专题01 有理数重难点题型分类-2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版）

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自各名校月考试题、期中试题中的典型考题，具体包含六类题型：有理数概念与分类、数轴的概念与应用、
相反数与倒数的文字题、有理数的计算题、有理数的应用题、定义新运算。适合于培训机构的老师给学生
作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 有理数概念与分类
1．（青竹湖）下列关于数“0”的说法正确的是（ ）
A．0仅表示“没有” B．0既是整数，也是分数
C．0既不是正数，也不是负数 D．0既有相反数，也有倒数
【解答】解：0在具体的情境中，表示具体的含义，故A不符合题意；0是整数但不是分数，故B不符合题意；0既不是正数也不是负数，故C符合题意；0有相反数但没有倒数，故D不符合题意；故选：C．
2.（青竹湖）下列各说法中，正确的是（ ）
A．正数、负数和零统称为有理数 B．最大的负整数是﹣1
C．一个数的绝对值越大，则数轴上表示它的点越靠右 D．符号相反的两个数互为相反数
【解答】解：有理数可以分为正有理数、负有理数、零，故A不符合题意；最大的负整数是﹣1，故B符合题意；一个数的绝对值越大，则数轴上表示它的点离原点越远，故C不符合题意；只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故D不符合题意；故选：B．
3．（中雅）下列说法不正确的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的正数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0
【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，正确，不符合题意；B、1是绝对值最小的正数，错误，符合题意；C、一个有理数不是整数就是分数，正确，不符合题意；D、0的绝对值是0，正确，不符合题意．故选：B．
4．（长雅）下列说法正确的是（ ）
A．非负数包括零和整数 B．正整数包括自然数和零
C．整数和分数统称为有理数 D．零是最小的整数
【解答】解：A、非负数包括零和正数，故A错误；B、正整数指大于0的整数，故B错误；
C、整数和分数统称为有理数，故C正确；D、没有最小的整数，故D错误．故选：C．
5．（立信）下列集合中，所填的数正确的是（ ）
A．整数集合： B．分数集合：
C．正整数集合：D．非负整数集合：{0，1，2，5，⋯}
【解答】解：A．不是整数，故本选项不合题意；B．5是整数，不是分数，故本选项不合题意；
C．不是正整数，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D．0，1，2，5均为非负整数，故本选项符合题意．故选：D．
6．（青竹湖）下列有理数中，﹣8，0，﹣1.04，﹣（﹣3），，﹣|﹣2|，非负整数有 个．
【解答】解：∵﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣2|＝﹣2，∴非负整数有：0，﹣（﹣3），故答案为：2．
7．（湘郡）在﹣，，0，﹣1，0.4，π，2，﹣3，6这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（ ）
A．3B．2C．1D．4
【解答】解：有理数有：﹣，，0，﹣1，0.4，2，﹣3，6共8个，自然数有：0，2，6共3个，
分数有﹣，，0.4，共3个，∴m＝8，n＝3，k＝3，∴m﹣n﹣k＝8﹣3﹣3＝2，
故选：B．
8．（湘郡）把下列各数按要求分类．
①﹣4，②﹣10%，③﹣|﹣1.3|，④0，⑤，⑥﹣2，⑦0.6，⑧﹣1（请在横线上填各数序号）
负整数： ，负分数： ，非负数： ．
【解答】解：﹣|﹣1.3|＝﹣1.3，负整数：①⑥，负分数：②③⑧，非负数：④⑤⑦．
故答案为：①⑥；②③⑧；④⑤⑦．
9．（中雅）把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）．
①﹣|﹣2|，②﹣3.14，③0，④18%，⑤﹣（﹣3），⑥2023，⑦，⑧﹣3，⑨﹣1．
整数{ …}；正分数{ …}；
非负有理数{ …}．
【解答】解：﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣3）＝．整数{﹣|﹣2|，0，2023，﹣1，…}；
正分数{18%，﹣（﹣3），，…}；非负有理数{0，18%，﹣（﹣3），2023，，…}．
故答案为：①③⑥⑨；④⑤⑦；③④⑤⑥⑦．
10．（广益）把下列各数对应的序号填在相应的括号里．
①﹣8，②π，③﹣|2|，④，⑤4，⑥﹣0.9，⑦5.4，⑧﹣3.，⑨0，⑩1.2020020002⋯（每两个2之间多一个0）
负有理数集合：{ …}；正分数集合：{ …}；
自然数集合：{ …}；非正整数集合{ …}．
【解答】解：负有理数集合：{①③⑥⑧...}；正分数集合：{④⑦...}；自然数集合：{⑤⑨...}；
非正整数集合{①③⑨...}．
题型二 数轴的概念与应用
11．（长郡）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A选项中单位长度不均匀，故A选项不符合题意；B选项中单位长度标错了，﹣2应该离原点2个单位长度，﹣1应该离原点1个单位长度，故B选项不符合题意；C选项正确，符合题意；D选项中没有标明正方向，故D选项不符合题意．故选：C．
12．（长郡）点P是数轴上表示﹣3的点，点Q到点P的距离为4个单位，则点Q在数轴上表示的数为 ．
【解答】解：∵点P是数轴上表示﹣3的点，PQ＝4，∴Q点表示1或﹣7，故答案为：1或﹣7．
13．（中雅）数轴上与表示数﹣3的点的距离是5的点表示的数是 ．
【解答】解：如图，
数轴上到点﹣3的距离为5的点有2个：﹣3﹣5＝﹣8、﹣3+5＝2；所以他们分别表示数是﹣8、2．
故答案为：﹣8或2．
14．（中雅）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．c﹣b＞0B．|a|＞4C．ac＞0D．a+c＞0
【解答】解：A选项，∵c＞b，∴c﹣b＞0，故该选项正确，符合题意；
B选项，观察数轴，|a|＜4，故该选项错误，不符合题意；
C选项，∵a＜0，c＞0，∴ac＜0，故该选项错误，不符合题意；
D选项，∵a＜0，c＞0，|a|＞|c|，∴a+c＜0，故该选项错误，不符合题意．故选：A．
15．（雅礼）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．ab＜0B．a+b＜0C．D．b﹣a＜0
【解答】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，|a|＜b，∴ab＜0，正确，A符合题意；a+b＞0，B错误，不符合题意；＜0，C错误，不符合题意；b﹣a＞0，D错误，不符合题意．故选：A．
16．（中雅）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并将上述数据用“＜”号连接起来
﹣（+4），﹣（﹣2），0，+（﹣1.5），﹣|﹣3|
【解答】解：﹣（+4）＝﹣，﹣（﹣2）＝2，+（﹣1.5）＝﹣1.5，﹣|﹣3|＝﹣3，
∴这些数在数轴上对应的点表示如下：
∴＜﹣|﹣3|＜+（﹣1.5）＜0＜﹣（﹣2）．
17.（长郡）已知点A、B、C、D、E在数轴上分别对应下列各数：0，|﹣3.5|，（﹣1）2，﹣（+4），﹣2．
（1）如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点．（标字母）
（2）用“＜”号把这些数连接起来．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）用“＜”号把这些数连接起来：
﹣（+4）＜﹣2＜0＜（﹣1）2＜|﹣3.5|．
18．（雅礼）画出数轴，把下列数表示在数轴上，并用“＜”连接起来．
﹣（﹣2），﹣|﹣1.5|，0.5，0，﹣3.5，4，3
【解答】解：﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣1.5|＝﹣1.5，在数轴上表示如图所示，
∴．
题型三 相反数与倒数的文字题
19．（长郡）已知a+2与2﹣b互为相反数，则a﹣b的值为 ．
【解答】解：∵a+2与2﹣b互为相反数，∴a+2+（2﹣b）＝0，∴a﹣b＝﹣4．故答案为：﹣4．
20．（广益）若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a+b的相反数是（ ）
A．1B．3C．﹣3D．﹣2
【解答】解：∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴a+b＝1+2＝3，
∴a+b的相反数是﹣3．故选：C．
21．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数，其中不正确的结论有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【详解】解：①若a、b互为相反数，所以a，b到原点的距离相等，则，原选项正确；
②若，则a、b互为相反数或相等，原选项不正确；
③若a、b互为相反数，当a=b=0时，则无意义，原选项不正确；
④若，所以a=-b，则a、b互为相反数，原选项不正确；故选：D
22．（中雅）已知|a+3|与|b﹣4|互为相反数，求式子a2+b2的值．
【解答】解：∵|a+3|与|b﹣4|互为相反数，∴|a+3|+|b﹣4|＝0，又∵|a+3|≥0，|b﹣4|≥0，∴a+3＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣3，b＝4，∴a2+b2＝（﹣3）2+42＝9+16＝25．
23．（长郡）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3．
（1）填空：a+b＝ ；cd＝ ；m＝ ；
（2）求+（2m2﹣1）﹣3a﹣3b的值．
【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于3，∴a+b＝0，cd＝1，|m|＝3，即m＝3或﹣3，故答案为：0，1，±3；
（2）原式＝1+（2×32﹣1）﹣3×0＝1+18﹣1﹣0＝18．
24．（中雅）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求m2+a+b+（﹣cd）3的值．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，∴m2+a+b+（﹣cd）3＝m2+（a+b）+（﹣cd）3＝4+0+（﹣1）3＝4+0+（﹣1）
＝3．
25．（中雅）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为4，求cd+﹣m2的值．
【解答】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为4，∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣4或m＝4，
当m＝4时，原式＝1+＝﹣15；当m＝﹣4时，原式＝1+﹣16＝﹣15．
26．（湘郡）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于3的负数，则m2+（a+b+cd）m+（cd）2021的值为多少？
【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝﹣3，则m2+（a+b+cd）m+（cd）2021
＝（﹣3）2+（0+1）×（﹣3）+12021＝9﹣3+1＝7．
题型四 有理数的计算题
27．计算：
（1）； （2）；
【详解】解：（1）原式＝-＝24；
（2）原式＝＝－6＋6＝0；
（3）； （4）；
（3）原式＝－8＋6＝－2 ；
（4）原式＝＝8 ．
28．计算：
（1） （2）
【详解】解：（1）==
（2）===-44；
（3） （4）
（3） ==
（4）===-4；
29．计算：
（1） （2）
（3） （4）
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式。
30．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
31.计算：
（1） （2）
（3） （4）
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
32.计算：
（1）； （2）．
【解答】解：（1）原式＝＝＝＝3+（﹣1）＝2．
（2）原式＝＝．
33.计算：
（1）﹣++﹣； （2）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣（+3）；
（3）（﹣）+|0﹣5|+|﹣4|+（﹣9）； （4）|﹣|÷（﹣）﹣×（﹣4）2．
【解答】解：（1）﹣++﹣＝＝＝；
（2）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣（+3）＝＝﹣8+＝；
（3）（﹣）+|0﹣5|+|﹣4|+（﹣9）＝+++（﹣9）＝
＝﹣10+10＝0；
（4）|﹣|÷（﹣）﹣×（﹣4）2＝÷﹣＝﹣＝．
33．计算：﹣14+[×（﹣6）﹣（﹣4）2]÷（﹣5）．
【解答】解：原式＝﹣1+[（﹣4）﹣16]÷（﹣5）＝﹣1+（﹣20）÷（﹣5）＝﹣1+4．
题型五 有理数的应用题
34．（青竹湖）一辆汽车在一条东西走向的街道上修路灯，以车站为出发点，向东走记为正，向西走记为负（单位：千米），以先后次序记录如下：﹣3、+4、﹣5、+10、+5、﹣8，﹣6，+7．试回答下列问题：
（1）最后一次修完路灯后，汽车在出发点的那一边，距离出发点多远？
（2）如果汽车每走10千米耗油1升，汽车上的人修完路灯后，回出发点之前共用了多少油？
【解答】解：（1）﹣3+4﹣5+10+5﹣8﹣6+7＝4（km），
∴汽车在出发点的东边，距离出发点4km；
（2）|﹣3|+|+4|+|﹣5|+|+10|+|+5|+|﹣8|+|﹣6|+|+7|＝48（km），
∴48÷10×1＝4.8（升），
∴回出发点之前共用了4.8升油．
35．（中雅）某检修组乘汽车沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发，到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8、﹣9、+4、+7、﹣2、﹣10、+18、﹣3、+7、+5、﹣4
回答下列问题
（1）收工时检修组在A地的哪边？距A地多少千米？
（2）若汽车每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？
【解答】解：（1）8﹣9+4+7﹣2﹣10+18﹣3+7+5﹣4＝21．
答：收工时在A地的东边，距A地21千米．
（2）|+8|+|﹣9|+|+4|+|+7|+|﹣2|+|﹣10|+|+18|+|﹣3|+|+7|+|+5|+|﹣4|＝77，
77×0.2＝15.4（升），
答：若每千米耗油0.2升，从A地出发到收工时，共耗油15.4升．
36．（立信）南海自古以来为中国的神圣领土，中国一核潜艇在海下执行任务，时而上升，时而下降，核潜艇的初始位置在海平面下500米，下面是核潜艇在某段时间内运动的情况（上升记为“+”，下降记为“﹣”，单位：米）﹣290，﹣40，30，20，﹣50，60、﹣70．
（1）现核潜艇处在什么位置？
（2）若核潜艇每上升或下降1米，核动力装置所提供的能量相当于20升汽油燃烧所产生的能量，则在这段时间内核动力装置所提供的能量相当于多少升汽油燃烧所提供的能量？
【解答】解：（1）﹣500﹣290﹣40+30+20﹣50+60﹣70＝﹣840（米），
故现在核潜艇处在海平面下840米．
（2）|﹣290|+|﹣40|+|30|+|20|+|﹣50|+|60|+|﹣70|＝560，
560×20＝11200（升），
答：在这一时刻内核动力装置所提供的能量相当于11200升汽油燃烧所产生的能量．
37．（长郡）东江湖蜜桔是我们湖南郴州的特产，口感香甜，入口即化．科技改变生活，当前网络销售日益盛行．湖南某网红主播为了帮助农民脱贫致富，在某直播间直播销售东江湖蜜桔，计划每天销售20000千克，但实际每天的销售量与计划量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是该主播在直播带货期间第一周销售蜜桔的情况：
（1）该主播在直播带货期间第一周销售蜜桔最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
（2）若该主播在直播期间按6元/千克进行蜜桔销售，平均快递运费及其它费用为2元/千克，则该主播第一周直播带货销售蜜桔为当地农民一共创收多少元？
【解答】解：（1）+1200﹣（﹣600）＝1800（千克），
答：第一周销售蜜桔最多的一天比最少的一天多销售1800千克．
（2）∵20000×7+300﹣400﹣200+100﹣600+1200+500＝140900（千克），
∴（6﹣2）×140900＝563600（元）．
答：该主播第一周直播带货销售蜜桔为当地农民一共创收563600元．
38．（广益）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，要求每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入，如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
（1）该厂星期一生产工艺品的数量为 个；
（2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产 个工艺品；
（3）求该工艺厂在本周实际生产工艺品多少个？
（4）已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元，求该工艺厂在这一周应付出的工资总额是多少元？
【解答】（1）该厂星期一生产工艺品的数量为 305个；
（2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产16﹣（﹣10）＝26个工艺品，
故答案为：305，26；
（3）根据题意得一周生产的工艺品数为：300×7+[5+（﹣2）+（﹣5）+15+（﹣10）+16+（﹣9）]
＝2100+10＝2110（个）．
答：该厂这一周共生产工艺品2110个；
（4）根据题意得：超额生产一个工艺品可得60+50元，少生产一个扣80元，
∴（5+15+16）×110+[（﹣2）+（﹣5）+（﹣10）+（﹣9）]×80
＝36×110﹣26×80＝1880
∴（2100﹣26）×60+1880＝126320
答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额是126320元．
39．（青竹湖）育才中学为提高学生的身体素质，经常在课间开展学生跳绳比赛，下表为该校6（1）班50名学生参加某次跳绳比赛的情况，规定标准数量为每人每分钟100个．
（1）6（1）班50人中跳绳最多的同学一分钟跳的次数是多少个，跳绳最少的同学一分钟跳的次数是多少个；
（2）跳绳比赛的计分方式如下：
①若每分钟跳绳个数是规定标准数量，不计分；
②若每分钟跳绳个数超过规定标准数量，每多跳1个绳加2分；
③若每分钟跳绳个数没有达到规定标准数量，每少跳1个绳扣1分．
如果班级跳绳总积分超过200分，便可得到学校的奖励，请你通过计算说明6（1）班能否得到学校奖励？
【解答】解：（1）6（1）班50人中跳绳最多的同学一分钟跳的次数是：100+6＝106（个）
跳绳最少的同学一分钟跳的次数是：100﹣2＝98（个）．
答：6（1）班50人中跳绳最多的同学一分钟跳的次数是106个，跳绳最少的同学一分钟跳的次数是98个；
（2）依题意得：（4×6+5×11+6×8）×2﹣（﹣2×6﹣1×12）×（﹣1）＝230＞200．
40．（长雅）股民小石上星期五买进某公司股票2000股，每股27元，如表为本周内每日收盘时该股票的涨跌情况：
（1）星期三收盘时，该股票涨或跌了多少元？
（2）本周内该股票每股的最高价比最低价多了多少元？
（3）已知小石买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时还需要付成交额的0.15%的手续费和0.1%的交易税．如果小石在星期五收盘前按收盘价将全部股票卖出，则它的收益情况如何？
【解答】解：（1）（+2.20）+（+1.42）+（﹣0.80）＝2.82（元），
答：星期三收盘时，每股涨了2.82元；
（2）27+（+2.20）+（+1.42）＝30.62（元），
27+（+2.20）+（+1.42）+（﹣0.8）+（﹣2.52）＝27.3（元），
30.62﹣27.3＝3.32（元），
答：本周内该股票每股的最高价比最低价多了3.32元；
（3）（27.3+1.3）×2000×（1﹣0.0015﹣0.001）﹣27×2000×（1+0.0015）＝2976（元）．
答：如果该股民在星期五收盘前将全部股票卖出，他本周将获利2976元钱．
41．某儿童服装店用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果以每套55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2．
（1）该服装店卖完这八套儿童服装后，是盈利还是亏损？
（2）盈利（或亏损）了多少？
【解答】解：根据题意，得：（1）2﹣3+2+1﹣2﹣1+0﹣2＝﹣3（元），55×8+（﹣3）＝437（元），∵437＞400，∴卖完后是盈利；
（2）437﹣400＝37（元）．故盈利37元．
42．当温度每上升1℃时，某种金属丝伸长0.002mm；反之，当温度下降1℃时，金属丝就缩短0.002mm．把15℃的这种金属丝加热到60℃，再使它冷却降温到5℃，金属丝的长度经历了怎么样的变化？金属丝最后的长度比原来的长度伸长多少？
【解答】解：金属丝的长度先伸长，再缩短；设15℃时金属丝的长度为lmm，
根据题意得：金属丝最后的长度＝l+（60﹣15）×0.002﹣（60﹣5）×0.002＝（l﹣0.02）mm．
金属丝最后的长度﹣原来的长度＝（l﹣0.02）﹣l＝﹣0.02（mm）．
即金属丝最后的长度比原来的长度伸长﹣0.02mm，也即是缩短了0.02mm．
43．20筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示．记录如下：
（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重 千克．
（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？
（3）若白菜每千克售价1.8元，则出售这20筐白菜可卖多少元？
【解答】解：（1）最重的一筐超过2.5千克，最轻的差3.5千克，2.5﹣（﹣3.5）＝6（千克），
故最重的一筐比最轻的一筐重6千克．故答案为：6；
（2）2×（﹣3.5）+4×（﹣2）+2×（﹣1.5）+1×0+3×1+8×2.5＝﹣7﹣8﹣3+0+3+20＝5（千克）．
故20筐白菜总计超过5千克；
（3）1.8×（15×20+5）＝1.8×305＝549（元）．故出售这20筐白菜可卖549元．
题型六 定义新运算
44．（2021·江苏）设x、y都是有理数，规定：#，则（－2）#（＋5）的值为____________．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：0．
45．（2021·湖北）对于任意非零有理数、，定义运算如下：，则__________．
【详解】解：．故答案为-4．
46．（2019·北京师大附中）对于有理数a, b,规定一种新运算: a★b= 2ab-b.
(1)计算: (－3)★4=______________；
(2)若方程(x-4)★3=6，求x的值;
(3)计算: 5★[(-2)★3]的值.
【详解】解：（1）(－3)★4=2×(－3)×4－4=－24－4=－28，故答案为－28；
（2）因为(x－4)★3=6，所以2(x－4)×3－3=6，解得：；
（3）5★[(－2)★3]= 5★[2×(－2)×3－3]= 5★(－15)=2×5×(－15)－ (－15)=－135.
47．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝a×b+2×a．
（1）求2⊕（﹣1）的值；
（2）求﹣3⊕（﹣4⊕）的值；
（3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【解答】解：（1）2⊕（﹣1）＝2×（﹣1）+2×2＝﹣2+4＝2；
（2）﹣3⊕（﹣4⊕）＝﹣3⊕[﹣4×+2×（﹣4）]＝﹣3⊕（﹣2﹣8）＝﹣3⊕（﹣10）
＝（﹣3）×（﹣10）+2×（﹣3）＝30﹣6＝24；
（3）不具有交换律，
例如：2⊕（﹣1）＝2×（﹣1）+2×2＝﹣2+4＝2；
（﹣1）⊕2＝（﹣1）×2+2×（﹣1）＝﹣2﹣2＝﹣4，
∴2⊕（﹣1）≠（﹣1）⊕2，
∴不具有交换律．
48．（2021·北京市第十三中学）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为 ；
（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值；
（3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1，a1和a2关于2的“相对关系值”为1，a2和a3关于3的“相对关系值”为1，…，a20和a21关于21的“相对关系值”为1．
①a0+a1的最大值为 ；
②a1+a2+a3+…+a20的值为 （用含a0的式子表示）．
【详解】解：（1）由“相对关系值”的意义可得，﹣3和5关于1的“相对关系值”为|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝4+4＝8．故答案为：8；
（2）∵a和2关于1的“相对关系值”为4，∴|a﹣1|+|2﹣1|＝4．∴|a﹣1|＝3．解得a＝4或﹣2，
答：a的值为4或﹣2；
（3）①根据题意得，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，分别四种情况：
当a0≥1，a1≥1时，有a0﹣1+a1﹣1＝1，则a0+a1＝3；
当a0≥1，a1＜1时，有a0﹣1+1﹣a1＝1，则a0﹣a1＝1，得a0+a1＝1+2a1＜3；
当a0＜1，a1≥1时，有1﹣a0+a1﹣1＝1，则a1﹣a0＝1，得a0+a1＝1+2a0＜3；
当a0＜1，a1＜1时，有1﹣a0+1﹣a1＝1，则a0+a1＝1＜3；
由上可知，a0+a1的最大值为3；故答案为3；
②当0＜a0＜1时，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1，|a1﹣2|+|a2﹣2|＝1，|a2﹣3|+|a3﹣3|＝1，…，|a19﹣20|+|a20﹣20|＝1，∴1＜a1＜2，2＜a2＜3，…，19＜a19＜20，∴1﹣a0+a1﹣1＝1，即a1﹣a0＝1；
2﹣a1+a2﹣2＝1，即a2﹣a1＝1；同理可得：a3﹣a2＝1，…，a20﹣a19＝1，
∴a1＝1+a0，a2＝1+a1＝2+a0，a3＝1+a2＝3+a0，…，a20＝1+a19＝20+a0，∴a1+a2+a3+…a20＝1+a0+2+a0+3+a0+…+20+a0＝1+a0+2+a0+3+a0…+20+a0＝20a0+（1+2+3+…20）＝20a0+（1+20）×＝20a0+210．
当1＜a0≤2，1≤a1＜2时，
a0+a1＝3，a2﹣a1＝1，a3﹣a2＝1，…a21﹣a20＝1，∴a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0；a21﹣a20＝1；．．a1＝3﹣a0，a2＝4﹣a0，a3＝5﹣a0，…a20＝22﹣a0∴a1+a2+a3+…+a20
＝3﹣a0+4﹣a0+5﹣a0+…+22﹣a0＝（3+4+5+…+22）﹣20a0＝（3+22）×﹣20a0＝250﹣20a0，
综上所述：a1+a2+a3+…+a20的值为20a0+210或250﹣20a0，故答案为：20a0+210或250﹣20a0．
49．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．
（1）填空：（10]＝ ．（﹣2019]＝ ，（]＝ ；
（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；
（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．
【解答】解：（1）根据（x]表示的意义得，（10]＝9，（﹣2019]＝﹣2020，（]＝0，
故答案为：9，﹣2020，0；
（2）∵a，b都是整数，∴（a]＝a﹣1，（b]＝b﹣1，而（a]和（b]互为相反数，
∴a﹣1+b﹣1＝0，即a+b＝2，因此a﹣（a+b）×3+b＝a﹣3a﹣3b+b＝﹣2（a+b）＝﹣4，
答：代数式a﹣（a+b）×3+b的值为﹣4；
（3）当原点在大数的右侧时，有（x]＝﹣2，此时，﹣2＜x≤﹣1，
当原点在小数的左侧时，有（x]＝4，此时，4＜x≤5，
故x的取值范围为﹣2＜x≤﹣1或4＜x≤5．
星期
一
二
三
四
五
六
日
蜜桔销售情况（单位：千克）
+300
﹣400
﹣200
+100
﹣600
+1200
+500
星期
一
二
三
四
五
六
七
增减（单位：个）
+5
﹣2
﹣5
+15
﹣10
+16
﹣9
实际跳绳个数与标准数量的差值
﹣2
﹣1
0
4
5
6
人数
6
12
7
6
11
8
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌/元
+2.20
+1.42
﹣0.80
﹣2.52
+1.30
与标准质量的差值
（单位：千克）
﹣3.5
﹣2
﹣1.5
0
1
2.5
筐数
2
4
2
1
3
8