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(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升10.8《二项分布、超几何分布与正态分布》(2份打包，原卷版+教师版)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升10.8《二项分布、超几何分布与正态分布》(2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习108《二项分布超几何分布与正态分布》原卷版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习108《二项分布超几何分布与正态分布》原卷版pdf、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习108《二项分布超几何分布与正态分布》教师版doc、新高考高考数学一轮复习讲义+巩固练习108《二项分布超几何分布与正态分布》教师版pdf等4份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
知识梳理
一、二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1﹣p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1﹣p)．
二、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N＋M}，
r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
三、正态分布
1．定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))· SKIPIF 1 < 0 ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．3σ原则
(1)P(μ﹣σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ﹣3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
常用结论
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq \f(nM,N)，D(X)＝eq \f(nM,N)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(M,N)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n－1,N－1))).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立．( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．( √ )
教材改编题
1．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，则D(X)等于( )
A．1.8 B．6 C．2.1 D．4.2
答案 D
解析 因为X服从二项分布X～B(20，p)，
所以E(X)＝20p＝6，得p＝0.3，
故D(X)＝np(1﹣p)＝20×0.3×0.7＝4.2.
2．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________.
答案 eq \f(3,10)
解析 由题意得P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,7),C\\al(4,10))＝eq \f(3,10).
3．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100答案 8
解析 ∵考试的成绩X服从正态分布
N(110,102)，
∴该正态曲线关于X＝110对称，
∵P(100∴P(X>120)＝P(X≤100)＝eq \f(1,2)(1﹣0.34×2)＝0.16.∴该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50＝8.
题型一 二项分布
例1 (2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是eq \f(2,3)，那么在本次运动会上：
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
解 (1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A，
则有P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(20,27).
(2)由(1)可知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，
则P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(1,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·eq \f(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＝eq \f(2,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
所以X的分布列为
所以均值E(X)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(2,9)＋2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(8,27)＝2.
教师备选
出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3).
(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．
解 (1)依题意，这位司机在第三个交通岗遇到红灯，在第一、二个交通岗未遇到红灯，
所以这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27).
(2)X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6，
这位司机经过一个交通岗就是一次试验，有遇到红灯和未遇到红灯两个结果，X＝k(k∈N，k≤6)的事件相当于6次独立重复经过交通岗一次的试验，恰有k次遇到红灯的事件，于是得随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,3)))，
所以E(X)＝6×eq \f(1,3)＝2，D(X)＝6×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,3).
思维升华 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
跟踪训练1 (2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．
(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；
(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．
①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．
解 (1)由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为eq \f(14,20)＝0.7.
(2)①设“只有1个会员对售后服务不满意”为事件A，则P(A)＝Ceq \\al(1,3)×0.3×0.72＝0.441.
②因为X～B(3,0.7)，
所以E(X)＝3×0.7＝2.1，D(X)＝3×0.7×0.3＝0.63，eq \r(DX)≈0.8.
题型二 超几何分布
例2 2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接．据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录．如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生．
(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；
(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及均值．
解 (1)设“所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员”为事件M，
则P(M)＝1﹣eq \f(C\\al(3,3)＋C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(6,7).
(2)女航天员人数X＝0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,3),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以X的分布列为
E(X)＝eq \f(nM,N)＝eq \f(3×3,7)＝eq \f(9,7).
教师备选
为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为eq \f(2,3).A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．
(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
解 (1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P1＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，
B恰好答对2个问题的概率为
P2＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1＝eq \f(4,9).
(2)X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)；
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)；
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5).
所以E(X)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2，
D(X)＝(1﹣2)2×eq \f(1,5)＋(2﹣2)2×eq \f(3,5)＋(3﹣2)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5).
易知Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，
所以E(Y)＝3×eq \f(2,3)＝2，D(Y)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
因为E(X)＝E(Y)，D(X)所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定．所以选择学生A.
思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
跟踪训练2 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：
(1)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该批大闸蟹有多少只？(所得结果四舍五入保留整数)
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260,280]上的大闸蟹数量为X，求X的分布列和均值．
解 (1)50只大闸蟹的平均重量为
eq \f(1,50)×(170×3＋190×2＋210×15＋230×20＋250×7＋270×3)＝224，
所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，
概率分别为
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(4,7),C\\al(4,10))＝eq \f(1,6)；
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(3,7),C\\al(4,10))＝eq \f(1,2)；
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,7),C\\al(4,10))＝eq \f(3,10)；
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(1,7),C\\al(4,10))＝eq \f(1,30)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
题型三 正态分布
例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案 D
解析 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．
(2)(2022·秦皇岛模拟)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝________.
答案 0.5
解析 因为ξ～N(105，σ2)，
且P(ξ<120)＝0.75，
所以P(105≤ξ≤120)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.
教师备选
1．(2022·烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ﹣σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
答案 0.16 10
解析 因为数学成绩X服从正态分布N(100,17.52)，则P(100﹣17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝eq \f(1－P82.5≤X≤117.5,2)≈eq \f(1－0.68,2)＝0.16.又P(100﹣17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P(X>135)＝eq \f(1－P65≤X≤135,2)≈eq \f(1－0.96,2)＝0.02.又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是eq \f(80,0.16)×0.02＝10.
2．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差εn～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,n)))，为使误差εn在(﹣0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ)，则P(|X﹣μ|<2σ)＝0.954 5)
答案 32
解析 P(|εn﹣μ|<2σ)＝0.954 5，
又μ＝0，σ2＝eq \f(2,n)，
即P(μ﹣2σ<εn<μ＋2σ)
＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(\f(2,n))<εn<2\r(\f(2,n))))＝0.954 5，
由题意知2eq \r(\f(2,n))≤eq \f(1,2)，
所以n≥32.
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 (1)(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(04)等于( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 A
解析 由题意，P(X≥1)＝1﹣P(X＝0)＝1﹣(1﹣p)3＝0.657，
解得p＝0.3，则P(0所以P(Y>4)＝P(Y<0)＝0.5﹣P(0(2)(2022·深圳模拟)已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：
甲：P(ξP(ξ>a＋2)；
乙：P(ξ>a)＝0.5；
丙：P(ξ≤a)＝0.5；
丁：P(a<ξ如果只有一个假命题，则该命题为( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 D
解析 由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，根据正态分布密度曲线的对称性可知，甲：P(ξ<μ﹣1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．并且，P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)．所以假命题是丁．
课时精练
1．(2022·云南西南名校联考)已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ﹣3)＝5，则D(3ξ)等于( )
A.eq \f(8,3) B．8 C．12 D．24
答案 D
解析 因为E(2ξ﹣3)＝2E(ξ)﹣3
＝2×12p﹣3＝5，所以p＝eq \f(1,3).
故D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝24.
2．一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( )
A.eq \f(13,35) B.eq \f(14,35) C.eq \f(18,35) D.eq \f(22,35)
答案 A
解析 记得分为X，则X的所有可能取值为5,6,7,8，P(X＝7)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,3),C\\al(4,7))＝eq \f(12,35)；
P(X＝8)＝eq \f(C\\al(4,4)C\\al(0,3),C\\al(4,7))＝eq \f(1,35)，
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)
＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35).
3．(2022·烟台模拟)袋中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个相同小球，现有一款摸球游戏，从袋中一次性摸出三个小球，记下号码并放回，如果三个号码的和是3的倍数，则获奖，若有4人参与摸球游戏，则恰好2人获奖的概率是( )
A.eq \f(36,625) B.eq \f(128,625) C.eq \f(216,625) D.eq \f(336,625)
答案 C
解析 从袋中六个小球一次性摸出三个小球，有Ceq \\al(3,6)＝eq \f(6×5×4,3×2×1)＝20(个)样本点，
三个号码的和是3的倍数的有(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，共8个样本点，所以摸一次中奖的概率P＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5).
有4人参与摸球游戏，恰好2人获奖的概率为
Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(216,625).
4．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是eq \f(2,3)，向右的概率是eq \f(1,3)，则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )
A.eq \f(16,729) B.eq \f(80,243) C.eq \f(4,729) D.eq \f(20,243)
答案 D
解析 根据题意可知，机器人每秒运动一次，
则6秒共运动6次，
若其从A(0,0)点出发，6秒后到达B(4,2)点，
则需要向右走4步，向上走2步，
故其6秒后到达B点的概率为
Ceq \\al(2,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(60,729)＝eq \f(20,243).
5．(多选)(2022·昆明模拟)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的使用寿命均服从正态分布，X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是( )
参考数据：若Z～N(μ，σ2)，
则P(μ﹣σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ﹣2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．P(μ1﹣σ1C．P(X≤σ2)P(Y≤t)
答案 ABD
解析 对于A，P(μ1﹣σ1对于B，由正态分布密度曲线，可知μ1<μ2，
所以P(Y≥μ2)对于C，由正态分布密度曲线，可知σ1<σ2，
所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，C选项错误；
对于D，对于任意的正数t，由图象知P(X≤t)表示的面积始终大于P(Y≤t)表示的面积，
所以P(X≤t)>P(Y≤t)，D选项正确．
6．(多选)(2022·张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3))) B．P(X＝2)＝eq \f(8,81)
C．E(X)＝eq \f(8,3) D．D(X)＝eq \f(8,9)
答案 ACD
解析 从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，故A正确；
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(24,81)，故B错误；
因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
所以E(X)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故C正确；
D(X)＝4×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,9)，故D正确．
7．(2021·天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为eq \f(5,6)和eq \f(1,5)，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________．
答案 eq \f(2,3) eq \f(20,27)
解析 由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为eq \f(5,6)×eq \f(4,5)＝eq \f(2,3)，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(20,27).
8．一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________.
答案 eq \f(9,10) eq \f(6,5)
解析 一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，
从中任意取出3个球，样本点总数n＝Ceq \\al(3,5)＝10，
其中有黄球包含的样本点个数m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)＝9.
所以有黄球的概率是P＝eq \f(m,n)＝eq \f(9,10).
ξ表示取到黄球的个数，
则ξ的所有可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(6,10)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(6,10)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5).
9．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．双方出示的手势相同时，不分胜负．假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，假设每次游戏的结果互不影响，求X的分布列和方差．
解 (1)玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有样本点有3×3＝9(个)，
其中玩家甲胜玩家乙的有(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个样本点，
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27).
所以X的分布列为
因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
所以X的方差D(X)＝3×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).
10．(2022·南通模拟)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm)．
(1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)若新机床生产的零件直径X～N(120,4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X﹣μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X﹣μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X﹣μ|≤3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.
解 (1)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(4,7)C\\al(0,3),C\\al(4,10))＝eq \f(35,210)＝eq \f(1,6)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(3,7)C\\al(1,3),C\\al(4,10))＝eq \f(105,210)＝eq \f(1,2)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,3),C\\al(4,10))＝eq \f(63,210)＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(1,7)C\\al(3,3),C\\al(4,10))＝eq \f(7,210)＝eq \f(1,30)，
所以ξ的分布列为
故E(ξ)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
(2)因为X～N(120,4)，
所以P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)
＝P(116≤X≤124)≈0.954 5，
P(120≤X≤124)＝eq \f(1,2)P(116≤X≤124)
≈0.477 25，
P(X≥124)＝eq \f(1,2)﹣P(120≤X≤124)
≈eq \f(1,2)﹣0.477 25＝0.022 75，
则P(X≤124)＝1﹣P(X≥124)＝0.977 25，
故至少有一个零件直径大于124 mm的概率为
P＝1﹣(0.977 25)10≈1﹣0.794 4＝0.205 6.
11．(多选)(2022·青岛模拟)某渔业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是( )
A．m＝250
B．鱼苗体长在[90,100]上的频率为0.16
C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内
D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数的均值为30
答案 ACD
解析 因为[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95,100]分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n＝1 000×0.05＝50，
则m＝1 000﹣100﹣100﹣350﹣150﹣50＝250，A正确；
鱼苗体长在[90,100]上的频率为eq \f(150＋50,1 000)＝0.2，B错误；
因为鱼的总数为1 000,100＋100＋250＝450,100＋100＋250＋350＝800，
所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内，C正确；
由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80,90)上的概率P＝eq \f(250＋350,1 000)＝0.6，
设所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数为X，则X服从二项分布，即X～B(50,0.6)，
则E(X)＝50×0.6＝30，D正确．
12．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是( )
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq \f(1,8)
B．答对1题的概率为eq \f(3,8)
C．答对2题的概率为eq \f(5,12)
D．合格的概率为eq \f(1,2)
答案 CD
解析 设此人答对题目的个数为ξ，
则ξ＝0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(0,5)C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，
故选项A错误；
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，故选项B错误；
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，故选项C正确；
至少答对2题的概率为eq \f(5,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,2)，
故选项D正确．
13．(2022·沈阳质检)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,a－x)(0A．9 B.eq \f(9,2) C．4 D．6
答案 B
解析 因为随机变量ξ～N(1，σ2)，
且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则eq \f(a,2)＝1，可得a＝2，
eq \f(1,x)＋eq \f(4,a－x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(4,2－x)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,2－x)))[x＋(2﹣x)]
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋4＋\f(2－x,x)＋\f(4x,2－x)))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2－x,x)·\f(4x,2－x))))
＝eq \f(9,2)，
当且仅当x＝eq \f(2,3)时，等号成立，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(4,a－x)(014．一试验田中的某种作物一株生长的果实个数服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为________．
答案 2.1
解析 因为x～N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2，
所以P(x＞110)＝0.2，
所以P(90≤x≤110)＝0.5﹣0.2＝0.3，
所以X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1﹣0.3)＝2.1.
15．(多选)(2022·徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq \f(1,3)，出现1的概率为eq \f(2,3)，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( )
A．X服从二项分布B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝1))＝eq \f(8,81)
C．X的均值Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝eq \f(8,3)D．X的方差Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝eq \f(8,3)
答案 ABC
解析 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故5位数中后4位的所有结果有5类：
①后4个数都出现0，X＝0，
记其概率为P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,81)；
②后4个数只出现1个1，X＝1，
记其概率为P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(8,81)；
③后4个数出现2个1，X＝2，
记其概率为P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(24,81)，
④后4个数出现3个1，X＝3，
记其概率为
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3·eq \f(1,3)＝eq \f(32,81)，
⑤后4个数都出现1，X＝4，
记其概率为P(X＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＝eq \f(16,81)，
故X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，故A，B正确；
∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
∴E(X)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故C正确；
∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
∴X的方差D(X)＝4×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,9)，故D错误．
16．(2022·广州模拟)某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批(1 000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位：mm)，统计结果如下表：
(1)将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06 mm的零件数为随机变量X，求X的均值；
(2)假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N(2.069，0.012)．根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Y>m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品．请估计m的值(结果保留三位小数)．
附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝eq \f(Y－μ,σ)，
则Z～N(0,1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.
解 (1)依题意可得，P(尺寸不大于2.06 mm)＝eq \f(4＋36,100)＝0.4，∴X～B(1 000,0.4)，
∴E(X)＝1 000×0.4＝400.
(2) 设合格零件的最大尺寸为m mm，
∴P(Y≤m)≈0.9，
令Z＝eq \f(Y－2.069,0.01)，则Y＝0.01Z＋2.069，
∴P(Y≤m)＝P(0.01Z＋2.069≤m)≈0.9，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Z≤\f(m－2.069,0.01)))≈0.9且P(Z≤1.28)≈0.9，
∴eq \f(m－2.069,0.01)≈1.28，
∴m≈2.082.
故合格零件的最大尺寸约为2.082 mm.X
0
1
2
3
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
规格
中蟹
大蟹
特大蟹
重量(单位：克)
[160，180)
[180，200)
[200，220)
[220，240)
[240，260)
[260，280]
数量(单位：只)
3
2
15
20
7
3
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
分组(单位：毫米)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，95)
[95，100]
频数
100
100
m
350
150
n
零件的尺寸
(2，2．03]
(2.03，2．06]
(2.06，2．09]
2.09以上
零件的个数
4
36
56
4
知识梳理
一、二项分布
1．伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1﹣p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1﹣p)．
二、超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n﹣N＋M}，
r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
三、正态分布
1．定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))· SKIPIF 1 < 0 ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，
则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．3σ原则
(1)P(μ﹣σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ﹣3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
常用结论
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq \f(nM,N)，D(X)＝eq \f(nM,N)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(M,N)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n－1,N－1))).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果相互独立．( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．( √ )
教材改编题
1．已知X～B(20，p)，且E(X)＝6，则D(X)等于( )
A．1.8 B．6 C．2.1 D．4.2
答案 D
解析 因为X服从二项分布X～B(20，p)，
所以E(X)＝20p＝6，得p＝0.3，
故D(X)＝np(1﹣p)＝20×0.3×0.7＝4.2.
2．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________.
答案 eq \f(3,10)
解析 由题意得P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,7),C\\al(4,10))＝eq \f(3,10).
3．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100
解析 ∵考试的成绩X服从正态分布
N(110,102)，
∴该正态曲线关于X＝110对称，
∵P(100
题型一 二项分布
例1 (2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是eq \f(2,3)，那么在本次运动会上：
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．
解 (1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A，
则有P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)
＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(20,27).
(2)由(1)可知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，
则P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))3＝eq \f(1,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·eq \f(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2＝eq \f(2,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
所以X的分布列为
所以均值E(X)＝0×eq \f(1,27)＋1×eq \f(2,9)＋2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(8,27)＝2.
教师备选
出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是eq \f(1,3).
(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．
解 (1)依题意，这位司机在第三个交通岗遇到红灯，在第一、二个交通岗未遇到红灯，
所以这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率P＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27).
(2)X的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6，
这位司机经过一个交通岗就是一次试验，有遇到红灯和未遇到红灯两个结果，X＝k(k∈N，k≤6)的事件相当于6次独立重复经过交通岗一次的试验，恰有k次遇到红灯的事件，于是得随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(1,3)))，
所以E(X)＝6×eq \f(1,3)＝2，D(X)＝6×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,3).
思维升华 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
跟踪训练1 (2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．
(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；
(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．
①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．
解 (1)由雷达图可知，这20个会员对售后服务满意的频率为eq \f(14,20)＝0.7.
(2)①设“只有1个会员对售后服务不满意”为事件A，则P(A)＝Ceq \\al(1,3)×0.3×0.72＝0.441.
②因为X～B(3,0.7)，
所以E(X)＝3×0.7＝2.1，D(X)＝3×0.7×0.3＝0.63，eq \r(DX)≈0.8.
题型二 超几何分布
例2 2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和核心舱顺利实现了快速交会对接．据航天科技集团五院的专家介绍，此次天舟货运飞船携带的物资可以供3名航天员在太空中生活3个月，这将创造中国航天员驻留太空时长新的记录．如果首次执行空间站的任务由3名航天员承担，在3名女性航天员(甲、乙、丙)和4名男性航天员(丁、戊、己、庚)共7名航天员中产生．
(1)求所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员的概率；
(2)求所选的3名航天员中女航天员人数X的分布列及均值．
解 (1)设“所选的3名航天员既有男航天员又有女航天员”为事件M，
则P(M)＝1﹣eq \f(C\\al(3,3)＋C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(6,7).
(2)女航天员人数X＝0,1,2,3，
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,3),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以X的分布列为
E(X)＝eq \f(nM,N)＝eq \f(3×3,7)＝eq \f(9,7).
教师备选
为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为eq \f(2,3).A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．
(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
解 (1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P1＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，
B恰好答对2个问题的概率为
P2＝Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1＝eq \f(4,9).
(2)X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)；
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)；
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5).
所以E(X)＝1×eq \f(1,5)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,5)＝2，
D(X)＝(1﹣2)2×eq \f(1,5)＋(2﹣2)2×eq \f(3,5)＋(3﹣2)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5).
易知Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，
所以E(Y)＝3×eq \f(2,3)＝2，D(Y)＝3×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
因为E(X)＝E(Y)，D(X)
思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
跟踪训练2 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：
(1)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，试估计该批大闸蟹有多少只？(所得结果四舍五入保留整数)
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260,280]上的大闸蟹数量为X，求X的分布列和均值．
解 (1)50只大闸蟹的平均重量为
eq \f(1,50)×(170×3＋190×2＋210×15＋230×20＋250×7＋270×3)＝224，
所以水产品超市购进的100千克大闸蟹只数约为100 000÷224≈446.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，
概率分别为
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(4,7),C\\al(4,10))＝eq \f(1,6)；
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(3,7),C\\al(4,10))＝eq \f(1,2)；
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,7),C\\al(4,10))＝eq \f(3,10)；
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(1,7),C\\al(4,10))＝eq \f(1,30)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
题型三 正态分布
例3 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案 D
解析 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．
(2)(2022·秦皇岛模拟)在某市高三的一次模拟考试中，学生的数学成绩ξ服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，则P(90≤ξ≤120)＝________.
答案 0.5
解析 因为ξ～N(105，σ2)，
且P(ξ<120)＝0.75，
所以P(105≤ξ≤120)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，
所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.
教师备选
1．(2022·烟台调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ﹣σ≤X≤μ＋σ)≈0.68，P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.96)
答案 0.16 10
解析 因为数学成绩X服从正态分布N(100,17.52)，则P(100﹣17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.68，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝eq \f(1－P82.5≤X≤117.5,2)≈eq \f(1－0.68,2)＝0.16.又P(100﹣17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P(X>135)＝eq \f(1－P65≤X≤135,2)≈eq \f(1－0.96,2)＝0.02.又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是eq \f(80,0.16)×0.02＝10.
2．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差εn～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,n)))，为使误差εn在(﹣0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ)，则P(|X﹣μ|<2σ)＝0.954 5)
答案 32
解析 P(|εn﹣μ|<2σ)＝0.954 5，
又μ＝0，σ2＝eq \f(2,n)，
即P(μ﹣2σ<εn<μ＋2σ)
＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2\r(\f(2,n))<εn<2\r(\f(2,n))))＝0.954 5，
由题意知2eq \r(\f(2,n))≤eq \f(1,2)，
所以n≥32.
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 (1)(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X～B(3，p)，Y～N(2，σ2)，若P(X≥1)＝0.657，P(0
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 A
解析 由题意，P(X≥1)＝1﹣P(X＝0)＝1﹣(1﹣p)3＝0.657，
解得p＝0.3，则P(0
甲：P(ξ
乙：P(ξ>a)＝0.5；
丙：P(ξ≤a)＝0.5；
丁：P(a<ξ
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案 D
解析 由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，根据正态分布密度曲线的对称性可知，甲：P(ξ<μ﹣1)>P(ξ>μ＋2)为真命题，所以丁为假命题．并且，P(μ<ξ<μ＋1)>P(μ＋1<ξ<μ＋2)．所以假命题是丁．
课时精练
1．(2022·云南西南名校联考)已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ﹣3)＝5，则D(3ξ)等于( )
A.eq \f(8,3) B．8 C．12 D．24
答案 D
解析 因为E(2ξ﹣3)＝2E(ξ)﹣3
＝2×12p﹣3＝5，所以p＝eq \f(1,3).
故D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝24.
2．一个袋中装有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是( )
A.eq \f(13,35) B.eq \f(14,35) C.eq \f(18,35) D.eq \f(22,35)
答案 A
解析 记得分为X，则X的所有可能取值为5,6,7,8，P(X＝7)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,3),C\\al(4,7))＝eq \f(12,35)；
P(X＝8)＝eq \f(C\\al(4,4)C\\al(0,3),C\\al(4,7))＝eq \f(1,35)，
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)
＝eq \f(12,35)＋eq \f(1,35)＝eq \f(13,35).
3．(2022·烟台模拟)袋中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个相同小球，现有一款摸球游戏，从袋中一次性摸出三个小球，记下号码并放回，如果三个号码的和是3的倍数，则获奖，若有4人参与摸球游戏，则恰好2人获奖的概率是( )
A.eq \f(36,625) B.eq \f(128,625) C.eq \f(216,625) D.eq \f(336,625)
答案 C
解析 从袋中六个小球一次性摸出三个小球，有Ceq \\al(3,6)＝eq \f(6×5×4,3×2×1)＝20(个)样本点，
三个号码的和是3的倍数的有(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,5)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，共8个样本点，所以摸一次中奖的概率P＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5).
有4人参与摸球游戏，恰好2人获奖的概率为
Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(216,625).
4．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是eq \f(2,3)，向右的概率是eq \f(1,3)，则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )
A.eq \f(16,729) B.eq \f(80,243) C.eq \f(4,729) D.eq \f(20,243)
答案 D
解析 根据题意可知，机器人每秒运动一次，
则6秒共运动6次，
若其从A(0,0)点出发，6秒后到达B(4,2)点，
则需要向右走4步，向上走2步，
故其6秒后到达B点的概率为
Ceq \\al(2,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(60,729)＝eq \f(20,243).
5．(多选)(2022·昆明模拟)已知两种不同型号的电子元件(分别记为X，Y)的使用寿命均服从正态分布，X～N(μ1，σeq \\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq \\al(2,2))，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是( )
参考数据：若Z～N(μ，σ2)，
则P(μ﹣σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ﹣2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.
A．P(μ1﹣σ1
答案 ABD
解析 对于A，P(μ1﹣σ1
所以P(Y≥μ2)
所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，C选项错误；
对于D，对于任意的正数t，由图象知P(X≤t)表示的面积始终大于P(Y≤t)表示的面积，
所以P(X≤t)>P(Y≤t)，D选项正确．
6．(多选)(2022·张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3))) B．P(X＝2)＝eq \f(8,81)
C．E(X)＝eq \f(8,3) D．D(X)＝eq \f(8,9)
答案 ACD
解析 从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，故A正确；
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(24,81)，故B错误；
因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
所以E(X)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故C正确；
D(X)＝4×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,9)，故D正确．
7．(2021·天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为eq \f(5,6)和eq \f(1,5)，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________．
答案 eq \f(2,3) eq \f(20,27)
解析 由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为eq \f(5,6)×eq \f(4,5)＝eq \f(2,3)，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(20,27).
8．一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________.
答案 eq \f(9,10) eq \f(6,5)
解析 一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，
从中任意取出3个球，样本点总数n＝Ceq \\al(3,5)＝10，
其中有黄球包含的样本点个数m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)＝9.
所以有黄球的概率是P＝eq \f(m,n)＝eq \f(9,10).
ξ表示取到黄球的个数，
则ξ的所有可能取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(6,10)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,10)＋1×eq \f(6,10)＋2×eq \f(3,10)＝eq \f(6,5).
9．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”．双方出示的手势相同时，不分胜负．假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，假设每次游戏的结果互不影响，求X的分布列和方差．
解 (1)玩家甲、乙在1次游戏中出示手势的所有样本点有3×3＝9(个)，
其中玩家甲胜玩家乙的有(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个样本点，
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(1,27).
所以X的分布列为
因为X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,3)))，
所以X的方差D(X)＝3×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).
10．(2022·南通模拟)面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X(单位：mm)．
(1)现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124 mm的有3个．若从中随机抽取4个，记ξ表示取出的零件中直径大于124 mm的零件的个数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)若新机床生产的零件直径X～N(120,4)，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124 mm的概率．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(|X﹣μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X﹣μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X﹣μ|≤3σ)≈0.997 3，0.977 2510≈0.794 4,0.954 510≈0.627 7.
解 (1)由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(4,7)C\\al(0,3),C\\al(4,10))＝eq \f(35,210)＝eq \f(1,6)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(3,7)C\\al(1,3),C\\al(4,10))＝eq \f(105,210)＝eq \f(1,2)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,3),C\\al(4,10))＝eq \f(63,210)＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(1,7)C\\al(3,3),C\\al(4,10))＝eq \f(7,210)＝eq \f(1,30)，
所以ξ的分布列为
故E(ξ)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5).
(2)因为X～N(120,4)，
所以P(μ﹣2σ≤X≤μ＋2σ)
＝P(116≤X≤124)≈0.954 5，
P(120≤X≤124)＝eq \f(1,2)P(116≤X≤124)
≈0.477 25，
P(X≥124)＝eq \f(1,2)﹣P(120≤X≤124)
≈eq \f(1,2)﹣0.477 25＝0.022 75，
则P(X≤124)＝1﹣P(X≥124)＝0.977 25，
故至少有一个零件直径大于124 mm的概率为
P＝1﹣(0.977 25)10≈1﹣0.794 4＝0.205 6.
11．(多选)(2022·青岛模拟)某渔业养殖场新进1 000尾鱼苗，测量其体长(单位：毫米)，将所得数据分成6组，其分组及频数情况如下表：
已知在按以上6个分组作出的频率分布直方图中，[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，则下列说法正确的是( )
A．m＝250
B．鱼苗体长在[90,100]上的频率为0.16
C．鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内
D．从这批鱼苗中有放回地连续抽取50次，每次一条，则所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数的均值为30
答案 ACD
解析 因为[95,100]分组对应小矩形的高为0.01，组距为5，所以[95,100]分组对应的频率为0.01×5＝0.05，n＝1 000×0.05＝50，
则m＝1 000﹣100﹣100﹣350﹣150﹣50＝250，A正确；
鱼苗体长在[90,100]上的频率为eq \f(150＋50,1 000)＝0.2，B错误；
因为鱼的总数为1 000,100＋100＋250＝450,100＋100＋250＋350＝800，
所以鱼苗体长的中位数一定落在区间[85,90)内，C正确；
由表中数据易知，鱼苗体长落在区间[80,90)上的概率P＝eq \f(250＋350,1 000)＝0.6，
设所抽取鱼苗体长落在区间[80,90)上的次数为X，则X服从二项分布，即X～B(50,0.6)，
则E(X)＝50×0.6＝30，D正确．
12．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是( )
A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq \f(1,8)
B．答对1题的概率为eq \f(3,8)
C．答对2题的概率为eq \f(5,12)
D．合格的概率为eq \f(1,2)
答案 CD
解析 设此人答对题目的个数为ξ，
则ξ＝0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(0,5)C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，
故选项A错误；
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，故选项B错误；
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，故选项C正确；
至少答对2题的概率为eq \f(5,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,2)，
故选项D正确．
13．(2022·沈阳质检)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,a－x)(0
答案 B
解析 因为随机变量ξ～N(1，σ2)，
且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则eq \f(a,2)＝1，可得a＝2，
eq \f(1,x)＋eq \f(4,a－x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(4,2－x)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,2－x)))[x＋(2﹣x)]
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋4＋\f(2－x,x)＋\f(4x,2－x)))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2－x,x)·\f(4x,2－x))))
＝eq \f(9,2)，
当且仅当x＝eq \f(2,3)时，等号成立，
所以eq \f(1,x)＋eq \f(4,a－x)(0
答案 2.1
解析 因为x～N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.2，
所以P(x＞110)＝0.2，
所以P(90≤x≤110)＝0.5﹣0.2＝0.3，
所以X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1﹣0.3)＝2.1.
15．(多选)(2022·徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为eq \f(1,3)，出现1的概率为eq \f(2,3)，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时( )
A．X服从二项分布B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝1))＝eq \f(8,81)
C．X的均值Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝eq \f(8,3)D．X的方差Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝eq \f(8,3)
答案 ABC
解析 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故5位数中后4位的所有结果有5类：
①后4个数都出现0，X＝0，
记其概率为P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,81)；
②后4个数只出现1个1，X＝1，
记其概率为P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3＝eq \f(8,81)；
③后4个数出现2个1，X＝2，
记其概率为P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(24,81)，
④后4个数出现3个1，X＝3，
记其概率为
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3·eq \f(1,3)＝eq \f(32,81)，
⑤后4个数都出现1，X＝4，
记其概率为P(X＝4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))4＝eq \f(16,81)，
故X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，故A，B正确；
∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
∴E(X)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，故C正确；
∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
∴X的方差D(X)＝4×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,9)，故D错误．
16．(2022·广州模拟)某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批(1 000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位：mm)，统计结果如下表：
(1)将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06 mm的零件数为随机变量X，求X的均值；
(2)假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N(2.069，0.012)．根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Y>m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品．请估计m的值(结果保留三位小数)．
附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝eq \f(Y－μ,σ)，
则Z～N(0,1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.
解 (1)依题意可得，P(尺寸不大于2.06 mm)＝eq \f(4＋36,100)＝0.4，∴X～B(1 000,0.4)，
∴E(X)＝1 000×0.4＝400.
(2) 设合格零件的最大尺寸为m mm，
∴P(Y≤m)≈0.9，
令Z＝eq \f(Y－2.069,0.01)，则Y＝0.01Z＋2.069，
∴P(Y≤m)＝P(0.01Z＋2.069≤m)≈0.9，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Z≤\f(m－2.069,0.01)))≈0.9且P(Z≤1.28)≈0.9，
∴eq \f(m－2.069,0.01)≈1.28，
∴m≈2.082.
故合格零件的最大尺寸约为2.082 mm.X
0
1
2
3
P
eq \f(1,27)
eq \f(2,9)
eq \f(4,9)
eq \f(8,27)
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
规格
中蟹
大蟹
特大蟹
重量(单位：克)
[160，180)
[180，200)
[200，220)
[220，240)
[240，260)
[260，280]
数量(单位：只)
3
2
15
20
7
3
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
分组(单位：毫米)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
[85，90)
[90，95)
[95，100]
频数
100
100
m
350
150
n
零件的尺寸
(2，2．03]
(2.03，2．06]
(2.06，2．09]
2.09以上
零件的个数
4
36
56
4
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