2023-2024学年天津市宁河区高一上学期期末考试数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年天津市宁河区高一上学期期末考试数学试题(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A=0,1,2,5，B=1,3,4，C=x1≤x≤4，则A∩C∪B=( )
A. 1B. 1,3C. 1,2,3D. 1,2,3,4
2.命题“∃x0∈0,+∞，x0+1x0=2”的否定是
( )
A. ∀x∉0,+∞，x+1x=2B. ∀x∈0,+∞，x+1x≠2
C. ∃x0∉0,+∞，x0+1x0=2D. ∃x0∈0,+∞，x0+1x0≠2
3.“θ=π6”是“sinθ=12”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.为了得到函数y=sin2x−π3的图象，只需把函数y=sinx−π3的图象上所有的点的
( )
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B. 横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D. 纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变
5.函数f(x)=3x23−3|x|的图象大致为
( )
A. B.
C. D.
6.已知a=2.30.2，b=lg2.30.2，c=lg2.32.2，则a，b，c的大小关系是
( )
A. b7.已知tanα−π4=−7，则tanα=( )
A. 34B. −34C. 43D. −43
8.杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.已知某纸扇的扇环如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和10的两个同心圆上的弧(长度单位为cm)，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3，则扇面(扇环)的面积是
( )
A. 800π3cm2B. 400π3cm2C. 200π3cm2D. 100π3cm2
9.给定函数fx=−2x+3，gx=x2，对于∀x∈R，用Mx表示fx，gx中较小者，记为Mx=minfx,gx，若方程Mx−a=0恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为
( )
A. −∞,0B. 0,1C. 1,9D. 9,+∞
二、填空题：本题共6小题，共34分。
10.函数fx=sin12x−π4，x∈R的最小正周期是 ．
11.已知角θ的终边过点1,−2，则tanθ= ．
12.cs−495∘= ．
13.已知函数y=sinωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图所示，则φ= ．
14.某公司生产某种仪器的固定成本为300万元，每生产x台仪器需增加投入Cx万元，且Cx=2x2+80x,040,每台仪器的售价为200万元.通过市场分析，该公司生产的仪器能全部售完，则该公司在这一仪器的生产中所获利润的最大值为 万元．
15.若函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=2x+3x−1，则当x<0时，fx= ，若f2m−1+fm<0，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知csα=−45，α∈π2,π．
(1)求sinα，sin2α的值；
(2)求cs2α−π3的值．
17.(本小题12分)
已知函数fx=x2+mx−1，且f2=1．
(1)求实数m的值；
(2)根据函数单调性的定义证明fx在区间12,+∞上单调递增．
(3)若x∈−1,3，求fx值域．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg(1+x).
(1)求fx的定义域；
(2)若f1=a，f2=b，求lg6，lg212的值(结果用含a，b的代数式表示)；
(3)若函数gx=14x,x≤−1fx,x>−1,求不等式gx>2的解集．
19.(本小题16分)
已知函数fx=sin2x+ 3cs2x，x∈−π4,π4．
(1)求fx的单调递减区间；
(2)求fx的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的取值．
20.(本小题17分)
已知函数fx是指数函数，且其图象经过点2,4，gx=fx−1fx+1．
(1)求fx的解析式；
(2)判断gx的奇偶性并证明：
(3)若对于任意x∈R，不等式f2x+f−2x≥mfx+f−x−11恒成立，求实数m的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解．
【详解】A∩C=1,2,∴A∩C∪B=1,2,3,4，
故选：D
2.【答案】B
【解析】【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定．
【详解】命题“∃x0∈0,+∞，x0+1x0=2”的否定是“∀x∈0,+∞，x+1x≠2”.
故选：B
3.【答案】A
【解析】【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
【详解】由θ=π6，可得sinθ=12成立，即充分性成立；
反正：若sinθ=12，可得θ=π6+2kπ或θ=5π6+2kπ,k∈Z，即必要性不成立，
所以θ=π6是sinθ=12的充分不必要条件．
故选：A
4.【答案】B
【解析】【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案．
【详解】因为把函数y=sinx−π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，就能得到函数y=sin2x−π3的图象．
故选：B
5.【答案】D
【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可．
【详解】由3−3x≠0⇒x≠1⇒x≠±1，所以该函数的定义域为−∞,−1∪−1,1∪1,+∞，显然关于原点对称，
因为f−x=3−x23−3|−x|=3x23−3|x|=fx，
所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC，
当x>1时，3−3x=3−3x<0⇒fx<0，排除选项 B，
故选：D
6.【答案】C
【解析】【分析】利用函数的单调性可以比较大小．
【详解】因为y=lg2.3x为增函数，所以lg2.32.3>lg2.32.2>lg2.30.2，
因为y=2.3x为增函数，所以2.30.2>2.30=1，所以a>c>b．
故选：C
7.【答案】B
【解析】【分析】由两角差的正切公式求解．
【详解】tanα−π4=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=tanα−11+tanα=−7，解得tanα=−34．
故选：B
8.【答案】A
【解析】【分析】利用扇形的面积公式进行求解即可．
【详解】因为上、下两条弧分别在半径为30和10的圆上，圆心角为2π3
由扇形面积公式S=12lr=12αr2，所以两个扇形的面积分别为S1=12×102×2π3=100π3,S2=12×302×2π3=900π3，
所以扇面的面积为S2−S1=900π3−100π3=800π3．
故选：A
9.【答案】B
【解析】【分析】作出函数fx和gx的图像，得Mx的图像，由题意，直线y=a与Mx的图像与有三个交点，结合图像判断实数a的取值范围．
【详解】由y=−2x+3y=x2，解得x=1y=1或x=−3y=9,
函数fx=−2x+3和gx=x2的图像相交于点A−3,9和B1,1，
在平面直角坐标系内作出函数fx=−2x+3和gx=x2的图像，
由Mx=minfx,gx，得Mx的图像，如图所示，
方程Mx−a=0恰有三个不相等的实数根，则Mx的图像与直线y=a有三个交点，
由图像可知实数a的取值范围为0,1．
故选：B
10.【答案】4π
【解析】【分析】根据T=2π12计算即可．
【详解】T=2π12=4π，
故答案为：4π．
11.【答案】−2
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【解答】
解：∵角θ的终边过点(1,−2)，
∴tanθ=−21=−2．
故答案为−2．
12.【答案】− 22
【解析】根据诱导公式即可求解．
【详解】cs−495∘=cs495∘=cs135∘=− 22，
故答案为：− 22
13.【答案】π6 或16π
【解析】【分析】由函数最小正周期计算ω，代入点5π12,0计算φ．
【详解】由函数图象可知，最小正周期T=42π3−5π12=π，则2πω=π，ω=2，
所以y=sin2x+φ，
又图象过点5π12,0，有sin2×5π12+φ=0，则φ=2kπ+π6,k∈Z，
由φ<π2，得φ=π6．
故答案为：π6
14.【答案】1680
【解析】【分析】分0【详解】由题意可得：当0当40故W(x)=−2x2+120x−300,0若0由二次函数的性质可知，W(x)在(0,30)上单调递增，在(30,40]上单调递减，
所以当x=30时，W(x)max=1500万元，
②若40当且仅当x=3600x时，即x=60时，W(x)max=1680万元．
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．
故答案为：1680
15.【答案】3x+1−12x；−∞,13
【解析】【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式；利用奇偶性和单调性解不等式．
【详解】函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=2x+3x−1，
则当x<0时，−x>0，fx=−f−x=−2−x−3x−1=3x+1−12x．
函数y=2x和y=3x−1在R上都单调递增，则fx在0,+∞上单调递增，
又fx是定义在R上的奇函数，所以fx在R上单调递增，
由f2m−1+fm<0，得f2m−1<−fm=f−m，
则2m−1<−m，解得m<13，即实数m的取值范围是−∞,13．
故答案为：3x+1−12x；−∞,13
16.【答案】解：
(1)由csα=−45以及α∈π2,π可得sinα= 1−cs2α=35，
故sin2α=2sinαcsα=2×35×−45=−2425
(2)cs2α=2cs2α−1=725
cs2α−π3=cs2αcsπ3+sin2αsinπ3=725×12+−2425× 32=7−24 350

【解析】(1)根据同角关系得正弦值，即可由正弦的二倍角公式求解，
(2)根据余弦的二倍角公式以及和差角公式即可求解．
17.【答案】解：
(1)由f2=4+2m−1=1，得m=−1；
(2)由(1)可知，fx=x2−x−1，
任取12x1−x2<0，x1+x2−1>0，有fx1−fx2<0，即fx1所以fx在区间12,+∞上单调递增．
(3)由二次函数的性质，fx=x2−x−1在−1,12上单调递减，在12,3上单调递增，
f−1=1，f12=−54，f3=5，
所以x∈−1,3时，fx值域为−54,5．

【解析】(1)由f2=1，代入函数解析式，求实数m的值；
(2)定义法证明fx的单调性；
(3)由函数单调性求区间内函数的值域．
18.【答案】解：
(1)要使函数f(x)=lg(1+x)有意义，
则1+x>0⇒x>−1，
即fx的定义域为−1,+∞；
(2)因为f1=a，f2=b，所以lg2=a,lg3=b,
则lg6=lg2+lg3=a+b，
lg212=lg12lg2=lg2+lg2+lg3lg2=2a+ba，
(3)gx>2等价于14x>2x≤−1①或x>−1lgx+1>2②,
由①可得122x>12−1x≤−1⇒x≤−1；
由②可得gx=x>−1lgx+1>lg100⇒x>99,
综上，不等式gx>2的解集为−∞,−1∪99,+∞．

【解析】(1)根据真数大于零列不等式，可求fx的定义域；
(2)求出lg2=a,lg3=b,，利用对数的运算法则，结合换底公式可求lg6，lg212的值；
(3)根据分段函数的解析式，分两种情况讨论，结合指数函数与对数函数的性质分别解不等式组即可．
19.【答案】解：
(1)由题意可知：fx=sin2x+ 3cs2x=212sin2x+ 32cs2x=2sin2x+π3
因为x∈−π4,π4，所以z=2x+π3∈−π6,5π6，
因为y=sinz，z∈−π6,5π6的单调递减区间是π2,5π6，
且由π2≤2x+π3≤5π6，得π12≤x≤π4，
所以f(x)的单调递减区间为π12,π4．
(2)由(1)可知，当x∈π12,π4时，f(x)单调递减，
可得当x∈−π4,π12时，f(x)单调递增，
又fπ12=2sinπ2=2，fπ4=2sin5π6=1，f−π4=2sin−π6=−1
所以：当x=π12时，f(x)取最大值为2，
当x=−π4时，f(x)取最小值为−1．

【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间．
(2)结合(1)利用单调区间，可求fx的最大值、最小值，以及使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的取值..
20.【答案】解：
(1)设指数函数fx=ax，a>0且a≠1，
函数图象经过点2,4，有f2=a2=4，解得a=2，
所以fx=2x．
(2)gx为奇函数，证明如下：
gx=fx−1fx+1=2x−12x+1，函数定义域为R，
g−x=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−gx，
所以gx为奇函数．
(3)不等式f2x+f−2x≥mfx+f−x−11，
即22x+2−2x≥m2x+2−x−11，得2x+2−x2≥m2x+2−x−9，
令2x+2−x=t，
由2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2，当且仅当2x=2−x，即x=0时等号成立，得t≥2，
则有t2≥mt−9在t≥2时恒成立，得m≤t+9t在t≥2时恒成立，
t+9t≥2 t⋅9t=6，当且仅当t=9t，即t=3时等号成立，则有m≤6，
所以实数m的最大值为6．

【解析】(1)设fx=ax，代入点2,4可求fx的解析式；
(2)利用定义法判断并证明gx的奇偶性；
(3)由fx的解析式，得不等式22x+2−2x≥m2x+2−x−11恒成立，令2x+2−x=t，转化为m≤t+9t在t≥2时恒成立，利用基本不等式求解即可．
关键点点睛：
不等式f2x+f−2x≥mfx+f−x−11恒成立，即不等式22x+2−2x≥m2x+2−x−11恒成立，配方和换元是解题关键，利用配方得2x+2−x2≥m2x+2−x−9，利用换元得m≤t+9t在t≥2时恒成立，结合基本不等式求解即可．