华师一附中2024届高三数学选填专项训练（14）

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1．C
【分析】利用Venn图，通过举例说明A，B，D错误，从而选C.
【详解】如图，，此时
∅，A错，
B，B错，
，D错，
故选：C
2．B
【解析】根据题目意思得到，根据对数运算求出 .
【详解】解：设这台机器破译所需时间大约为秒，
则，两边同时取底数为10的对数
得，
所以，
所以
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】对数运算的一般思路:
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
3．A
【分析】根据二项展开式通项依次判断充分性和必要性即可.
【详解】展开式的通项为：；
当时，取，则，故充分性成立；
当时，展开式中存在常数项，如，故必要性不成立；
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件.
故选：A.
4．C
【解析】根据向量的线性运算得，再利用向量数量积公式整理得，当时，取最大值4.
【详解】解析：，是弧上的一个三等分点，故，，
故当时，取最大值4.
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
5．B
【分析】根据AM与所成角为得到点M为棱上靠近点C的三等分点，根据球和长方体的性质得到点O在直线上，然后分点O在线段或其延长线上和点O在的延长线上两种情况列方程求外接球半径，最后求体积即可.
【详解】
因为，所以AM与所成角为，（利用平行线寻找线线角）
易知，，所以当时，，
即点M为棱上靠近点C的三等分点，所以．
取AM的中点，则三棱锥的外接球球心O在过点且垂直于平面ACM的直线上，（判断出球心所在的直线是关键）
连接DB，，易知点在平面内，平面ACM，
过点作BD的平行线，交于点Q，则点O在直线上，且．
设三棱锥的外接球半径为R，，
则当点O在线段或其延长线上时，，解得；当点O在的延长线上时，，无解．故，所以，则三棱锥外接球的体积．
故选：B．
6．C
【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.
【详解】当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
在上单调递减，所以存在唯一符合题意；
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C
7．A
【分析】记与轴非负半轴所成的角为，点，则()，代入曲线方程化简可求得结果.
【详解】记与轴非负半轴所成的角为，心形曲线关于轴对称，不妨取．
设点，则，代入曲线方程可得，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，即
所以．
故选：A
8．B
【分析】利用基本不等式可判断①；数形结合，作出的图象，结合不等式相应的几何意义判断②；利用放缩法说明，再用构造函数，利用导数知识说明，从而判断③；构造函数，求导判断单调性，数形结合，说明两命题之间的推理关系，判断④.
【详解】对于①，取，满足，但不满足，
即成立推不出，
由于，故，
而，故，当且仅当时取等号，
即成立可推出成立，
故不是“”的必要不充分条件；
对于②，作出函数的图象，如图曲线，即将的图像向右平移1个单位得到；

则（）表示几何意义为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴），
则中相应的点所在区域即上述区域；
而表示的几何意义为直角三角形区域部分（不含坐标轴），
显然直角三角形区域部分（不含坐标轴）对应集合为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴）相应集合的真子集，
即是的必要不充分条件，
对于③，由得，故，（），
设，则，
则在上单调递减，且，
则存在，使得，即时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
而，则在上恒成立，
即，故；
而当成立时，不妨取，成立，
但不成立，故是的必要不充分条件；
对于④，当时，设，
则，显然在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
又，
作出的大致图象如图：

由图象可知存在，使得，
故当时，只有唯一解，
若，使得，则，与条件不符，
即此时得不出，
即不是的必要条件，
故能作为“”的必要不充分条件的是②③，
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，实质还是考查导数的应用，难度较大，难点是选项③④的判断，解答时要注意利用放缩法结合构造函数判断③，利用构造函数，判断函数单调性，数形结合判断④.
9．AC
【分析】对于A：由得出定义域；对于B：由，便可求出零点；对于C：先化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域.
【详解】对于A：由题意可知，函数有意义，则满足,
解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A正确；
对于B：因为的定义域为，所以
，由得，解得（舍），
即没有零点，所以选项B不正确；
对于C：由上可知，则满足，
所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C正确；
对于D：当时，，所以
，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项D不正确.
故选：AC
10．BC
【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D.
【详解】对于A，设，则，，A错误；
对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作
该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，B正确；
对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C正确；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D错误．
故选：BC
11．BD
【分析】用特殊值法，假设，可判断选项A；
对进行变形处理，即可判断其对称性，从而判断选项B；
对两边求导，可得，根据可判断的周期性和对称性，再根据特殊值关系，即可判断选项C；
由特殊值关系得到，，化简，即可判断选项D.
【详解】假设，则，都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，所以A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为均为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，
因为，所以，所以，
所以，，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，又，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.
故选：BD
【点睛】对称性有关结论：
若，则关于直线对称；
若，则关于直线对称；
若，则关于点中心对称；
若，则关于点中心对称；
周期性结论：
若，则函数的周期为.
12．AD
【分析】利用线面平行的判定定理可判断A是正确的，设，的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，过作，垂足为，连接，则计算可得，根据的范围可判断C的正误，计算也可得，从而可得存在一个位置，使得，从而可判断B的正误，利用空间向量计算后可判断D的正误.
【详解】对A，如图，连接，∵分别为的中点，∴，
而面，∴平面，A正确；
设，的中点为，连接，过作的垂线，
垂足为，过作，垂足为，连接，
因为、均为等腰直角三角形，故，
故，
因为，故平面，因为平面，
所以，而，故平面，
而平面，故.
而，则平面，而平面，故，
故为二面角的平面角.
设，则，，故，，
所以，而，，
故，
因为，故无最大值，故C错误.
在直角三角形中，
，
故，取，
此时满足前者范围要求且，故，
但，，故平面，
而平面，故，故B错误.
在三角形中，
化简可得，
，
化简可得，
故，
，
故，
设所成的角为，则，
故，故D正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：对于空间动态问题角的计算，一方面要能够根据图形构造出线面角、二面角等，如果题设给出的图形不规则且构造角又比较困难，则可选用空间向量来简化计算.
13．
【分析】先求出的通项公式，此展开式中的次数为偶数，所以的展开式中x2项的系数是由中的常数项与负二次项的系的和组成.
【详解】解：的通项公式，为偶数
当时， ，此时展开式的常数项为，
当时，，此时展开式的的系数为，
所以的展开式中x2项的系数为，
故答案为：
【点睛】此题考查利用二项式定理的通项公式求某一项的系数，考查计算能力，属于中档题.
14．9
【分析】由题设得，可得，进而写出的通项，应用裂项相消法求，最后由不等式成立，找到使不等式成立的边界值，即可确定其最小正整数值.
【详解】由题设知：
∴，而，
∴，即，
∴，
当n=8时，左边，右边，显然不等式不成立；
当n=9时，左边，右边，显然不等式成立，
故最小正整数的值9.
故答案为：9.
【点睛】关键点点睛：应用裂项相消法求不等式左边的和，利用特殊值找到使不等式成立的边界值，即可求最小正整数的值.
15．
【分析】根据题意求得椭圆，当的斜率不存在时，设：，求得；
当直线的斜率存在时，设直线，联立方程组，结合弦长公式和点到直线的距离公式，求得，得到，即可求解.
【详解】由题意，椭圆上一点到焦点的最小距离为，离心率为，
可得，解得，则，所以椭圆为，
当直线的斜率不存在时，设直线：，
不妨令，，由，得，，
故，将代入椭圆方程，可得，所以，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线：，
联立方程组 ，整理得，
设，，则，，
设，由，
可得，，
代入，可得，
所以，且到直线的距离，
所以，
所以，
综上可得，则的面积为.
故答案为：.
16．②③④
【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.
【详解】当时，，
当时，，
若，则当时，，则此时函数无最小值；
若，则当时，，时，，
则函数有最小值为满足题意；
若，则当时，，时，，
要使函数有最小值，则，解得；
综上，的取值范围是，①错误；
当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，
作图如下，

因为无实根，所以或，②正确；
当时，

因为，所以函数在单调递减，
又因为所以由可得，
，即，解得，所以，
所以不等式的解集为，③正确；

函数在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，则由图象可知，时，，
设，
记直线与函数，，的交点的横坐标为，
因为经过点，
所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；
故答案为:②③④.
【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.