【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题10+空间点、直线、平面之间的位置关系（十大考点）-练习

这是一份【寒假作业】高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题10+空间点、直线、平面之间的位置关系（十大考点）-练习，文件包含寒假作业高中数学高一寒假巩固提升训练专题10空间点直线平面之间的位置关系十大考点原卷版docx、寒假作业高中数学高一寒假巩固提升训练专题10空间点直线平面之间的位置关系十大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。

思维导图
核心考点聚焦
考点一：平面的概念及其表示
考点二：平面的确定
考点三：点线共面
考点四：三点共线
考点五：三线共点问题
考点六：截面问题
考点七：直线与直线的位置关系
考点八：异面直线所成的角
考点九：直线与平面的位置关系
考点十：平面与平面的位置关系
知识点一、平面的基本概念
1、平面的概念：
“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象．几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
知识点诠释：
（1）“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；
（2）“平面”无厚薄之分；
（3）“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
2、平面的画法：
通常画平行四边形表示平面．
知识点诠释：
（1）表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；
（2）两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；
3、平面的表示法：
（1）用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；
（2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；
（3）用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；
4、点、直线、平面的位置关系：
（1）点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；
（2）点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；
（3）直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．
知识点二、平面的基本性质
平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础．
1、公理1：
（1）文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
（2）符号语言表述：，，，；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理1是判断直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．
2、公理2：
（1）文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
（2）符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．
“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．
（4）公理2的推论：
①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②过两条相交直线，有且只有一个平面；
③过两条平行直线，有且只有一个平面．
（5）作用：确定一个平面的依据．
3、公理3：
（1）文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
（2）符号语言表述：且；
（3）图形语言表述：
知识点诠释：
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据．
知识点三、异面直线
1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
2、画法：
3、两异面直线所成角的常用方法
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
知识点四、空间两条直线的位置关系
知识点五、直线与平面的位置关系
知识点九、平面与平面的位置关系
一、点线共面的证明
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
1、证明点线共面的主要依据：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2、证明点线共面的常用方法：
（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
二、证明三点共线问题
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．
1、证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2、证明三点共线的常用方法
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
三、证明三线共点问题
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．
1、证明三线共点的依据是公理3．
2、证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
考点剖析
考点一：平面的概念及其表示
例1．（2024·贵州黔东南·高一校考阶段练习）用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，
即，，
故选：A
例2．（2024·云南曲靖·高二宣威市第五中学校考）如图所示，用符号语言可表达为（ ）

A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【解析】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A．
例3．（2024·高二课时练习）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确；
对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确；
对D，符合画法原则，故D正确，
故选：D
变式1．（2024·福建宁德·高一校联考）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【解析】由图可知：，
故选：B
考点二：平面的确定
例4．（2024·山东烟台·高一统考期末）下列几何元素可以确定唯一平面的是（ ）
A．三个点B．圆心和圆上两点
C．梯形的两条边D．一个点和一条直线
【答案】C
【解析】对A，三个不共线的点才能确定唯一平面，A错误；
对B，当圆上的两点和圆心共线时，三个点不能确定唯一平面，B错误；
对C，梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面，所以确定的平面唯一，C正确；
对D，当点在直线上时，这个点和直线不能确定唯一平面，D错误，
故选:C.
例5．（2024·北京通州·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面
B．两条不平行的直线确定一个平面
C．三角形上不同的三个点确定一个平面
D．圆上不同的三个点确定一个平面
【答案】D
【解析】对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误，
对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误；
对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误；
对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面.
故选：D.
例6．（2024·全国·高一假期作业）下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线D．两条相互平行的直线
【答案】D
【解析】由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．
故选:D．
变式2．（2024·北京·高一北京市第十二中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．两个平面可以只有一个公共点
C．三条平行直线一定共面D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面
【答案】D
【解析】对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B错误；
对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误；
对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，
当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，
此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确，
故选：D
考点三：点线共面
例7．（2024·全国·高一课堂例题）两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内．
已知：如图，直线两两相交，交点分别为．求证：直线共面．

【解析】因为直线和相交于点，
所以直线和可确定一个平面，记为．
因为，，所以，．所以．
因此，直线都在平面内，即它们共面．
例8．（2024·山西大同·高一校考阶段练习）已知三条直线，，相交于同一点，直线与它们分别相交于点，，，（异于点），求证：，，，四条直线在同一个平面内.
【解析】依题意，设点及直线确定一个平面，记为．
，，，又，，
又，，则，
同理可证，，，所以，，，四条直线在同一个平面内.
例9．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点．求证：四点共面．

【解析】由分别是的中点可知，
是中边的中位线，所以；
在三棱柱中，，
由平行性质的传递性可得；
所以四点共面．
变式3．（2024·全国·高一专题练习）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且.求证：E、F、G、H四点共面；
【解析】连接，
因为H、G分别是AD、CD的中点，
所以，
又，
所以，
所以，
所以E、F、G、H四点共面.
考点四：三点共线
例10．（2024·福建龙岩·高一校联考）在长方体中，是和的交点，与平面交于点.

(1)证明：三点共线.
(2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积.
【解析】（1）因为平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
即三点共线.
（2）连接，则与相似，
所以，
所以，
在中，作，交于点，则，
所以.
例11．（2024·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
【解析】因为，
所以．
由已知可得，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，
所以平面ABC．
同理，平面ADC，平面ADC．
所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点．
又平面平面，
所以，
所以P，A，C三点共线．
例12．（2024·高一课时练习）如图，在长方体中，，截面．
(1)求证：B、P、三点共线；
(2)若，，，求DP的长．
【解析】（1）平面，
所以平面，又平面,
平面平面，所以,
即三点共线.
（2）连接，再连接，交于点，由（1）及，
则点为与交点，
，四边形为平行四边形，
是中点，又是的中点,
所以点是的重心,所以,
又因为,所以,
所以.
变式4．（2024·高一课时练习）如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由．
【解析】M，N，K三点共线．理由如下：
因为即在平面内又在平面内，所以在平面与平面的交线上，所以是平面与平面的交线，
即在平面内又在平面内，所以在平面与平面的交线上，所以是平面与平面的交线，
又平面与平面是同一平面，所以与是同一条直线，即M，N，K三点共线．
变式5．（2024·安徽安庆·高一安庆一中校考）在正方体中，棱长，M，N，P分别是，，的中点．
(1)直线交PN于点E，直线交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：，
，，
则平面，平面MPN
又，
平面，
又平面PMN，
平面平面，
平面，
平面PMN，平面，
点F在直线ME上，则M，E，F三点共线．
（2），
又，
考点五：三线共点问题
例13．（2024·全国·高一随堂练习）如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．

【解析】证明：如图所示，连接，
因为是正方体的上底面的中心，
所以，且，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以平面平面，
因为对角线平面，所以平面，平面，
所以由基本事实三可得，对角线与平面的交点一定在上.
例14．（2024·陕西西安·高一校考）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.

【解析】（1）证明：设直线与，分别交于点，
如图1，
因为，所以确定一个平面，记为平面，
因为点直线，点直线，所以，，
所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面；
（2）在空间四边形中，连接，
因为分别为的中点，则，且，
又由，则，且，
故，且，故四边形为梯形，与交于一点，
设与交于点，如图2，
由于平面，点在平面内，同理点在平面内，
又因为平面平面，
所以点在直线上，
故直线相交于一点.
例15．（2024·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在正四棱台中，．
(1)求正四棱台的体积；
(2)若分别为棱的中点，证明：相交于一点．
【解析】（1）
连接，取分别为和的中点，
因为为正四棱台，所以，且为的高，
因为，所以，
所以正四棱台的体积为；
（2）因为分别为棱的中点，所以，，
所以，所以为梯形，则与必相交，
设，因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，
又平面平面，所以，
所以交于一点.
变式6．（2024·高一课时练习）如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．
【解析】如图，连接PQ．
由，，得，且．
又，
∴，且，
∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交．设交点为R，则，．
又平面，且平面，
∴平面，且平面，
∴R在平面与平面的交线上，即，
∴直线，BP，CQ相交于一点．
考点六：截面问题
例16．（2024·江苏·高一专题练习）已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是（ ）
A．等腰三角形B．等腰梯形
C．五边形D．正六边形
【答案】D
【解析】如图①，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能．
如图②，截面AMDEN为五边形，选项C可能．因为侧面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六边形，
故过两底的顶点不可能得到正六边形，选项D不可能
故选：D
例17．（2024·四川凉山·高一校联考期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【解析】连接BE，BF，取的中点G，连接GF，，
∵，∴为平行四边形，∴，
∵，∴为平行四边形，∴，
∴，∴为平行四边形，即四点共面，
∴正方体过点E，F，的截面为平行四边形，
又，则为菱形，
∵，
∴菱形的面积．
故选：C．
例18．（2024·全国·高一课堂例题）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．

【解析】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面，
所以平面平面=，
同理，平面平面=，平面平面=，
所以平面与长方体表面的交线是，，.
作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．
变式7．（2024·辽宁·高一校联考期末）如图，直四棱柱的底面为正方形，为的中点．
(1)请在直四棱柱中，画出经过三点的截面并写出作法（无需证明）．
(2)求截面的面积．
【解析】（1）取的中点，连接、、、，
则四边形即为过点、和的平面截直四棱柱所得截面；
取的中点，连接、，因为为的中点，为直四棱柱，底面为正方形，
所以且，且，所以且，
所以为平行四边形，所以，
又且，所以为平行四边形，所以，
所以，即、、、四点共面.
（2）在直四棱柱中，，、分别为、的中点，
所以，
所以四边形为菱形，连接，，则，
又，，
所以.
变式8．（2024·上海·高二专题练习）如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线.
【解析】延长、交于点，连接交于点，则平面与平面的交线为，证明如下：
因为，平面，则平面，
，平面，平面，
又因为为平面和平面的公共点，则平面与平面的交线为.
变式9．（2024·新疆塔城·高一沙湾县第一中学校考期末）如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点．
(1)画出过点，，的平面与平面的交线；
(2)设平面，求的长．
【解析】（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接．
∵平面，平面，
∴过点，，的平面与平面的交线为.
（2）∵，∴，∴．
∴.
考点七：直线与直线的位置关系
例19．（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】D
【解析】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、面，故A错误；
当P与重合时，此时、面，故B错误；
当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时，故C错误；
由正方体的特征可知四边形为平行四边形，
而平面，平面，、平面，，
故与始终异面，即D正确.
故选：D
例20．（2024·上海·统考模拟预测）如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，
则、在平面上，故A不符题意；
同上，，即共面，
易知平面，而平面，故B符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故C不符合题意；
同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意.
故选：B
例21．（2024·河北邢台·高一统考）在正方体中，为的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线异面的共有（ ）
A．5条B．6条C．7条D．8条
【答案】D
【解析】
如图与直线异面的直线为，，，，，，，，共8条．
故选：D
变式10．（2024·高一课时练习）垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．选项A，B，C均有可能
【答案】D
【解析】
可以参考正方体里的线线关系，更好理解题目；
同时垂直于直线,,,直线与直线异面，
所以选项A，B，C均有可能，
故选：D.
考点八：异面直线所成的角
例22．（2024·高一课时练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】连接，因为，分别是，的中点，所以，
又因为.所以为异面直线与所成角，
在中，因为，所以.
故选：C.
例23．（2024·北京房山·高二统考期末）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线 与所成的角大小等于（ ）
A．60°B．45°C．30°D．90°
【答案】A
【解析】取的中点，连接，
因为分别为，，，的中点，
所以，所以，故为异面直线与所成的角，
在正方体中，由分别为，，的中点，
则，即为等边三角形，所以，
即异面直线与所成的角大小等于.
故选：A
例24．（2024·河北邯郸·高一统考）如图，在圆柱中，AB，分别为圆O，圆的直径，C为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点，且，则异面直线与OC夹角的正切值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，
连接，，，AC.
因为，，为等边三角形，
所以异面直线与OC的夹角为或其补角
因为，，，
所以异面直线与OC夹角的正切值为.
故选：D
变式11．（2024·浙江嘉兴·高一校考）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，连接，，
，分别为，的中点,
,
异面直线与所成的角的平面角即为，
再由正方体可知，
为正三角形，
，
异面直线与所成的角为，
故选：B.
变式12．（2024·陕西西安·高一统考期末）在正方体中，异面直线所成角的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：
在正方体中， ，
所以是异面直线所成的角，
因为，
所以异面直线所成的角为.
故选：B.
考点九：直线与平面的位置关系
例25．（多选题）（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）已知空间中的平面，直线、、以及点A、B、C、D，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．在空间中，四边形ABCD满足，则四边形ABCD是菱形
B．若，则
C．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线
D．若，则
【答案】ABC
【解析】对A：构造正四面体，则空间四边形中，满足，
但四边形不是菱形，故A错误；
对B：因为，所以有或与相交．若，则有，故B错误；
对C：、异面，，则直线和的位置关系是相交或异面，故C错误；
对D：，同理，根据基本事实1，直线，即.故D正确.
故选：ABC
例26．（多选题）（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线与平面不平行，则l与相交
B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内
C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行
D．如果是异面直线，，，则，是异面直线
【答案】BD
【解析】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误；
对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交，
故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确；
对C，若直线与平面相交，
直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误；
对D，如果是异面直线，，则异面，
则是异面直线，故D正确.
故选：BD
例27．（多选题）（2024·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）下列选项中，正确是（ ）
A．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内任取两条直线，两直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线必平行
C．垂直于同一条直线的两条直线必平行
D．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】BD
【解析】对于如果两个平面平行，那么这两个平面内的两条直线平行或者异面，故不正确；
对于根据平行的传递性，平行于同一条直线的两条直线必平行，故正确；
对于垂直于同一条直线的两条直线平行或相交或异面，故不正确；
对于根据平行的性质，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故正确.
故选：
变式13．（多选题）（2024·广西北海·高一统考期末）已知点平面，点平面，则下列说法错误的是（ ）
A．平面内所有的直线与直线异面
B．平面内存在一条直线与直线平行
C．平面内存在无数条直线与直线垂直
D．有且只有一个过直线的平面与平面垂直
【答案】ABD
【解析】当平面内的直线过点时，该直线与直线相交，故A错误；
假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，显然不成立，故B错误；
过点可以在平面内作与垂直的直线，所以平面内存在无数条直线与直线垂直，故C正确；
当直线与平面垂直时，有无数个过直线的平面与平面垂直，故D错误.
.故选：ABD.
考点十：平面与平面的位置关系
例28．（2024·全国·高一随堂练习）已知平面，和直线a，b，且，，，则与的位置关系是 ；
【答案】或与相交
【解析】由，，，得或与相交，如图所示:
故答案为: 或与相交.
例29．（2024·高一课前预习）若点,则平面与平面α的位置关系是 ．
【答案】相交
【解析】∵点，即平面与平面有公共点，且不重合，
∴平面与平面的位置关系是相交．
故答案为:相交
例30．（2024·高一课时练习）两条直线无公共点，则这两条直线平行或异面，若两个平面不相交，则这两个平面的位置关系为 ．
【答案】平行
【解析】因为两个平面不相交，所以这两个平面没有公共点，
所以，这两个平面平行．
故答案为：平行
变式14．（2024·高一课时练习）如图，在棱长为的正方体中，设过点的平面与平面的交线为，则 ．
【答案】
【解析】如图，设，连接，
因为，
所以，又易知，
所以，
故．
故答案为：
过关检测
一、单选题
1．（2023·陕西西安·高一期中）分别是空间四边形的边的中点，则的位置关系是（ ）
A．异面B．平行
C．相交D．重合
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
因为分别为的中点，所以同理可得，则，
所以四点共面，则与相交.
故选：C.
2．（2024·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必
【答案】C
【解析】直线l与平面没有公共点，则直线l与平面平行，反之，也成立，
故“直线l与平面没有公共点”是“直线l与平面平行”的充要条件.
故选：C
3．（2024·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）下列命题正确的个数是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆心和圆上两个点确定一个平面；
③如果两个平面有一个交点，则这两个平面必有无数个公共点；
④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】不共线的三点确定一个平面，①错误；
当这三点在一条直径上时，不能确定一个平面；②错误；
如果两个平面有一个交点，必有一条公共直线，有无数个公共点；③正确
两条直线没有交点，两条直线可能平行或者异面，不一定平行；④错误；
故选：A
4．（2024·新疆喀什·高一校考期末）如图正方体中，异面直线与所成角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
如上图，连接、，
∵在正方体中，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，又∵，
∴（或其补角）就是异面直线与所成角，
设正方体棱长为1，则在正方形中对角线，
在正方形中对角线，在正方形中对角线，
∴是等边三角形，
∴.
.故选：C.
5．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确.
在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误.
直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误.
所以正确的个数为个.
故选：B
6．（2024·山西运城·高一统考）在长方体中，直线与平面的交点为，与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点确定一个平面B．，，三点共线
C．，，，四点共面D．，，，四点共面
【答案】B
【解析】如下图所示：
根据题意，连接，则，
所以四点共面，所以面，
又，所以面，
又面，所以点在面与面的交线上面，
同理可得点在面与面的交线上面，
所以，，三点共线，
故A选项错误，B选项正确；
由异面直线判定定理可知C选项中为异面直线，
故C选项错误；
由异面直线判定定理可知D选项中为异面直线，
故D选项错误.
故选：B.
7．（2024·全国·校联考模拟预测）如图所示，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
分别取的中点，连接，由题意有，，
所以与所成角的大小等于，不妨设，则，所以，
又因为且，所以，；
由余弦定理可得，所以与所成角的余弦值为.
故选：A.
8．（2024·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考阶段练习）如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为（ ）

A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】取线段的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
同理可得且，
所以，异面直线、所成的角为或其补角，
①若，则是边长为的等边三角形，故；
②若，因为，则为等腰三角形，且，
取的中点，则，且.
综上所述，或.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·陕西西安·高一期末）如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是（ ）
A．直线与直线相交；
B．直线与直线平行；
C．直线BM与直线是异面直线；
D．直线与直线成角.
【答案】CD
【解析】如图所示，将正方体的平面展开图，复原为正方体，
对于A中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），
所以直线与为异面直线，所以A不正确；
对于B中，直线与不同在任何一个平面内，否则四点共面，（矛盾），
所以直线与为异面直线，所以B不正确；
对于C中，平面平面，平面，平面，
所以直线与不相交，连接，则，而与相交，
所以与不平行，否则，不合题意，
所以直线与是异面直线，所以C正确；
对于D中，连接，则为正三角形，可得，
又由，则为直线与直线所成的角，
即直线与直线所成的角为，所以D正确.
故选：CD.
10．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（ ）

A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交
C．EF与AB是异面直线D．EF与CD 是异面直线
【答案】AB
【解析】展开图还原为几何体后，如图，
AB与CD是异面直线，GH与CD相交，EF与AB是相交直线，EF与CD 是平行直线，
所以AB正确，CD错误.
故选：AB
11．（2024·江苏南通·高一校考阶段练习）一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：其中正确结论的为（ ）

A．直线与直线是异面直线；
B．直线与直线是异面直线；
C．直线与直线MN共面；
D．直线与直线是异面直线.
【答案】BCD
【解析】根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对于A，因为F，M，N，Q分别为，，，的中点，
所以，又，则，故F，N，A，B四点共面，
故直线与直线是共面直线，故A错误；
对于B，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，
故直线与直线是异面直线，故B正确；
对于C，N，Q重合，故直线与直线共面，故C正确；
对于D，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，
故直线与直线是异面直线，故D正确；
故选：BCD.
12．（2024·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）下面四个命题中，正确的为（ ）
A．相交于同一点的三条直线在同一平面内．
B．在平面外，其三边延长线分别和交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线
C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等
D．在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分．
【答案】BD
【解析】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，A错误；
对于B， 所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，B正确；
对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等或互补，C错误；
对于D，当三个平面互相平行时，三个平面分空间成4部分；当两个平面平行，与第三个都相交
或三个平面相交于一条直线时，三个平面分空间成6部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线平行时，
三个平面分空间成7部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线交于一点时，三个平面分空间成8部分，
所以三个平面最多把空间分成8部分，D正确.
故选：BD
三、填空题
13．（2024·上海金山·高二校考期中）在正方体中，异面直线与所成的角的大小为 ．
【答案】
【解析】
在正方体中，
可将直线平移到直线,
故异面直线与所成的角即与所成的角.
且四边形为正方形，
所以.
故异面直线与所成的角为：
故答案为：
14．（2024·湖北孝感·高一统考期末）若与是异面直线，且直线，则与的位置关系是 .
【答案】异面或相交
【解析】根据异面直线定义可知，
设平面，当，，且，如下图所示：
此时与为异面直线；
当，，且时，如下图所示：
此时与相交.
故答案为：异面或相交
15．（2024·河北邯郸·高一统考期中）在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为 .
【答案】
【解析】如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG.因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.
故答案为：
16．（2024·湖北黄冈·高一校考阶段练习）四面体ABCD中，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，若，则是 形填四边形的形状
【答案】菱
【解析】依题意，E、F、G、H分别是各边AB、BD、DC、CA的中点，
所以，
所以，所以四边形是平行四边形，
同理：，
又，，所以，
所以四边形是菱形.
故答案为：菱
四、解答题
17．（2024·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）如图，在正方体中，求异面直线与所成的角的大小；
【解析】连接， ，如下图所示：
因为，
所以四边形是平行四边形，则，
所以异面直线与所成的角即为直线与所成的角，
即是异面直线与所成角的平面角，
设正方体的棱长为，则，
所以为正三角形，因此.
即异面直线与所成的角的大小为.
18．（2024·四川自贡·高二自贡市第一中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．

(1)求证：E、F、C、四点共面：
(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．
【解析】（1）连接.
在中，点E，F分别为棱，AB的中点，
则，
在正方体中，，
，且，
四边形是平行四边形，
，则，
故、、、四点共面.
（2）由（1）知，，
则即为所求异面直线与BC所成的角，
设正方体的棱长为，
在中，，
则，
所以.
故所求异面直线与BC所成角的余弦值为．
19．（2024·高一单元测试）已知正四棱锥P﹣ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．

(1)试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；
(2)当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值．
【解析】（1）设正四棱锥的底面边长为a，侧面三角形的高为H，则
∴．
∵h2（当且仅当h，即h＝1时取等号）．
∴，即正四棱锥体积V的最大值为（当h＝1，a时取最大值）；
（2）取CD的中点Q，正方形ABCD的中心为O，连接PO，PQ，OQ．
∵AB∥CD，∴∠PDQ即为异面直线AB与PD所成角．
∵Q为CD的中点，．
即，由（1）知，．
又DQ，∴．
即异面直线AB和PD所成角的正切值为3．
20．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，

(1)求作过，，三点的截面（写出作图过程）；
(2)求截面图形的面积
【解析】（1）在正方体中，画直线与的延长线分别交于点，
连接，分别与棱交于点，连接，如图1，
抹去和得过三点的正方体的截面五边形，如图2.
（2）在正方体中，，，分别为棱，的中点，
由（1）及图1知，，即，，则，
，等腰底边上的高，
的面积，
由，得，即有，因此，
于是，同理，
所以截面五边形的面积.
21．（2024·全国·高一假期作业）如图，在正方体中，对角线与平面交于点，、交于点， 为的中点，为的中点．求证：
(1)三点共线；
(2)、、、四点共面；
(3)、、三线共点．
【解析】（1）∵平面，∴，平面；
又∵平面，∴平面；
∵、交于点M，∴，；
又平面，平面，
∴平面，平面；
又平面，平面；
∴、、三点在平面与平面的交线上，
∴、、三点共线；
（2）连接，
∵E为的中点，F为的中点，∴，
又∵，，∴四边形是平行四边形，
∴；∴，∴E、F、C、D1四点共面；
（3）∵平面平面，
设与交于一点P，则：，平面，
∴平面，同理，平面，
∴平面平面，
∴直线、、三线交于一点P，即三线共点.
位置关系
共面情况
有无公共点
相交
在同一平面内
有且只有一个公共点
平行
在同一平面内
没有公共点
异面
不同在任何一个平面内
没有公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在平面α内
有无数个公共点
直线a与平面α相交
有且只有一个公共点
直线a与平面α平行
无公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行
无公共点
两平面相交
有无数个公共点，这些点在一条直线上