【中考真题汇编】2019-2023年 5年真题分项汇编 初中数学 专题12 三角形综合问题（教师版+学生版）.zip

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考点1 三角形综合问题
一、单选题
1．（2020·福建·统考中考真题）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）
A．10B．5C．4D．3
2．（2020·福建·统考中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A．1B．C．D．
3．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ）

A．B．C．D．
4．（2020·湖北宜昌·中考真题）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ ）

A．北偏东70°B．北偏东75°C．南偏西70°D．南偏西20°
6．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )

A．B．1C．D．2
7．（2019·贵州·统考中考真题）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为( )
A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2
8．（2020·湖南湘西·中考真题）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形
9．（2023年广西壮族自治区中考数学真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
10．（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则 ．
11．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．

12．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）如图，在中，若，，，则 ．

13．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下面三个命题：①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题的序号为 ．
14．（2019·贵州·统考中考真题）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为 度．
15．（2020·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为 ．
16．（2020·上海·统考中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.8米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为 米．
17．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时， ．
18．（2023·辽宁营口·校考三模）如图所示，，点在边上，，为边上一动点，连接，和关于所在直线对称，分别为、的中点，连接并延长交所在直线于点，连接．当为直角三角形时，的长为 ．
19．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在扇形中，分别是的中点，连接和交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ．

20．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）如图，在中，．以为直角边作，且，连接，则的最大值是 ．

21．（2023·辽宁营口·校考三模）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点，连结．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．
三、解答题
22．（2021·广东·统考中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
23．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在中，内角所对的边分别为．
（1）若，请直接写出与的和与的大小关系；
（2）求证：的内角和等于；
（3）若，求证：是直角三角形．
24．（2020·上海·统考中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．
25．（2021·广东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且．
（1）求证：；
（2）求证：以为直径的圆与相切；
（3）若，求的面积．
26．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________；
(3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________．
27．（2020·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
28．（2022·山东烟台·统考中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
29．（2023年新疆维吾尔族自治区中考数学真题）【建立模型】(1)如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，．求证：；
【类比迁移】(2)如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
①求点的坐标；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】(3)如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，已知点，，连接．抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．

30．（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
31．（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当时，折痕是三角形的（ ）

A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
32．（2023·河北石家庄·校联考二模）如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．三角形具有稳定性
33．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在中，作边的垂直平分线，交边于点，连接．若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
34．（2023·辽宁营口·校考三模）已知为一锐角，如图，按下列步骤作图：
①在边上取一点D，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．
②以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，此时有．则的度数为( )
A．B．C．D．
35．（2023·山东德州·统考三模）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
36．（2023·河北承德·统考二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：
如图，中，，，．D，E分别是，边上的动点，，以为直径的交于点P，Q两点，求线段的最大值．

嘉嘉：当点D，E分别在，上移动时，点О到点A的距离为定值；
淇淇：当为圆О的直径时，线段的长最大．
关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（ ）
A．两人的说法都正确，线段的最大值为52
B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段长度的最大值为48
C．淇淇的说法有问题，当时，线段的长度最大
D．这道题目有问题，的长度只有最小值，没有最大值
37．（2023·四川宜宾·统考三模）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
38．（2023·安徽六安·校考模拟预测）如图，ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3
39．（2023·河北石家庄·校联考二模）平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是 （ ）

A．1B．2C．7D．8
40．（2023·辽宁营口·校考三模）如图所示，，点在边上，，为边上一动点，连接，和关于所在直线对称，分别为、的中点，连接并延长交所在直线于点，连接．当为直角三角形时，的长为 ．
41．（2023·广西南宁·南宁市第二十六中学校考二模）如图，在中，，，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是 ．
42．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
43．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在扇形中，分别是的中点，连接和交于点，若，则图中阴影部分的面积为 ．

44．（2023·新疆和田·和田市第三中学校考二模）如图，内接于半径为的半圆中，为直径，点是的中点，连结交于点，平分交于点，为的中点，可得（ ）

① ② ③ ④
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
45．（2023·天津西青·统考二模）如图，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，点恰好在边上，且点在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．旋转角是D．
46．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．4C．8D．6
47．（2023·湖南永州·校考三模）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的是（ ）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
48．（2023·北京昌平·统考二模）如图，在中，平分若，则 ．

49.（2023·山东菏泽·统考二模）如图，将沿边上的中线平移到△的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若，则 ．

50．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）如图，在中，．以为直角边作，且，连接，则的最大值是 ．

51．（2023·辽宁营口·校考三模）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点，连结．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．
52．（2023·辽宁营口·校考三模）如图，点D是等边的边上一点，连接，以为边作等边，与交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长
53．（2023·山东德州·统考三模）问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图，试证明；
②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．
54．（2023·河北石家庄·校联考二模）数学课上大家研究图形的性质．
要求：每位同学画一个，，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．

以下为同学们的发现：
小明：“我们组同学旋转某一相同角度，连接，都能得到平分．”
小丽：“时，点D落在上．”
(1)小明说的可以实现吗？如果可以，请求出这个的值，如果不可以请说明理由；
(2)求小丽画出的底角的余弦值；
(3)若，旋转线段得到时，则C、D两点的距离为________．
55．（2023·江苏无锡·校考二模）平面直角坐标系中，、，连接、，则 ；点C在y轴上，作点C关于直线、的对称点D、E，则的最小值为 ．
56．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）【课本再现】
(1)如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动，则下列结论正确的是_______（填序号即可）．①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有．

【类比迁移】
(2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，求线段的长度．
57.（2023·湖北恩施·统考二模）如图1，在中，，O为斜边上一点，以为圆心为半径的圆与交于另一点，与，分别交于点，．连接，已知．

(1)求证：为的切线；
(2)如图2，过点作的垂线交于点，直线与交于点，请探究的形状，并证明你的结论；
(3)如图2，连接，若，，求．
58．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）将两个等腰直角三角形纸片△OAB和△OCD放在平面直角坐标系中，已知点坐标为并将绕点顺时针旋转．

(1)当旋转至如图①的位置时，此时点的坐标是_________；
(2)如图②，连接当旋转到轴的右侧，且点三点在一条直线上时，
①求证：
②求的长；
(3)当旋转到使得的度数最大时，直接写出的面积．
59.（2023·浙江·校联考三模）在中，平分交于点D，点E是射线上的动点（不与点D重合），过点E作交直线于点F，的角平分线所在的直线与射线交于点G．

(1)如图1，点E在线段上运动．
①若，，则__________°；
②若，求的度数；
(2)若点E在射线上运动时，探究与之间的数量关系．
60.（2023·山东菏泽·统考三模）（1）①如图1，等腰（为底）与等腰（为底），，则与的数量关系为______；
②如图2，矩形中，，，则_______；
（2）如图3，在（1）②的条件下，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接．当时，求的长度；
（3）如图4，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结中点为中点为，若，直接写出的长．