10点到直线的距离-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份10点到直线的距离-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海奉贤·高二校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2020上·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
二、填空题
3．（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）已知直线：，：，：，三条直线围成，则当面积取得最大时m的值为 .
4．（2024上·上海·高二上海市复兴高级中学校考期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ．
5．（2023下·上海青浦·高二统考期末）点到直线的距离为 ．
6．（2022上·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知为坐标原点，在直线上存在点，使得，则的取值范围为 ．
7．（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在直线方程为 （用一般式表示）
8．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 .
9．（2023上·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）两条平行直线和的距离为 .
10．（2022上·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）两条平行直线与之间的距离为 .
11．（2022下·上海虹口·高二统考期末）已知点在直线上，则的最小值为 ．
三、解答题
12．（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点.
(1)求直线的方程；
(2)直线恒过定点，求点到直线的距离.
13．（2024上·上海·高二校考期末）已知，
(1)求线段垂直平分线所在直线方程.
(2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程.
14．（2019上·上海浦东新·高二统考期末）一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处．
(1)若，求光从出发，到达点时所走过的路程；
(2)若，求反射光的斜率的取值范围；
(3)若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程．
15．（2023上·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）已知，
(1)求线段垂直平分线所在直线方程
(2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程
参考答案：
1．D
【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．
【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小，
由题知，点满足：
，解得：，，即点，
因为，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：D
2．A
【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.
【详解】设关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：A
3．1
【分析】根据三条直线的方程，不难得到，与都经过点，与交于点，因而的面积可用表示，求出与得到关于的函数解析式，讨论求出其最大值即得.
【详解】由直线：，：可知：当时，与垂直，
当时，设与的斜率分别为，则，可知，设垂足为点；
又由可得：，即直线经过点，
而由可得：，即直线也经过点；
而由解得：，即；
则点到直线的距离即，点到直线的距离即,
于是的面积为,
当时，，当时，，显然要使三角形面积最大，必须，
此时，当且仅当时等号成立，即时，的最大值为.
故答案为：1.
4．
【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程.
【详解】设直线l的的斜率为k，
则，
直线的中点坐标为，
所以由点斜式写出直线方程为，即.
故答案为：.
5．
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故答案为：.
6．
【分析】解不等式即得解.
【详解】由题得直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
所以，
解得.
故答案为：
7．
【分析】根据题意，先得到所在直线方程，然后联立两直线方程得到入射点坐标，再求得点关于直线的对称点的坐标，即可得到反射光线的直线方程.
【详解】由题意可得所在直线方程为:，即，
联立直线方程，解得入射点，
设点关于直线的对称点为
则，解得，所以，
即反射光线方程为:，即
故答案为:
8．
【分析】设点，由题意可得，求解即可.
【详解】解：设点，
因为直线的斜率为，
则有，
解得：，
所以点的坐标为.
故答案为：
9．2
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】根据平行线间距离公式可得，
故答案为：2
10．/0.6
【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.
【详解】两条平行直线与之间的距离为：
.
故答案为：.
11．2
【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解即可.
【详解】可以理解为点到点的距离，
又∵点在直线上，
∴的最小值等于点到直线的距离，
且.
故答案为：.
12．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程；
（2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案.
【详解】（1）由，，则，，
∴直线的斜率，且直线过点，
∴由直线的点斜式方程得，
即，
∴所求直线的方程为；
（2）∵直线化简得：，
∴定点，
则点到直线的距离为：
，
故到直线的距离为.
13．(1)
(2)或
【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得；
（2）根据点到直线距离公式结合条件即得.
【详解】（1）易得的中点坐标为，，
∴所求直线斜率为，
故线段垂直平分线所在直线方程为，即.
（2）直线过，且，，
当直线斜率不存在时，直线为，显然不符合题意，舍去；
当直线斜率存在时，设直线为即，
∵、到直线距离相等，
∴，解得或，
∴直线为或.
14．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出关于轴的对称点，则光所走过的路程为；
（2）根据 ，可得反射光斜率的取值范围；
（3）当的横坐标，光所走过的最短路程为点到直线的距离．当的横坐标，光所走过的最短路程为点．
【详解】（1）关于轴的对称点，，
由 ，则此时，
所以光所走过的路程即．
（2）对于线段，令其端点，
则，
所以反射光斜率的取值范围是．
（3）若反射光与直线垂直，则由．
①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，
所以路程．
②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中，
所以．
综上：．
15．(1)；
(2)或.
【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得；
（2）根据点到直线距离公式结合条件即得.
【详解】（1）因为点，．
所以线段的中点坐标为，直线的斜率为，
因此直线的中垂线的斜率为，
因此线段的垂直平分线所在直线方程为，
即；
（2）因为直线过点，，，
当直线的斜率不存在时，显然不合题意，
设直线的方程为，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.