广东省汕头市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省汕头市2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知，则， 已知定义在上的函数满足等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A. 8B. C. 4D.
2. 设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A. 向东南走B. 向西南走
C. 向东南走D. 向西南走
3. 已知全集，，则集合为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线：和：平行，则实数（ ）
A. 2或B. 1C. D. 2
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 关于椭圆与双曲线的关系，下列结论正确的是（ ）
A. 焦点相同B. 顶点相同C. 焦距相等D. 离心率相等
7. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、，则“为等比数列”的一个必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
A. 中位数是34B. 众数是32
C. 第25百分位数是29D. 平均数为34.3
10. 已知定义在上的函数满足：，，且当时，，若，则（ ）
A. B. 在上单调递减
C D.
11. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（ ）
A. 且
B. 在10℃的保鲜时间是60小时
C. 要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃
D. 在零下2℃的保鲜时间将超过150小时
12. 在三棱锥中，平面，，是底面上（含边界）的一个动点，是三棱锥的外接球表面上的一个动点，则（ ）
A. 当在线段上时，
B. 的最大值为4
C. 当平面时，点的轨迹长度为
D. 存在点，使得平面与平面夹角余弦值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题.
13. 二项式的展开式中的系数为15，则等于______．
14. 若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为__________.
15. 已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是__________.
16. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______．
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 的内角、、所对的边分别为、、，，．
（1）求角的大小；
（2）为的重心，的延长线交于点，且，求的面积．
18. 记等差数列的前项和为，首项为，已知，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和.
19. 如图，在边长为4的正三角形中，、分别为边、的中点，将沿翻折至，得四棱锥，设为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
20. 《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：
①男生所占比例为；
②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为；
③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.
（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？
（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值.
（ⅱ）对于随机事件，，，试分析与的大小关系，并给予证明
参考公式及数据：，
21. 已知圆心在轴上移动圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点、在曲线上，以为直径的圆经过原点，作，垂足为.试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
22. 已知函数，.
（1）若，求实数的值；
（2）当时，证明：.年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
女
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汕头市2023~2024学年度普通高中毕业班期末调研测试
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是关于的方程的一个根，则实数的值为（ ）
A. 8B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算即可得解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，则.
故选：A.
2. 设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ）
A. 向东南走B. 向西南走
C. 向东南走D. 向西南走
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法的可交换性与意义即可得解.
【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，
所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”，
等价于向东南走.
故选：A.
3. 已知全集，，则集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦恩图即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：C.
4. 已知直线：和：平行，则实数（ ）
A. 2或B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由两直线的不相交可得的值，进而分类讨论平行和重合的情形即可..
【详解】当：，：平行
得，解得或，
当时，：，：，即，此时直线和直线重合，故不符合题意，
当时，：，：，此时直线和直线平行，符合题意；
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦倍角公式和诱导公式化解原式，再用降幂公式即可求出答案.
【详解】由，解得，
又由，解得，
因为，所以，
又因为，得，
所以．
故选：C．
6. 关于椭圆与双曲线的关系，下列结论正确的是（ ）
A. 焦点相同B. 顶点相同C. 焦距相等D. 离心率相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆与双曲线标准方程分别考虑其性质即可得解.
【详解】对于椭圆，显然恒成立，
设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
所以，则，则，
所以椭圆焦点为，焦距为，顶点和离心率是变化的；
对于双曲线，显然其焦点在轴上，只需考虑焦距即可，不妨设其焦距为，
则，故，所以双曲线的焦距为；
所以椭圆与双曲线的焦距相等，故C正确，其余选项都不正确.
故选：C.
7. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案.
【详解】由于，定义域为
故，定义域为，
，
即不是奇函数，A错误；
，定义域为，不关于原点对称，
即不是奇函数，B错误；
，定义域为，不关于原点对称，
即不是奇函数，C错误；
，定义域为，
，
即为奇函数，D正确，
故选：D
8. 已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、，则“为等比数列”的一个必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析得所选条件由“为等比数列”推得成立，再举反例排除ACD，利用等比数列的通项公式推得B选项的条件成立，从而得解.
【详解】依题意，要成为“为等比数列”的必要条件，
则“为等比数列”推出该条件成立，
对于ACD，当为等比数列时，不妨取数列，，
则，
此时，故A错误；
此时，故C错误；
此时，故D错误；
对于B，当为等比数列时，设等比数列的公比为，
则，
，
，
所以，即，
所以，故B正确
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析出“为等比数列”的必要条件是由其推出，再举反例轻松排除错误选项，从而得解.
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
A. 中位数是34B. 众数是32
C. 第25百分位数是29D. 平均数为34.3
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.
【详解】把10个人的年龄由小到大排列为，
这组数据的中位数为32，众数为32，A错误，B正确；
由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，C正确；
这组数据的平均数，D正确.
故选：BCD
10. 已知定义在上的函数满足：，，且当时，，若，则（ ）
A. B. 在上单调递减
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法可判断AC；利用函数单调性的定义，结合题设条件可判断B，利用条件推得，从而利用累加法与等差数列的求和公式可判断D.
【详解】对于A，因为，，
令，得，则，故A正确；
对于C，令，得，则，
所以，故C正确；
对于B，设且，则，
则 ，
因为当时，，所以，即
所以在上单调递增，故B错误；
对于D，令，得，
则，，，，
上述各式相加，得，
又，
所以，故D错误；
故选：AC.
11. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（ ）
A. 且
B. 在10℃的保鲜时间是60小时
C. 要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃
D. 在零下2℃的保鲜时间将超过150小时
【答案】AB
【解析】
【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，且，可判断出正确；根据及，可得，则可求得的值，判断出正确；解不等式得，则错误；当时，可求得，则错误.
【详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，
易得是减函数，结合复合函数的单调性可知，
又，可知，所以正确；
又，即，故，，
则，故正确；
若，则，结合，
不等式化为，即，又，所以，
故错误；
当时，，故错误；
故选：
12. 在三棱锥中，平面，，是底面上（含边界）的一个动点，是三棱锥的外接球表面上的一个动点，则（ ）
A. 当在线段上时，
B. 的最大值为4
C. 当平面时，点的轨迹长度为
D. 存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：通过证明面来判断；对于B：三棱锥补成正方体，求其外接圆半径，进而可得的最大值；对于C：点的轨迹为过点且与面平行的平面与外接球的交线，产生的轨迹是一个圆，求该圆的半径，进而可得轨迹长度；对于D：设平面与平面的交线为，作出两个平面的夹角，求出其夹角的三角函数值的范围，从而可以判断.
【详解】对于A：由已知，即，
又平面，且平面，
所以，又面，，
所以面，又面，
所以，A正确；
对于B：设三棱锥的外接球半径为，将三棱锥补成正方体，如图：
三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
则，
则的最大值为外接球的直径，即，B错误；
对于C：当平面时，点的轨迹为过点且与面平行的平面与外接球的交线，产生的轨迹是一个圆，设其半径为
设点到面的距离为，
因为，
所以，解得，
所以，
所以点的轨迹长度为，C正确；
对于D：取线段的中点，连接，
在正方体中，明显有面，即点到面距离为线段的长，且，
设平面与平面的交线为，平面与平面的夹角为，过做交与，连接，
明显有，， ，面，
所以面，则为平面与平面夹角，
则，又由图象可得，
所以，所以，
所以，又，
所以存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：关于面面角的范围问题，关键是要确定哪些量在变，哪些量不变，变的量在哪个范围变化，通过确定角的三角函数值的范围可确定角的范围.
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题.
13. 二项式的展开式中的系数为15，则等于______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意，展开式的通项为，令即可求解可得答案．
【详解】根据题意，展开式的通项为，令，则
故答案为6．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式的展开式的形式，区分某一项的系数与二项式系数．
14. 若正四棱台上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出正棱台的图象，结合其侧面积求得正四棱台的斜高，再利用棱台体积公式即可得解.
【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，
可得上、下底面面积为，
如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为，再取分别为的中点，
分别连接，过点作，
因为该正四棱台的侧面积为，易得为等腰梯形的高，
所以，解得，
在中，可得，
则该正四棱台的高为，
所以该棱台的体积为.
故答案为：.
15. 已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解.
【详解】因为，，则，
又因为函数在区间上恰有三个零点，
则，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
16. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得和的周长，再根据光速相同，时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为，即可求解.
【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，两式相减得，
所以的周长为，
在图②中，的周长为，
因为光速相同，
因为C与S的离心率之比为，即，
所以.
故答案为：6.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 内角、、所对的边分别为、、，，．
（1）求角的大小；
（2）为的重心，的延长线交于点，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果；
（2）分别在，和中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果.
【小问1详解】
在中，因为，
由正弦定理可得,，，即，
所以，，，
故，即.
【小问2详解】
因为为的重心，的延长线交于点，且，
所以点为中点，且，在中，，，即，
在和中，,化简得，
所以，故，
所以的面积为．
18. 记等差数列的前项和为，首项为，已知，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于，的方程组，解之即可得解；
（2）利用错位相减法即可得解.
【小问1详解】
依题意，设等差数列的公差为，
因为，，
所以，即，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
设数列的前项和为，
则，
则②，
两式相减，得
，
故.
19. 如图，在边长为4的正三角形中，、分别为边、的中点，将沿翻折至，得四棱锥，设为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点Q，可得四边形为平行四边形，则，再由直线与平面平行的判定定理证明即可；
（2）利用面面垂直的性质定理可得平面，从而建立空间直角坐标系，求出面与平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
取的中点Q，连接,
则有，且，
又、分别为边、的中点，则，且，
故，且，
则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，故平面．
.
【小问2详解】
取中点O，中点G，连接，
在中，易得，所以，则，
又平面平面，且交线为，平面，
所以平面，则两两垂直，
故以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，则，，，，
由为中点，故，
则，，
设平面的一个法向量，则，即，
取，则，故，
易得平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，，
则，
所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为．
20. 《国家学生体质健康标准》是我国对学生体质健康方面的基本要求，是综合评价学生综合素质的重要依据.为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查.获得如下信息：
①男生所占比例为；
②不喜欢体育锻炼的学生所占比例为；
③喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人.
（1）完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析喜欢体育锻炼与性别是否有关联？
（2）（ⅰ）从这200名学生中采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件“至少有2名男生”、“至少有2名喜欢体育锻炼的男生”、“至多有1名喜欢体育锻炼的女生”.请计算和的值.
（ⅱ）对于随机事件，，，试分析与的大小关系，并给予证明
参考公式及数据：，.
【答案】（1）列联表见解析；有关联
（2）（ⅰ），；（ii），证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意完善列联表，求得，从而利用独立性检验即可得解；
（2）（i）分析分层抽样所得的样本情况，再分析事件与的意义，利用组合数结合古典概型的概率公式即可得解；；（ii）利用条件概率公式即可得证明.
【小问1详解】
因为男生所占比例为，所以男生有人，
因为不喜欢体育锻炼的学生所占比例为，
所以不喜欢体育锻炼的学生有人，
则喜欢体育锻炼的学生有人，
又喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人，
所以喜欢体育锻炼的男生有80人，喜欢体育锻炼的女生有30人，
所以列联表如下：
假设：是否喜欢体育锻炼与性别无关联.
根据表中数据，计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立.
即认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联.
【小问2详解】
（ⅰ）依题意，随机抽取的20名学生中，喜欢体育锻炼的男生有人，不喜欢体育锻炼的男生有人，
喜欢体育锻炼的女生有人，不喜欢体育锻炼的女生有人，
事件表示：“在至少有2名男生的条件下，至少有2名男生喜欢体育锻炼”，
事件表示：“2男生1女生都喜欢体育锻炼”和“3男生中至少两人喜欢体育锻炼”，
所以，
；
（ⅰⅰ）对于随机事件，，，
有，证明如下：
.
21. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于、两个动点，过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点、在曲线上，以为直径的圆经过原点，作，垂足为.试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意得知为动圆的直径，从而利用平面向量垂直的坐标表示即可得解；
（2）根据题意假设直线的方程，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理求得，再利用平面向量垂直的坐标表示求得，从而推得直线经过定点，进而推得点在以为直径的圆上，由此得解.
【小问1详解】
因为圆心在轴上移动的圆经过点与，
所以为动圆的直径，又动圆经过点，故，
于是，即，
而过点垂直于轴的直线与过点垂直于轴的直线交于点，则，
故点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
依题意，直线的斜率存在且截距大于0，
故设其方程为，
联立，消去得，，
故，则，故，
因为以为直径的圆经过原点，所以，则，
则，解得或(舍去)，
故直线为，显然经过定点，
又因为，则点在以为直径的圆上，
取中点，则，
因此，存在定点使得为定值2.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22. 已知函数，.
（1）若，求实数的值；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意推到，从而求得，再检验当时，成立，从而得解；
（2）利用小问（1）得不等式，再构造函数证得，从而证得，再利用累加法即可得解.
【小问1详解】
因为，注意到，
所以当恒成立时，是的最小值点，也是极小值点，则，
而，所以，解得，
当时，，，
令，得，则在区间上单调递减，
令，得，则在区间上单调递增，
所以，
所以．
【小问2详解】
由（1）得，，即，当且仅当时等号成立，
令，则，，，
所以，，，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即．
所以，，，
所以
.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键是借助得出，结合累加求和可证结论.
年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
女
合计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男
80
40
120
女
30
50
80
合计
110
90
200