2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.全集U=x∣x∈N∗且x<10,A=1,3,5,7,B=6,7,8,9，则∁UA∪B=( )
A. 2B. 2,4C. 7D. 2,4,7
2.已知fx=ax+1,gx=x2−2x+2a,∃x1,x2∈0,1,fx1>gx2，则a的取值范围是
( )
A. −∞,2B. 2,+∞C. −∞,1D. 1,+∞
3.“a<1a”是“a<−1”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知a>0且a≠1，fx=aa−1x与gx=xa的图象可以是
( )
A. B.
C. D.
5.已知a=lg23,b=lg35,c=1315，则a,b,c的大小关系为
( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
6.已知a>0，b>0，a+b=1，则ba+4b的最小值为
( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
7.已知a>0，b>0，则 a+ b≥2的一个充分不必要条件是
( )
A. ab≥1B. a+b≥2C. 1a+1b≥2D. a+b2≥2− ab
8.已知fx=a−1x,x≤12x+ax−2,x>12,(a>1)的值域为D，D⊆23,+∞，则a的取值范围是
( )
A. 1,2B. 2,3C. 1,169D. 169,2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知−1≤a≤3,1≤b≤2，则以下命题正确的是
( )
A. −1≤ab≤6B. 0≤a+b≤5
C. −2≤a−b≤1D. a+1b−1≤4
10.以下函数是偶函数的是( )
A. fx=2x+2−xB. fx=1x2−x+1
C. fx=x−1 x+1x−1x≠±1D. fx=lg10x+1−x2
11.已知fx=lg2x2−mx+m+3的定义域为D，值域为M，则
( )
A. 若D=R，则M≠R
B. 对任意m∈R，使得f−5=f−7
C. 对任意m∈R,fx的图象恒过一定点
D. 若fx在−∞,3上单调递减，则m的取值范围是6
12.x2−bx+c<0的解集为x0,x0+2，则
( )
A. b2=4c+4
B. 若1−b+c>0，则x02<1
C. 若x0>0，则cx2−bx+1<0的解集为1x0+2,1x0
D. b+c有最小值为−94
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.x>0时，y=x2(x+1)2+1x+1的值域为__________．
14.写出一个函数fx的解析式，满足：①fx是定义在R上的偶函数；②x≠0时，fx=−f1x，则fx=__________．
15.全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=1,2,4,5,6，B=1,2,3,4,7,C=2,3,5,6,7，如图中阴影部分的集合为M，若∃x∈M使得：x2−mx+4m−3<0，则m的取值范围是______．
16.教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若y=fx为奇函数，则y=fx−a+b的图象关于点a,b中心对称，易知：fx=2x−12x+1是奇函数，则gx=2x+32x+2图象的对称中心是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A=x∣x2+mx−12<0,B={x∣x−20)．
(1)m=1时，求A∩B；
(2)若B⊆A，求m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知fx满足f2x−1x−2=x．
(1)求fx的解析式；
(2)解不等式f1−x219.(本小题12分)
已知fx=lg2 x2+a+x是奇函数．
(1)求a；
(2)证明：fx是R上的增函数．
20.(本小题12分)
20 . fx=2x−2−x2+t2x+2−x．
(1)若t=−910，求fx<0的解集；
(2)若fx最小值为1，求t．
21.(本小题12分)
已知二次函数fx=x2+bx+c,fx=x的解为−1,3．
(1)求b,c；
(2)证明：−1,3也是方程ffx=x的解，并求ffx=x的解集．
22.(本小题12分)
已知fx=1x+2−mx+n 的 对称中心为−2m−2n,74．
(1)求m,n；
(2)若在区间a,b(a>−2)上，fx的值域为a,b，求a,b．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据集合的并集和补集运算求解．
解：由题意可知： A∪B=1,3,5,6,7,8,9 ，
又因为 U=1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，所以 ∁UA∪B=2,4 ．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】【分析】由题意得出 fx1max>gx2min 求解即可．
解： ∃x1,x2∈0,1 ， fx1>gx2 ，所以， fx1max>gx2min ，
gx=x2−2x+2a=x−12+2a−1 在 0,1 上单调递减，所以 gx2min=2a−1 ，
当 a=0 时， fx1=1>gx2=x22−2x2 ，即 1>x22−2x2 ，取 x2=x1=0 成立．
当 a<0 时， fx1max=1 ，即 2a−1<1 ，得 a<1 ，所以 a<0
当 a>0 时， fx1max=1+a ，即 1+a>2a−1 ，得 a<2 ，所以 0综上： a 的取值范围是 −∞,2 ．
故选：A
3.【答案】B
【解析】【分析】解出不等式 a<1a ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
解：不等式 a<1a 等价于 a−1a<0 等价于 a2−1a<0 ，所以 aa2−1<0 ，
即 aa−1a+1<0 ，解得 0故 a<−1 能推出 a<1a 成立，但是 a<1a 成立不一定有 a<−1 ，
所以“ a<1a ”是“ a<−1 ”的必要不充分条件．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】分类讨论判断出 fx 图像性质及 gx 图像性质即可得．
解：对 fx=aa−1x ，该函数过定点 0,1 ，且 fx>0 恒成立，
对 gx=xa ，该函数过定点 0,0 ，
若 0又 0若 a>1 ，对 fx=aa−1x ， a−1>0 ，则 a−1x 在 R 上单调递增，
又 a>1 ，故 fx 在 R 上单调递增，
故排除AB；
对 gx ，由 a>0 且 a≠1 ，故 gx 在定义域内单调递增，
故排除C．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“1”、“ 32 ”分析判断．
解：因为 232=2 2<3<4 ，可知： lg22323<5<3 3=332 ，可知： lg3315>0 ，可知： 0<1315<130=1 ，即 0综上所述： c故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】利用基本(均值)不等式求和的最小值．
解：∵ a>0 ， b>0 ， a+b=1 ，
∴ ba+4b =1−aa+4b =1a+4b−1 =a+b1a+4b−1 =ba+4ab+4 ≥2 ba⋅4ab+4 =8 (当且仅当 ba=4ab 即 a=13 ， b=23 时取“=”)．
故选：C
7.【答案】A
【解析】【分析】对A选项：借助基本不等式可验证充分性，再取特殊值否定必要性即可得；
对B选项：借助特殊值否定充分性即可得；
对C选项：借助特殊值否定充分性即可得；
对D选项：变形处理后会得出选项为充要条件．
解：对A选项：若 ab≥1 ，则 a+ b≥24ab≥2 ，当且仅当 a=b 时等号成立，
当 a=4 、 b=16 时， a+ b≥2 ，
但 ab<1 ，故 a>0 ， b>0 时， ab≥1 为 a+ b≥2 的充分不必要条件，故A正确；
对B选项：取 a=125 ， b=4925 ，有 a+ b=85<2 ，
故 a+b≥2 不是 a+ b≥2 的一个充分条件，故B错误；
对C选项：取 a=b=14 ，有 a+ b=1<2 ，
故 1a+1b≥2 不是 a+ b≥2 的一个充分条件，故C错误；
对D选项：由 a+b2≥2− ab ，即 a+ b2≥4 ，即 a+ b≥2 ，
故 a+b2≥2− ab 是 a+ b≥2 的充要条件，故D错误．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】本题的关键是对 a 进行分类讨论，同时结合函数单调性和基本不等式求解相关函数值域，最后得到不等式组，解出即可．
分情况讨论 12 时分段函数的值域，再根据集合间的关系列不等式，解不等式．
解：若 1当 x>12 时， fx=x+ax−2≥2 a−2 ，当且仅当 x= a>12 时，等号成立，
又函数 fx 的值域 D 满足 D⊆23,+∞ ，
则 a−1≥232 a−2≥231若 a=2 ， fx=1,x≤12x+2x−2,x>12 当 x≤12 时， fx=1 ，
当 x>12 时， fx=x+2x−2≥2 2−2 ，当且仅当 x= 2 时，等号成立，
又函数 fx 的值域 D=2 2−2,+∞ ，不满足 D⊆23,+∞ ，不成立；
若 a>2 ，当 x≤12 时， fx=a−1x 在 −∞,12 上单调递增，此时 fx∈0, a−1 ，
则 0, a−1⊆D ，
又 0, a−1⊆23,+∞ 不成立，
所以此时 D⊆23,+∞ 不成立；
综上所述： 169≤a<2 ，
故选：D．
9.【答案】BD
【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐个选项分析排除即可．
解：对于A： ∵a∈−1,3,b∈1,2∴ab∈−2,6 ，故A错误．
对于B： ∵a∈−1,3,b∈1,2∴a+b∈0,5 ，故B正确．
对于C： ∵b∈1,2∴a−b∈−3,2 ，故C错误．
对于D; ∵a+1∈0,4,b−1∈0,1,∴a+1b−1∈0,4 ，故D正确．
故选：BD．
10.【答案】AD
【解析】【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：A选项， fx 的定义域为 R ， f−x=2−x+2x=fx ，
所以 fx 是偶函数，符合题意．
B选项， x2−x+1=x−122+34>0 ， fx 的定义域为 R ，
f−1=13,f1=1,f−1≠f1 ，所以 fx 不是偶函数．
C选项， f−2=−3× −2−4=−3 2=−3 22,f2=1× 31= 3 ，
f−2≠f2 ，所以 fx 不是偶函数．
D选项， fx=lg10x+1−x2 的定义域为 R ，
f−x=lg10−x+1+x2=lg1+10x10x+x2
=lg10x+1−lg10x+x2=lg10x+1−x2=fx ，所以 fx 是偶函数．
故选：AD
11.【答案】ACD
【解析】【分析】对于A，根据题设得真数 x2−mx+m+3 不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得.对于B，直接代入求解即可.对于C，根据 m∈R ，求解即可.对于D，根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得．
解：对于A，要使定义域为R，只需 x2−mx+m+3>0 恒成立，
所以判别式 m2−4m+3<0 ，所以真数 x2−mx+m+3 不能取遍所有正实数，所以 M≠R ，故A对
对于B，若 f−5=f−7 ，
即 lg2−52−−5m+m+3=lg2−72−−7m+m+3 ，整理得 lg228+6m=lg252+8m ，得 28+6m>052+8m>028+6m=52+8m ，
此时 m∈⌀ ，故B错；
对于C， x2−mx+m+3=x2+3+m1−x ，因为与m无关，所以 1−x=0,x=1,y=lg24=2, 过定点(1,2)，故C正确；
对于D，若 fx 在 −∞,3 上单调递减，只需函数 t=x2−mx+m+3 在 −∞,3 上递减，且 t3≥0 ，即 m2≥39−3m+m+3≥0 ，解得 m=6 ，故D对．
故选：ACD
12.【答案】AC
【解析】【分析】根据三个二次之间的关系可得 x0+x0+2=2x0+2=bx0x0+2=c .对于A：根据 x0+2−x0=2 结合韦达定理分析求解；对于B：举例说明即可；对于C：整理可得 x0x−1x0+2x−1<0 ，结合二次不等式运算求解；对于D：代入整理可得 b+c=x0+22−2≥−2 ，即可得最小值．
解：由题意可知：方程 x2−bx+c=0 的根为 x0,x0+2 ，则 x0+x0+2=2x0+2=bx0x0+2=c ，
对于选项A：因为 x0+2−x0= 2x0+22−4x0x0+2= b2−4c=2 ，
整理得 b2=4c+4 ，故A正确；
对于选项B：例如 x0=2 ，则 b=6c=8 ，满足 1−b+c=1−6+8=3>0 ，
则 x02=4>1 ，故B错误；
对于选项C：若 x0>0 ，则 x0+2>x0>0 ，
不等式 cx2−bx+1<0 即为 x0x0+2x2−2x0+2x+1<0 ，
整理得 x0x−1x0+2x−1<0 ，
令 x0x−1x0+2x−1=0 ，解得 x=1x0 或 x=1x0+2 ，
且 2x0+2>0 ， 1x0>1x0+2 ，
所以 cx2−bx+1<0 的解集为 1x0+2,1x0 ，故C正确；
对于选项D：因为 b+c=2x0+2+x0x0+2=x0+22−2≥−2 ，
当且仅当 x0=−2 时，等号成立，
所以 b+c 有最小值为 −2 ，故D错误；
故选：AC．
13.【答案】34,1
【解析】【分析】利用换元法，令 t=1x+1 ，结合二次函数的性质分析求解．
解：因为 x>0 ，令 t=1x+1∈0,1 ，则 x=1t−1 ，
则 y=1t−121t−1+12+t=t2−t+1 ， t∈0,1 ，
可知 y=t2−t+1 开口向上，对称轴为 t=12 ，且 y|t=0=y|t=1=1,y|t=12=34 ，
所以 y=t2−t+1 在 0,1 内的值域为 34,1 ，
即 y=x2(x+1)2+1x+1 在 0,+∞ 内的值域为 34,1 ．
故答案为： 34,1 ．
14.【答案】0,x=0lnx,x≠0 (答案不唯一)
【解析】【分析】根据题意可知符合要求的函数不止一个，符合要求即可．
解：由题意可得： fx=0,x=0lnx,x≠0 符合题意．
故答案为： 0,x=0lnx,x≠0 ．
15.【答案】−∞,−6∪463,+∞
【解析】【分析】先根据交集和补集运算求解 M=3,7 ，然后利用有解求解 m 的范围即可．
解：因为 A=1,2,4,5,6 ， B=1,2,3,4,7,C=2,3,5,6,7 ，所以 B∩C=2,3,7 ，
图中阴影部分表示的集合为 B∩C∩∁UA=3,7 ，即 M=3,7 ，
由题意， 32−3m+4m−3<0 或 72−7m+4m−3<0 ，解得 m<−6 或 m>463 ，
所以 m 的取值范围是 −∞,−6∪463,+∞ ．
故答案为： −∞,−6∪463,+∞
16.【答案】1,54
【解析】【分析】利用奇函数的性质把 gx 变形成 y=fx−a+b ，即 gx=−14fx−1+54 ，再找出对称中心．
解：因为 fx=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1 ，
fx−1=1−22x−1+1 ，
gx=2x+32x+2=2×2x−1+322×2x−1+1=2x−1+1+122x−1+1=1+122x−1+1 ，
所以 gx=−14fx−1+54=−14fx−1−5 ，
因为 y=fx 为奇函数，则 y=−14fx 也奇函数，
所以 gx 关于点 1,54 对称，
故答案为： 1,54
17.【答案】解：(1)当 m=1 时， A=x∣x2+x−12<0=x−4 B=x1(2)化简 A=x∣x2+mx−12<0=x−m− m2+482B={x∣x−20) ，
若 B⊆A ，则 −m− m2+482≤2−m2+m≤−m+ m2+482m>0 ，解得 0
【解析】【分析】(1)化简集合，根据交集定义即得．
(2)化简集合，根据 B⊆A ，列出不等式组求解即得．
18.【答案】解：(1)令 t=2x−1x−2=2+3x−2≠2 ，则 x=2t−1t−2 ，
则 ft=2t−1t−2 ，所以 fx=2x−1x−2,x≠2 ．
(2)因为 1−x2≤1,−1−x≤−1 ，
因为 fx=2x−1x−2=2+3x−2 在 −∞,2 内单调递减，
若 f1−x2−1−x ，即 x2−x−2<0 ，
则 x≥0x2−x−2<0 或 x<0x2+x−2<0 ，解得 0≤x<2 或 −2所以不等式 f1−x2
【解析】【分析】(1)利用换元法求函数解析式；
(2)根据 1−x2,−1−x 的取值范围，结合 fx 的单调性可得 1−x2>−1−x ，分类讨论解不等式即可．
19.【答案】解：(1)因为 fx=lg2 x2+a+x 是奇函数，则 fx+f−x=0 ，
可得 lg2 x2+a+x+lg2 x2+a−x=lg2x2+a−x2=lg2a=0 ，解得 a=1 ．
(2)由(1)可知： fx=lg2 x2+1+x ，
因为 x2+1> x2=x≥−x ，可知 x2+1+x>0 对任意 x∈R 恒成立，
所以 fx 的定义域为 R ．
对任意 x1,x2∈0,+∞ ，且 0≤x1则 1≤x12+1所以 1≤ x12+1+x1< x22+1+x2 ，
则 lg2 x12+1+x1所以 fx 在 0,+∞ 内单调递增，
又因为 fx 为奇函数，则 fx 在 −∞,0 内单调递增，
且 fx 连续不断，所以 fx 是 R 上的增函数．

【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义分析求解；
(2)根据单调性的定义结合奇函数的性质分析证明．
20.【答案】解：(1)因为 fx=2x−2−x2+t2x+2−x=2x+2−x2−4+t2x+2−x=2x+2−x2+t2x+2−x−4 ，
令 m=2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2 ，当且仅当 2x=2−x ，即 x=0 时，等号成立，
则 y=m2+tm−4,m≥2 ，
若 t=−910 ，则 y=m2−910m−4,m≥2 ，
令 y=m2−910m−4<0 ，可得 2≤m<52 ，
即 2x+2−x<52 ，整理得 22x2−5×2x+2<0 ，解得 12<2x<2 ，可得 −1所以 fx<0 的解集为 −1,1 ．
(2)若 fx 最小值为1，结合(1)可知： y=m2+tm−4,m≥2 的最小值为1，
因为 y=m2+tm−4 的开口向上，对称轴为 m=−t2 ，
若 −t2≤2 ，即 t≥−4 时， y=m2+tm−4 在 2,+∞ 内单调递增，
可知当 m=2 时， y=m2+tm−4 取得最小值，
即 4+2t−4=1 ，解得 t=12 ；
若 t2>2 ，即 t<−4 时， y=m2+tm−4 在 2,−t2 内单调递减，在 −t2,+∞ 单调递增，
可知当 m=−t2 时， y=m2+tm−4 取得最小值，
即 t24+t×−t2−4=1 ，无解；
综上所述： t=12 ．

【解析】【分析】(1)换元令 m=2x+2−x≥2 ，整理得 y=m2+tm−4,m≥2 ，分步解不等式即可得结果；
(2)结合(1)可得 y=m2−tm−4,m≥2 的最小值为1，分 t2≤2 和 t2>2 两种情况，结合二次函数性质分析求解．
21.【答案】解：(1)因为 fx=x 的解为 −1,3 ，则 1−b+c=−19+3b+c=3 ，解得 b=−1c=−3 ．
(2)由(1)可知： fx=x2−x−3 ，且 f−1=−1,f3=3 ，
则 ff−1=f−1=−1,ff3=f3=3 ，
即 −1,3 也是方程 ffx=x 的解，
对于 ffx=x ，即 fx2−x−3=x2−x−32−x2−x−3−3=x ，
整理得： x−3x− 3x+1x+ 3=0 ，解得 x=− 3,−1, 3,3 ，
所以 ffx=x 的解集为 − 3,−1, 3,3 ．

【解析】【分析】(1)根据题意列式求解即可；
(2)根据 f−1=−1,f3=3 ，代入证明即可，展开 ffx=x 解方程即可．
22.【答案】解：(1)由 fx=1x+2−mx+n 可知，定义域为 x≠−2 ，其对称中心为 −2m−2n,74 ，
故有 −2m−2n=−2 ，即 m+n=1 ，有 −m×−2+n=74 ，解得 m=34 ， n=14 ，
即 fx=1x+2−34x+14 ，对称中心为 −2,74 ，
检验计算得
fx+f−4−x=1x+2−34x+14+1−4−x+2−34−4−x+14=72 ，
故成立，
即 m=34 ， n=14 ；
(2)当 x>−2 时，由 1x+2 、 −34x 都随 x 的增大而减小，
故 fx 在 −2,+∞ 上单调递减，
又 fx 在区间 a,b(a>−2) 上， fx 值域也为 a,b ，
故有 fa=bfb=a ，即 1a+2−34a+14=b1b+2−34b+14=a ，且 −2解得 a=−1 ， b=2 ．

【解析】【分析】(1)由定义域也会对称，结合函数对称的性质计算即可得；
(2)结合函数的 单调性及定义域与值域的关系即可得．