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沪科版七年级数学上册专题特训 专题4.3 线段中的动点问题专项训练（40道）（原卷版+解析版）
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这是一份沪科版七年级数学上册专题特训 专题4.3 线段中的动点问题专项训练（40道）（原卷版+解析版），共78页。
专题4.3 线段中的动点问题专项训练（40道） 【沪科版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题的所有类型！ 解答题（共40小题） 1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝ ，PB＝ ．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； (2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； (3)若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)a=___________，b=___________，线段AB=___________； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值． 4．（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动） (1)若cm． ①运动1 s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：． (2)如果s时，cm，试探索的长． 5．（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点． (1)若点P在线段上运动，当t为多少时，？ (2)若点P在射线上运动，N为线段上的一点． ①当N为的中点时，求线段的长度； ②当时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2． (1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； (2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣BN的值不变；② BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值 7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点． （1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长； （2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值； （3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中： ①是定值； ②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 9．（2022·湖北·武汉六中上智中学七年级阶段练习）如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且. (1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长. (2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值. (3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由. 10．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点． (1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 条； ②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由； (3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=AD时，请直接写出t的值． 11．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，、、三点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点为线段的中点.动点在数轴上，且点表示的数为. （1）求点表示的数； （2）点从点出发，向终点运动.设中点为.请用含的整式表示线段的长. （3）在（2）的条件下，当为何值时，？ 12．（2022·福建· 七年级期末）如图，在三角形中，，，．点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿的方向运动，点从点沿的方向与点同时出发；当点第一次回到点时，点，同时停止运动；用（秒）表示运动时间． （1）当为多少时，是的中点； （2）若点的运动速度是个单位长度/秒，是否存在的值，使得； （3）若点的运动速度是个单位长度/秒，当点，是边上的三等分点时，求的值． 13．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，在数轴上有点、、三个点，且点、、三点所表示的数分别为、、，如下图所示已知． （1）=_______；=_______；=________． （2）若动点、分别从、两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值． （3）点、分别自、同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒），时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点、重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度． 14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 15．（2022·北京四中七年级期中）在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2． （1）求线段的长． （2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由． （3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由． 16．（2022·全国·七年级）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝ ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 17．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点P是的三等分点，则=__________． （2）已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长． ②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 19．（2022·山东济南·七年级期末）已知线段个单位长度． （1）如图1，点沿线段自点出发向点以1个单位长度每秒的速度运动，同时点沿线段自点出发向点以2个单位长度每秒的速度运动，几秒钟后，、两点相遇？ （2）如图1，几秒后，、两点相距3个单位长度？ （3）如图2，个单位长度，个单位长度，当点在的上方，且时，点绕着点以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点沿线段自点向点运动，假若、两点能相遇，求点的运动速度． 20．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C点到达B点时停止运动），F为OE中点． （1）当C点运动到AO中点时，求BF长度； （2）在C点运动的过程中，猜想线段CF 和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由； （3）① 当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． ② 若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为 秒（直接写出答案）； 21．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，P点从点A开始以的速度沿的方向移动，Q点从点C开始以的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间． （1）如图1，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，； （2）如图2，点Q在上运动，当t为何值时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段的长度等于线段的长． 22．（2022·河南漯河·七年级期末）新规定：点为线段上一点，当或时，我们就规定为线段的“三倍距点”． 如图，在数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为5． （1）确定点所表示的数为___________； （2）若动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． ①求的长度（用含的代数式表示）； ②当点为线段的“三倍距点”时，求出的值． 23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 24．（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 25．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 26．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)解决问题： ①当时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 27．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值． (3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值． 28．（2022·全国·七年级课时练习）【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm； (3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 29．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是10，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． (1)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间； (2)问运动多少秒时（单位长度）； (3)设线段，开始运动后的运动时间为秒，当为何值时，恰好满足． 30．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 31．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 32．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度为________； (2)当t为何值时，M、N两点重合? (3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由． 33．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 34．（2022·全国·七年级课时练习）如图，点在线段上，cm，cm．点以1cm/s的速度从点沿线段向点运动；同时点以2cm/s的速度从点出发，在线段上做往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动．设点运动的时间为（s）． (1)当时，求的长． (2)当点为线段的中点时，求的值． (3)若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 35．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点． (1)求线段AB，CD的长； (2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长； (3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 36．（2022·全国·七年级阶段练习）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示数C，且点A、B表示的数、满足：． (1)当AC的长度为6个单位长度时，则 ， ， ． (2)在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长度是多少？ (3)点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度向点B运动，到达点B停留3秒钟后加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A；点N从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到点O后停止；结果点M到点A比点N到点O晚1秒钟，设点M从出发到运动结束的整个过程时间记为t秒，求在整个运动过程中，当MN=1时t的值． 37．（2022·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝30cm，AB＝90cm，BC＝15cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值． 38．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣4，点C在数轴上表示的数是4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时BC=2（单位长度）？ (2)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP=3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 39．（2022·重庆九龙坡·七年级阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． 问： （1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ； （2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 40．（2022·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝AB，则dC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义． 应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ； （2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts． ①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系； ②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？ 拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB． 专题4.3 线段中的动点问题专项训练（40道） 【沪科版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题的所有类型！ 一．解答题（共40小题） 1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝ ，PB＝ ．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)3；18 (2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP (3)是；理由见解析 【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB； （2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可； （3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN的长度，即可作出判断． （1） 解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18． 故答案为：3；18． （2） 解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（24−2t）， 解得t＝9； ②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（2t−24）， 解得t＝18． 综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP． （3） 解：是，理由如下： 设运动时间为x秒， 则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12， ∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12， 即MN的值为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． 2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； (2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； (3)若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为；点P表示的数为； （2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据，列出方程求解即可； （3）根据动点P在数轴上运动，点到原点的距离等于点到原点的距离相等， 故，由此可得出结论； （1） ∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2） 设点P运动t秒时，与点Q重合，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点P运动秒时与点Q重合； （3） 由（1）知，表示，表示，表示，表示， 为中点， 表示， 为中点， 表示， 点到原点的距离等于点到原点的距离相等， ， 即， 当时，（舍去）， 当时，， 答：当时，点到原点的距离等于点到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)a=___________，b=___________，线段AB=___________； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值． 【答案】(1)，20，30； (2)3或75； (3)． 【分析】（1）由题意直接可求解； （2）①当点C在之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论； （3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和F表示的数，由得的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得结论． （1） 解：由题意知：， ∴， ∴的距离为 故答案为：，20，30； （2） 分两种情况： ①当点C在AB之间时，如图1， ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴； ②当点C在点B的右侧时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，的长是3或75； （3） 由题意得：点G表示的数为：：，点H表示的数为：， ∵，， ∴点G在线段之间， ∵D为的中点， ∴点D表示的数为： ， ∵F是的中点， ∴点F表示的数为：， ∵， ∵， ∴ ， ∴点E表示的数为： t， ∴ ． 【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键． 4．（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动） (1)若cm． ①运动1 s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：． (2)如果s时，cm，试探索的长． 【答案】(1)①cm；②见解析 (2)的长为11cm或13cm 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． （1） ①当时，cm，cm， ∵cm，cm， ∴cm， ∴cm； ②∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2） 当时，cm，cm， 当点D在C的右边时， 如图： ， ∴cm； 当点D在C的左边时， 如图： ， ∴cm； 综上可得，AP的长为11cm或13cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键． 5．（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点． (1)若点P在线段上运动，当t为多少时，？ (2)若点P在射线上运动，N为线段上的一点． ①当N为的中点时，求线段的长度； ②当时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)8； (2)①12．②当时，P是的中点；当时，N是的中点． 【分析】（1）根据M是线段的中点，可得，从而得到，再由，即可求解； （2）①分两种情况讨论：当点P在B点左侧时；当点P在B点或B点右侧时，即可求解；②分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． （1） 解∶根据题意得：， ∵M是线段的中点， ∴， ． ∵， ∴， 解得． ∴当时，； （2） ①当点P在B点左侧时． ∵M是线段的中点， ∴， ∵N是线段的中点， ∴． ∴． 当点P在B点或B点右侧时． ∵M是线段的中点， ∴， ∵N是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长度为12； ②当时，存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得， ． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得， ． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得，（舍去）． 综上，当时，P是的中点；当时，N是的中点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解． 6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2． (1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； (2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣BN的值不变；② BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值 【答案】(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣和；(2)正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5． 【分析】（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的点，由此求得BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可解答． 【详解】(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2， ∴AB＝5． 解方程2x+1＝x﹣5得x＝﹣4． 所以BC＝2﹣（﹣4）＝6． 所以． 设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a， ①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3， PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8， 解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件； ②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a， 所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件； ③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．， 所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2， 所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和． (2)设P点所表示的数为n， ∴PA＝n+3，PB＝n﹣2． ∵PA的中点为M， ∴PM＝PA＝． N为PB的三等分点且靠近于P点， ∴BN＝PB＝×（n﹣2）． ∴PM﹣BN＝﹣××（n﹣2）， ＝（不变）． ②PM+BN＝+××（n﹣2）＝n﹣（随P点的变化而变化）． ∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键． 7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB上的处；（2）；（3）②的值不变. 【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处； （2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系； （3）当点C停止运动时，有CD＝AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝AB． 【详解】解：（1）由题意：BD=2PC ∵PD=2AC， ∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP. ∴点P在线段AB上的处； （2）如图： ∵AQ-BQ=PQ， ∴AQ=PQ+BQ， ∵AQ=AP+PQ， ∴AP=BQ， ∴PQ=AB， ∴ （3）②的值不变. 理由：如图， 当点C停止运动时，有CD=AB， ∴CM=AB， ∴PM=CM-CP=AB-5， ∵PD=AB-10， ∴PN=AB-10）=AB-5， ∴MN=PN-PM=AB， 当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变， 所以. 【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点． （1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长； （2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值； （3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中： ①是定值； ②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析. 【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得； （2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时； （3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧； 【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB， ∴AB＝30； （2）∵点M为BD中点，点N为CD中点， ∴BM＝BD，DN＝NC， ①D在BC之间时： BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN， ∴＝2； ②D在AB之间时： BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN， ∴＝2； ③D在A点左侧时： BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN， ∴＝2； 故＝2； （3）点E是AP的中点，点F是BC的中点． ∴AE＝EP，BF＝CF， ① EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC， BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB， AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB， ∴＝2． ② EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC， BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB， AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE， ∴＝2． ③ EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+ AB， BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB， ∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE， ∴＝2． 【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键． 9．（2022·湖北·武汉六中上智中学七年级阶段练习）如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且. (1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长. (2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值. (3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由. 【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析. 【分析】（1）根据，AB=10，求出CD长，再由B为线段AC的中点，求出AC长，即可求出AD； （2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入中解出t即可； （3）由，在点A和C之间有一点P，得到，，化简即可证明BP为定值. 【详解】解：（1）∵，AB=10， ∴， ∵B为线段AC的中点， ∴， ∴； （2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t， ∴，， ∵， ∴， ①当0≤t＜10时，，解得：，0≤6＜10，成立； ②当10≤t＜21时，，方程无解； ③当21≤t时，，解得：，21≤25，成立； t=6或25； （3）∵，在点A和C之间有一点P ， ∴，， ∴ ∴BP=1，为定值. 【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解决本题的关键，属于压轴题. 10．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点． (1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 条； ②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由； (3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=AD时，请直接写出t的值． 【答案】(1) ①6条；②10；(2)，证明见解析；(3) . 【分析】（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA+PD最小，即P为AD的中点，求出AD的长即可； (2) 根据M，N分别为AC，BD的中点，得到，，利用代入化简即可； (3) 根据C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，得到，，并可得到，，，代入AQ+AE+AF=AD，化简则可求出t. 【详解】解：(1) ①线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条； ②∵BD=6，BC=1， ∴CD=BD-BC=6-1=5， 当PA+PD的值最小时，P为AD的中点， ∴； (2). 如图2示： ∵M，N分别为AC，BD的中点， ∴， ∴ ； (3)如图示： ∵C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm， ∴，， 根据E，F两点同时从C，D出发，速度是2cm/s，1cm/s，Q为EF的中点，运动时间为t， 则有：，， 当AQ+AE+AF=AD时， 则有： 即是： 解之得：. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程． 11．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，、、三点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点为线段的中点.动点在数轴上，且点表示的数为. （1）求点表示的数； （2）点从点出发，向终点运动.设中点为.请用含的整式表示线段的长. （3）在（2）的条件下，当为何值时，？ 【答案】（1）2；（2）；（3）当或时，有成立. 【分析】（1）根据中点的定义，即可求出点C的坐标； （2）先表示出点M的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC的长度； （3）分别求出AP，MC和PC的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x的值. 【详解】解：（1）点表示的数为，点表示的数为， ∴线段AB=， ∴点C表示的数为：； （2）根据题意， 点M表示的数为：， ∴线段MC的长度为：； （3）根据题意， 线段AP的长度为：， 线段MC的长度为：， 线段PC的长度为：， ∵， ∴， 整理得：， ①当点P在点C的左边时，，则， ∴， 解得：； ②当点P与点C重合时，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当点P在点C的右边时，，则， ∴， 解得：. ∴当或时，有成立. 【点睛】本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离. 12．（2022·福建· 七年级期末）如图，在三角形中，，，．点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿的方向运动，点从点沿的方向与点同时出发；当点第一次回到点时，点，同时停止运动；用（秒）表示运动时间． （1）当为多少时，是的中点； （2）若点的运动速度是个单位长度/秒，是否存在的值，使得； （3）若点的运动速度是个单位长度/秒，当点，是边上的三等分点时，求的值． 【答案】（1）2；（2）存在，t=；（3）或 【分析】（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得； （2）根据题意可得：当时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可； （3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可. 【详解】解：（1）∵，点P的运动速度为2个单位长度/秒， ∴当P为AB中点时， （秒）； （2）由题意可得：当时， P，Q分别在AB，BC上， ∵点Q的运动速度为个单位长度/秒， ∴点Q只能在BC上运动， ∴BP=8-2t，BQ=t， 则8-2t=2×t， 解得t=， 当点P运动到BC和AC上时，不存在； （3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图， AB+BC+CP=8+16+8=32， 此时t=32÷2=16， ∵BC+CQ=16+4=20， ∴a=20÷16=， 当点P为靠近点C的三等分点时，如图， AB+BC+CP=8+16+4=28， 此时t=28÷2=14， ∵BC+CQ=16+8=24， ∴a=24÷14=. 综上：a的值为或. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等. 13．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，在数轴上有点、、三个点，且点、、三点所表示的数分别为、、，如下图所示已知． （1）=_______；=_______；=________． （2）若动点、分别从、两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值． （3）点、分别自、同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒），时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点、重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度． 【答案】（1）16，20，-8；（2）；（3）1或0.5 【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及即可求出c的值； （2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案； （3）设点T所表示的数为x，先求出点所表示的数，再用含t，x的式子表示的长，代入即可求出PT的值． 【详解】（1）由题意得： 则 故答案为：；；； （2）由（1）知， 设运动时间为t秒 如图，由题意得： 点为线段的中点，点为线段的中点 故的值为2； （3）设点T所表示的数为x 由题意得：点P所表示的数为 点Q所表示的数为 点M所表示的数为 点N所表示的数为 整理得： 或 解得：或 故此时线段的长度为1或． 【点睛】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点所表示的数是解题关键． 14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置； （2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值. （3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即 所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键. 15．（2022·北京四中七年级期中）在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2． （1）求线段的长． （2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由． （3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由． 【答案】（1）5；（2）或6；（3）随着点的移动，的值不变． 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式计算便可． （2）根据已知线段的关系式，列出绝对值方程进行解答即可． （3）用点表示的数，列出关于的代数式进行讨论解答即可． 【详解】解：（1）点在数轴上对应的数为，点对应的数为2， ． （2）存在． 设点对应的数为，解方程，得， 点对应的数为， ， ，即，， ①当时，有，解得； ②当时，有，此方程无解； ③当时，有，解得； 综上，点的对应数为或6． （3）设点对应的数为，则，， 若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点， ，则点对应的数为；，则点对应的数为； ，则． 随着点的移动，的值不变． 【点睛】本题是数轴的一个综合题，涉及一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的关键． 16．（2022·全国·七年级）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝ ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】（1）①14，②8，③12或16；（2）或；（3）当时间为秒时，M代表﹣，Q代表﹣10，P代表﹣；当时间为6秒时，M代表﹣10，Q＝﹣48，P代表﹣48 【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离直接写出AB即可；②由P在AB之间，则直接由AB-AP得到BP；③根据点P在A，B之间或者之外分情况讨论即可； （2）结合题意可知C应该位于线段AB之外，从而分两种情况分别计算即可； （3）设运动时间为T秒，则分别表示出各线段的长度，从而分三种情况讨论即可． 【详解】（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14． ②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8． ③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB＋BP＝14＋2＝16． （2）假设C为x， 当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC＋BC＝35，解得x＝； 当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC＋BC＝35，解得x＝ ∴C表示的数为或． （3）设经过时间T秒，则P 点表示﹣12﹣6T，Q点表示﹣8T，M点表示2﹣2T． 当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）＋（2﹣2T），解得T＝s． 当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）＋（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉． 当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ， ∴﹣12﹣6T＝﹣8T， ∴T＝6s． 因此，当T＝秒时，此时，M表示﹣，Q表示﹣10，P表示﹣． 当T＝6秒时，此时，M表示﹣10，Q表示﹣48，P表示﹣48． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及动点问题，以及线段中点有关的计算和一元一次方程，能够灵活根据题意进行分类讨论是解题关键． 17．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点P是的三等分点，则=__________． （2）已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长． ②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 【答案】（1）5或10；（2）①PQ的长为或或或；②或或． 【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可. (2) ①由题意进行分类，分别求出当和当时t的值即可. ②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可. 【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5 当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10 综上：5或10． （2）①当时，，即． ∴， ∴． 当时，，即． ∴， ∴． ②当P，Q重合前点P是线段的三等分点时，， 或 解得或 当P，Q重合后时点P是线段的三等分点时， 当P，Q重合时，，即． ∴P是线段的三等分点时，， 或或 解得． 综上述：解得或或． 【点睛】本题考查的知识点是与线段有关的动点问题，解题的关键是找准数量关系，列出方程，注意分类讨论. 18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可； （2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可． 【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1； （2）① 则线段BP的长为 2t． ② 当P在线段AB上时，有以下两种情况： 如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP， 所以50-2t = 2×2t， 解得t=； 如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP， 所以2t=2（50-2t）， 解得t=； 当P在点A左侧时，有以下两种情况： 如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA， 所以50=2（2t-50） 解得t=； 如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA， 所以2t-50=2×50， 解得t=75； 综上所述：当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键． 19．（2022·山东济南·七年级期末）已知线段个单位长度． （1）如图1，点沿线段自点出发向点以1个单位长度每秒的速度运动，同时点沿线段自点出发向点以2个单位长度每秒的速度运动，几秒钟后，、两点相遇？ （2）如图1，几秒后，、两点相距3个单位长度？ （3）如图2，个单位长度，个单位长度，当点在的上方，且时，点绕着点以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点沿线段自点向点运动，假若、两点能相遇，求点的运动速度． 【答案】（1）4；（2）3或5；（3）每秒个单位长度或每秒个单位长度 【分析】（1）设经过后，点、相遇，根据相遇问题列方程解答； （2）设经过秒，、两点相距3个单位长度，列方程或，计算解答； （3）点、只能在线段上相遇，计算点旋转到直线上的时间为：或，设点的速度为，列方程，或，计算求解即可． 【详解】解：（1）设经过后，点、相遇． ， 解得：． 答：经过4秒钟后，点、相遇； （2）设经过秒，、两点相距3个单位长度， 或， 解得：或． 答：经过3秒钟或5秒钟后，、两点相距3个单位长度． （3）点、只能在线段上相遇， 则点旋转到直线上的时间为：或， 设点的速度为，则有，或， 解得：或， 答：点的速度为每秒个单位长度或每秒个单位长度． 【点睛】此题考查数轴上动点问题，一元一次方程的实际应用，理解行程问题中的相遇问题的思考方法及解法是解题的关键． 20．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C点到达B点时停止运动），F为OE中点． （1）当C点运动到AO中点时，求BF长度； （2）在C点运动的过程中，猜想线段CF 和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由； （3）① 当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． ② 若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为 秒（直接写出答案）； 【答案】（1）FE=2，BE=12，BF=14cm（2）2CF=BE（3）①16cm ②4秒 【详解】试题分析： （1）先求出 AO，BO的长，再求当C点运动到AO中点时，AC，CE，OE的长． 根据F为OE中点，即可求出BF的长； （2）设AC=x，分别表示出CO，OE，FE，CF，BE的长 ，即可得到结论； （3）①设OF=EF=x，得到OE –nCF=（2-n）x+8n ，可以得到当n=2 时，OE -2CF = 16 cm． ② 根据时间=路程÷速度即可得到结论． 试题解析：解：（1）∵AB=24cm，AO：BO=1：2． ∴AO=8，BO=16．当C点运动到AO中点时，AC=4，CE=8，OE=4． ∵F为OE中点，∴FE=2，BE=12，BF=14cm． （2）设AC=x，CO=8-x，OE=AC=x，FE=FO= FE=FO=x，CF=8-x． BE=24-8-x=16-x ，∴2CF=BE （3）①设OF=EF=x，OE –nCF=2x-n（x-8）=（2-n）x+8n 当n=2 时， OE -2CF = 16 cm． ② 8÷2=4秒． 点睛：本题考查线段的有关计算，正确理解题意是关键． 21．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，P点从点A开始以的速度沿的方向移动，Q点从点C开始以的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间． （1）如图1，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，； （2）如图2，点Q在上运动，当t为何值时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段的长度等于线段的长． 【答案】（1）4，（2）9，（3）或4 【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可． （2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t， ∵AQ＝AP， ∴12﹣t＝2t， ∴t＝4． ∴t＝4时，AQ＝AP． （2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t， ∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的， ∴•AB•AQ＝וAB•AC， ∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9． ∴t＝9时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的． （3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒， ①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t， ∵AQ＝BP， ∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4． ②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16， ∵AQ＝BP， ∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝． ③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时， ∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16， ∵AQ＝BP， ∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去）， 综上所述，t＝或4时，AQ＝BP． 【点睛】本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（2022·河南漯河·七年级期末）新规定：点为线段上一点，当或时，我们就规定为线段的“三倍距点”． 如图，在数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为5． （1）确定点所表示的数为___________； （2）若动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． ①求的长度（用含的代数式表示）； ②当点为线段的“三倍距点”时，求出的值． 【答案】（1）-1或3；（2）①或；②或16 【分析】（1）设点C表示的数为c，根据定义即可求解； （2）①根据点P的位置即可求出AP的长度；②由题意易得AB=8，然后由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】解：（1）设点C表示的数为c， 当时， ∴，解得：， 当时，则有：， 解得：； 故答案为-1或3； （2）①由题意得：AB=8， 当点P在点A的右侧时，则有； 当点P在点A的左侧时，则有； ②设点P表示的数为p， 当时，此时， 解得：， ∴， ∴； 当时，此时， 解得：， ∴， ∴； 综上所述：当点为线段的“三倍距点”时，或16． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键． 23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16． 【分析】（1）根据中点的定义可得； （2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程＝速度×时间可得答案． 【详解】解：（1）根据题意知点C表示的数为4， 故答案为：4； （2）设点C表示的数为x， 当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去； 当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6， 当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14， 即点C表示的数为﹣6或14； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t， 由题意知﹣4+t＝12﹣2t， 解得：t， 则相遇时点P对应的数为﹣4； ②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒， ∴点M的运动时间为秒， 则点M所经过的总路程是316单位． 【点睛】本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键． 24．（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)－1，3，4 (2)或 (3)①甲：；乙：或；②秒或秒 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离； （2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤，（Ⅱ）t＞，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． （1） 因为， 所， 所以； 所以AB的距离＝， 故答案为：－1，3，4； （2） 设数轴上点C表示的数为c． 因为， 所以，即． 因为， 所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上． ①当C点在线段AB上时，则有， 得，解得； ②当C点在线段AB的延长线上时，则有， 得，解得． 故当时，或； （3） ①因为甲球运动的路程为：， 所以甲球与原点的距离为：； 乙球到原点的距离分两种情况： （I）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O， 因为，乙球运动的路程为：， 所以乙球到原点的距离为：； （I I）当时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：； ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 25．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 【答案】(1)16，24． (2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可； （2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可； （3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可． (1) 解：∵，AB=AC+BC，AC=8m， ∴8+BC=，解得：BC=16m， ∴AB=×16=24m． 故答案为：16，24． (2) 解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前， ∴6x={8+2x），解得x=． 答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3) 解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=； 当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x ． 答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键. 26．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)解决问题： ①当时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒 (2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t； ②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可； （2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论． （1） 解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12， ∴点B表示的数是8-12=-4， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是8-3×1=5． ②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度， 则AP=3x，BQ=2x， ∵AP+BQ=AB-3， ∴3x+2x=9， 解得：x=1.8， ∵AP+BQ=AB+3， ∴3x+2x=15 解得：x=3． ∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． （2） 2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下： P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ =AQ+BP-PQ =（AQ+BP-PQ）-PQ =AB-PQ =（12-PQ）， 即2MN+PQ=12． 同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 27．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值． (3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)﹣3，﹣1； (2)或1或或； (3)1，，，8． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a，c；根据最大的负整数求出b； （2）先由PA+PB+PC＝13计算出P点的位置，再根据P点的运动轨迹计算出总长度，进而计算时间； （3）根据P、M、N三点的位置关系判断中点：开始P在中间，PM相遇后M在中间（BA和AC上），MN相遇后N在中间，PN相遇后P在中间（AC和CA上），分别讨论t的取值； (1) 解：b是最大的负整数，即b=﹣1， |a+3|+（c﹣9）2＝0， ∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0， ∴a=﹣3，c=9， 故答案为：﹣3，﹣1； (2) 解：AB=2，BC=10，AC=12， PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1， ∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得： 由B到A时：x=1÷3=， 由A到B时：x=3÷3=1， 由B到C时：x=5÷3=， 由C到B时：x=23÷3=； 故x的值为:或1或或． (3) 解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜）， 当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（≤t＜）， 当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（≤t≤8）， 当M点由A到C运动时M=4t－3， 当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9， PM相遇时3t＋4t=2，t=， MN相遇时4t＋5t=12，t=， PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=， 0≤t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣舍去； ＜t＜，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=舍去； ≤t＜，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1； ＜t＜，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=； ＜t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=； ≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8； 故t的值为：1，，，8． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置关系，中点公式，一元一次方程的运用；用t的代数式表示出P、M、N三点的位置，根据三点的位置判断中点是解题的关键． 28．（2022·全国·七年级课时练习）【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm； (3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【答案】(1)是 (2)6或4或8c (3)t为3或或或或或6 【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案； （2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． （3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可． （1） 解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM， ∴线段的中点是这条线段的“和谐点”， 故答案为：是； （2） 解：①当N为中点时，CN＝＝6cm； ②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm； ③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． 故答案为：6cm或4cm或8cm； （3） 解：∵AB＝15cm， ∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5）， 由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除； ①P为A、Q的和谐点，有三种情况： 1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； 2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝3； 3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； ②Q为A、P的和谐点，有三种情况： 1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝6； 2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝； 3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝． 综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 29．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是10，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． (1)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间； (2)问运动多少秒时（单位长度）； (3)设线段，开始运动后的运动时间为秒，当为何值时，恰好满足． 【答案】(1)秒； (2)①、相遇之前：秒，②、相遇之后：秒 (3)当为5秒或9秒后恰好满足 【分析】（1）根据线段与线段从开始相遇到完全离开相当于线段AB比线段CD多走的路程为AB+CD，由此求解即可； （2）分、相遇之前和、相遇之后，两种情况讨论求解即可； （3）由题可得，秒后A，，，可分别表示为：A：，：，：，：．则：，，然后分分、相遇之前和、相遇之后，两种情况讨论求解即可． （1） 解：、相遇后到A点完全离开： 秒 （2） 解：①、相遇之前： 秒 ②、相遇之后： 秒 （3） 由题可得，秒后A，，，可分别表示为：A：，：，：，：． 则：，， ①、相遇之前，由题可得： ②、相遇之后，由题可得： 综上所述：当为5秒或9秒后恰好满足． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键． 30．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时点是线段的中点 (3)或1 【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求； （2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解； （3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解． （1） 解：∵，， 又∵点表示，点表示7， ∴， ∴ ∴． （2） 解：∵点，分别表示，6， 所以，，，，， 当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点． （3） 解：①当点在线段上时，如图 ∵， 又∵ ∴， 又∵ ∴，即 ②当点在线段的延长线上时，如图 ∵，又∵ ∴，即 综上所述或1． 【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系． 31．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值24； (3)． 【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可； （2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论； （3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解． （1） 解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． （2） 解：∵，，， ∴， 即为定值24． （3） 解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度． 32．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度为________； (2)当t为何值时，M、N两点重合? (3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由． 【答案】(1)2t (2)20 (3)30或50 【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案； （2）根据题意可得出，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可； （3）根据题意可得：，，且．由此可求出．再根据或，即可列出关于t的等式，解出t即可． （1） ∵点M的速度为每秒2个单位长度， ∴． 故答案为：； （2） 根据题意可知． 当M、N两点重合时，有， 解得：． 故t为20时，M、N两点重合； （3） 根据题意可得：，，且． ∴． ∴或， 即或 解得：或． 故存在时间t，使长度为5，此时t的值为30或50． 【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键． 33．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 【答案】(1)是 (2)①或3或；②、秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒 【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可； （2）①由题意得： 再分三种情况；当时， 当时， 当时， 再列方程求解即可；②当与相遇时，则 再分两种情况讨论：当时， 当时， 再列方程求解即可. （1） 解：如图，为的中点， 所以 所以是的“倍分点”， 故答案：是； （2） ①由题意得： 当时，此时， 解得 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s时，点P是线段AB的“倍分点”. ②当与相遇时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s或s或s或s，点P是线段AQ的“倍分点”. 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，理解新定义的含义是解本题的关键. 34．（2022·全国·七年级课时练习）如图，点在线段上，cm，cm．点以1cm/s的速度从点沿线段向点运动；同时点以2cm/s的速度从点出发，在线段上做往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动．设点运动的时间为（s）． (1)当时，求的长． (2)当点为线段的中点时，求的值． (3)若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)7 cm (2)2或 (3)当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm． 【分析】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm； （2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得； （3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可． （1） 解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm， ∴MC=AC-AM=6-1=5（cm）， ∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）； （2） 如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm， ∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动， ∴0≤t≤6， ①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2； ②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）； ③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC=CN，即6-t=2t-8， 解得：； 综上所述，当t=2或时，点C为线段MN的中点． （3） 如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CP=CN=t cm， ∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变； ②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CP=CN=（8-2t）=（4-t） cm， ∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化； ③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CP=CN=（2t-8）=（t-4）cm， ∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变； 综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 35．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点． (1)求线段AB，CD的长； (2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长； (3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8 (2)16或8 (3)当时，MN+AD为定值，定值为6 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可； （2）分在的左侧和在的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解； （3）由题意，运动t秒后，，，分段讨论即可求解． （1） 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段AB的长是4，线段CD的长是8； （2） 解：∵，， ∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴， 即， 解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴， 即， 解得． 即线段BC的长为16或8； （3） 解：∵BC＝24，，， ∴，， ∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，MN+AD为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 36．（2022·全国·七年级阶段练习）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示数C，且点A、B表示的数、满足：． (1)当AC的长度为6个单位长度时，则 ， ， ． (2)在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长度是多少？ (3)点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度向点B运动，到达点B停留3秒钟后加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A；点N从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到点O后停止；结果点M到点A比点N到点O晚1秒钟，设点M从出发到运动结束的整个过程时间记为t秒，求在整个运动过程中，当MN=1时t的值． 【答案】(1)，，3或-9 (2)7或1 (3)1或2或3或5.5或5.75 【分析】（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解； （2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解； （3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题意分情况讨论，即可求解． （1） 解：∵， ∴， ∴， ， 又∵AC=6， ∴ 故答案为：，，3或-9． （2） ∵点P是AB的中点， ∴点P表示的数是1， 当点时，AC=6， ∵点Q是AC的中点， ∴点Q表示的数是-6 ∴PQ的长度是7 同理可得：PQ的长度是1． （3） 点N从出发到返回原点O并停止运动的时间为：5×2÷2=5（秒） 点M从出发到运动结束的时间为：5+1=6（秒） 点M从点A出发到达点B用时：8÷4=2（秒） 点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时：6-2-3=1（秒） 点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）为：8÷1=8 点M从点B开始加快速度返回点A时，点N到达点O并已停止 ①当M和N都向点B运动时：MN=2t-（4t-3）=1或4t-3-2t=1，t=1或t=2 ②当点M到达点B停留3秒时，点N正返回原点O，2t=5+1，t=3 ③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时， 此时点N已到原点O并停止距离点B为5， 设点M从点B出发运动秒时MN=1，则 或8x-5=1 或x=0.75 所以t=5+0.5=5.5或t=5+0.75=5.75 ∴当MN=1时t的值为1或2或3或5.5或5.75． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是的熟练掌握非负数的性质和两点间的距离公式，找准等量关系，正确列出一元一次方程求解． 37．（2022·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝30cm，AB＝90cm，BC＝15cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值． 【答案】(1)经过45s后P、Q两点相遇 (2)v＝cm/s或v＝cm/s (3)2 【分析】（1）根据题意的路程和为的长，据此列出方程，解方程即可求解； （2）设Q的速度为vcm/s，经过ts后，若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，根据点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，可得＝135﹣vt，根据PA＝2PB，建立绝对值方程，解方程并检验即可求解； （3）设经过ts时，点P在AB之间，根据题意点E对应数轴上的数是t，点F对应数轴上的数是＝75，进而用含的式子表示，代入即可求解． （1） 解：设经过ts，P、Q两点相遇， ∴2t+t＝30+90+15， 解得：t＝45， 答：经过45s后P、Q两点相遇． （2） 设Q的速度为vcm/s，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点， 若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135， ∴点P对应数轴上的数是t，点Q对应数轴上的135﹣vt， ∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点， ∴＝135﹣vt， ∴vt＝75， ∵PA＝2PB， ∴|t﹣30|＝2|t﹣120|， ∴解得：t＝90或t＝210， 当t＝90s时，90v＝75， ∴v＝， 而点Q到达O点所需要时间为＝142s＞90s， 当t＝210时，210v＝75， ∴v＝， 而点Q到达O点所需要的时间为＝378＞210s， 综上所述，v＝cm/s或v＝cm/s； （3） 设经过ts时，点P在AB之间， 点O对应数轴上的数是0，点A对应数轴上的数是30，点B对应数轴上的数是120，点C对应数轴上的数是135， ∴点P对应数轴上的数是t， ∵OP和AB的中点E，F， ∴点E对应数轴上的数是t，点F对应数轴上的数是＝75， ∴EF＝75﹣t，AP＝t﹣30，OB＝120， ∴＝＝2． 【点睛】本题考查了线段中点的性质，一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，解题的关键是熟练运用两点间的距离公式，转化为数轴上的动点问题． 38．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣4，点C在数轴上表示的数是4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时BC=2（单位长度）？ (2)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP=3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1或2 (2)1.5秒 (3)3.5或5 【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论； （2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解； （3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． (1) 解：设运动t秒时，BC=2单位长度， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：3t+2+t=6， 解得：t=1； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：3t﹣2+t=6， 解得：t=2． (2) 解：（2+4）÷（3+1）=1.5（秒）． 答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过1.5秒长时间． (3) 解：存在BD-AP=3PC， 设运动时间为t秒， ①当t=（4+2）÷（3+1）=1.5时，点B和点C重合，BD=CD=4， ∵点P在线段AB上， ∴0＜PC≤2， ∴PA+3PC=PA+PB+2PC=AB+2PC=2+2PC， ∴当PC=1时，BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC； 此时PD=5， ②当1.5＜t＜2.5时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， 当点P在线段BC上时， ∵BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∴4-BC=2-BC+4PC， ∴PC=0.5，有BD=AP+3PC， 故PD=3.5时，BD-AP=3PC， ③当t=2.5时，点A与点C重合，0＜PC≤2， ∵BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC， ∴4PC=2， ∴PC=0.5，有BD=AP+3PC， 故BD-AP=3PC， 此时PD=3.5， 综上所述，线段PD的长为3.5或5． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列方程解决问题． 同． 39．（2022·重庆九龙坡·七年级阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． 问： （1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ； （2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】（1）15；4（2）t的值为2、3.5、5或17. 【分析】（1）根据路程除以速度等于时，可得答案；根据相遇时P,Q的时间相等，可得方程，解出即可. （2）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，解出即可. 【详解】（1）点P运动至点C时，所需时间t=6÷2+10÷1+4÷2=15（s）， 答：动点P从点A运动至C点需要15秒； 由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM=x． 则6÷2+x÷1=4÷1+（10-x）÷2， x=4， 答：M所对应的数为4． （2）P点运动完时间：6÷2+10÷1+4÷2=15（s） Q点运动完时间：4÷1+10÷2+6÷1=15（s） P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有以下可能： ①动点Q在CB上，动点P在AO上， 则：4-1t=6-2t，解得：t=2． ②动点Q在CB上，动点P在OB上， 则：4-1t=1×（t-3），解得：t=3.5． ③动点Q在BO上，动点P在OB上， 则：2（t-4）=1×（t-3），解得：t=5． ④动点Q在OA上，动点P在OB上， 则：1×（t-9）+10=1×（t-3），无解 ④动点Q在OA上，动点P在BC上， 则：1×（t-9）+10=2×（t-13）+10，解得：t=17， 综上所述：t的值为2、3.5、5或17． 【点睛】本题考查动点问题，关键在于分段讨论，弄清楚每一段的时间及点所在的位置. 40．（2022·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝AB，则dC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义． 应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ； （2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts． ①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系； ②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？ 拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB． 【答案】应用：（1）；；（2）①dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，dP﹣AB+dQ﹣AB＝1；②t＝4或；拓展：dQ﹣CB＝． 【分析】应用：（1）根据dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义，进行解答即可； （2）①用含t的式子先表示出AP，AQ，再由定义可求解； ②分t＜5与t≥5两种情况，根据定义可得dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝（t＜5），dQ﹣AB＝（t≥5），由dP﹣AB+dQ﹣AB＝，列出方程即可求解； 拓展：设运动时间为t，由题意点P、Q同时到达点B，可设点P的速度为3x，点Q速度为5x，可得dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝，求解即可． 【详解】解：应用：（1）∵dC﹣AB＝，∴AC＝AB， ∵AC＝3BC，∴AC＝AB，∴dC﹣AB＝， 故答案为：；； （2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s， ∴AP＝tcm，AQ＝（10﹣t）cm， ∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝， ∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝＝1； ②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s， ∴AP＝tcm， 当t＜5时，AQ＝（10﹣2t）cm， ∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝， ∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝4； 当t≥5时，AQ＝（2t﹣10）cm， ∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝， ∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝； 综上所述，t＝4或； 拓展：设运动时间为t， ∵点P、Q同时到达点B，AB=12，AC+BC=20， ∴点P的速度:点Q速度＝3:5， 设点P的速度为3x，点Q速度为5x， ∴dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝， ∴xt=4n， ∴dQ﹣CB＝＝． 【点睛】本题考查了线段的和差运算，新定义问题以及一元一次方程的解法等知识，理解新定义并能运用是本题的关键．
专题4.3 线段中的动点问题专项训练（40道） 【沪科版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题的所有类型！ 解答题（共40小题） 1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝ ，PB＝ ．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； (2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； (3)若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)a=___________，b=___________，线段AB=___________； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值． 4．（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动） (1)若cm． ①运动1 s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：． (2)如果s时，cm，试探索的长． 5．（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点． (1)若点P在线段上运动，当t为多少时，？ (2)若点P在射线上运动，N为线段上的一点． ①当N为的中点时，求线段的长度； ②当时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2． (1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； (2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣BN的值不变；② BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值 7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点． （1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长； （2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值； （3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中： ①是定值； ②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 9．（2022·湖北·武汉六中上智中学七年级阶段练习）如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且. (1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长. (2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值. (3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由. 10．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点． (1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 条； ②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由； (3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=AD时，请直接写出t的值． 11．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，、、三点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点为线段的中点.动点在数轴上，且点表示的数为. （1）求点表示的数； （2）点从点出发，向终点运动.设中点为.请用含的整式表示线段的长. （3）在（2）的条件下，当为何值时，？ 12．（2022·福建· 七年级期末）如图，在三角形中，，，．点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿的方向运动，点从点沿的方向与点同时出发；当点第一次回到点时，点，同时停止运动；用（秒）表示运动时间． （1）当为多少时，是的中点； （2）若点的运动速度是个单位长度/秒，是否存在的值，使得； （3）若点的运动速度是个单位长度/秒，当点，是边上的三等分点时，求的值． 13．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，在数轴上有点、、三个点，且点、、三点所表示的数分别为、、，如下图所示已知． （1）=_______；=_______；=________． （2）若动点、分别从、两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值． （3）点、分别自、同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒），时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点、重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度． 14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 15．（2022·北京四中七年级期中）在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2． （1）求线段的长． （2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由． （3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由． 16．（2022·全国·七年级）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝ ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 17．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点P是的三等分点，则=__________． （2）已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长． ②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 19．（2022·山东济南·七年级期末）已知线段个单位长度． （1）如图1，点沿线段自点出发向点以1个单位长度每秒的速度运动，同时点沿线段自点出发向点以2个单位长度每秒的速度运动，几秒钟后，、两点相遇？ （2）如图1，几秒后，、两点相距3个单位长度？ （3）如图2，个单位长度，个单位长度，当点在的上方，且时，点绕着点以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点沿线段自点向点运动，假若、两点能相遇，求点的运动速度． 20．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C点到达B点时停止运动），F为OE中点． （1）当C点运动到AO中点时，求BF长度； （2）在C点运动的过程中，猜想线段CF 和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由； （3）① 当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． ② 若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为 秒（直接写出答案）； 21．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，P点从点A开始以的速度沿的方向移动，Q点从点C开始以的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间． （1）如图1，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，； （2）如图2，点Q在上运动，当t为何值时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段的长度等于线段的长． 22．（2022·河南漯河·七年级期末）新规定：点为线段上一点，当或时，我们就规定为线段的“三倍距点”． 如图，在数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为5． （1）确定点所表示的数为___________； （2）若动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． ①求的长度（用含的代数式表示）； ②当点为线段的“三倍距点”时，求出的值． 23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 24．（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 25．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 26．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)解决问题： ①当时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 27．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值． (3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值． 28．（2022·全国·七年级课时练习）【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm； (3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 29．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是10，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． (1)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间； (2)问运动多少秒时（单位长度）； (3)设线段，开始运动后的运动时间为秒，当为何值时，恰好满足． 30．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 31．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 32．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度为________； (2)当t为何值时，M、N两点重合? (3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由． 33．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 34．（2022·全国·七年级课时练习）如图，点在线段上，cm，cm．点以1cm/s的速度从点沿线段向点运动；同时点以2cm/s的速度从点出发，在线段上做往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动．设点运动的时间为（s）． (1)当时，求的长． (2)当点为线段的中点时，求的值． (3)若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 35．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点． (1)求线段AB，CD的长； (2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长； (3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 36．（2022·全国·七年级阶段练习）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示数C，且点A、B表示的数、满足：． (1)当AC的长度为6个单位长度时，则 ， ， ． (2)在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长度是多少？ (3)点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度向点B运动，到达点B停留3秒钟后加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A；点N从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到点O后停止；结果点M到点A比点N到点O晚1秒钟，设点M从出发到运动结束的整个过程时间记为t秒，求在整个运动过程中，当MN=1时t的值． 37．（2022·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝30cm，AB＝90cm，BC＝15cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值． 38．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣4，点C在数轴上表示的数是4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时BC=2（单位长度）？ (2)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP=3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 39．（2022·重庆九龙坡·七年级阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． 问： （1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ； （2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 40．（2022·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝AB，则dC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义． 应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ； （2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts． ①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系； ②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？ 拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB． 专题4.3 线段中的动点问题专项训练（40道） 【沪科版】 考卷信息： 本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了线段中的动点问题的所有类型！ 一．解答题（共40小题） 1．（2022·山东省商河实验中学七年级阶段练习）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝ ，PB＝ ．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)3；18 (2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP (3)是；理由见解析 【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB； （2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可； （3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN的长度，即可作出判断． （1） 解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18． 故答案为：3；18． （2） 解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（24−2t）， 解得t＝9； ②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（2t−24）， 解得t＝18． 综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP． （3） 解：是，理由如下： 设运动时间为x秒， 则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12， ∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12， 即MN的值为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． 2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； (2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； (3)若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为；点P表示的数为； （2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据，列出方程求解即可； （3）根据动点P在数轴上运动，点到原点的距离等于点到原点的距离相等， 故，由此可得出结论； （1） ∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2） 设点P运动t秒时，与点Q重合，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点P运动秒时与点Q重合； （3） 由（1）知，表示，表示，表示，表示， 为中点， 表示， 为中点， 表示， 点到原点的距离等于点到原点的距离相等， ， 即， 当时，（舍去）， 当时，， 答：当时，点到原点的距离等于点到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 3．（2022·江苏·启东市长江中学七年级期中）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1)a=___________，b=___________，线段AB=___________； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长； (3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值． 【答案】(1)，20，30； (2)3或75； (3)． 【分析】（1）由题意直接可求解； （2）①当点C在之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论； （3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和F表示的数，由得的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得结论． （1） 解：由题意知：， ∴， ∴的距离为 故答案为：，20，30； （2） 分两种情况： ①当点C在AB之间时，如图1， ∵，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴； ②当点C在点B的右侧时，如图2， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上，的长是3或75； （3） 由题意得：点G表示的数为：：，点H表示的数为：， ∵，， ∴点G在线段之间， ∵D为的中点， ∴点D表示的数为： ， ∵F是的中点， ∴点F表示的数为：， ∵， ∵， ∴ ， ∴点E表示的数为： t， ∴ ． 【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键． 4．（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期末）如图，P是线段上任意一点，cm，C，D两点分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为2 cm/s，点D的运动速度为3 cm/s，运动的时间为ts．（其中一点到达点A时，两点停止运动） (1)若cm． ①运动1 s后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明：． (2)如果s时，cm，试探索的长． 【答案】(1)①cm；②见解析 (2)的长为11cm或13cm 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． （1） ①当时，cm，cm， ∵cm，cm， ∴cm， ∴cm； ②∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2） 当时，cm，cm， 当点D在C的右边时， 如图： ， ∴cm； 当点D在C的左边时， 如图： ， ∴cm； 综上可得，AP的长为11cm或13cm． 【点睛】本题考查了两点间的距离，涉及列代数式，注意分类讨论是解题关键． 5．（2022·湖北·十堰市郧阳区教学研究室七年级期末）如图，已知线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，运动时间为t秒（），点M为的中点． (1)若点P在线段上运动，当t为多少时，？ (2)若点P在射线上运动，N为线段上的一点． ①当N为的中点时，求线段的长度； ②当时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)8； (2)①12．②当时，P是的中点；当时，N是的中点． 【分析】（1）根据M是线段的中点，可得，从而得到，再由，即可求解； （2）①分两种情况讨论：当点P在B点左侧时；当点P在B点或B点右侧时，即可求解；②分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． （1） 解∶根据题意得：， ∵M是线段的中点， ∴， ． ∵， ∴， 解得． ∴当时，； （2） ①当点P在B点左侧时． ∵M是线段的中点， ∴， ∵N是线段的中点， ∴． ∴． 当点P在B点或B点右侧时． ∵M是线段的中点， ∴， ∵N是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长度为12； ②当时，存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得， ． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得， ． 当时， 由题意得：， ∵， ∴，解得，（舍去）． 综上，当时，P是的中点；当时，N是的中点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解． 6．（2022·重庆綦江·七年级期末）点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2． (1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣5的解，在数轴上是否存在点P使PA+PB＝BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由； (2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣BN的值不变；② BN的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值 【答案】(1)存在满足条件的点P，对应的数为﹣和；(2)正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5． 【分析】（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长，然后求得方程的解，得到C表示的点，由此求得BC+AB＝8设点P在数轴上对应的数是a，分①当点P在点a的左侧时（a＜﹣3）、②当点P在线段AB上时（﹣3≤a≤2）和③当点P在点B的右侧时（a＞2）三种情况求点P所表示的数即可；（2）设P点所表示的数为n，就有PA＝n+3，PB＝n﹣2，根据已知条件表示出PM、BN的长，再分别代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可解答． 【详解】(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2， ∴AB＝5． 解方程2x+1＝x﹣5得x＝﹣4． 所以BC＝2﹣（﹣4）＝6． 所以． 设存在点P满足条件，且点P在数轴上对应的数为a， ①当点P在点a的左侧时，a＜﹣3， PA＝﹣3﹣a，PB＝2﹣a，所以AP+PB＝﹣2a﹣1＝8， 解得a＝﹣，﹣＜﹣3满足条件； ②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a， 所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件； ③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．， 所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2， 所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和． (2)设P点所表示的数为n， ∴PA＝n+3，PB＝n﹣2． ∵PA的中点为M， ∴PM＝PA＝． N为PB的三等分点且靠近于P点， ∴BN＝PB＝×（n﹣2）． ∴PM﹣BN＝﹣××（n﹣2）， ＝（不变）． ②PM+BN＝+××（n﹣2）＝n﹣（随P点的变化而变化）． ∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键． 7．（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置： （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB上的处；（2）；（3）②的值不变. 【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处； （2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系； （3）当点C停止运动时，有CD＝AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝AB． 【详解】解：（1）由题意：BD=2PC ∵PD=2AC， ∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP. ∴点P在线段AB上的处； （2）如图： ∵AQ-BQ=PQ， ∴AQ=PQ+BQ， ∵AQ=AP+PQ， ∴AP=BQ， ∴PQ=AB， ∴ （3）②的值不变. 理由：如图， 当点C停止运动时，有CD=AB， ∴CM=AB， ∴PM=CM-CP=AB-5， ∵PD=AB-10， ∴PN=AB-10）=AB-5， ∴MN=PN-PM=AB， 当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变， 所以. 【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 8．（2022·湖北·武汉七一华源中学七年级阶段练习）已知：如图，一条直线上依次有A、B、C三点． （1）若BC＝60，AC＝3AB，求AB的长； （2）若点D是射线CB上一点，点M为BD的中点，点N为CD的中点，求的值； （3）当点P在线段BC的延长线上运动时，点E是AP中点，点F是BC中点，下列结论中： ①是定值； ②是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 【答案】（1）AB＝30；（2）2;（3）①详见解析;②详见解析. 【分析】（1）由AC=AB+BC=3AB可得； （2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时； （3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧； 【详解】（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB， ∴AB＝30； （2）∵点M为BD中点，点N为CD中点， ∴BM＝BD，DN＝NC， ①D在BC之间时： BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN， ∴＝2； ②D在AB之间时： BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN， ∴＝2； ③D在A点左侧时： BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN， ∴＝2； 故＝2； （3）点E是AP的中点，点F是BC的中点． ∴AE＝EP，BF＝CF， ① EF＝FC﹣EC＝BC﹣AC+AE＝（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE﹣AB＝AC， BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB， AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB， ∴＝2． ② EF＝BC+CE＝BC+AE﹣AC＝（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE﹣AB﹣AC， BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB， AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE， ∴＝2． ③ EF＝CE﹣CF＝CE﹣BC＝AC﹣AE﹣BC＝AC﹣AE﹣（AC﹣AB）＝AC﹣AE+ AB， BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB， ∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE， ∴＝2． 【点睛】本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键． 9．（2022·湖北·武汉六中上智中学七年级阶段练习）如图，线段AB和CD数轴上运动，A开始时与原点重合，且. (1)若AB=10，且B为线段AC的中点，求线段AD的长. (2)在(1)的条件下，线段AB和CD同时开始向右运动，线段AB的速度为5个单位/秒，线段CD的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值. (3)若线段AB和CD同时开始向左运动，且线段AB的速度大于线段CD的速度，在点A和C之间有一点P(不与点B重合)，且有，此时线段BP为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由. 【答案】（1）52；（2）t=6或25；（3）BP=1为定值，理由见解析. 【分析】（1）根据，AB=10，求出CD长，再由B为线段AC的中点，求出AC长，即可求出AD； （2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t，再写出AC和BD长，代入中解出t即可； （3）由，在点A和C之间有一点P，得到，，化简即可证明BP为定值. 【详解】解：（1）∵，AB=10， ∴， ∵B为线段AC的中点， ∴， ∴； （2）由题知A：5t，B：10+5t，C：20+3t，D：52+3t， ∴，， ∵， ∴， ①当0≤t＜10时，，解得：，0≤6＜10，成立； ②当10≤t＜21时，，方程无解； ③当21≤t时，，解得：，21≤25，成立； t=6或25； （3）∵，在点A和C之间有一点P ， ∴，， ∴ ∴BP=1，为定值. 【点睛】本题是对线段动点问题的考查，熟练掌握直线动点知识点及解一元一次方程是解决本题的关键，属于压轴题. 10．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的4个点． (1) ①直线l上以A，B，C，D为端点的线段共有 条； ②若AC=5cm，BD=6cm，BC=1cm，点P为直线l上一点，则PA+PD的最小值为 cm；(2)若点A在直线l上向左运动，线段BD在直线l上向右运动，M，N分别为AC，BD的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD，BC，MN有何数量关系并说明理由； (3)若C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，E，F两点同时从C，D出发，分别以2cm/s，1cm/s的速度沿直线l向左运动，Q为EF的中点，设运动时间为t，当AQ+AE+AF=AD时，请直接写出t的值． 【答案】(1) ①6条；②10；(2)，证明见解析；(3) . 【分析】（1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA+PD最小，即P为AD的中点，求出AD的长即可； (2) 根据M，N分别为AC，BD的中点，得到，，利用代入化简即可； (3) 根据C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm，得到，，并可得到，，，代入AQ+AE+AF=AD，化简则可求出t. 【详解】解：(1) ①线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6条； ②∵BD=6，BC=1， ∴CD=BD-BC=6-1=5， 当PA+PD的值最小时，P为AD的中点， ∴； (2). 如图2示： ∵M，N分别为AC，BD的中点， ∴， ∴ ； (3)如图示： ∵C是AD的一个三等分点，DC＞AC，且AD=9cm， ∴，， 根据E，F两点同时从C，D出发，速度是2cm/s，1cm/s，Q为EF的中点，运动时间为t， 则有：，， 当AQ+AE+AF=AD时， 则有： 即是： 解之得：. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程． 11．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，、、三点在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点为线段的中点.动点在数轴上，且点表示的数为. （1）求点表示的数； （2）点从点出发，向终点运动.设中点为.请用含的整式表示线段的长. （3）在（2）的条件下，当为何值时，？ 【答案】（1）2；（2）；（3）当或时，有成立. 【分析】（1）根据中点的定义，即可求出点C的坐标； （2）先表示出点M的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC的长度； （3）分别求出AP，MC和PC的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x的值. 【详解】解：（1）点表示的数为，点表示的数为， ∴线段AB=， ∴点C表示的数为：； （2）根据题意， 点M表示的数为：， ∴线段MC的长度为：； （3）根据题意， 线段AP的长度为：， 线段MC的长度为：， 线段PC的长度为：， ∵， ∴， 整理得：， ①当点P在点C的左边时，，则， ∴， 解得：； ②当点P与点C重合时，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当点P在点C的右边时，，则， ∴， 解得：. ∴当或时，有成立. 【点睛】本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离. 12．（2022·福建· 七年级期末）如图，在三角形中，，，．点从点出发以2个单位长度/秒的速度沿的方向运动，点从点沿的方向与点同时出发；当点第一次回到点时，点，同时停止运动；用（秒）表示运动时间． （1）当为多少时，是的中点； （2）若点的运动速度是个单位长度/秒，是否存在的值，使得； （3）若点的运动速度是个单位长度/秒，当点，是边上的三等分点时，求的值． 【答案】（1）2；（2）存在，t=；（3）或 【分析】（1）根据AB的长度和点P的运动速度可以求得； （2）根据题意可得：当时，点P在AB上，点Q在BC上，据此列出方程求解即可； （3）分两种情况：P为接近点A的三等分点，P为接近点C的三等分点，分别根据点的位置列出方程解得即可. 【详解】解：（1）∵，点P的运动速度为2个单位长度/秒， ∴当P为AB中点时， （秒）； （2）由题意可得：当时， P，Q分别在AB，BC上， ∵点Q的运动速度为个单位长度/秒， ∴点Q只能在BC上运动， ∴BP=8-2t，BQ=t， 则8-2t=2×t， 解得t=， 当点P运动到BC和AC上时，不存在； （3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图， AB+BC+CP=8+16+8=32， 此时t=32÷2=16， ∵BC+CQ=16+4=20， ∴a=20÷16=， 当点P为靠近点C的三等分点时，如图， AB+BC+CP=8+16+4=28， 此时t=28÷2=14， ∵BC+CQ=16+8=24， ∴a=24÷14=. 综上：a的值为或. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用—几何问题，在点的运动过程中根据线段关系列出方程进行求解，需要一定的想象能力和计算能力，难度中等. 13．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，在数轴上有点、、三个点，且点、、三点所表示的数分别为、、，如下图所示已知． （1）=_______；=_______；=________． （2）若动点、分别从、两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值． （3）点、分别自、同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒），时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点、重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度． 【答案】（1）16，20，-8；（2）；（3）1或0.5 【分析】（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及即可求出c的值； （2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案； （3）设点T所表示的数为x，先求出点所表示的数，再用含t，x的式子表示的长，代入即可求出PT的值． 【详解】（1）由题意得： 则 故答案为：；；； （2）由（1）知， 设运动时间为t秒 如图，由题意得： 点为线段的中点，点为线段的中点 故的值为2； （3）设点T所表示的数为x 由题意得：点P所表示的数为 点Q所表示的数为 点M所表示的数为 点N所表示的数为 整理得： 或 解得：或 故此时线段的长度为1或． 【点睛】本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点所表示的数是解题关键． 14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置； （2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值. （3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即 所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键. 15．（2022·北京四中七年级期中）在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2． （1）求线段的长． （2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由． （3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由． 【答案】（1）5；（2）或6；（3）随着点的移动，的值不变． 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式计算便可． （2）根据已知线段的关系式，列出绝对值方程进行解答即可． （3）用点表示的数，列出关于的代数式进行讨论解答即可． 【详解】解：（1）点在数轴上对应的数为，点对应的数为2， ． （2）存在． 设点对应的数为，解方程，得， 点对应的数为， ， ，即，， ①当时，有，解得； ②当时，有，此方程无解； ③当时，有，解得； 综上，点的对应数为或6． （3）设点对应的数为，则，， 若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点， ，则点对应的数为；，则点对应的数为； ，则． 随着点的移动，的值不变． 【点睛】本题是数轴的一个综合题，涉及一元一次方程的应用，两点距离公式，利用绝对值的性质化简绝对值代数式是解题的关键． 16．（2022·全国·七年级）在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝ ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】（1）①14，②8，③12或16；（2）或；（3）当时间为秒时，M代表﹣，Q代表﹣10，P代表﹣；当时间为6秒时，M代表﹣10，Q＝﹣48，P代表﹣48 【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离直接写出AB即可；②由P在AB之间，则直接由AB-AP得到BP；③根据点P在A，B之间或者之外分情况讨论即可； （2）结合题意可知C应该位于线段AB之外，从而分两种情况分别计算即可； （3）设运动时间为T秒，则分别表示出各线段的长度，从而分三种情况讨论即可． 【详解】（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14． ②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8． ③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB＋BP＝14＋2＝16． （2）假设C为x， 当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC＋BC＝35，解得x＝； 当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC＋BC＝35，解得x＝ ∴C表示的数为或． （3）设经过时间T秒，则P 点表示﹣12﹣6T，Q点表示﹣8T，M点表示2﹣2T． 当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）＋（2﹣2T），解得T＝s． 当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）＋（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉． 当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ， ∴﹣12﹣6T＝﹣8T， ∴T＝6s． 因此，当T＝秒时，此时，M表示﹣，Q表示﹣10，P表示﹣． 当T＝6秒时，此时，M表示﹣10，Q表示﹣48，P表示﹣48． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离及动点问题，以及线段中点有关的计算和一元一次方程，能够灵活根据题意进行分类讨论是解题关键． 17．（2022·广东汕头·七年级期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1．点C在线段上，且，则点C是线段的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个． （1）已知：如图2，，点P是的三等分点，则=__________． （2）已知，线段，如图3，点P从点A出发以每秒的速度在射线上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当Q与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒，设运动时间为t秒． ①若点P点，Q同时出发，且当点Q是线段AB的三等分点时，求PQ的长． ②若点P点，Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值． 【答案】（1）5或10；（2）①PQ的长为或或或；②或或． 【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可. (2) ①由题意进行分类，分别求出当和当时t的值即可. ②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可. 【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5 当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10 综上：5或10． （2）①当时，，即． ∴， ∴． 当时，，即． ∴， ∴． ②当P，Q重合前点P是线段的三等分点时，， 或 解得或 当P，Q重合后时点P是线段的三等分点时， 当P，Q重合时，，即． ∴P是线段的三等分点时，， 或或 解得． 综上述：解得或或． 【点睛】本题考查的知识点是与线段有关的动点问题，解题的关键是找准数量关系，列出方程，注意分类讨论. 18．（2022·北京市第七中学七年级期中）如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC=2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点． 例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数-1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点． （1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ． （2）数轴上，点A所表示的数为-30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t>0）秒． ①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示） ②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【答案】（1） 4 ；1；（2）①线段BP的长为 2t ；②当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【分析】（1）根据内二倍分割点的定义，找到MN的三等分点表示的数即可； （2）①根据速度与路程的关系，可得BP=2t, ②分P为其余两点的内二倍分割点和A为其余两点的内二倍分割点两种情况，按照内二倍分割点的定义，列方程求解即可． 【详解】解：（1）MN的内二倍分割点就是MN的三等分点且距N近，MN=9，则MN的内二倍分割点在N的左侧，距N点3个单位，所以，表示的数为 4 ；同理，则NM的内二倍分割点在N的左侧，距N点6个单位，所以，表示的数为1； （2）① 则线段BP的长为 2t． ② 当P在线段AB上时，有以下两种情况： 如果P是AB的内二倍分割点时，则AP=2BP， 所以50-2t = 2×2t， 解得t=； 如果P是BA的内二倍分割点时，则BP=2AP， 所以2t=2（50-2t）， 解得t=； 当P在点A左侧时，有以下两种情况： 如果A是BP的内二倍分割点时，则BA=2PA， 所以50=2（2t-50） 解得t=； 如果A是PB的内二倍分割点时，则PA=2BA， 所以2t-50=2×50， 解得t=75； 综上所述：当t为或或或75秒时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点． 【点睛】本题考查了新定义内二倍分割点、速度与路程的关系和分类讨论的思想；准确理解定义，恰当的用速度与时间表示线段长，分类讨论，建立方程是解题的关键． 19．（2022·山东济南·七年级期末）已知线段个单位长度． （1）如图1，点沿线段自点出发向点以1个单位长度每秒的速度运动，同时点沿线段自点出发向点以2个单位长度每秒的速度运动，几秒钟后，、两点相遇？ （2）如图1，几秒后，、两点相距3个单位长度？ （3）如图2，个单位长度，个单位长度，当点在的上方，且时，点绕着点以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点沿线段自点向点运动，假若、两点能相遇，求点的运动速度． 【答案】（1）4；（2）3或5；（3）每秒个单位长度或每秒个单位长度 【分析】（1）设经过后，点、相遇，根据相遇问题列方程解答； （2）设经过秒，、两点相距3个单位长度，列方程或，计算解答； （3）点、只能在线段上相遇，计算点旋转到直线上的时间为：或，设点的速度为，列方程，或，计算求解即可． 【详解】解：（1）设经过后，点、相遇． ， 解得：． 答：经过4秒钟后，点、相遇； （2）设经过秒，、两点相距3个单位长度， 或， 解得：或． 答：经过3秒钟或5秒钟后，、两点相距3个单位长度． （3）点、只能在线段上相遇， 则点旋转到直线上的时间为：或， 设点的速度为，则有，或， 解得：或， 答：点的速度为每秒个单位长度或每秒个单位长度． 【点睛】此题考查数轴上动点问题，一元一次方程的实际应用，理解行程问题中的相遇问题的思考方法及解法是解题的关键． 20．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图，线段AB=24cm，O为线段AB上一点，且AO：BO=1：2，C、E顺次为射线AB上的动点，点C从A点出发向点B方向运动，E点随之运动，且始终保持CE=8cm（C点到达B点时停止运动），F为OE中点． （1）当C点运动到AO中点时，求BF长度； （2）在C点运动的过程中，猜想线段CF 和BE是否存在特定的数量关系，并说明理由； （3）① 当E点运动到B点之后，是否存在常数n，使得OE-n·CF的值不随时间改变而变化．若存在，请求出n和这个不变化的值；若不存在，请说明理由． ② 若点C的运动速度为2cm/秒，求点C在线段FB上的时间为 秒（直接写出答案）； 【答案】（1）FE=2，BE=12，BF=14cm（2）2CF=BE（3）①16cm ②4秒 【详解】试题分析： （1）先求出 AO，BO的长，再求当C点运动到AO中点时，AC，CE，OE的长． 根据F为OE中点，即可求出BF的长； （2）设AC=x，分别表示出CO，OE，FE，CF，BE的长 ，即可得到结论； （3）①设OF=EF=x，得到OE –nCF=（2-n）x+8n ，可以得到当n=2 时，OE -2CF = 16 cm． ② 根据时间=路程÷速度即可得到结论． 试题解析：解：（1）∵AB=24cm，AO：BO=1：2． ∴AO=8，BO=16．当C点运动到AO中点时，AC=4，CE=8，OE=4． ∵F为OE中点，∴FE=2，BE=12，BF=14cm． （2）设AC=x，CO=8-x，OE=AC=x，FE=FO= FE=FO=x，CF=8-x． BE=24-8-x=16-x ，∴2CF=BE （3）①设OF=EF=x，OE –nCF=2x-n（x-8）=（2-n）x+8n 当n=2 时， OE -2CF = 16 cm． ② 8÷2=4秒． 点睛：本题考查线段的有关计算，正确理解题意是关键． 21．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，P点从点A开始以的速度沿的方向移动，Q点从点C开始以的速度沿的方向移动，在直角三角形中，，若，，，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间． （1）如图1，若点P在线段上运动，点Q在线段上运动，当t为何值时，； （2）如图2，点Q在上运动，当t为何值时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段的长度等于线段的长． 【答案】（1）4，（2）9，（3）或4 【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可． （2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t， ∵AQ＝AP， ∴12﹣t＝2t， ∴t＝4． ∴t＝4时，AQ＝AP． （2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t， ∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的， ∴•AB•AQ＝וAB•AC， ∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9． ∴t＝9时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的． （3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒， ①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t， ∵AQ＝BP， ∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4． ②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16， ∵AQ＝BP， ∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝． ③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时， ∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16， ∵AQ＝BP， ∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去）， 综上所述，t＝或4时，AQ＝BP． 【点睛】本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 22．（2022·河南漯河·七年级期末）新规定：点为线段上一点，当或时，我们就规定为线段的“三倍距点”． 如图，在数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为5． （1）确定点所表示的数为___________； （2）若动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． ①求的长度（用含的代数式表示）； ②当点为线段的“三倍距点”时，求出的值． 【答案】（1）-1或3；（2）①或；②或16 【分析】（1）设点C表示的数为c，根据定义即可求解； （2）①根据点P的位置即可求出AP的长度；②由题意易得AB=8，然后由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】解：（1）设点C表示的数为c， 当时， ∴，解得：， 当时，则有：， 解得：； 故答案为-1或3； （2）①由题意得：AB=8， 当点P在点A的右侧时，则有； 当点P在点A的左侧时，则有； ②设点P表示的数为p， 当时，此时， 解得：， ∴， ∴； 当时，此时， 解得：， ∴， ∴； 综上所述：当点为线段的“三倍距点”时，或16． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键． 23．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 ； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16． 【分析】（1）根据中点的定义可得； （2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程＝速度×时间可得答案． 【详解】解：（1）根据题意知点C表示的数为4， 故答案为：4； （2）设点C表示的数为x， 当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去； 当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6， 当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14， 即点C表示的数为﹣6或14； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t， 由题意知﹣4+t＝12﹣2t， 解得：t， 则相遇时点P对应的数为﹣4； ②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒， ∴点M的运动时间为秒， 则点M所经过的总路程是316单位． 【点睛】本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键． 24．（2022·福建省永春第一中学七年级阶段练习）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足． (1)填空：a＝ ，b＝ ，AB＝ ； (2)若数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）； ②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】(1)－1，3，4 (2)或 (3)①甲：；乙：或；②秒或秒 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求得A、B两点之间的距离； （2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤，（Ⅱ）t＞，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可． （1） 因为， 所， 所以； 所以AB的距离＝， 故答案为：－1，3，4； （2） 设数轴上点C表示的数为c． 因为， 所以，即． 因为， 所以点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上． ①当C点在线段AB上时，则有， 得，解得； ②当C点在线段AB的延长线上时，则有， 得，解得． 故当时，或； （3） ①因为甲球运动的路程为：， 所以甲球与原点的距离为：； 乙球到原点的距离分两种情况： （I）当时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O， 因为，乙球运动的路程为：， 所以乙球到原点的距离为：； （I I）当时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：； ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，方程的解法，数轴，两点间的距离，有一定难度，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 25．（2022·河南·郑州中学七年级期末）如图，点C是线段AB上的一点，线段AC＝8m，．机器狗P从点A出发，以6m/s的速度向右运动，到达点B后立即以原来的速度返回；机械猫Q从点C出发，以2m/s的速度向右运动，设它们同时出发，运动时间为xs．当机器狗P与机械猫Q第二次相遇时，机器狗和机械猫同时停止运动． (1)BC＝______m，AB＝______m； (2)试通过计算说明：当x为何值时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处？ (3)当x为何值时，机器狗和机械猫之间的距离PQ＝2m？请直接写出x的值． 【答案】(1)16，24． (2)当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3)当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的长，然后再求出AB的长即可； （2）先确定机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前，再根据线段AP=AQ列方程求出x的值即可； （3）分三种情况，一是点P在线段AQ上，可根据AP+2=AQ列方程求出x的值；二是点P在线段BQ上且点P到达点B之前，可根据AP-2=AQ列方程求出x的值；三是点P在线段BQ上且点P从点B返回时，可根据2AB减去点P运动的距离等于AQ+2列方程求出x的值即可． (1) 解：∵，AB=AC+BC，AC=8m， ∴8+BC=，解得：BC=16m， ∴AB=×16=24m． 故答案为：16，24． (2) 解：由题意可得：：机器狗P在点A与机械猫Q的中点处只存在一种情况，即机器狗P与机械猫Q第一次相遇之前， ∴6x={8+2x），解得x=． 答：当x=，即运动秒时，机器狗P在点A与机械猫Q的中点处． (3) 解：当点P在线段AQ上且PQ=2m时，则6x+2=8+2x，解得x=； 当点P在线段BQ上且PQ=2m时，则6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x ． 答：当x=或x=或x=，即运动x=或x=或x=秒时，机器狗和机械猫之间的距离PQ=2m． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的应用、线段上的动点问题的求解等知识点，正确地用含x的代数式表示线段A P和AQ的长是解答本题的关键. 26．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P的运动时间为t秒． (1)解决问题： ①当时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在A，B两点之间运动时，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 【答案】(1)①点B表示-4，点P表示5；②1.8秒或3秒 (2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，过程见解析 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8-12；点P表示的数为8-3t； ②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可； （2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论． （1） 解：①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12， ∴点B表示的数是8-12=-4， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是8-3×1=5． ②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度， 则AP=3x，BQ=2x， ∵AP+BQ=AB-3， ∴3x+2x=9， 解得：x=1.8， ∵AP+BQ=AB+3， ∴3x+2x=15 解得：x=3． ∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． （2） 2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下： P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ =AQ+BP-PQ =（AQ+BP-PQ）-PQ =AB-PQ =（12-PQ）， 即2MN+PQ=12． 同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 27．（2022·天津外国语大学附属外国语学校七年级期末）如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，到达点C后再返回到点A并停止． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PA+PB+PC＝13，求x的值． (3)点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)﹣3，﹣1； (2)或1或或； (3)1，，，8． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性求出a，c；根据最大的负整数求出b； （2）先由PA+PB+PC＝13计算出P点的位置，再根据P点的运动轨迹计算出总长度，进而计算时间； （3）根据P、M、N三点的位置关系判断中点：开始P在中间，PM相遇后M在中间（BA和AC上），MN相遇后N在中间，PN相遇后P在中间（AC和CA上），分别讨论t的取值； (1) 解：b是最大的负整数，即b=﹣1， |a+3|+（c﹣9）2＝0， ∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0， ∴a=﹣3，c=9， 故答案为：﹣3，﹣1； (2) 解：AB=2，BC=10，AC=12， PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，则PB=1， ∴此时P点位置为﹣2或0，根据P的运动轨迹得： 由B到A时：x=1÷3=， 由A到B时：x=3÷3=1， 由B到C时：x=5÷3=， 由C到B时：x=23÷3=； 故x的值为:或1或或． (3) 解：当P点由B到A运动时P=﹣3t－1（0≤t＜）， 当P点由A到C运动时P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（≤t＜）， 当P点由C到B运动时P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（≤t≤8）， 当M点由A到C运动时M=4t－3， 当N点由C到A运动时N=﹣5t＋9， PM相遇时3t＋4t=2，t=， MN相遇时4t＋5t=12，t=， PN相遇时3t＋5t=12＋2，t=， 0≤t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣舍去； ＜t＜，M在中间，则﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=舍去； ≤t＜，M在中间，则﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1； ＜t＜，N在中间，则4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=； ＜t＜，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=； ≤t≤8，P在中间，则4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8； 故t的值为：1，，，8． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置关系，中点公式，一元一次方程的运用；用t的代数式表示出P、M、N三点的位置，根据三点的位置判断中点是解题的关键． 28．（2022·全国·七年级课时练习）【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； (2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ cm； (3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【答案】(1)是 (2)6或4或8c (3)t为3或或或或或6 【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案； （2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． （3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可． （1） 解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM， ∴线段的中点是这条线段的“和谐点”， 故答案为：是； （2） 解：①当N为中点时，CN＝＝6cm； ②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm； ③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． 故答案为：6cm或4cm或8cm； （3） 解：∵AB＝15cm， ∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5）， 由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除； ①P为A、Q的和谐点，有三种情况： 1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； 2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝3； 3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； ②Q为A、P的和谐点，有三种情况： 1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝6； 2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝； 3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝． 综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 29．（2022·四川成都·七年级期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是-8，点在数轴上表示的数是10，若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． (1)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间； (2)问运动多少秒时（单位长度）； (3)设线段，开始运动后的运动时间为秒，当为何值时，恰好满足． 【答案】(1)秒； (2)①、相遇之前：秒，②、相遇之后：秒 (3)当为5秒或9秒后恰好满足 【分析】（1）根据线段与线段从开始相遇到完全离开相当于线段AB比线段CD多走的路程为AB+CD，由此求解即可； （2）分、相遇之前和、相遇之后，两种情况讨论求解即可； （3）由题可得，秒后A，，，可分别表示为：A：，：，：，：．则：，，然后分分、相遇之前和、相遇之后，两种情况讨论求解即可． （1） 解：、相遇后到A点完全离开： 秒 （2） 解：①、相遇之前： 秒 ②、相遇之后： 秒 （3） 由题可得，秒后A，，，可分别表示为：A：，：，：，：． 则：，， ①、相遇之前，由题可得： ②、相遇之后，由题可得： 综上所述：当为5秒或9秒后恰好满足． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，正确理解题意是解题的关键． 30．（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动． (1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长； (2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点． (3)若，是数轴上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时点是线段的中点 (3)或1 【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求； （2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解； （3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解． （1） 解：∵，， 又∵点表示，点表示7， ∴， ∴ ∴． （2） 解：∵点，分别表示，6， 所以，，，，， 当是的中点时，即， ∴当时点是线段的中点． （3） 解：①当点在线段上时，如图 ∵， 又∵ ∴， 又∵ ∴，即 ②当点在线段的延长线上时，如图 ∵，又∵ ∴，即 综上所述或1． 【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系． 31．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值24； (3)． 【分析】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可； （2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论； （3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解． （1） 解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． （2） 解：∵，，， ∴， 即为定值24． （3） 解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 【点睛】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度． 32．（2022·全国·七年级课时练习）如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，已知，点M、N分别从A、B两点同时出发向点C运动．当其中一动点到达C点时，M、N同时停止运动．已知点M的速度为每秒2个单位长度，点N速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度为________； (2)当t为何值时，M、N两点重合? (3)若点Р为中点，点Q为中点．问：是否存在时间t，使长度为5?若存在，请说明理由． 【答案】(1)2t (2)20 (3)30或50 【分析】（1）由点M的速度为2即可得出答案； （2）根据题意可得出，当M、N两点重合时，根据线段之间的数量关系即可列出关于t的等式，解出t即可； （3）根据题意可得：，，且．由此可求出．再根据或，即可列出关于t的等式，解出t即可． （1） ∵点M的速度为每秒2个单位长度， ∴． 故答案为：； （2） 根据题意可知． 当M、N两点重合时，有， 解得：． 故t为20时，M、N两点重合； （3） 根据题意可得：，，且． ∴． ∴或， 即或 解得：或． 故存在时间t，使长度为5，此时t的值为30或50． 【点睛】本题考查与线段有关的动点问题，线段的和与差，与线段中点有关的计算以及解一元一次方程的实际应用．根据题意找到线段间的数量关系，列出等式是解题关键． 33．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点P是线段AB或线段AB延长线上的一点，则图中共有3条线段AP、BP、AB，若其中有一条线段的长是另一条线段长的两倍，则点P是线段AB的“倍分点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“倍分点”；（填“是”或“不是”） (2)深入研究：平面内，已知线段AB长为18cm，点P从A点出发，运动的时间为t秒． ①如图2，点P从A点出发，以每秒4cm的速度在线段AB上运动时，求t为何值时，点P是线段AB的“倍分点”？ ②如图2，若点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿射线AB方向运动，同时点Q从B点出发沿射线AB方向以每秒1cm的速度也运动了t秒，请直接写出点P是线段AQ的“倍分点”时t的值． 【答案】(1)是 (2)①或3或；②、秒、3.6秒、18秒、10.8秒、54秒 【分析】（1）根据“倍分点”的含义进行判断即可； （2）①由题意得： 再分三种情况；当时， 当时， 当时， 再列方程求解即可；②当与相遇时，则 再分两种情况讨论：当时， 当时， 再列方程求解即可. （1） 解：如图，为的中点， 所以 所以是的“倍分点”， 故答案：是； （2） ①由题意得： 当时，此时， 解得 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s时，点P是线段AB的“倍分点”. ②当与相遇时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： 综上：当s或s或s或s或s或s，点P是线段AQ的“倍分点”. 【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论，理解新定义的含义是解本题的关键. 34．（2022·全国·七年级课时练习）如图，点在线段上，cm，cm．点以1cm/s的速度从点沿线段向点运动；同时点以2cm/s的速度从点出发，在线段上做往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动．设点运动的时间为（s）． (1)当时，求的长． (2)当点为线段的中点时，求的值． (3)若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)7 cm (2)2或 (3)当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm． 【分析】（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm； （2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得； （3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可． （1） 解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm， ∴MC=AC-AM=6-1=5（cm）， ∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）； （2） 如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm， ∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动， ∴0≤t≤6， ①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2； ②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）； ③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC=CN，即6-t=2t-8， 解得：； 综上所述，当t=2或时，点C为线段MN的中点． （3） 如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CP=CN=t cm， ∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变； ②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CP=CN=（8-2t）=（4-t） cm， ∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化； ③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CP=CN=（2t-8）=（t-4）cm， ∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变； 综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 35．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足，点M，N分别为AB，CD中点． (1)求线段AB，CD的长； (2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长； (3)若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8 (2)16或8 (3)当时，MN+AD为定值，定值为6 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求出m和n的值即可； （2）分在的左侧和在的右侧两种情况，根据线段的和差关系列出方程，即可求解； （3）由题意，运动t秒后，，，分段讨论即可求解． （1） 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段AB的长是4，线段CD的长是8； （2） 解：∵，， ∴，， 设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况， 若6秒后，在的左侧时：， ∴， 即， 解得． 若6秒后，在的右侧时：， ∴， 即， 解得． 即线段BC的长为16或8； （3） 解：∵BC＝24，，， ∴，， ∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，MN+AD为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 36．（2022·全国·七年级阶段练习）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示数C，且点A、B表示的数、满足：． (1)当AC的长度为6个单位长度时，则 ， ， ． (2)在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长度是多少？ (3)点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度向点B运动，到达点B停留3秒钟后加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A；点N从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到点O后停止；结果点M到点A比点N到点O晚1秒钟，设点M从出发到运动结束的整个过程时间记为t秒，求在整个运动过程中，当MN=1时t的值． 【答案】(1)，，3或-9 (2)7或1 (3)1或2或3或5.5或5.75 【分析】（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解； （2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解； （3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题意分情况讨论，即可求解． （1） 解：∵， ∴， ∴， ， 又∵AC=6， ∴ 故答案为：，，3或-9． （2） ∵点P是AB的中点， ∴点P表示的数是1， 当点时，AC=6， ∵点Q是AC的中点， ∴点Q表示的数是-6 ∴PQ的长度是7 同理可得：PQ的长度是1． （3） 点N从出发到返回原点O并停止运动的时间为：5×2÷2=5（秒） 点M从出发到运动结束的时间为：5+1=6（秒） 点M从点A出发到达点B用时：8÷4=2（秒） 点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时：6-2-3=1（秒） 点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）为：8÷1=8 点M从点B开始加快速度返回点A时，点N到达点O并已停止 ①当M和N都向点B运动时：MN=2t-（4t-3）=1或4t-3-2t=1，t=1或t=2 ②当点M到达点B停留3秒时，点N正返回原点O，2t=5+1，t=3 ③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时， 此时点N已到原点O并停止距离点B为5， 设点M从点B出发运动秒时MN=1，则 或8x-5=1 或x=0.75 所以t=5+0.5=5.5或t=5+0.75=5.75 ∴当MN=1时t的值为1或2或3或5.5或5.75． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是的熟练掌握非负数的性质和两点间的距离公式，找准等量关系，正确列出一元一次方程求解． 37．（2022·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝30cm，AB＝90cm，BC＝15cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P、Q停止运动． (1)若点Q运动速度为2cm/秒，经过多长时间P、Q两点相遇？ (2)当PA＝2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度； (3)当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值． 【答案】(1)经过45s后P、Q两点相遇 (2)v＝cm/s或v＝cm/s (3)2 【分析】（1）根据题意的路程和为的长，据此列出方程，解方程即可求解； （2）设Q的速度为vcm/s，经过ts后，若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135，根据点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，可得＝135﹣vt，根据PA＝2PB，建立绝对值方程，解方程并检验即可求解； （3）设经过ts时，点P在AB之间，根据题意点E对应数轴上的数是t，点F对应数轴上的数是＝75，进而用含的式子表示，代入即可求解． （1） 解：设经过ts，P、Q两点相遇， ∴2t+t＝30+90+15， 解得：t＝45， 答：经过45s后P、Q两点相遇． （2） 设Q的速度为vcm/s，经过ts后，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点， 若点O对应数轴上的0，则点A对应数轴上的30，点B对应数轴上的120，点C对应数轴上的135， ∴点P对应数轴上的数是t，点Q对应数轴上的135﹣vt， ∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点， ∴＝135﹣vt， ∴vt＝75， ∵PA＝2PB， ∴|t﹣30|＝2|t﹣120|， ∴解得：t＝90或t＝210， 当t＝90s时，90v＝75， ∴v＝， 而点Q到达O点所需要时间为＝142s＞90s， 当t＝210时，210v＝75， ∴v＝， 而点Q到达O点所需要的时间为＝378＞210s， 综上所述，v＝cm/s或v＝cm/s； （3） 设经过ts时，点P在AB之间， 点O对应数轴上的数是0，点A对应数轴上的数是30，点B对应数轴上的数是120，点C对应数轴上的数是135， ∴点P对应数轴上的数是t， ∵OP和AB的中点E，F， ∴点E对应数轴上的数是t，点F对应数轴上的数是＝75， ∴EF＝75﹣t，AP＝t﹣30，OB＝120， ∴＝＝2． 【点睛】本题考查了线段中点的性质，一元一次方程的应用，列代数式以及代数式求值，解题的关键是熟练运用两点间的距离公式，转化为数轴上的动点问题． 38．（2022·湖北宜昌·七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣4，点C在数轴上表示的数是4，若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时BC=2（单位长度）？ (2)线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上，且点P不在线段CD上时，是否存在关系式BD﹣AP=3PC．若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1或2 (2)1.5秒 (3)3.5或5 【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论； （2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解； （3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． (1) 解：设运动t秒时，BC=2单位长度， ①当点B在点C的左边时， 由题意得：3t+2+t=6， 解得：t=1； ②当点B在点C的右边时， 由题意得：3t﹣2+t=6， 解得：t=2． (2) 解：（2+4）÷（3+1）=1.5（秒）． 答：线段AB与线段CD从开始相遇到完全离开共经过1.5秒长时间． (3) 解：存在BD-AP=3PC， 设运动时间为t秒， ①当t=（4+2）÷（3+1）=1.5时，点B和点C重合，BD=CD=4， ∵点P在线段AB上， ∴0＜PC≤2， ∴PA+3PC=PA+PB+2PC=AB+2PC=2+2PC， ∴当PC=1时，BD=AP+3PC，即BD-AP=3PC； 此时PD=5， ②当1.5＜t＜2.5时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， 当点P在线段BC上时， ∵BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∴4-BC=2-BC+4PC， ∴PC=0.5，有BD=AP+3PC， 故PD=3.5时，BD-AP=3PC， ③当t=2.5时，点A与点C重合，0＜PC≤2， ∵BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC， ∴4PC=2， ∴PC=0.5，有BD=AP+3PC， 故BD-AP=3PC， 此时PD=3.5， 综上所述，线段PD的长为3.5或5． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列方程解决问题． 同． 39．（2022·重庆九龙坡·七年级阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣6，点B表示10，点C表示14，我们称点A和点C在数轴上相距20个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒． 问： （1）动点P从点A运动至C点需要时间为 秒；P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是 ； （2）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】（1）15；4（2）t的值为2、3.5、5或17. 【分析】（1）根据路程除以速度等于时，可得答案；根据相遇时P,Q的时间相等，可得方程，解出即可. （2）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，解出即可. 【详解】（1）点P运动至点C时，所需时间t=6÷2+10÷1+4÷2=15（s）， 答：动点P从点A运动至C点需要15秒； 由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM=x． 则6÷2+x÷1=4÷1+（10-x）÷2， x=4， 答：M所对应的数为4． （2）P点运动完时间：6÷2+10÷1+4÷2=15（s） Q点运动完时间：4÷1+10÷2+6÷1=15（s） P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有以下可能： ①动点Q在CB上，动点P在AO上， 则：4-1t=6-2t，解得：t=2． ②动点Q在CB上，动点P在OB上， 则：4-1t=1×（t-3），解得：t=3.5． ③动点Q在BO上，动点P在OB上， 则：2（t-4）=1×（t-3），解得：t=5． ④动点Q在OA上，动点P在OB上， 则：1×（t-9）+10=1×（t-3），无解 ④动点Q在OA上，动点P在BC上， 则：1×（t-9）+10=2×（t-13）+10，解得：t=17， 综上所述：t的值为2、3.5、5或17． 【点睛】本题考查动点问题，关键在于分段讨论，弄清楚每一段的时间及点所在的位置. 40．（2022·浙江·温岭市实验学校七年级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝AB，则dC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此，我们可以这样理解：dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义． 应用：（1）如图1，点C在线段AB上，若dC﹣AB＝，则AC＝ AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝ ； （2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts． ①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系； ②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？ 拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，点Q沿线段AC，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB． 【答案】应用：（1）；；（2）①dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，dP﹣AB+dQ﹣AB＝1；②t＝4或；拓展：dQ﹣CB＝． 【分析】应用：（1）根据dC﹣AB＝n与AC＝nAB具有相同的含义，进行解答即可； （2）①用含t的式子先表示出AP，AQ，再由定义可求解； ②分t＜5与t≥5两种情况，根据定义可得dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝（t＜5），dQ﹣AB＝（t≥5），由dP﹣AB+dQ﹣AB＝，列出方程即可求解； 拓展：设运动时间为t，由题意点P、Q同时到达点B，可设点P的速度为3x，点Q速度为5x，可得dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝，求解即可． 【详解】解：应用：（1）∵dC﹣AB＝，∴AC＝AB， ∵AC＝3BC，∴AC＝AB，∴dC﹣AB＝， 故答案为：；； （2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s， ∴AP＝tcm，AQ＝（10﹣t）cm， ∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝， ∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝＝1； ②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s， ∴AP＝tcm， 当t＜5时，AQ＝（10﹣2t）cm， ∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝， ∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝4； 当t≥5时，AQ＝（2t﹣10）cm， ∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝， ∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝； 综上所述，t＝4或； 拓展：设运动时间为t， ∵点P、Q同时到达点B，AB=12，AC+BC=20， ∴点P的速度:点Q速度＝3:5， 设点P的速度为3x，点Q速度为5x， ∴dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝， ∴xt=4n， ∴dQ﹣CB＝＝． 【点睛】本题考查了线段的和差运算，新定义问题以及一元一次方程的解法等知识，理解新定义并能运用是本题的关键．
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