2023-2024学年福建省莆田市第三中学高一上学期十月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田市第三中学高一上学期十月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，若集合，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】利用集合相等，求出，再根据互异性求出的取值情况并检验即可.
【详解】根据题意,,故，则,
则，由集合的互异性知且，
故，则， 即或（舍），
当时，，符合题意，
所以.
故选：B.
2．设，，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系与有关
【答案】A
【解析】作差，然后配方可得．
【详解】∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查作差法比较两实数的大小．作差法是比较两实数大小的基本方法．
3．设集合，若，则实数的值的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用，可得，然后讨论和讨论集合，即可求解.
【详解】因为，所以，
当时，满足，符合题意，
当时，，若，则或，
解得：或 ，
所以或或，
故选：D.
4．满足的集合共有（ ）
A．2个B．4个C．8个D．16个
【答案】C
【分析】根据子集的知识一一列举即可.
【详解】因为，
所以可以为，，，，，，，，共8个，
故选：C
5．“”是“>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】“”⇒“>0”，“>0”⇒“”或”，
所以“”是 “>0”的充分不必要条件．
故选：A.
【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，属于基础题.
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】C
【分析】通过反例可确定ABD错误；由不等式的性质可知C正确.
【详解】对于A，若，，，，则，A错误；
对于B，若，，则，B错误；
对于C，若，则，又，，C正确；
对于D，若，，则，D错误.
故选：C.
7．甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周与本周油价不同，则在这两次加油中，平均价格较低的是（ ）
A．甲B．乙C．一样低D．不能确定
【答案】B
【分析】根据题意，分别求得甲乙两次加油的平均价格，结合作差比较，即可得到答案.
【详解】设两次加油时的单价分别为元和元，且，
则甲每次加油升，两次加油中，平均价格为元，
乙每次加油元，两次加油中，平均价格为元，
可得，所以乙的平均价格更低.
故选：B.
8．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【解析】由已知可得，即求的最小值，由基本不等式可得答案.
【详解】因为，，则，
所以，
当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以
所以实数的最大值为8.
故选：C.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
二、多选题
9．下列表述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可.
【详解】解：，故A正确；
，故B正确；
，故C正确，D错误.
故选：ABC.
10．设正实数，满足，则（ ）
A．有最小值4B．有最小值
C．有最大值1D．有最小值
【答案】AD
【解析】由，根据，逐一判断各选项即可．
【详解】对A，正实数，满足，即有，可得，
即有，即有时，取得最小值4，无最大值，故A正确；
对B，由，可得有最大值，故B错误；
对C，由，可得时，取得最大值，故C错误；
对D，由可得，则，当时，取得最小值，故D正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的变形和应用.
11．已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；
选项B，由得，又因为，
所以，所以，故选项B正确；
选项C，因为，所以，所以，
因为，所以两边同乘得，故选项C正确；
选项D，因为，，，
所以，即，故选项D不正确；
故选：ABC．
12．下列说法正确的有( )
A．命题“”的否定是“”
B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C．若，则“”的充要条件是“”
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【分析】根据命题的否定即可判断A；根据恒成立转化成最值问题即可判断B；根据充分条件和必要条件的概念及不等式的性质可判断CD．
【详解】命题“”的否定是“”，故A正确；
∵命题“，”为假命题，则关于x的方程无实数根，故，解得，故B正确；
∵可得；但当，时，有；∴“若，则”是“”的充分不必要条件，故C错误；
当“”时，则“”成立；但当“”时，“或”；故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD﹒
三、填空题
13．设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝ ．
【答案】
【详解】M∪N 元素去掉M∩∁UN 元素得N＝{1，3，5}
14．已知集合，若，则实数 .
【答案】或3/3或-2
【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.
【详解】，
∴或，
解得或或，
将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，
故或3.
故答案为：或3.
15．下列三个命题中，真命题的个数是 个
①，②，③为方程的根
【答案】2
【分析】对于①，配方后判断，对于②③举例判断即可.
【详解】对于①，因为，故①正确；
对于②，当时，，故②错误，
对于③，是方程的根，且，故③正确，
所以真命题的个数是2个，
故答案为：2
四、双空题
16．如图，正方形的边长为，请利用，写出一个简练优美的含有a，b的不等式为 ，其中“＝”成立的条件为 .
【答案】
【分析】利用勾股定理结合已知条件即可求解.
【详解】正方形的边长为，
由勾股定理可得，，
∵，∴，
整理得，当且仅当取等号，
故答案为：；.
五、解答题
17．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）求出时集合B，再利用集合的运算即可求出与；
（2）根据得出关于的不等式，由此求出实数m的取值范围.
【详解】（1）集合，时，，
所以，
又因为，
所以或，
（2）由，得或，
即或，
所以实数m的取值范围是.
18．已知P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
【答案】(1);(2)不存在
【分析】(1)由题意知再列出不等式，即可求得m的取值范围；
(2) 易知，列出等式，求即可.
【详解】(1)是的必要条件,且集合为非空集合，
，得,
所以m的取值范围.
(2) 若是的充要条件，则,
所以 ，这样的不存在.
【点睛】本题考查的是元素与集合的关系，集合与集合的关系以及充分必要条件，掌握不等式的计算和必要条件及充要条件的判断方法是解题的关键,是基础题.
19．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围
（2）已知正实数，满足：，求的最小值
【答案】（1），；（2）9
【分析】（1）应用不等式的性质计算组合的范围即可;
（2）已知等式,应用常值代换法求出和的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以的取值范围是．
因为，所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
20．已知p：关于x的方程有实数根，q：.
(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题p是假命题，可得，从而可求出实数a的取值范围；
（2）根据题意可得，从而可求出实数m的取值范围.
【详解】（1）因为命题p是假命题，所以对于方程无实根，
有，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）可知p：.
因为p是q的必要不充分条件，
所以，则，解得，
所以实数m的取值范围是.
21．（1）已知，比较与的大小
（2）若命题“时，一次函数的图象在x轴上方”为真命题时，求的取值范围.
【答案】（1）当或时，；
当且时，；
当且时，.
（2）或.
【分析】（1）作差法可得，分类讨论即可得解；
（2）把一次函数图象在x轴上方转化函数值恒为正，列不等式求解即可.
【详解】（1）
当或时，有，或，
所以，即；
当且时，有，所以，即；
当且时，有，所以，即.
（2）因为命题“时，一次函数的图象在x轴上方”为真命题，
所以，所以或，
即的取值范围为或.
22．如图所示，将一个矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点.已知米，米，设的长为米.
(1)求矩形的面积用表示出来
(2)求当的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.
【答案】(1)
(2)，时最小面积为48平方米.
【分析】（1）根据相似得到，则得到矩形AMPN的面积表达式；
（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.
【详解】（1）是矩形，，即
，.
（2）令（），则
，
当且仅当，即时，等号成立，此时，，最小面积为48平方米.