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2023-2024学年四川省眉山市峨眉一中南校区高二（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省眉山市峨眉一中南校区高二（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x=− 3的倾斜角为( )
A. 90°B. 120°C. 60°D. 不存在
2.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1C1与B1D1的交点，若AA1=a，AB=b，AD=c，且AM=xa+yb+zc，则x+y+z=( )
A. 2
B. −12
C. 0
D. −1
3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为( )
A. 13B. 38C. 12D. 58
4.已知直线l1：x+(a−3)y+2=0，l2：(a−3)x+ay−1=0，则“a=−1”是“l1⊥l2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e，则e的值为( )
A. 12B. 2C. 22D. 2
6.在平面直角坐标系中，设点A(1,−1)，B(2,2)，点M在单位圆上，则使得△ABM为直角三角形的点M的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.若直线l：kx−y+3k=0与曲线C： 1−x2=y−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. (12,34]B. [12,34)C. (0,34)D. (0,34]
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F//平面AD1E.记A1F与平面BCC1B1所成角为α，A1F与AD1所成角为β，则( )
A. α<β<π3
B. α<π3<β
C. α>β>π3
D. π3<α<β
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.掷一枚均匀的硬币两次，记事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现反面”，则有( )
A. A与B相互独立B. P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. A与B互斥D. P(AB)=14
10.下列说法正确的是( )
A. 直线2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0必过定点(1,3)
B. 过点P(2,1)作圆x2+y2=5的切线，切线方程为2x+y−5=0
C. 经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=tanθ(x−1)
D. 直线2x−y−1=0的方向向量m=(2,−1)
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别是C1D1、B1B的中点，平面A1MN与棱CC1的交点为E，点F为线段D1D上的动点，则下列说法正确的是( )
A. CE=EC1
B. 三棱锥B1−A1MN体积为23
C. 若D1F=12，则BF//平面A1MN
D. 若D1F=1，则直线BF与A1N所成角的正弦值为23
12.已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知A(−2,0)，B(4,0)，若λ=12，则下列关于动点P的结论正确的是( )
A. 点P的轨迹所包围的图形的面积等于16π
B. 当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6
C. 当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D. 若点Q(−3,1)，则2|PA|+|PQ|的最小值为5 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.点(2,1)关于x−y=0的对称点为______ ．
14.在三棱锥O−ABC中，∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC，BC= 2OA，则异面直线OB与AC所成的角是______
15.数据1，2，7，3，4，5，3，6的p分位数是5，则p的取值范围是______ ．
16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为______ .采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l经过点P(−1,2)．
(1)若直线l与直线x−2y−3=0平行，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中一个焦点坐标是( 3,0)，长轴长是短轴长的2倍．
(1)求E的方程；
(2)设直线l：y=kx+2与E交于A，B两点，若OA⋅OB=2，求k的值．
19.(本小题12分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
(1)求证：B1E//平面A1C1F；
(2)求直线A1C与平面A1C1F所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X=2的概率．
21.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2．
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若BC=2，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A−BE−C的大小为2π3，若存在请求出E的位置，不存在请说明理由．
22.(本小题12分)
如图，已知圆M：x2−4x+y2+3=0，点P(−1,t)为直线l：x=−1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵直线x=− 3的斜率不存在，直线与x轴垂直，
∴其倾斜角为90°．
故选：A．
直线的斜率不存在，即得倾斜角
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1C1与B1D1的交点，若AA1=a，AB=b，AD=c，
所以AM=a+12b+12c；
故x+y+z=1+12+12=2．
故选：A．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型，考查学生的运算能力，属于容易题．
根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解．
【解答】
解：甲、乙、丙三人投中与否所有情况为：(中、中、中)，(中、中、不中)，(不中、不中、不中)，
(中、不中、中)，(中、不中、不中)，(不中、中、中)，(不中、中、不中)，(不中、不中、中)，共8种，
其中至多有一人投中的情况有4种，
故所求概率为：48=12．
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：若l1⊥l2，
则①当a=0时，直线l1=x−3y+2=0，l2=−3x−1=0，此时l1⊥l2不成立；
②当a=3时，直线l1：x+2=0，l2=3y−1=0，此时l1⊥l2；
③当a≠0且a≠3时，直线l1的斜率为k1=13−a，直线l2的斜率为k2=3−aa，则3−aa⋅13−a=−1，解得a=−1．
综上所述：若l1⊥l2，则a=−1或3.故“a=−1”是l1⊥l2的充分不必要条件．
故选：A．
由已知结合直线垂直的斜率关系求出相应的a，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了直线的位置与斜率关系的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得椭圆长半轴a=1，短半轴b= 22，所以半焦距c= 1−12= 22，
所以离心率e=ca= 221= 22．
故选：C．
由椭圆的离心率公式直接求解．
本题考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据点M在单位圆上，其坐标满足x2+y2=1，设M(csα,sinα)，
则AM=(csα−1,sinα+1)，BM=(csα−2,sinα−2)，AB=(1,3)，
(1)若△ABM为直角三角形，且∠AMB=90°，则AM⋅BM=0，
即(csα−1)(csα−2)+(sinα+1)(sinα−2)=0，
整理得sinα+3csα=1，结合sin2α+cs2α=1，解得sinα=1csα=0或sinα=−45csα=35，
此时点M坐标为(0,1)或(35,−45)；
(2)若△ABM为直角三角形，且∠ABM=90°，则AB⋅BM=0，
即csα−2+3(sinα−2)=0，整理得csα+3sinα=8，结合sin2α+cs2α=1，可知不存在满足条件的α，
因此，不存在点M，使∠ABM=90°；
(3)若△ABM为直角三角形，且∠BAM=90°，则AB⋅AM，
即csα−1+3(sinα+1)=0，整理得csα+3sinα=−2，
结合sin2α+cs2α=1，解得sinα=−6− 610csα=−2+3 610或sinα=−6+ 610csα=−2−3 610，
此时点M坐标为(−2+3 610,−6− 610)或(−2−3 610,−6+ 610)．
综上所述，共有4个点M使得△ABM为直角三角形．
故选：D．
根据题意，可设M(csα,sinα)，利用直角三角形的性质与数量积的公式，分三种情况建立关于α的方程，进而解出符合条件的点M的坐标，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的数量积公式、两个向量垂直的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：直线kx−y+3k=0化成y=kx+3k，可得它必定经过点A(−3,0)，
而曲线C： 1−x2=y−1，可变形整理为x2+(y−1)2=1(y≥1)，B(−1,1)，
∴该曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的圆位于直线y=1上部的部分，
设直线与圆相切时的斜率为k2，直线过点(−1,1)与圆有两个交点时的斜率为k1．
可得当直线kx−y+3k=0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1≤k由圆心(0,1)到直线kx−y−3k=0的距离d=|1−3k| 1+k2=1，解得k2=34，
而k1=1−0−1+3=12，由此可得12≤k<34．
故选：B．
将直线化成斜截式，可得直线经过点(−3,0)，将曲线方程化简整理，得该曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的圆位于直线y=1右上部的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围．
本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设平面AD1E与直线CC1交于点G，连接D1G、EG，则G为CC1的中点，
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，
∵A1M//D1G，A1M⊄平面AD1E，D1G⊂平面AD1E，
∴A1M//平面AD1E.同理可得A1N//平面AD1E，
∵A1M∩A1N=A1，A1M，A1N⊂平面A1MN，
∴平面A1MN//平面AD1E，
由此结合A1F//平面AD1E，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．
由直线A1F与平面BCC1B1所成角为α，运动点F并加以观察，
可得当F与M(或N)重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角α达到最小值，满足tanα=A1B1B1M=2；
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanα=A1B1 22B1M=2 2，
所以A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围是[2,2 2].
由直线A1F与AD1所成的角为β，因为MN//BC1//AD1，所以A1F与MN所成的角即为A1F与AD1所成的角，
运动点F并加以观察，可得当F与M(或N)重合时，A1F与MN所成的角等于∠A1MN，此时所成角β达到最小值，满足csβ= 24AB 52AB= 1010<12；
当F与MN中点重合时，A1F与MN所成的角达到最大值，满足β=π2，
所以A1F与AD1所成角的范围是(π3,π2]，显然π3<α<β．
故选：D．
设平面AD1E与直线CC1交于点G，连接D1G、EG，则G为CC1的中点，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，可证出平面A1MN//平面AD1E，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围；再求出A1F与AD1所成角的范围，比较两个角的大小即可．
本题考查了正方体中侧面BCC1B1内动点F满足A1F//平面D1AE，求A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围，也考查了正方体的性质、直线与平面所成角、空间面面平行与线面平行的位置关系判定等知识，是难题．
9.【答案】AD
【解析】解：由题意可知P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=12×2=14，
∴P(AB)=P(A)P(B)，即A与B相互独立，故A正确，D正确，
对于BC，由于事件A与事件B可以同时发生，
∴事件A与事件B不互斥，故B错误，C错误．
故选：AD．
根据独立事件和互斥事件的定义判断．
本题主要考查了独立事件和互斥事件的定义，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：A：由2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0，即m(2x+y−5)+2x−3y+7=0，
令2x+y−5=02x−3y+7=0，可得x=1y=3，故必过定点(1,3)，对；
B：由22+12=5，即P(2,1)在圆x2+y2=5上，圆心O(0,0)，
所以kOP=12，故切线斜率k=−2，则切线方程为y−1=−2(x−2)，
所以切线方程为2x+y−5=0，对；
C：当倾斜角θ为直角时，直线方程不能用y−1=tanθ(x−1)表示，错；
D：直线2x−y−1=0的一个方向向量为(2,1)，显然与m=(2,−1)不共线，故m=(2,−1)不是方向向量，错．
故选：AB．
直线方程化为m(2x+y−5)+2x−3y+7=0，即可求定点判断A；确定P(2,1)在圆x2+y2=5上，并求切线斜率，应用点斜式写出切线方程判断B；注意倾斜角θ为直角的情况判断C；由直线方程写出一个方向向量，判断是否与m=(2,−1)共线即可判断D．
本题主要考查直线的性质，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由平面与平面平行的性质，可得ME//A1N，∴C1E=14C1C，故A错误；
VB1−A1MN=VN−A1B1M=13S△A1B1M⋅B1N=13×12×2×2×1=23，故B正确；
在边CC1上取一点H，使CH=14CC1，则FH//A1N，BH//NE，可得平面A1MN//平面FBH，
∵BF⊂平面FBH，∴BF//平面A1MN，故C正确；
取AA1的中点P，∵BP//A1N，∴∠PBF直线BF与A1N所成角，
由已知得FP=2，BF= DF2+DB2= 1+(2 2)2=3，∴sin∠PBF=FPBF=23，故D正确．
故选：BCD．
由面面平行的性质判断A；利用等体积法求体积判定B；由直线与平面平行的判定判断C；求异面直线所成角判断D．
本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与平面平行的判定、异面直线所成角及利用等体积法求多面体的体积，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：设P(x,y)，因为|PA||PB|= (x+2)2+y2 (x−4)2+y2=12，整理得x2+8x+y2=0，即(x+4)2+y2=16．
A：点P的轨迹是以(−4,0)为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16π，正确；
B：圆的半径为4且AB=6，当△PAB的底边AB上的高最大时，面积最大，
所以△PAB面积的最大值是12×6×4=12，错误；
C：当A，B，P不共线时，由|PA||PB|=12，|OA|=2，|OB|=4，即|OA||OB|=12，故|PA||PB|=|OA||OB|．
由角平分线定理的逆定理知：射线PO是∠APB的平分线，正确；
D：因为|PA||PB|=12，即2|PA|=|PB|，则2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，又P在圆(x+4)2+y2=16上，如图所示，
所以当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取最小值，
此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|= [4−(−3)]2+(0−1)2=5 2，正确．
故选：ACD．
应用两点式求P的轨迹方程为(x+4)2+y2=16，即可判断A，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B，根据|PA||PB|=|OA||OB|，结合角平分线的性质判断C，由已知有2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，利用三点共线求最小值判断D．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题．
13.【答案】(1,2)
【解析】解：设对称点坐标为(a,b)，
根据题意可得b−1a−2×1=−1a+22−b+12=0，解得a=1，b=2；
所以对称点坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
设出对称点坐标，由垂直关系和中点坐标解方程组即可求得结果．
本题考查直线的应用，属于基础题．
14.【答案】60°
【解析】解：因为OA=OB=OC，BC= 2OA，
所以BC2=OB2+OC2，即∠OBC=90°，
因为∠AOC=60°，OA=OC，
所以AC=OA，
所以OB⋅AC=OB⋅(OC−OA)=OB⋅OC−OB⋅OA=0−OA⋅OAcs60°=−12OA2，
所以cs=OB⋅AC|OB|⋅|AC|=−12OA2OA⋅OA=−12，
又异面直线夹角的取值范围为(0,90°]，
所以异面直线OB与AC所成的角是60°．
故答案为：60°．
根据空间向量的线性运算和数量积的运算法则，求出cs的值，即可得解．
本题考查异面直线夹角的求法，熟练掌握空间向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】(58,34)
【解析】解：数据从小到大排序为：1，2，3，3，4，5，6，7，
5在第6位，所以5<8p<6,p∈(58,34)．
故答案为：(58,34)．
根据百分位数的知识求得p的取值范围．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
16.【答案】(1−α)(1−β)2 3β(1−β)2+(1−β)3
【解析】解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1，发送0接收0，发送1接收1的3个事件的积．
3次发送和接收相互独立，所以所求概率为(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)2．
采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1这四个事件的和．
所以所求概率为C32β(1−β)2+(1−β)3=3β(1−β)2+(1−β)3．
故答案为：(1−α)(1−β)2；3β(1−β)2+(1−β)3．
利用相互独立事件的概率公式计算即可求解．
本题考查相互独立事件的概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意可设直线l的方程为x−2y+C=0，
将点P(−1,2)代入计算可得C=5，
可得直线l的方程为x−2y+5=0．
(2)若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为y=−2x，即2x+y=0；
若在两坐标轴上的截距不为0，设为a，
则直线l的方程为xa+ya=1，代入点P(−1,2)可得a=1，
可得直线l的方程为x+y−1=0；
综上可知，直线l的方程为2x+y=0或x+y−1=0．
【解析】(1)利用两直线平行设出直线l的方程，代入点P坐标即可求得直线方程；
(2)分情况对截距是否为0进行分类讨论，利用直线方程的截距式即可求得结果．
本题考查直线方程、直线与直线平行、截距等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为椭圆E的其中一个焦点坐标是( 3,0)，长轴长是短轴长的2倍，
所以c= 3，a=2b，
又a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，
则椭圆E的标准方程为x24+y2=1；
(2)不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x24+y2=1y=kx+2，消去y并整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0，
此时Δ=(16k)2−48(1+4k2)>0，
解得k2>34，
由韦达定理得x1+x2=−16k1+4k2，x1x2=121+4k2，
此时OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)⋅121+4k2+2k⋅−16k1+4k2+4=12−20k21+4k2+4，
因为OA⋅OB=2，
所以12−20k21+4k2+4=2，
解得k2=76>34，
故k=± 426．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
(2)设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及向量的坐标运算再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19.【答案】证明：(1)建立如图空间直角坐标系，设AA1=2AB=2，
则B1(1,0,2)，E(1,12,0)，A1(0,0,2)，C1(1,1,2)，F(12,1,0)，
A1C1=(1,1,0)，C1F=(−12,0,−2)，
设平面A1C1F的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C1=0n⋅C1F=0，x+y=0−12x−2z=0，
令x=4，则y=−4，z=−1，
所以平面A1C1F的法向量为n=(4,−4,−1)，
又B1E=(0,12,−2)，则B1E⋅n=0，
所以B1E⊥n，
又B1E⊄平面A1C1F，
所以B1E//平面A1C1F；
解：(2)因为A1(0,0,2)，C(1,1,0)，
所以A1C=(1,1,−2)，
又平面A1C1F的法向量为n=(4,−4,−1)，
所以直线A1C与平面A1C1F所成角的正弦值为|A1C⋅n||A1C||n|=2 6× 33= 2233．
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求得平面A1C1F的法向量n=(4,−4,−1)，B1E=(0,12,−2)，利用B1E⋅n=0，即可得证；
(2)求得A1C=(1,1,−2)，平面A1C1F的法向量为n=(4,−4,−1)，代入线面角公式即可求解．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设事件A表示“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为23，
观众乙未选中3号歌手的概率为1−35=25，
所以P(A)=23×25=415；
(2)用事件B，C，D分别表示“甲、乙、丙选中3号歌手”，
根据题意P(B)=23，P(C)=35，P(D)=35，
X=2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，
所以P(X=2)=P(BCD−)+P(BC−D)+P(B−CD)=23×35×25+23×25×35+13×35×35=1125．
【解析】(1)求出观众甲选中3号歌手的概率和观众乙未选中3号歌手的概率，然后利用概率公式求解即可；
(2)分别求出甲、乙、丙选中3号歌手的概率，X=2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了概率问题的求解，解题的关键是弄清题意，掌握相应的概率求解公式，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：连接AB1交AB1于点D，
因AA1=AB，则AD⊥A1B
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC，又三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC，又AA1∩AD=A，
从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，
故AB⊥BC；
(2)解：假设在线段A1C上存在一点E，使得二面角A−BE−C的大小为2π3，
由ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、AA1所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A1(0,0,2)，C(0,2 2,0),B( 2, 2,0),B1( 2, 2,2)，
且设A1E=λA1C(0≤λ≤1)，A1C=(0,2 2,−2)，
得E(0,2 2λ,2−2λ)
所以AE=(0,2 2λ,2−2λ)，AB=( 2, 2,0)
由(1)知AB1⊥平面A1BC，所以平面CEB的一个法向量AB1=( 2, 2,2)，
设平面EAB的一个法向量n1=(x,y,z)，
则2 2λy+(2−2λ)z=0 2x+ 2y=0，取x=1，则n1=(1,−1,− 2λλ−1)，
所以|cs2π3|=|AB1⋅n1||AB1|⋅|n1|=|2 2λ||λ−1|2 2× 2+( 2λλ−1)2=12，解得λ=12，
∴点E为线段A1C中点时，二面角A−BE−C的大小为2π3．
【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BC⊥侧面A1ABB1，进而可得AB⊥BC；
(2)以点A为原点，建立空间直角坐标系，设A1E=λA1C(0≤λ≤1)，利用空间向量法结合二面角A−BE−C的大小为2π3可表示出关于λ的关系式，求解即可．
本题考查空间几何体中线线垂直关系的证明和利用空间向量解决与空间角有关的问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)|PM|= 9+t2，|AM|=1，|PA|2=|PM|2−|AM|2=t2+8，
故以P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为(x+1)2+(y−t)2=t2+8，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
则直线AB的方程为(x+1)2−(x−2)2+(y−t)2−y2=t2+8−1，
即3x−ty−5=0，所以(3x−5)−ty=0，所以直线AB过定点(53,0)；
(2)∵直线AB过定点(53,0)，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，
设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，
易知HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，H(53,0)，M(2,0)，
∴点F的轨迹方程为(x−116)2+y2=136(x≠2)；
(3)设切线方程为y−t=k(x+1)，即kx−y+k+t=0，
故M(2,0)到直线kx−y+k+t=0的距离d=|3k+t| k2+1=1，即8k2+6kt+t2−1=0，
设PA，PB的斜率分别为k1，k2，
由韦达定理可得k1k2=t2−18，k1+k2=−3t4，
把x=0代入kx−y+k+t=0，得y=k+t，
则|ST|=|k1+t−(k2+t)|=|k1−k2|= (k1+k2)2−4k1k2= 9t216−t2−12= t2+84，
故当t=0时，|ST|取得最小值为 22．
【解析】(1)由题意可得线段AB为圆P和圆M的公共弦，结合圆的方程可得AB的方程，进一步可得直线经过的定点；
(2)结合(1)的结论，设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，据此整理计算可得点F的轨迹方程；
(3)设切线方程为y−t=k(x+1)，由题意求得点M到直线的距离表达式，整理变形结合韦达定理可得k1k2=t2−18，k1+k2=−3t4，然后结合题意可求得|ST|的最小值．
本题主要考查直线恒过定点问题，轨迹方程的求解，解析几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
1.直线x=− 3的倾斜角为( )
A. 90°B. 120°C. 60°D. 不存在
2.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1C1与B1D1的交点，若AA1=a，AB=b，AD=c，且AM=xa+yb+zc，则x+y+z=( )
A. 2
B. −12
C. 0
D. −1
3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为( )
A. 13B. 38C. 12D. 58
4.已知直线l1：x+(a−3)y+2=0，l2：(a−3)x+ay−1=0，则“a=−1”是“l1⊥l2”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e，则e的值为( )
A. 12B. 2C. 22D. 2
6.在平面直角坐标系中，设点A(1,−1)，B(2,2)，点M在单位圆上，则使得△ABM为直角三角形的点M的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.若直线l：kx−y+3k=0与曲线C： 1−x2=y−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A. (12,34]B. [12,34)C. (0,34)D. (0,34]
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F//平面AD1E.记A1F与平面BCC1B1所成角为α，A1F与AD1所成角为β，则( )
A. α<β<π3
B. α<π3<β
C. α>β>π3
D. π3<α<β
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.掷一枚均匀的硬币两次，记事件A=“第一次出现正面”，B=“第二次出现反面”，则有( )
A. A与B相互独立B. P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. A与B互斥D. P(AB)=14
10.下列说法正确的是( )
A. 直线2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0必过定点(1,3)
B. 过点P(2,1)作圆x2+y2=5的切线，切线方程为2x+y−5=0
C. 经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=tanθ(x−1)
D. 直线2x−y−1=0的方向向量m=(2,−1)
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别是C1D1、B1B的中点，平面A1MN与棱CC1的交点为E，点F为线段D1D上的动点，则下列说法正确的是( )
A. CE=EC1
B. 三棱锥B1−A1MN体积为23
C. 若D1F=12，则BF//平面A1MN
D. 若D1F=1，则直线BF与A1N所成角的正弦值为23
12.已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知A(−2,0)，B(4,0)，若λ=12，则下列关于动点P的结论正确的是( )
A. 点P的轨迹所包围的图形的面积等于16π
B. 当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6
C. 当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D. 若点Q(−3,1)，则2|PA|+|PQ|的最小值为5 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.点(2,1)关于x−y=0的对称点为______ ．
14.在三棱锥O−ABC中，∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC，BC= 2OA，则异面直线OB与AC所成的角是______
15.数据1，2，7，3，4，5，3，6的p分位数是5，则p的取值范围是______ ．
16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为______ .采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l经过点P(−1,2)．
(1)若直线l与直线x−2y−3=0平行，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中一个焦点坐标是( 3,0)，长轴长是短轴长的2倍．
(1)求E的方程；
(2)设直线l：y=kx+2与E交于A，B两点，若OA⋅OB=2，求k的值．
19.(本小题12分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
(1)求证：B1E//平面A1C1F；
(2)求直线A1C与平面A1C1F所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X=2的概率．
21.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2．
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若BC=2，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A−BE−C的大小为2π3，若存在请求出E的位置，不存在请说明理由．
22.(本小题12分)
如图，已知圆M：x2−4x+y2+3=0，点P(−1,t)为直线l：x=−1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求|ST|的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵直线x=− 3的斜率不存在，直线与x轴垂直，
∴其倾斜角为90°．
故选：A．
直线的斜率不存在，即得倾斜角
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1C1与B1D1的交点，若AA1=a，AB=b，AD=c，
所以AM=a+12b+12c；
故x+y+z=1+12+12=2．
故选：A．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型，考查学生的运算能力，属于容易题．
根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解．
【解答】
解：甲、乙、丙三人投中与否所有情况为：(中、中、中)，(中、中、不中)，(不中、不中、不中)，
(中、不中、中)，(中、不中、不中)，(不中、中、中)，(不中、中、不中)，(不中、不中、中)，共8种，
其中至多有一人投中的情况有4种，
故所求概率为：48=12．
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：若l1⊥l2，
则①当a=0时，直线l1=x−3y+2=0，l2=−3x−1=0，此时l1⊥l2不成立；
②当a=3时，直线l1：x+2=0，l2=3y−1=0，此时l1⊥l2；
③当a≠0且a≠3时，直线l1的斜率为k1=13−a，直线l2的斜率为k2=3−aa，则3−aa⋅13−a=−1，解得a=−1．
综上所述：若l1⊥l2，则a=−1或3.故“a=−1”是l1⊥l2的充分不必要条件．
故选：A．
由已知结合直线垂直的斜率关系求出相应的a，然后检验充分性及必要性即可判断．
本题主要考查了直线的位置与斜率关系的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得椭圆长半轴a=1，短半轴b= 22，所以半焦距c= 1−12= 22，
所以离心率e=ca= 221= 22．
故选：C．
由椭圆的离心率公式直接求解．
本题考查了椭圆的简单几何性质，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据点M在单位圆上，其坐标满足x2+y2=1，设M(csα,sinα)，
则AM=(csα−1,sinα+1)，BM=(csα−2,sinα−2)，AB=(1,3)，
(1)若△ABM为直角三角形，且∠AMB=90°，则AM⋅BM=0，
即(csα−1)(csα−2)+(sinα+1)(sinα−2)=0，
整理得sinα+3csα=1，结合sin2α+cs2α=1，解得sinα=1csα=0或sinα=−45csα=35，
此时点M坐标为(0,1)或(35,−45)；
(2)若△ABM为直角三角形，且∠ABM=90°，则AB⋅BM=0，
即csα−2+3(sinα−2)=0，整理得csα+3sinα=8，结合sin2α+cs2α=1，可知不存在满足条件的α，
因此，不存在点M，使∠ABM=90°；
(3)若△ABM为直角三角形，且∠BAM=90°，则AB⋅AM，
即csα−1+3(sinα+1)=0，整理得csα+3sinα=−2，
结合sin2α+cs2α=1，解得sinα=−6− 610csα=−2+3 610或sinα=−6+ 610csα=−2−3 610，
此时点M坐标为(−2+3 610,−6− 610)或(−2−3 610,−6+ 610)．
综上所述，共有4个点M使得△ABM为直角三角形．
故选：D．
根据题意，可设M(csα,sinα)，利用直角三角形的性质与数量积的公式，分三种情况建立关于α的方程，进而解出符合条件的点M的坐标，即可得到本题的答案．
本题主要考查向量的数量积公式、两个向量垂直的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：直线kx−y+3k=0化成y=kx+3k，可得它必定经过点A(−3,0)，
而曲线C： 1−x2=y−1，可变形整理为x2+(y−1)2=1(y≥1)，B(−1,1)，
∴该曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的圆位于直线y=1上部的部分，
设直线与圆相切时的斜率为k2，直线过点(−1,1)与圆有两个交点时的斜率为k1．
可得当直线kx−y+3k=0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1≤k
而k1=1−0−1+3=12，由此可得12≤k<34．
故选：B．
将直线化成斜截式，可得直线经过点(−3,0)，将曲线方程化简整理，得该曲线是以(0,1)为圆心，半径为1的圆位于直线y=1右上部的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围．
本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设平面AD1E与直线CC1交于点G，连接D1G、EG，则G为CC1的中点，
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，
∵A1M//D1G，A1M⊄平面AD1E，D1G⊂平面AD1E，
∴A1M//平面AD1E.同理可得A1N//平面AD1E，
∵A1M∩A1N=A1，A1M，A1N⊂平面A1MN，
∴平面A1MN//平面AD1E，
由此结合A1F//平面AD1E，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．
由直线A1F与平面BCC1B1所成角为α，运动点F并加以观察，
可得当F与M(或N)重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角α达到最小值，满足tanα=A1B1B1M=2；
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanα=A1B1 22B1M=2 2，
所以A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围是[2,2 2].
由直线A1F与AD1所成的角为β，因为MN//BC1//AD1，所以A1F与MN所成的角即为A1F与AD1所成的角，
运动点F并加以观察，可得当F与M(或N)重合时，A1F与MN所成的角等于∠A1MN，此时所成角β达到最小值，满足csβ= 24AB 52AB= 1010<12；
当F与MN中点重合时，A1F与MN所成的角达到最大值，满足β=π2，
所以A1F与AD1所成角的范围是(π3,π2]，显然π3<α<β．
故选：D．
设平面AD1E与直线CC1交于点G，连接D1G、EG，则G为CC1的中点，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，可证出平面A1MN//平面AD1E，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围；再求出A1F与AD1所成角的范围，比较两个角的大小即可．
本题考查了正方体中侧面BCC1B1内动点F满足A1F//平面D1AE，求A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围，也考查了正方体的性质、直线与平面所成角、空间面面平行与线面平行的位置关系判定等知识，是难题．
9.【答案】AD
【解析】解：由题意可知P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=12×2=14，
∴P(AB)=P(A)P(B)，即A与B相互独立，故A正确，D正确，
对于BC，由于事件A与事件B可以同时发生，
∴事件A与事件B不互斥，故B错误，C错误．
故选：AD．
根据独立事件和互斥事件的定义判断．
本题主要考查了独立事件和互斥事件的定义，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：A：由2(m+1)x+(m−3)y+7−5m=0，即m(2x+y−5)+2x−3y+7=0，
令2x+y−5=02x−3y+7=0，可得x=1y=3，故必过定点(1,3)，对；
B：由22+12=5，即P(2,1)在圆x2+y2=5上，圆心O(0,0)，
所以kOP=12，故切线斜率k=−2，则切线方程为y−1=−2(x−2)，
所以切线方程为2x+y−5=0，对；
C：当倾斜角θ为直角时，直线方程不能用y−1=tanθ(x−1)表示，错；
D：直线2x−y−1=0的一个方向向量为(2,1)，显然与m=(2,−1)不共线，故m=(2,−1)不是方向向量，错．
故选：AB．
直线方程化为m(2x+y−5)+2x−3y+7=0，即可求定点判断A；确定P(2,1)在圆x2+y2=5上，并求切线斜率，应用点斜式写出切线方程判断B；注意倾斜角θ为直角的情况判断C；由直线方程写出一个方向向量，判断是否与m=(2,−1)共线即可判断D．
本题主要考查直线的性质，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由平面与平面平行的性质，可得ME//A1N，∴C1E=14C1C，故A错误；
VB1−A1MN=VN−A1B1M=13S△A1B1M⋅B1N=13×12×2×2×1=23，故B正确；
在边CC1上取一点H，使CH=14CC1，则FH//A1N，BH//NE，可得平面A1MN//平面FBH，
∵BF⊂平面FBH，∴BF//平面A1MN，故C正确；
取AA1的中点P，∵BP//A1N，∴∠PBF直线BF与A1N所成角，
由已知得FP=2，BF= DF2+DB2= 1+(2 2)2=3，∴sin∠PBF=FPBF=23，故D正确．
故选：BCD．
由面面平行的性质判断A；利用等体积法求体积判定B；由直线与平面平行的判定判断C；求异面直线所成角判断D．
本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与平面平行的判定、异面直线所成角及利用等体积法求多面体的体积，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：设P(x,y)，因为|PA||PB|= (x+2)2+y2 (x−4)2+y2=12，整理得x2+8x+y2=0，即(x+4)2+y2=16．
A：点P的轨迹是以(−4,0)为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16π，正确；
B：圆的半径为4且AB=6，当△PAB的底边AB上的高最大时，面积最大，
所以△PAB面积的最大值是12×6×4=12，错误；
C：当A，B，P不共线时，由|PA||PB|=12，|OA|=2，|OB|=4，即|OA||OB|=12，故|PA||PB|=|OA||OB|．
由角平分线定理的逆定理知：射线PO是∠APB的平分线，正确；
D：因为|PA||PB|=12，即2|PA|=|PB|，则2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，又P在圆(x+4)2+y2=16上，如图所示，
所以当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取最小值，
此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|= [4−(−3)]2+(0−1)2=5 2，正确．
故选：ACD．
应用两点式求P的轨迹方程为(x+4)2+y2=16，即可判断A，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B，根据|PA||PB|=|OA||OB|，结合角平分线的性质判断C，由已知有2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，利用三点共线求最小值判断D．
本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题．
13.【答案】(1,2)
【解析】解：设对称点坐标为(a,b)，
根据题意可得b−1a−2×1=−1a+22−b+12=0，解得a=1，b=2；
所以对称点坐标为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
设出对称点坐标，由垂直关系和中点坐标解方程组即可求得结果．
本题考查直线的应用，属于基础题．
14.【答案】60°
【解析】解：因为OA=OB=OC，BC= 2OA，
所以BC2=OB2+OC2，即∠OBC=90°，
因为∠AOC=60°，OA=OC，
所以AC=OA，
所以OB⋅AC=OB⋅(OC−OA)=OB⋅OC−OB⋅OA=0−OA⋅OAcs60°=−12OA2，
所以cs
又异面直线夹角的取值范围为(0,90°]，
所以异面直线OB与AC所成的角是60°．
故答案为：60°．
根据空间向量的线性运算和数量积的运算法则，求出cs
本题考查异面直线夹角的求法，熟练掌握空间向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】(58,34)
【解析】解：数据从小到大排序为：1，2，3，3，4，5，6，7，
5在第6位，所以5<8p<6,p∈(58,34)．
故答案为：(58,34)．
根据百分位数的知识求得p的取值范围．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
16.【答案】(1−α)(1−β)2 3β(1−β)2+(1−β)3
【解析】解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1，发送0接收0，发送1接收1的3个事件的积．
3次发送和接收相互独立，所以所求概率为(1−β)(1−α)(1−β)=(1−α)(1−β)2．
采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1这四个事件的和．
所以所求概率为C32β(1−β)2+(1−β)3=3β(1−β)2+(1−β)3．
故答案为：(1−α)(1−β)2；3β(1−β)2+(1−β)3．
利用相互独立事件的概率公式计算即可求解．
本题考查相互独立事件的概率公式，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)根据题意可设直线l的方程为x−2y+C=0，
将点P(−1,2)代入计算可得C=5，
可得直线l的方程为x−2y+5=0．
(2)若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为y=−2x，即2x+y=0；
若在两坐标轴上的截距不为0，设为a，
则直线l的方程为xa+ya=1，代入点P(−1,2)可得a=1，
可得直线l的方程为x+y−1=0；
综上可知，直线l的方程为2x+y=0或x+y−1=0．
【解析】(1)利用两直线平行设出直线l的方程，代入点P坐标即可求得直线方程；
(2)分情况对截距是否为0进行分类讨论，利用直线方程的截距式即可求得结果．
本题考查直线方程、直线与直线平行、截距等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为椭圆E的其中一个焦点坐标是( 3,0)，长轴长是短轴长的2倍，
所以c= 3，a=2b，
又a2=b2+c2，
解得a=2，b=1，
则椭圆E的标准方程为x24+y2=1；
(2)不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x24+y2=1y=kx+2，消去y并整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0，
此时Δ=(16k)2−48(1+4k2)>0，
解得k2>34，
由韦达定理得x1+x2=−16k1+4k2，x1x2=121+4k2，
此时OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)⋅121+4k2+2k⋅−16k1+4k2+4=12−20k21+4k2+4，
因为OA⋅OB=2，
所以12−20k21+4k2+4=2，
解得k2=76>34，
故k=± 426．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式即可求解；
(2)设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及向量的坐标运算再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
19.【答案】证明：(1)建立如图空间直角坐标系，设AA1=2AB=2，
则B1(1,0,2)，E(1,12,0)，A1(0,0,2)，C1(1,1,2)，F(12,1,0)，
A1C1=(1,1,0)，C1F=(−12,0,−2)，
设平面A1C1F的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C1=0n⋅C1F=0，x+y=0−12x−2z=0，
令x=4，则y=−4，z=−1，
所以平面A1C1F的法向量为n=(4,−4,−1)，
又B1E=(0,12,−2)，则B1E⋅n=0，
所以B1E⊥n，
又B1E⊄平面A1C1F，
所以B1E//平面A1C1F；
解：(2)因为A1(0,0,2)，C(1,1,0)，
所以A1C=(1,1,−2)，
又平面A1C1F的法向量为n=(4,−4,−1)，
所以直线A1C与平面A1C1F所成角的正弦值为|A1C⋅n||A1C||n|=2 6× 33= 2233．
【解析】(1)建立空间直角坐标系，求得平面A1C1F的法向量n=(4,−4,−1)，B1E=(0,12,−2)，利用B1E⋅n=0，即可得证；
(2)求得A1C=(1,1,−2)，平面A1C1F的法向量为n=(4,−4,−1)，代入线面角公式即可求解．
本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设事件A表示“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为23，
观众乙未选中3号歌手的概率为1−35=25，
所以P(A)=23×25=415；
(2)用事件B，C，D分别表示“甲、乙、丙选中3号歌手”，
根据题意P(B)=23，P(C)=35，P(D)=35，
X=2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，
所以P(X=2)=P(BCD−)+P(BC−D)+P(B−CD)=23×35×25+23×25×35+13×35×35=1125．
【解析】(1)求出观众甲选中3号歌手的概率和观众乙未选中3号歌手的概率，然后利用概率公式求解即可；
(2)分别求出甲、乙、丙选中3号歌手的概率，X=2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了概率问题的求解，解题的关键是弄清题意，掌握相应的概率求解公式，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：连接AB1交AB1于点D，
因AA1=AB，则AD⊥A1B
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC，又三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC，又AA1∩AD=A，
从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，
故AB⊥BC；
(2)解：假设在线段A1C上存在一点E，使得二面角A−BE−C的大小为2π3，
由ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC、AA1所在直线分别为y，z轴，以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A1(0,0,2)，C(0,2 2,0),B( 2, 2,0),B1( 2, 2,2)，
且设A1E=λA1C(0≤λ≤1)，A1C=(0,2 2,−2)，
得E(0,2 2λ,2−2λ)
所以AE=(0,2 2λ,2−2λ)，AB=( 2, 2,0)
由(1)知AB1⊥平面A1BC，所以平面CEB的一个法向量AB1=( 2, 2,2)，
设平面EAB的一个法向量n1=(x,y,z)，
则2 2λy+(2−2λ)z=0 2x+ 2y=0，取x=1，则n1=(1,−1,− 2λλ−1)，
所以|cs2π3|=|AB1⋅n1||AB1|⋅|n1|=|2 2λ||λ−1|2 2× 2+( 2λλ−1)2=12，解得λ=12，
∴点E为线段A1C中点时，二面角A−BE−C的大小为2π3．
【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BC⊥侧面A1ABB1，进而可得AB⊥BC；
(2)以点A为原点，建立空间直角坐标系，设A1E=λA1C(0≤λ≤1)，利用空间向量法结合二面角A−BE−C的大小为2π3可表示出关于λ的关系式，求解即可．
本题考查空间几何体中线线垂直关系的证明和利用空间向量解决与空间角有关的问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)|PM|= 9+t2，|AM|=1，|PA|2=|PM|2−|AM|2=t2+8，
故以P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为(x+1)2+(y−t)2=t2+8，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
则直线AB的方程为(x+1)2−(x−2)2+(y−t)2−y2=t2+8−1，
即3x−ty−5=0，所以(3x−5)−ty=0，所以直线AB过定点(53,0)；
(2)∵直线AB过定点(53,0)，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，
设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，
易知HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，H(53,0)，M(2,0)，
∴点F的轨迹方程为(x−116)2+y2=136(x≠2)；
(3)设切线方程为y−t=k(x+1)，即kx−y+k+t=0，
故M(2,0)到直线kx−y+k+t=0的距离d=|3k+t| k2+1=1，即8k2+6kt+t2−1=0，
设PA，PB的斜率分别为k1，k2，
由韦达定理可得k1k2=t2−18，k1+k2=−3t4，
把x=0代入kx−y+k+t=0，得y=k+t，
则|ST|=|k1+t−(k2+t)|=|k1−k2|= (k1+k2)2−4k1k2= 9t216−t2−12= t2+84，
故当t=0时，|ST|取得最小值为 22．
【解析】(1)由题意可得线段AB为圆P和圆M的公共弦，结合圆的方程可得AB的方程，进一步可得直线经过的定点；
(2)结合(1)的结论，设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，据此整理计算可得点F的轨迹方程；
(3)设切线方程为y−t=k(x+1)，由题意求得点M到直线的距离表达式，整理变形结合韦达定理可得k1k2=t2−18，k1+k2=−3t4，然后结合题意可求得|ST|的最小值．
本题主要考查直线恒过定点问题，轨迹方程的求解，解析几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
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