2024届西藏林芝市第二高级中学高三上学期第三次月考数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,集合,则( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据指数不等式的解法,求出集合,再利用集合交集的运算即可求出结果.
【详解】由,得到,所以,
又,所以,
故选:A.
2.若复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】确定,计算得到答案.
【详解】,则.
故选:C.
3.下列结论中正确的个数是( )
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题;
②命题“”是全称量词命题;
③命题“”的否定为“”;
④命题“是的充分条件”是真命题;
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念,存在量词命题的否定,充分条件的定义,分析选项,即可得答案.
【详解】对于①,命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故①错误;
对于②,命题“”是全称量词命题,故②正确;
对于③,“”的否定为“”,故③错误;
对于④,当时,,
故由不能推出,
所以命题“是的充分条件”是假命题,故④错误.
故选:B.
4.已知,则的最小值是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】D
【分析】由基本不等式可得答案.
【详解】已知,则,,
当且仅当,即时“”成立,故所求最小值是16.
故选:D.
5.“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解分式、一元二次不等式求a范围,根据充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由或,
由或,
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选:B
6.记是等差数列的前n项和,若,,则( )
A.16 B.8 C.4 D.2
【答案】C
【分析】利用等差数列定义可求得是以为首项,2为公差的等差数列,代入前n项和公式可求得.
【详解】设等差数列的首项为,公差为,
根据题意可知,解得;
所以可得.
故选:C
7.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率,由此可得切线方程.
【详解】,所求切线斜率,
所求切线方程为:,即.
故选:A.
8.已知角终边上一点,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由任意角三角函数的定义求出,再由诱导公式化简代入即可得出答案.
【详解】因为角终边上一点,所以
.
故选:B.
9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为( )
A.228里 B.192里 C.126里 D.63里
【答案】B
【分析】应用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】由题意得,该人所走路程构成以为公比的等比数列,令该数列为,其前项和为,
则有,解得,
故选:B.
10.圆的圆心在抛物线上,则该抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由圆的方程得出圆心坐标,代入抛物线方程求得参数后可得焦点坐标.
【详解】圆的圆心坐标为,则,得,所以该抛物线的焦点坐标为.
故选:A.
11.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】利用图中数据计算函数值的正负,即可结合选项排除求解.
【详解】由于,故可排除B,
由,此时可排除A,
由,此时可排除D,
故选:C
12.定义在R上的函数满足:对任意的(),都有,且,函数关于直线对称,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据题意得到在上单调递减,且为偶函数,故在上单调递增,分和,结合函数单调性求出解集.
【详解】因为对任意的(),都有,
所以在上单调递减,
因为关于直线对称,所以关于轴对称,即为偶函数,
所以在上单调递增,
因为,所以,
当时,,令得,即,
所以,所以,
当时,,令得,即,
所以,所以,
综上,的解集为.
故选:C
二、填空题
13.已知平面向量,若与平行,则 .
【答案】
【分析】计算出,根据向量平行得到方程,求出.
【详解】,
由题意得,解得.
故答案为:
14.已知圆的圆心为,则点到直线(为参数)的距离为 .
【答案】
【分析】根据圆的方程确定圆心,再将直线的参数方程转化为普通方程,根据点到直线距离公式直接计算.
【详解】圆的圆心为,
直线,消参可得,
故圆心到直线的距离,
故答案为:.
15.已知函数则 .
【答案】
【分析】根据的值代入相应的解析式即可.
【详解】因为,
所以.
故答案为:.
16.双曲线C的渐近线方程为,一个焦点为,点,点为双曲线第一象限内的点,则当点的位置变化时,周长的最小值为 .
【答案】
【分析】根据焦点坐标和渐近线方程求出双曲线的方程,结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为焦点在纵轴上,设该双曲线的方程为,
因为焦点为,所以,
因为双曲线C的渐近线方程为,
所以,由可解,即,
双曲线的另一个焦点为,则有,
周长为:,
当三点共线时,有最小值,最小值为,
所以周长的最小值为,
故答案为:
三、解答题
17.已知椭圆经过点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交椭圆于,两点,是坐标原点,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆经过的两点可求,即可得椭圆方程;
(2)联立直线和椭圆方程,求出交点坐标即可求面积.
【详解】(1)因为椭圆经过点,所以,
把点的坐标代入方程,得,解得.
所以椭圆的方程为.
(2)联立方程组消去,得.
解得或不妨设,,则.
18.已知数列满足,且数列的前n项和.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题目条件得到为公差为2的等差数列,首项为1,求出通项公式;
(2)利用错位相减法求和即可.
【详解】(1)因为,所以,
故为公差为2的等差数列,
中,令得,解得,
则;
(2),
故①,
则②,
两式①-②得
,
故.
19.在①,②中任选一个作为已知条件,补充在下列问题中,并作答.
问题:在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知______.
(1)求B;
(2)若的外接圆半径为2,且,求ac.
注:若选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)选①利用余弦定理即可求出;选②根据正弦定理进行边换角即可得到答案;
(2)首先求出,再利用正弦定理整体求出即可.
【详解】(1)选择条件①:
因为,在中,由余弦定理可得,
即,则,
因为,所以.
选择条件②:
因为,在中,由正弦定理可得,
即,则,
因为,所以,则,
因为,所以.
(2)因为,所以,则,
即,又,
所以.因为的外接圆半径,
所以由正弦定理可得,所以.
20.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知直线交抛物线于两点,且点为线段的中点,求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用抛物线定义可求得,即可求出抛物线的方程;
(2)由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为,便可得直线方程.
【详解】(1)点在抛物线上,
由抛物线定义可得,解得,
故抛物线的标准方程为.
(2)设,如下图所示:
则,两式相减可得,
即,
又线段的中点为,可得;
则,故直线的斜率为4,
所以直线的方程为,
即直线的方程为.
21.已知函数.
(1)当时,求的单调性;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间为,;单调递增区间为
(2)
【分析】(1)利用导数直接求单调区间即可;
(2)先将不等式由分式化整式,再用指对互化构造同构,换元后再分参处理恒成立问题即可解决.
【详解】(1)当时,,
,
令得:;
令得:或,
所以的单调递减区间为:,;
单调递增区间为:.
(2)因为在上恒成立,
所以(*)在上恒成立,
令,则,
则在上递减,在上递增.
所以的最小值为,即,
则(*)式化为:,
当时,显然成立.
当时,恒成立,
令,则,
,
当时,在上递增.
所以即,可得,
所以即
可得,
当时,,
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以实数a的取值范围为:.
【点睛】方法点睛:指对同式时的不等式问题,可用指对同构法来处理,即用指对互化来实现同构.
22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)若曲线C和直线相交于A、B两点,A、B的中点为M,点,求.
【答案】(1),;
(2)
【分析】(1)消去参数即可得到直线l的直角坐标方程,利用极坐标与直角坐标的转化关系,即可将C由极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)求出直线l的参数方程,将其代入到圆的直角坐标方程中,利用韦达定理求出,,利用参数的几何意义即可求出.
【详解】(1)由直线l的参数方程为,消去参数可得,
∵曲线C的极坐标方程为,∴,
∴,即;
(2)设过定点的直线的参数方程为,
将直线代入得,
即,,
.
23.已知.
(1)当,时,解不等式;
(2)若的最小值为2,求的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)当,时,, 分类讨论即可得解;
(2)由绝对值三角不等式可得,
若的最小值为2,则,所以,再利用基本不等式即可求最小值.
【详解】(1)当,时,
,
所以或或,
解得:或,
故解集为;
(2)由,
所以,
若的最小值为2,则,所以,
,
所以的最小值为.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式,考查了绝对值三角不等式以及基本不等式的应用,考查了分类讨论思想,属于基础题.