【备战2024年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题17 几何压轴题 教师版+学生版

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考点1 几何压轴题
一、单选题
1．（2023年北京市中考数学真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；

上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．（2023年天津市中考数学真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023年河北省中考数学真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（ ）

A．B．C．D．
4．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A．8B．4C．3.5D．3
6．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
7．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023年上海市中考数学真题）已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：
①；②
则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确C．①②均正确D．①②均错误
9．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（ ）

A．①④B．②③C．①②④D．①③④
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ）

A．的面积B．的面积
C．的面积D．的面积
11．（2023年安徽中考数学真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（ ）

A．的最小值为B．的最小值为
C．周长的最小值为6D．四边形面积的最小值为
12.（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（ ）

A．点B．点C．点D．点
13.（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
14．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（ ）
A．2B．4C．2D．4
15．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，，点是线段的三等分点，且靠近点，的两边与线段分别交于点、，连接分别交、于点、．若，，则( )
A．B．C．D．
二、填空题
16．（2023年北京市中考数学真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．

17．（2023年天津市中考数学真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．

（1）线段的长为 ；
（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
18．（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．

19．（2023年山西省中考数学真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．

20．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：
①平分； ②； ③四边形是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）

21．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为 ．
22．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．

23．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为 ．

24．（2023年上海市中考数学真题）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是 ．
25．（2023年安徽中考数学真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．

26．（2023年江西省中考数学真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．

27．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ．
28．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，，，是上的三个点，，则的度数为 ．
29．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，，，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则的最小值为 ．
30．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则 ．
三、解答题
31．（2023年北京市中考数学真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．

(1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．
32．（2023年北京市中考数学真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
33．（2023年天津市中考数学真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点，矩形的顶点．
(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
(2)将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点E，F，G，H的对应点分别为，，，．设，矩形与菱形重叠部分的面积为S．

①如图②，当边与相交于点M、边与相交于点N，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
34．（2023年河北省中考数学真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．

(1)若点在上，求证：；
(2)如图2．连接．
①求的度数，并直接写出当时，的值；
②若点到的距离为，求的值；
(3)当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）．
35．（2023年山西省中考数学真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

36．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．

(1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
37．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点落在上时，．”
小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰中，由翻折得到．
（1）如图1，当点落在上时，求证：；
（2）如图2，若点为中点，，求的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长．
38．（2023年北京市中考数学真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．

(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
39．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图①．在矩形．，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连续．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．（）

(1)当点和点重合时，线段的长为__________；
(2)当点和点重合时，求；
(3)当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
40．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
41．（2023年上海市中考数学真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．

(1)如果，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长；
(3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
42．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．
43．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．

(1)如图1，求边上的高的长．
(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．
①如图2，当点落在射线上时，求的长．
②当是直角三角形时，求的长．
44．（2023年安徽中考数学真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．

(1)如图1，求的大小；
(2)已知点和边上的点满足．
（ⅰ）如图2，连接，求证：；
（ⅱ）如图3，连接，若，求的值．
45．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．
(1)求证：△CBF≌△CDF；
(2)如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE，ON＝1，直接写出CG的长．
46．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，交的延长线于点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
47．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)当点恰好落在线段上时，求的长；
(3)设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．
48．（2023·福建福州·校考二模）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（ ）
A．B．C．3D．2
49．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
50．（2023·福建福州·校考二模）如图，是的直径，上的点C，D在直径的两侧，连接，若，，则的长等于 ．
51．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，已知菱形的边长为，是的中点，平分交于点，交于点．若，则的长是 ．
52．（2023·河南商丘·一模）如图，在中，，，．点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，，．当时，的长为 ．

53．（2023·福建福州·校考二模）在中，，，以为直径作，交于点D，点P是上的一个点．
(1)如图1，若点P是的中点，，垂足为E，求证：直线是的切线；
(2)如图2，连接，若，求的度数．
54．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．
55．（2023·河南商丘·一模）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

(1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质____．
(2)【探究证明】如图2，连接EC，设筝形的面积为．若，求S的最大值；
(3)【迁移应用】在中，，点D，E分别在，上，当四边形是筝形时，请直接写出四边形的面积．
56．（2023·河南南阳·校联考三模）问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰直角三角形，如图1所示，把和摆在一起，其中直角顶点重合，延长至点，满足，然后连接．
(1)实践猜想：图1中的与的数量关系为___________，位置关系为___________；
(2)拓展探究：当绕着点旋转一定角度时，如图2所示，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)解决问题：当，，旋转得到三点共线时，直接写出线段的长．
57．（2022·江苏南京·统考中考真题）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．
例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．

(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；
(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：．
58．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）已知，如图①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF．
(1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长；
(2)如图②，点M在CB的延长线上，且，连接AM，当点E在BC上运动时，的面积的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．
(3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．
59．（2023·江苏无锡·统考二模）已知，在矩形中，，，为矩形的中心，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转一周，
(1)如图1，当直角边，分别在，边上时，连接，，求的面积；

(2)设斜边与矩形的交点为，当，，三点在一条直线时，求的值；
(3)如图2，连接，取中点，连接，请直接写出的取值范围．

60．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，和的顶点重合，，，，．
(1)如图1，当点，分别在，上时，得出结论： ；直线与直线的位置关系是 ；
(2)如图2，将图1中的绕点顺时针旋转一周的过程中，连接，，其所在直线相交于点．
①（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由．
②当的长度最大时，求线段的长度．
61．（2023·山东济南·统考三模）某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究．
专题探究：已知中，，，点M是线段上的一点，N是线段上的点，，交于点Q，将线段绕点M顺时针旋转度，得到线段，连接．

(1)如图1，当时，直接写出线段与的数量关系______；
(2)如图2，当时，判断线段与的数量关系，并给出证明；
(3)变式应用：如图3，在中，，，，M是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段的最小值．