第37讲 构造法在解决函数、导数问题中的应用--2024年高考一轮复习知识清单与题型专练
展开例1 已知函数y=f(x)的导函数为y=f'(x),对任意的实数x,都有f'(x)>f(x)且f(1)=e,则不等式f(ln x)
C.(0,e)D.(0,1)
[总结反思]一般地,若知xf'(x)+f(x)的符号,则构造函数g(x)=xf(x); 若知xf'(x)+nf(x)的符号,则构造函数g(x)=xnf(x);若知xf'(x)-f(x)的符号,则构造函数g(x)=f(x)x;若知xf'(x)-nf(x)的符号,则构造函数g(x)=f(x)xn;若知f'(x)+f(x)的符号,则构造函数g(x)=exf(x);若知f'(x)+nf(x)的符号,则构造函数g(x)=enxf(x);若知f'(x)-f(x)的符号,则构造函数g(x)=f(x)ex;若知f'(x)-nf(x)的符号,则构造函数g(x)=f(x)enx.
变式题 已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)>f'(x)对于x∈R恒成立,e为自然对数的底数,则( )
A.e2019·f(2020)>e2020·f(2019)
B.e2019·f(2020)=e2020·f(2019)
C.e2019·f(2020)
类型二 同构法构造函数
例2 (1)若2a+lg2a=4b+2lg4b,则( )
A.a>2bB.a<2b
C.a>b2D.a
A.-∞,e3B.-∞,e2
C.(-∞,1]D.(-∞,e]
[总结反思] (1)在成立或恒成立问题中,有一部分题目是利用函数单调性构造出来的,如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),那么无疑大大加快了解决问题的速度.找到这个函数模型的方法,我们称为同构法.例如:若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的单调性,如单调递增,再转化为g(x)≥h(x),这种方法我们就可以称为同构不等式法(等号成立时,称为同构方程法),简称同构法.
(2)同构法的三种基本模式:①乘积型,如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b,进而构造函数f(x)=xex;②比商型,如eaa
变式题 设函数f(x)=ex-e-x2+sin x,不等式f(a-xex)+f(ln x+x+1)≤0恒成立,则实数a的最大值为( )
A.e-1B.1
C.e-2D.0
1.已知函数f(x)=2x3ln x-(m-x)emx-1,当x≥e时,f(x)≥0恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,4e]B.(-∞,3e]
C.(-∞,2e]D.-∞,3e2
2.已知函数f(x)=mln(x+1)-3x-3,若不等式f(x)>mx-3ex在(0,+∞)上恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.0≤m≤3B.m≥3
C.m≤3D.m≤0
3.已知定义在R上的可导函数f(x)满足(1-x)f(x)+xf'(x)>0,若y=f(x+2)-e3是奇函数,则不等式xf(x)-2ex+1<0的解集是( )
A.(-∞,2)B.(-∞,1)
C.(2,+∞)D.(1,+∞)
4.(多选题)设f'(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f'(x)+xf(x)=ln x,f(1)=12,设g(x)=xf(x),则下列结论不正确的是( )
A.g(x)在(0,+∞)上单调递增
B.g(x)在(0,+∞)上单调递减
C.g(x)在(0,+∞)上有极大值12
D.g(x)在(0,+∞)上有极小值12
5.(多选题)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f'(x),xf'(x)-f(x)=xln x,且f1e=1e,则( )
A.f'1e=0
B.f(x)在x=1e处取得极大值
C.0
6.若0
B.ex1-ex2>ln x2-ln x1
C.x2ex1>x1ex2
D.x2ex1
8.已知函数f(x)=3x-3-x,f(1-2lg3t)+f(3lg3t-1)≥-lg3t,则t的取值范围是 .
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