2022-2023学年安徽省亳州市第二完全中学高二（下）期末数学试卷（B卷）（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年安徽省亳州市第二完全中学高二（下）期末数学试卷（B卷）（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知p：x≥k，q：2−xx+1≤0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. (1,+∞)C. [1,+∞)D. (−∞,−1)
2.设f(x)=−x3+(a−2)x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数，则f(ba)=( )
A. 58B. 38C. −58D. −38
3.已知函数f′(x0)=a，则d→0时，f(x0+d)−f(x0)2d的值趋近于( )
A. 2aB. −2aC. 12aD. −12a
4.设集合A={0,−a}，B={1,a−2,2a−2}，若A⊆B，则a=( )
A. 2B. 1C. 23D. −1
5.已知f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=ex+csx，a=−12，b=lg143，c=lg312，则g(a)，g(b)，g(c)大小关系为( )
A. g(c)C. g(a)6.记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.已知数列满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2，设bn=nan，则数列{1bnbn+1}的前2023项和为( )
A. 20224045B. 40464047C. 40444045D. 20234047
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3S6=16，则S9S3=( )
A. 12B. 36C. 31D. 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若abc2，则a>b
C. 若a>0>b，则aba>b，ac−a10.函数f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)在区间(x2,x4)上单调递减B. x=x6是函数f(x)的极小值点
C. 函数f(x)在x=x4处取得极小值D. 函数f(x)在x=x2处取得极大值
11.已知函数f( x+1)=2x+ x−1，则( )
A. f(3)=9B. f(x)=2x2−3x(x≥1)
C. f(x)的最小值为−1D. f(x)的图象与x轴有1个交点
12.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1>0，公比q>1，且T2023<1，T2024>1，则( )
A. 当n=2023时，Tn最小B. a2024>1
C. 存在n<1012，使得anan+1=an+2D. 当n=1012时，Tn最小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1，a5=12，a9=192，则a7=______，数列{an}的所有项的和为______.
14.已知正数x，y满足x+y=1，则1x+4y+1的最小值为______.
15.下列说法正确的是______.
①函数f(x)=lga(x−1)−2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,−1)
②若不等式ax2+2x+c<0的解集为{x|x<−1或x>2}，则a+c=2
③函数f(x)= x2+16+9 x2+16的最小值为6
④函数g(x)=(12) −x2−x+2的单调递增区间为[−12,1]
16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)=x2−x2(0≤x<1)x−1ex(x≥1)，若函数F(x)=f(x)−m有6个零点，则实数m的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设全集U=R，集合A={x|y=lg(−x2+6x−5)}，集合B=[2−a,1+2a]，其中a∈R.
(1)当a=1时，求B∪(∁UA)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求实数a的取值范围.
从①充分；②必要；③既不充分也不必要三个条件中选择一个填空，并解答该题.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(x+1)−lga(1−x)，a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明．
19.(本小题12分)
已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=1，当n≥2时，(n−1)an2−nan−12=n(n−1).
(Ⅰ)求证：数列{an2n}是等差数列；
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅲ)设bn=an2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题12分)
设函数f(x)=x−x3eax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)=f′(x)，求g(x)的极值点；
21.(本小题12分)
为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本c(x)(万元)与lnx10成正比(其中x(台)表示产量)，并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价p(x)与产量x(台)的函数关系为p(x)=−x100+10x+5150(万元)(其中x≥10).记当年销售该产品x台获得的利润(利润=销售收入-生产成本)为f(x)万元.
(参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6)
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当产量x为何值时，该工厂的年利润f(x)最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式f(x)≤x在[1,+∞)恒成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由2−xx+1≤0，得x≥2或x<−1，即q：x≥2或x<−1，
∵p是q的充分不必要条件，
∴k≥2.
故选：A.
求出不等式的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及不等式的解法，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=−x3+(a−2)x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数，
∴2b+3+b=0，解得b=−1，
又f(−x)=−f(x)，即−(−x)3+(a−2)(−x)2−x=−[−x3+(a−2)x2+x]，
∴a=2，
∴f(x)=−x3+x，
∴f(ba)=f(−12)=18−12=−38.
故选：D.
根据奇函数的定义，得到方程组，求出a=2，b=−1，得到函数解析式，代入求值即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，求得a与b的值是关键，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可得d→0lim f(x0+d)−f(x0)2d=12d→0lim f(x0+d)−f(x0)d
=12f′(x0)=a2.
故选：C.
根据导数定义可得答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：依题意，a−2=0或2a−2=0，
当a−2=0时，解得a=2，
此时A={0,−2}，B={1,0,2}，不符合题意；
当2a−2=0时，解得a=1，
此时A={0,−1}，B={1,−1,0}，符合题意．
故选：B.
根据题意可得a−2=0或2a−2=0，然后讨论求得a的值，再验证即可．
本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，f(x)+g(x)=ex+csx①，则f(−x)+g(−x)=e−x+cs(−x)=e−x+csx，
又由f(x)，g(x)分别为R上的奇函数和偶函数，则有−f(x)+g(x)=e−x+csx，②
①+②可得：g(x)=12(ex+e−x)+csx，
g(x)的导数g′(x)=12(ex−e−x)−sinx，
设h(x)=g′(x)=12(ex−e−x)−sinx，则h′(x)=12(ex+e−x)−csx，
易得h′(x)≥12×2 ex×e−x−csx=1−csx≥0，则g′(x)在R上为增函数，
在区间(0,+∞)上，有g′(x)≥g′(0)=0，则g(x)在(0,+∞)上为增函数，
又由a=−12，|a|=12，
b=lg143<0，则|b|=|lg143|=lg43>lg42=12，
c=lg312，则|c|=|lg312|=lg32>lg3 3=12，
又由|b|−|c|=lg43−lg32=lg3lg4−lg2lg3=(lg3)2−lg2lg4lg3lg4>(lg3)2−(lg2+lg42)2lg3lg4=(lg3)2−(lg 8)2lg3lg4>0，则有|b|>|c|，
即有|b|>|c|>|a|>0，
g(x)在(0,+∞)上为增函数，必有g(a)故选：C.
根据题意，由函数的奇偶性和解析式可得f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=e−x+csx，与f(x)+g(x)=ex+csx联立可得g(x)的解析式，求出g(x)的导数，利用导数与函数单调性的关系可得g(x)的单调性，由对数的运算性质分析|a|、|b|、|c|的大小关系，结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数导数与单调性的关系，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】
解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则Sn=na1+n(n−1)2d，
即Snn=a1+n−12d=d2n+a1−d2，
故{Snn}为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若{Snn}为等差数列，则可设Sn+1n+1−Snn=D，
则Snn=S1+(n−1)D，即Sn=nS1+n(n−1)D，
当n≥2时，有Sn−1=(n−1)S1+(n−1)(n−2)D，
上两式相减得：an=Sn−Sn−1=S1+2(n−1)D，
当n=1时，上式成立，所以an=a1+2(n−1)D，
则an+1−an=a1+2nD−[a1+2(n−1)D]=2D(常数)，
所以数列{an}为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故选C.
7.【答案】D
【解析】解：由题知：数列满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan=n2，
设bn=nan，{bn}的前n项和为Tn，则Tn=n2.
当n=1时，T1=b1=1，
当n≥2时，bn=Tn−Tn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
检验：当n=1时，b1=1=T1，符合，
所以bn=2n−1.
令cn=1bnbn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n项和为Sn，
则S2023=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(14045−14047)]=12(1−14047)=20234047.
故选：D.
根据题意得到bn=2n−1，再利用裂项法求和即可．
本题主要考查数列的求和，数列递推式，考查裂项求和法的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可知，S3，S6−S3，S9−S6为等比数列，
则(S6−S3)2=S3(S9−S6)，
∵S3S6=16，
∴25S32=S3S9−6S32，解得S9=31S3，
∴S9S3=31.
故选：C.
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，∵a0，b−a>0，∴1a−1b=b−aab>0，即1a>1b，故A错误，
对于B，∵ac2>bc2，c2>0，∴a>b，故B正确，
对于C，∵a>0>b，∴a2>ab，故C正确，
对于D，取c=−1，a=−2，b=−3，则ac−a=−2，bc−b=−32，且−2<−32，故D错误，
故选：BC.
利用不等式的性质逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由题意可知：函数f(x)在区间(x2,x4)，f′(x)<0，函数是单调递减，所以A正确；
x∈(x4,b)，f′(x)≥0，函数是增函数，x=x6不是函数f(x)的极小值点，所以B不正确；
x∈(x2,x4)，f′(x)<0，函数是减函数，x∈(x4,x6)，f′(x)>0，函数是增函数，函数f(x)在x=x4处取得极小值，所以C正确；
x∈(x2,x4)，f′(x)<0，函数是减函数，x∈(x1,x2)，f′(x)>0，函数是增函数，函数f(x)在x=x2处取得极大值，所以D正确；
故选：ACD.
结合导函数的图象，利用导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是基础题．
11.【答案】ABCD
【解析】解：令t= x+1≥1，得 x=t−1，则x=(t−1)2，
得f( x+1)=f(t)=2t2−3t，t≥1，
故f(x)=2x2−3x，x∈[1,+∞),故B正确；
f(3)=9，A正确；
f(x)=2x2−3x=2(x−34)2−98，
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，
f(x)min=f(1)=−1，f(x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．
故选：ABCD.
利用换元法求出f(x)的解析式，然后逐一判断即可．
本题考查了利用换元法求函数的解析式，也考查了二次函数的性质，属于基础题．
12.【答案】BD
【解析】解：对于选项B，因为a1>0，q>1，所以an=a1qn−1>0，
又T2023=a1a2⋯a2023<1，T2024=a1a2⋯a2024>1，所以a2024>1a1a2⋯a2023>1，即选项B正确；
对于选项A和D，由等比数列的性质，a1a2023=a2a2022=⋯=a1012a1012=a10122，
所以a1a2⋯a2023=a10122023<1，即a1012<1，
因为a1a2024=a2a2023=⋯=a1012a1013，
所以a1a2⋯a2024=(a1012a1013)1012>1，即a1012a1013>1，所以a1013>1，
故当n=1012时，Tn=a1a2⋯an最小，即选项A错误，选项D正确；
对于选项C，因为a1>0，q>1，所以数列{an}是单调递增数列，
所以当n<1012时，an故选：BD.
选项B，易知an>0，q>1，再由T2023<1，T2024>1，可判断a2024与1的大小关系；
选项A和D，利用等比中项的性质，可得a1012<1，a1013>1，得解；
选项C，易知数列{an}是单调递增数列，再结合a1012<1，即可判断．
本题考查等比数列的性质，熟练掌握等比中项的性质，等比数列的单调性，数列前n项积的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】48 384
【解析】解：∵数列{an}的后7项成等比数列，an>0，
∴a7= a5a9= 12×192=48，
∴a3=a52a7=12248=3，
∴公比q= a5a3= 123=2.
∴a4=3×2=6，
又该数列的前3项成等差数列，
∴数列{an}的所有项的和为3(a1+a3)2+6×(26−1)2−1=3×(1+3)2+378=384.
故答案为：48；384.
根据数列{an}的后7项成等比数列，an>0，可得a7= a5a9，a3=a52a7，可得公比q= a5a3，进而得出a4，利用求和公式即可得出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】92
【解析】解：因为正数x，y满足x+y=1，
所以x+y+1=2，
则1x+4y+1=12(1x+4y+1)(x+y+1)=12(5+y+1x+4xy+1)≥12(5+2 y+1x⋅4xy+1)=92，
当且仅当y+1x=4xy+1且x+y=1，即x=23，y=13时取等号．
故答案为：92.
由已知可得x+y+1=2，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】②④
【解析】解：对于①，因为f(x)=lga(x−1)−2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(2,−2)，故①错误；
对于②，因为不等式ax2+2x+c<0的解集为{x|x<−1或x>2}，
所以a<0−2a=−1+2=1ca=−1×2=−2，解得a=−2c=4，所以a+c=2，故②正确；
对于③，因为 x2+16≥4，令t= x2+16，则t≥4，
所以y= x2+16+9 x2+16=t+9t，
由对勾函数的性质可得y=t+9t在[4,+∞)上单调递增，所以ymin=4+94=254，故③错误；
对于④，令t=−x2−x+2，由−x2−x+2≥0可得：−2≤x≤1，所以f(x)的定义域为[−2,1]，
所以当x∈[−2,−12]时，t单调递增，u= t单调递增；当x∈[−12,1]时，t单调递减，u= t单调递减；
又因为y=(12)u为减函数，所以g(x)=(12) −x2−x+2的单调增区间为[−12,1]，故④正确．
故答案为：②④．
由对数函数的性质判断A；由一元二次不等式的解法及韦达定理判断B；由对勾函数的性质判断C；由复合函数的单调性判断D.
本题主要考查了指数函数的性质，二次不等式与二次方程关系的应用，还考查了对勾函数单调性的应用，复合函数单调性的应用，属于中档题．
16.【答案】(0,1e2)
【解析】解：函数F(x)=f(x)−m有6个零点，
等价于函数y=f(x)与y=m有6个交点，
当0≤x<1时，f(x)=x2−x2=(x−14)2−116，
当x≥1时，f(x)=x−1ex，f′(x)=2−xex，
令f′(x)>0，解得：12，
当x∈[1,2]时，f(x)递增，当x∈(2,+∞)时，f(x)递减，
f(x)的极大值为：f(2)=1e2，
作出函数f(x)的图象如下图，
y=f(x)与y=m的图象有6个交点，则0故实数m的取值范围是(0,1e2).
故答案为：(0,1e2).
将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图象的变化情况，由函数图像即可确定实数m的取值范围．
本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x>0时，函数F(x)=f(x)−m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)当a=1时，B=[1,3]，
又∵A={x|−x2+6x−5>0}={x|(x−1)(x−5)<0}=(1,5)，
∴∁UA={x|x≤1或x≥5}，
∴B∪(∁UA)=(−∞,3]∪[5,+∞)；
(2)若选①，则A⊆B，
∴2−a≤11+2a≥5，解得a≥2，
即实数a的取值范围为[2,+∞)；
若选②，由区间定义可知B≠⌀，∴2−a<1+2a，即a>13，
∴B⊆A，
∴2−a>11+2a<5，解得13综上所述，实数a的取值范围为(13,1)；
若选③，则A⊈B且B⊈A，
由①②可得，实数a的取值范围为[1,2).
【解析】(1)先求出集合B，再利用集合的基本运算求解即可；
(2)若选①，则A⊆B，进而列出不等式组，求出实数a的取值范围；若选②，由B≠⌀可得a>13，再根据B⊆A，列出不等式组，求出实数a的取值范围；若选③，则A⊈B且B⊈A，由①②可求出实数a的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组x+1>01−x>0成立的x范围，解得−1所以函数f(x)的定义域为{x|−1(2)函数f(x)为奇函数，
证明：由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，
且f(−x)=lga(−x+1)−lga(1+x)=−lga(1+x)+lga(1−x)=−[lga(1+x)−lga(1−x)]=−f(x)
所以函数f(x)为奇函数．
【解析】(1)使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组x+1>01−x>0，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；
(2)根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
本题主要考查函数定义域的求法，以及函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键
19.【答案】证明：(Ⅰ)数列{an}满足：a1=1，当n≥2时，(n−1)an2−nan−12=n(n−1)，
整理得：an2n−an−12n−1=1(常数)，
∴数列{an2n}是以1为首项，1为公差的等差数列；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，an2n=1+n−1=n，
∴an2=n2，
故an=n；
(Ⅲ)∵bn=an2n=n2n，
∴Tn=1×12+2×122+3×123+⋅⋅⋅+n⋅12n①，
12Tn=1×122+2×123+3×124+⋅⋅⋅+n⋅12n+1②，
①-②得：12T n=12+122+⋅⋅⋅+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1，
∴Tn=2−n+22n.
【解析】(Ⅰ)已知条件变形可得：an2n−an−12n−1=1，从而可证；
(Ⅱ)由(Ⅰ)结合等差数列的通项公式即可求解；
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得bn=an2n=n2n，然后利用错位相减求和即可求解．
本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，还考查了错位相减求和，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由f(x)=x−x3eax+b，x∈R，得f′(x)=1−(3x2+ax3)eax+b，
∵曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1，
∴1−13×ea+b=01−(3+a)ea+b=−1，解得a=−1b=1，
即a=−1，b=1；
(2)由(1)得，g(x)=f′(x)=1−(3x2−x3)e−x+1(x∈R)，
则g′(x)=−(6x−3x2)e−x+1+(3x2−x3)e−x+1=−x(x2−6x+6)e−x+1，
令x2−6x+6=0，解得x=3± 3，不妨设x1=3− 3，x2=3+ 3，则0由指数函数的性质可得e−x+1>0恒成立，
由g′(x)<0，得0x2；由g′(x)>0，解得x<0或x1∴g(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上单调递减，在(−∞,0)，(x1,x2)上单调递增．
可得g(x)的单调递减区间为(0,3− 3)，(3+ 3,+∞)，单调递增区间为(−∞,0)，(3− 3,3+ 3).
得函数g(x)的极大值点为0和3+ 3；极小值点为3− 3.
【解析】(1)先对f(x)求导，利用导数的几何意义得到f(1)=0，f′(1)=−1，从而得到关于a，b的方程组，解之即可；
(2)由(1)得g(x)的解析式，从而求得g′(x)，得到g′(x)<0与g′(x)>0的解，由此求得g(x)的单调区间，进一步可得g(x)的极值点．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，正确求出原函数的导函数是关键，是中档题．
21.【答案】解：(1)依题设：c(x)=klnx10，
当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：
0.7=kln2010，可得：k=1，∴c(x)=lnx10；
∴f(x)=p(x)x−c(x)−10=(−x100+10x+5150)x−lnx10−10，
化简得到f(x)=−1100x2+5150x−lnx+ln10(x≥10).
(2)由(1)得f(x)=−1100x2+5150x−lnx+ln10(x≥10)，
f′(x)=−150x+5150−1x=−(x−1)(x−50)50x，
∵x≥10，
∴x∈[10,50)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(50,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴x=50时，f(x)取得极大值也是最大值，
f(50)=−1100×502+5150×50−ln50+ln10=24.4，
∴当年产量为50台时，利润f(x)最大，最大利润是24.4万元．
【解析】(1)依题设：c(x)=klnx10，由条件当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元可得k=1，进而求出函数f(x)的表达式；
(2)求导，利用导数的正负判断函数的单调性，进而求出最值即可．
本题主要考查根据实际情况选择合适的函数模型，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=lnx+ax，函数的定义域是(0,+∞)，
f′(x)=1x−ax2=x−ax2(x>0)，
a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)递增，
a>0时，令f′(x)>0，解得x>a，令f′(x)<0，解得0故f(x)在(0,a)递减，在(a,+∞)递增，
综上，a≤0时，f(x)在(0,+∞)递增；
a>0时，f(x)在(0,a)递减，在(a,+∞)递增．
(2)若f(x)≤x在[1,+∞)恒成立，即lnx+ax≤x恒成立，
即a≤(x−lnx)x在[1,+∞)上恒成立，
令g(x)=x2−xlnx，则g′(x)=2x−1−lnx，g′′(x)=2−1x>0，
故g′(x)在[1,+∞)单调递增，
g′(x)min=g′(1)=2−1−0=1>0，则g′(x)≥1，
故g(x)在[1,+∞)单调递增，则g(x)min=g(1)=1，
则a≤1，即a的取值范围是(−∞,1].
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)问题转化为a≤(x−lnx)x在[1,+∞)上恒成立，令g(x)=x2−xlnx，根据函数的单调性求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．