AC所成的角为60°
B．直线A1G与平面ABCD所成的角为60°
C．直线A1G与平面AEF平行
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知空间向量，，则 ．
14．（5分）已知直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0互相平行，则它们之间的距离是 ．
15．（5分）在数列{an}中，，a1＝1，，则a1a2+a2a3+⋯+a2022a2023＝ ．
16．（5分）已知实数x，y满足，则代数式|3x﹣4y﹣24|的最大值为 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求出满足下列条件曲线的方程：
（1）求焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆的标准方程；
（2）经过点A（1，2）的等轴双曲线的标准方程．
18．（12分）（1）在等差数列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）在等比数列{bn}中，b1+b3＝5，b2+b4＝10，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（1，2），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若OA⊥OB，求证：直线AB过x轴上一定点．
20．（12分）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1＝2an﹣1．
（1）求证：{an﹣1}是等比数列；
（2）若，记数列{bn}的前n项和为Mn，求证：Mn＜4．
21．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形BDEF为平行四边形，FA＝FC，AB＝2，∠DAB＝60°．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）若FB＝FD，平面AEF与平面ABF的夹角为45°，求点B到平面AEF的距离．
22．（12分）已知椭圆C：的两焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C过P（，）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为，求|AB|的取值范围．
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知直线的方程为x﹣y+1＝0，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：直线x﹣y+1＝0的斜率k＝1，
设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），
∴tanθ＝1，得θ．
故选：B．
2．（5分）“m＝4”是“2，m，8成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若2，m，8成等比数列，则m2＝16，解得m＝±4，
故“m＝4”是“2，m，8成等比数列”的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a7＝18，则数列{an}的前8项和S8等于（ ）
A．42B．50C．72D．90
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，a2+a7＝18，
则S872．
故选：C．
4．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，O为D1B的中点，则用向量，，可表示向量为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，O为D1B的中点，
故．
故选：B．
5．（5分）已知直线l的方向向量是（3，﹣2，1），平面α的法向量是（1，2，1），则l与α的位置关系是（ ）
A．l⊥αB．l∥α
C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α
【解答】解：直线l的方向向量是（3，﹣2，1），平面α的法向量是（1，2，1），
∵3﹣4+1＝0，
∴则l与α的位置关系是l∥α或l⊂α．
故选：D．
6．（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是，，这两条异面直线所成的角θ满足（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：两条异面直线的方向向量分别是，，
∴cs，
∴这两条异面直线所成的角θ满足csθ，
sinθ．
故选：C．
7．（5分）已知点P是抛物线x2＝4y上的一个动点，则点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【解答】解：已知抛物线方程为x2＝4y，
则抛物线的焦点F的坐标为（0，1），
又42＞4×3，
即点B（4，3）在抛物线外部，
由抛物线的定义可得：点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离等于|PB|+|PF|，
又|PB|+|PF|≥|BF|，当且仅当F、P、B三点共线时取等号，
即点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为．
故选：C．
8．（5分）直线y＝kx交椭圆于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：设P（x0，y0），
则由P在椭圆上可得•b2，①
∵直线AP与BP的斜率之积为，
∴，②
把①代入②化简可得，∴，∴离心率e．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列1，0，1，0，⋯与数列0，1，0，1，⋯是同一数列
B．数列的图象是一群孤立的点
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．若数列{an}的前n项和Sn＝n2+2n+1，则a3＝7
【解答】解：根据数列项的有序性可知，A显然错误；
由于n为正整数，即数列的图象是一群孤立的点，B正确；
数列，，，，…分子为从1开始的连续正整数，分母为3开始，相差2的正整数，故其一个通项公式为an，C正确；
数若列{an}的前n项和Sn＝n2+2n+1，则a3＝S3﹣S2＝7，D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）已知双曲线，则下列关于双曲线C的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6
B．焦距为5
C．离心率为
D．焦点到渐近线的距离为4
【解答】解：已知双曲线，
则a＝3，b＝4，，
对于选项A，双曲线的实轴长为6，
即选项A正确；
对于选项B，双曲线的焦距为10，
即选项B错误；
对于选项C，双曲线的离心率为，
即选项C错误；
对于选项D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，
即选项D正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）在平面上，动点M与两定点A，B满足|MA|＝λ|MB|（λ＞0且λ≠1），则M的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆．已知动点M（x，y）与两定点A（﹣3，0），B（0，0）满足|MA|＝2|MB|，记M的轨迹为圆C．则下列结论正确的是（ ）
A．.圆C方程为：（x﹣1）2+y2＝4
B．.过点P（0，3）作圆C的切线，则切线长是
C．.过点Q（0，）作圆C的切线，则切线方程为
D．.直线（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值是2
【解答】解：设M（x，y），由题意可得2，
整理可得：（x﹣1）2+y2＝4，即M的轨迹为圆心M（1，0），半径r＝2的圆，
所以A正确；
B中，因为|PM|，所以过P的切线长为，所以B正确；
C中，因为（0﹣1）2+（）2＝4，即Q在圆上，kQM，
所以过Q的切线的斜率为，
所以切线方程为：yx，即xy+3＝0，所以C不正确；
D中，直线AB：（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）整理可得：m（x﹣y﹣2）+x﹣2＝0，
则直线AB过x﹣y﹣2＝0与x﹣2＝0的交点E（2，0），
即直线恒过E（2，0），而此点在圆内，所以直线AB与圆有两个交点，
当ME与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，
|ME|＝1，此时|AB|＝222，所以D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A．直线EF与AC所成的角为60°
B．直线A1G与平面ABCD所成的角为60°
C．直线A1G与平面AEF平行
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
【解答】解：对于A：连接A1C1，A1B，C1B，
由E，F分别为BC，CC1的中点，可得BC1∥EF，
在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，可得A1C1∥AC，
所以∠A1C1B为异面直线直线EF与AC所成的角，
由△A1C1B为等边三角形，所以可得直线EF与AC所成的角为60°，故A正确；
对于B：取AA1的中点为M，连接MB，
因为G是BB1的中点，可得四边形MBGA1为平行四边形，
所以A1G∥MB，因为AA1⊥平面ABCD，
所以直线A1G与平面ABCD所成的角为∠MBA，
其中tan∠MBA，所以∠MBA≠60°，所以B不正确；
对于C：如图所示，取B1C1的中点Q，连接AQ，GQ，
由GQ∥EF，且GQ⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GQ∥平面AEF，
同理可证：A1Q∥平面AEF，因为 GQ∩A1Q＝Q，且GQ，A1Q⊂平面A1GQ，
平面A1GQ∥平面AEF，又因为A1G⊂平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，所以C正确；
对于D：因为E，F为BC，C1C的中点，所以EF∥BC1，
因为AD1∥BC1，所以EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，
所以截面即为等腰梯形AEFD1，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
可得，，在直角△ABE中，可得，
则高为，
所以梯形的面积为，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知空间向量，，则 （5，0，﹣6） ．
【解答】解：由于空间向量，，则．
故答案为：（5，0，﹣6）．
14．（5分）已知直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0互相平行，则它们之间的距离是 ．
【解答】解：直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0分别化为：，．
∵直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0互相平行，
∴，
解得m＝8，
直线6x+my+1＝0即3x+4y0．
∴它们之间的距离d．
故答案为：．
15．（5分）在数列{an}中，，a1＝1，，则a1a2+a2a3+⋯+a2022a2023＝ ．
【解答】解：在数列{an}中，，a1＝1，，
可得{}是首项为1，公差为1的等差数列，
则1+n﹣1＝n，即an，
所以anan+1，
所以a1a2+a2a3+⋯+a2022a2023＝．
故答案为：．
16．（5分）已知实数x，y满足，则代数式|3x﹣4y﹣24|的最大值为 1224 ．
【解答】解：因为实数x，y满足，
即点P（x，y）到点F1（，0）与到点F2（，0）的距离之和为8，
又因为28，
所以点P（x，y）的轨迹是以F1（，0），F2（，0）为焦点的椭圆，
所以2a＝8，a＝4，c，b2＝a2﹣c2＝9，
所以椭圆的方程为1，
而|3x﹣4y﹣24|表示椭圆1上的点到直线3x﹣4y﹣24＝0的距离的5倍，
设M（4csθ，3sinθ）（θ∈R）为椭圆1上的任意一点，且点M到直线3x﹣4y﹣24＝0的距离为d，
则d，
所以当cs（θ）＝﹣1时，d取最大值为，
所以此时|3x﹣4y﹣24|最大值为1224．
故答案为：1224．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）求出满足下列条件曲线的方程：
（1）求焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆的标准方程；
（2）经过点A（1，2）的等轴双曲线的标准方程．
【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，且长轴长为4，短轴长为2，
∴2a＝4，2b＝2，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆的方程为：y2＝1；
（2）设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0），
将点A（1，2），代入可得12﹣22＝λ，
∴λ＝﹣3，
∴方程为x2﹣y2＝﹣3，即1．
18．（12分）（1）在等差数列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）在等比数列{bn}中，b1+b3＝5，b2+b4＝10，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则，
整理，得，
解得，
∴an＝0•（n﹣1）n，n∈N*，
Sn＝n•0•n2n．
（2）由题意，设等比数列{bn}的公比为q，
则，
即，
解得，
∴bn＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，
Tn2n﹣1．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（1，2），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若OA⊥OB，求证：直线AB过x轴上一定点．
【解答】解：（1）由抛物线C：y2＝2px 经过P（1，2）知，2p＝4，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为：y2＝4x，
所以抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1；
（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（，n），B（，﹣n），
因为OA⊥OB，所以•n2＝0，解得n2＝16，
此时AB的方程为x＝4，过x轴上的（4，0）点；
②当直线AB的斜率存在时且不为0，设其方程：x＝ty+m，m≠0，
设 A（x1，y1），B（x1，y1），
联立，整理可得：y2﹣4ty﹣4m＝0，Δ＝16t2+16m＞0，即t2+m＞0，
y1y2＝﹣4m，x1x2m2，
因为OA⊥OB，即•x1x2+y1y1＝m2﹣4m＝0，可得m＝4，
即直线AB的方程为：x＝ty+4，
可证得直线AB过定点（4，0）．
20．（12分）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1＝2an﹣1．
（1）求证：{an﹣1}是等比数列；
（2）若，记数列{bn}的前n项和为Mn，求证：Mn＜4．
【解答】证明：（1）由an+1＝2an﹣1，变形为an+1﹣1＝2（an﹣1），a1﹣1＝2，
∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为2，公比为2．
（2）由（1）可得：an﹣1＝2n，
∴（3n﹣2），
∴数列{bn}的前n项和Mn47（3n﹣2），
Mn4（3n﹣5）（3n﹣2），
相减可得Mn3（）﹣（3n﹣2）3（3n﹣2），
化为Mn＝44，
∴Mn＜4．
21．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形BDEF为平行四边形，FA＝FC，AB＝2，∠DAB＝60°．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）若FB＝FD，平面AEF与平面ABF的夹角为45°，求点B到平面AEF的距离．
【解答】解：（1）证明：设AC与BD相交于O点，连接OF，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，O为AC的中点，
∵FA＝FC，∴AC⊥OF，又∵OF∩BD＝O，OF⊂平面BDEF，BD⊂平面BDEF，
∴AC⊥平面BDEF；
（2）连接DF，∵FB＝FD，O为BD中点，∴OF⊥BD，
又∵AC⊥OF，AC∩BD＝0，∴OF⊥平面ABCD，
以点O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
∴、B（0，1，0）、D（0，﹣1，0）．E（0，﹣2，a），
设OF＝a（a＞0），则F（0，0，a），
设平面AEF的一个法向量为（x，y，z），（，﹣2，a），（，0，a），
则，令x＝a，则y＝0，z，
∴平面AEF的一个法向量为（a，0，），
设平面ABF的法向量为（m，b，c），，
则，令m＝a，则ba，c，
∴平面ABF的法向量为（a，a，），
∴|cs，|cs45°，
即2a4+3a2﹣9＝0，∵a＞0，解得，
∴（，0，）为平面AEF的一个法向量，
又，
故点B到平面AEF的距离为1．
22．（12分）已知椭圆C：的两焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C过P（，）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为，求|AB|的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为：1；
（2）因为左焦点F1（﹣1，0），
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x＝my﹣1（m为不等于0的实数），A（x1，y1），B（x2，y2），
由，可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
则Δ＝（﹣6m）2+36（3m2+4）＝144（m2+1）＞0，
y1+y2，y1y2，
所以x1+x2＝m（y1+y2）﹣2，
所以AB的中点为（，），
所以线段AB的中垂线方程为：ym（x），
令x＝0，则y，
即Q点纵坐标为，
又因为是与y轴交于负半轴，
所以0，m＞0，
又因为点Q的纵坐标的最大值为，
所以，解得m≤2，
又因为|AB|
•|y1﹣y2|
•
•
•

＝4（1），
因为m≤2，
令g（m）＝4（1），m≤2，
易知g（m）在[，2]上单调递增，
所以g（m）min＝g（），g（m）max＝g（2），
所以g（m）∈[，]，
即|AB|的取值范围为：[，]．