相似三角形的判定(一)1.探索“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理; (重点)2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. (难点)学习目标1.如图所示,∵ BC∥DE ∴ △ABC∽______ ∴ 2.判定两个三角形全等的方法有_________________.△ADCACDESSS,SAS,ASA,AAS复习回顾 任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角,它们分别相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论.知识精讲如图,在△ABC和△A′B′C′中, ,求证:△ABC∽△A′B′C′.证明:在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.可得△A′DE∽△A′B′C′. ∴ 又 ,A′D=AB ∴ , ∴ DE=BC,A′E=AC ∴ △A′DE≌△ABC (SSS) ∴ △ABC∽△A′B′C′知识精讲利用三边判定两个三角形相似的定理1:三边成比例的两个三角形相似.知识精讲类似于判定三角形全等的SAS方法,能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢?利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.知识精讲证明:在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB,过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.可得△A′DE∽△A′B′C′. ∴ 又 ,A′D=AB ∴ A′E=AC 又 ∠A=∠A′ ∴ △A′DE≌△ABC (SAS) ∴ △ABC∽△A′B′C′知识精讲 对于△ABC和△A′B′C′,如果 ,∠B=∠B′,这两个三角形一定相似吗?试着画画看?小明和小颖分别画出了下面的两个三角形,由此你能得到什么结论?不一定相似知识精讲例1.根据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由:(1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A′B′=12cm,B′C′=18cm,A′C′=24cm;(2)∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A′=120°,A′B′=3cm,A′C′=6cm.解:(1)∵ , , . ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′典例解析例1.根据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由:(1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A′B′=12cm,B′C′=18cm,A′C′=24cm;(2)∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A′=120°,A′B′=3cm,A′C′=6cm.解:(2)∵ , . ∴ 又 ∠A=∠A′∴ △ABC∽△A′B′C′典例解析根据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由:(1)∠A=40°,AB=8cm,AC=15cm,∠A′=40°,A′B′=16cm,A′C′=30cm;(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm.解:(1)∵ , . ∴ 又 ∠A=∠A′∴ △ABC∽△A′B′C′针对练习根据下列条件,判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由:(1)∠A=40°,AB=8cm,AC=15cm,∠A′=40°,A′B′=16cm,A′C′=30cm;(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm.解:(2)∵ , , . ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′针对练习 证明:由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′, ∴ BC 2 = AB 2-AC 2 = ( 2 A′B′ )2-( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2- 4 A′C′ 2 = 4 ( A′B′ 2-A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2∴ △ A′B′C′∽△ABC典例解析∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC -∠DAC = ∠DAE -∠DAC即∠BAD=∠CAE∵∠BAD=20°∴∠CAE=20° ∴ △ABC ∽△ADE典例解析 典例解析1.已知△ABC的三边长分别为7.5,9,10.5,△DEF的一边长为5,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( )A.4,5 B.5,6 C.6,7 D.7,82.如图,四个三角形的顶点都在方格子的格点上,下列两个三角形中相似的是( )A.①④ B.①③ C.②③ D.②④CB达标检测3.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA_OBOCOD,则下列结论中一定正确的是( )A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似B达标检测4.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠D,要使△ABC与△ADE相似,还需满足下列条件中的( )A. B. C. D. C达标检测 29°达标检测7.如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,当BF=_____时,△CBF∽△CDE.8.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3, BC=4,当BF的长度是________时,以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似.1.8 达标检测9.图中的两个三角形是否相似?为什么?解:(1)∵ , , . ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′达标检测9.图中的两个三角形是否相似?为什么?解:(2)∵ , . ∴ 又 ∠ACB=∠ECD∴ △ABC∽△EDC达标检测解:在 △ABC 和 △ADE 中,∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE, ∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,∠C=∠E.∴∠BAC-∠CAD =∠DAE-∠CAD ,∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE.10.如图,已知AB:AD=BC:DE=AC:AE,找出图中相等的角 (对顶角除外),并说明你的理由.达标检测11.如图,在边长为4的正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,求证:△ADQ∽△QCP. 达标检测利用三边判定两个三角形相似的定理1:三边成比例的两个三角形相似.小结梳理利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.小结梳理