2023-2024学年北京市人大附中经开区学校高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市人大附中经开区学校高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,2,4}，B={2,4,5}，则A∪B=( )
A. {1,2,5}B. {2,4}C. {2,4,5}D. {1,2,4,5}
2.函数f(x)= x−2+1x−3的定义域是( )
A. [2,3)B. (3,+∞)C. [2,3)∪(3,+∞)D. (2,3)∪(3,+∞)
3.下列函数中是偶函数的是( )
A. y=x2+2x+1B. y=|x|C. y=2xD. y=3x−1
4.若a，b，c∈R，且a>b，则下列结论一定成立的是( )
A. ac>bcB. 1a<1bC. a−c>b−cD. a2>b2
5.设a∈R，则“a> 1”是“a2>1”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
6.下列四组函数中是同一函数的是( )
A. f(x)=x2x，g(x)=x
B. f(x)= x2，g(x)=|x|
C. y=x−1，y= (x−1)2
D. y= x+1⋅ x−1，y= x2−1
7.函数f(x)=−x(x−2)的一个单调递减区间可以是( )
A. [−2,0]B. [0,2]C. [1,3]D. [0,+∞)
8.如图为函数y=f(x)和y=g(x)的图像，则不等式f(x)⋅g(x)<0的解集为( )
A. (−∞,−1)∪(−1,0)B. (−∞,−1)∪(0,1)
C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)
9.设函数f(x)=x2+2x,x<0−x2,x≥0，若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,− 3]B. [− 3,+∞)C. [− 3, 3]D. (−∞, 3]
10.如果函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，则称f(x)为“Ω函数”.已知函数f(x)=5x,0≤x≤1x2−4x+m,1A. [4,9]B. [5,9]C. [4,+∞)D. [5,+∞)
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.写出命题p：∀x>0，x2+1<0的否定￢p：______．
12.若函数f(2x+1)=x2−2x，则f(3)= ．
13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2+2x，则f(−1)= ______，当x∈(−∞,0)时，f(x)= ______．
14.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−215.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调，且f(1)=2，f(−2)=3，给出下列四个结论：
①f(x)在(−∞,0]上单调递减；
②存在x∈(−1,1)，使得f(x)≥2；
③不等式2④关于x的方程[f(x−1)]2−5f(x−1)+6=0的解集中所有元素之和为4．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|x2−2x>0}，C={x|x>a}．
(1)求A∩B，A∪B
(2)若C⊆B，求a的取值范围．
17.(本小题14分)
已知一元二次方程2x2+3x−4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
(1)x12+x22；
(2)|x1−x2|.
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=x+mx的图象过点P(1,5)．
(Ⅰ)求实数m的值，并判断函数f(x)的奇偶性；
(Ⅱ)利用单调性定义证明f(x)在区间[2,+∞)上是增函数．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=x2+(2−a)x−2a，a∈R．
(1)若f(x)的图象关于直线x=1对称，求函数f(x)在区间[0,4]上的值域；
(2)求使f(x)>0的自变量x的取值范围．
20.(本小题15分)
某工厂分批生产某种产品，若每批生产x(x∈{1,2,…,100})件，每批产品的生产准备费用为1800元，每件产品每天的仓储费用为2元，且每件产品平均仓储时间为x4天，设平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元．
(Ⅰ)写出y关于x的函数解析式；
(Ⅱ)当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？
21.(本小题15分)
对于正整数集合A{a1,a2,…,an}(n∈N*，n≥3)，如果去掉其中任意一个元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．
(1)判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”(不必写过程)；
(2)请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”；
(3)当n=5时，集合A{a1,a2,a3,a4,a5}，求证：集合A不是“和谐集”．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={1,2,4}，B={2,4,5}，
则A∪B={1,2,4,5}．
故选：D．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
由函数解析式列出关于x的不等式组x−2≥0x−3≠0，求出它的解集就是所求函数的定义域．
本题的考点是求函数的定义域，根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，列出不等式组求出它们的解集的交集即可，属于基础题．
【解答】
解：要使函数有意义，则x−2≥0x−3≠0，解得x≥2且x≠3，
∴函数的定义域是[2,3)∪(3,+∞)．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，因为y=x2+2x+1的定义域为R，
又f(−1)=(−1)2+2×(−1)+1=0≠4=12+2×1+1=f(1)，
所以f(x)不是偶函数，故A错误；
对于B，因为y=f(x)=|x|的定义域为R，
又f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，所以f(x)是偶函数，故B正确；
对于C，因为y=f(x)=2x的定义域为{x|x≠0}，
而f(−1)=2−1=−2，f(1)=21=2，
则f(−1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数，故C错误；
对于D，因为y=f(x)=3x−1的定义域为R，
而f(−1)=3×(−1)−1=−4，f(1)=3×1−1=2，
则f(−1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数，故D错误．
故选：B．
利用函数奇偶性的判断方法判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，c=0时，不成立，
对于B，令a=1，b=−2，不成立，
对于C，根据不等式的基本性质，成立，
对于D，令a=0，b=−2，不成立，
故选：C．
根据特殊值法判断A，B，D，根据不等式的性质判断C．
本题考查了基本不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
解不等式a2>1得a>1或a<−1，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由a2>1得a>1或a<−1，
∴由“a>1”能推出“a>1或a<−1”，但“a>1或a<−1”推不出“a>1”，
即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件．
故选A．
6.【答案】B
【解析】解：对于A，f(x)=x2x=x(x≠0)，与g(x)=x(x∈R)的定义域不同，不是同一函数；
对于B，f(x)= x2=|x|(x∈R)，与g(x)=|x|(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于C，y=x−1(x∈R)，与y= (x−1)2=|x−1|(x∈R)的对应关系不同，不是同一函数；
对于D，y= x+1⋅ x−1= x2−1(x≥1)，与y= x2−1(x≤−1或x≥1)的定义域不同，不是同一函数．
故选：B．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
求出二次函数的对称轴，求出单调递减区间，由此判断即可．
本题考查了二次函数的单调性的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
【解答】
解：函数f(x)=−x(x−2)=−x2+2x=−(x−1)2+1，
其对称轴为x=1，
所以单调递减区间为(1,+∞)，
因为[1,3]⊆[1,+∞)，
所以函数f(x)=−x(x−2)的一个单调递减区间可以是[1,3]．
故选C．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)⋅g(x)<0等价于f(x)<0g(x)>0或f(x)>0g(x)<0，
由图可知，01，
故不等式的解集为(0,1)∪(1,+∞)．
故选：D．
找出使f(x)与g(x)异号的x的范围，即可得解．
本题考查函数的图象与性质，不等式的解法，考查数性结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：令f(a)=t，则f(t)≤3，
等价于t<0t2+2t≤3或t≥0−t2≤3，
解得t≥−3，则f(a)≥−3，
等价于a<0a2+2a≥−3或a≥0−a2≥−3，
解得a≤ 3，
则实数a的取值范围是(−∞, 3]．
故选：D．
先令f(a)=t，解不等式f(t)≤3，得到t≥−3，再解f(a)≥−3，即可求出结果．
本题主要考查由分段函数的性质求解不等式的方法，分段函数的性质等知识，属于中等题．
10.【答案】B
【解析】解：由题意，函数f(x)的定义域为[a,b]，且值域为[f(a),f(b)]，即函数f(x)的最小值f(x)min=f(a)，最大值为f(x)max=f(b)，
又由函数f(x)=5x,0≤x≤1x2−4x+m,1当0≤x≤1时，可得0≤5x≤5，
要是函数f(x)满足新定义，则满足0≤f(2)≤5f(4)≥5，即0≤m−4≤5m≥5，所以5≤m≤9，
所以实数m的取值范围是[5,9]．
故选：B．
根据函数的新定义得到f(x)min=f(a)且f(x)max=f(b)，结合函数f(x)和二次函数的性质，列出不等式，即可求解．
利用图象是解答函数值域的最有效手段，本题属于中档题．
11.【答案】∃x0>0，使得x02+1≥0
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0>0，使得x02+1≥0，
故答案为：∃x0>0，使得x02+1≥0．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．
12.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
使用换元法求出函数f(x)的解析式，再将x=3代入进行求解．
【解答】
解：令t=2x+1，则x=t−12
则f(t)=(t−12)2−2·t−12=14t2−32t+54
∴f(x)=14x2−32x+54
∴f(3)=−1
故答案为−1．
13.【答案】−3 −x2+2x
【解析】解：由题意可得：f(−1)=−f(1)=−3；
当x∈(−∞,0)时，则−x>0，
故f(x)=−f(−x)=−[(−x)2+2(−x)]=−x2+2x；
故答案为：−3；−x2+2x．
根据题意结合奇函数的定义分析求解．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】{x|x<−3或x>1}
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−2∴−2和1是方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0，
∴−2+1=−ba，−2=ca，∴a=b，c=−2a，
∴ax2+(a+b)x+c−a<0，等价于ax2+2ax−3a<0，
∵a<0，∴ax2+2ax−3a<0等价于x2+2x−3>0，解得x<−3或x>1，
∴不等式ax2+(a+b)x+c−a<0的解集为{x|x<−3或x>1}．
故答案为：{x|x<−3或x>1}．
由题意得a=b，c=−2a，a<0，进而将所解不等式转化为x2+2x−3>0，再求解即可得到答案．
本题考查一元二次不等式的性质及解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】①③④
【解析】解：因为f(x)为偶函数，且f(−2)=3，所以f(2)=f(−2)=3，
又因为f(x)在[0,+∞)上单调，f(1)=2则当x∈(−∞,0]时，f(x)单调递减，故①正确；
因为f(x)在(0,1)上单调递增，f(1)=2，故此时f(x)<2，则当x∈(−1,1)时，f(x)<2，故②错误；
当x∈(0,+∞)时，不等式2由f(x)为偶函数，则不等式2方程[f(x−1)]2−5f(x−1)+6=0可化为[f(x−1)−2][f(x−1)−3]=0，则f(x−1)=2或f(x−1)=3，
当f(x−1)=2时，则x−1=±1，解得x=2或0，
当f(x−1)=3时，则x−1=±2，解得x=3或−1，
此时2+0+3+(−1)=4，故④正确；
故答案为：①③④．
根据条件可得到偶函数f(x)在[0,+∞)上的单调递增，进而得到f(x)在(−∞,0]上单调递减，即可判断①；
根据单调性以及f(1)=2可判断②；
根据奇偶性以及f(1)=2，f(2)=3即可判断③；
解出f(x−1)=3或2，结合f(1)=2，f(2)=3，解出x，进而可判断④．
本题考查函数奇偶性的性质，函数单调性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，B={x|x2−2x>0}={x|x<0或x>2}，
所以A∩B={x|−1≤x<0或2AUB=R．
(2)因为C⊆B，
B={x|x<0或x>2}，
所以a≥2．
即a的取值范围是[2,+∞)．
【解析】(1)由一元二次不等式的解法化简集合，再由集合的交集和并集运算求解即可；
(2)根据包含关系得出参数a的取值范围．
本题考查了集合间的运算以及集合间的包含关系，属于基础题．
17.【答案】解：由一元二次方程根与系数的关系，
得x1+x2=−32,x1x2=−2，
(1)x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−2)=254,
(2)因为(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=(−32)2−4×(−2)=414,所以|x1−x2|= (x1−x2)2= 412．
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，将目标式配凑为两根之和和两根之积的形式，即可求得．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于容易题．
18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=x+mx的图象过点P(1,5)，
∴5=1+m，
∴m=4，
∴f(x)=x+4x，f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(−x)=−x−4x，∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)是奇函数;
(Ⅱ)证明：在区间[2,+∞)任取x1，x2，且x2>x1≥2，
则f(x2)−f(x1)=x2−x1+4x2−4x1
=(x2−x1)(1−4x1x2)=(x2−x1)x1x2−4x1x2，
又x2>x1≥2，∴x2−x1>0，x1x2>4，
∴f(x2)−f(x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x)在区间[2,+∞)上是增函数．
【解析】本题考查函数的奇偶性的判断和函数单调性的证明，注意运用定义法，属于基础题．
(Ⅰ)代入点P，求得m，再由定义判断奇偶性；
(Ⅱ)根据单调性的定义，设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证．
19.【答案】解：(1)根据题意，因为f(x)=x2+(2−a)x−2a，
所以，f(x)的图象的对称轴方程为x=a−22．
由a−22=1，得a=4；
故f(x)=x2−2x−8=(x−1)2−9，
在区间[0,4]上，最小值为f(1)=−9，最大值为f(3)=−5，
即函数f(x)在区间[0,4]上的值域为[−9,−5]；
(2)不等式f(x)>0，即为x2+(2−a)x−2a>0，变形可得 (x+2)(x−a)>0，
当a=−2时，不等式的解集为{x|x≠−2,x∈R}，
当a>−2时，不等式的解集为{x|x<−2或x>a}，
当a<−2时，不等式的解集为{x|x>−2,x【解析】(1)根据题意，由二次函数的性质可得x=a−22，求出a的值，进而结合二次函数的性质分析可得答案；
(2)根据题意，分三种情况：当a=−2时，当a>−2时，当a<−2时来解不等式，综合可得答案．
本题考查二次函数的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
20.【答案】解：(I)根据题意可得，y=1800x+2⋅x4=1800x+x2(x为正整数)．
(II)y=1800x+x2≥2 1800x⋅x2=60，当且仅当1800x=x2，即x=60时等号成立，
故当x=60时，y有最小值，最小值为60．
【解析】(I)由已知条件，可推得y=1800x+2⋅x4=1800x+x2(x为正整数)．
(II)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于基础题．
21.【答案】解：(1)对于集合{1,2,3,4,5}，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”．
(2)集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”，证明如下：
当去掉元素1时，有3+5+7+9=11+13；
当去掉元素3时，有1+9+13=5+7+11；
当去掉元素5时，有9+13=1+3+7+11；
当去掉元素7时，有1+9+11=3+5+13；
当去掉元素9时，有1+3+5+11=7+13；
当去掉元素11时，有3+7+9=1+5+13；
当去掉元素13时，有1+3+5+9=7+11．
所以集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”．
(3)证明：假设集合A是“和谐集”，
不妨设0则有a1+a5=a3+a4①，或a5=a1+a3+a4②，
也必能将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有a2+a5=a3+a4③，或a5=a2+a3+a4④，
由①③，得a1=a2，矛盾，
由①④，得a1=−a2，矛盾，
由②③，得a1=−a2，矛盾，
由②④，得a1=a2，矛盾，
所以假设不成立，
故当n=5时，集合A一定不是“和谐集”．
【解析】(1)根据定义，判断集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”；
(2)写出集合{1,3,5,7,9,11,13}，利用定义证明即可；
(3)假设集合A是“和谐集”，结合定义推出矛盾，即可得证．
本题考查新定义的认识与理解能力，考查反证法的应用，属于难题．