2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试题

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试题，文件包含湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试题原卷版docx、湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，，的夹角为，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，点D是AB中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线AE是共面直线
C. 直线AE与直线是异面直线D. 直线AE与直线是共面直线
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 在中，已知，，，则角的值可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B 单位向量，则
C. 若点为的重心，则
D. 当时，使成立的的取值范围为
11. 已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 若相交，且都在外，，则
C. 若，且，则
D. 若，则
12. 已知函数，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 在上单调递减D. 最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 命题“，都有”的否定是___________.
14. 复数的模为__________.
15. 已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．
16. 在凸四边形中，，，，则长度范围__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知棱长为1的正方体中．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
18. 已知向量，，其中.
（1）当时，求x值的集合；
（2），求.
19. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值．
20. 某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．
（1）根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；
（2）该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积60倍以上？（参考数据：，）
21. 在锐角中，角的对边分别是，，，若
（1）求角的大小；
（2）若，求中线长的范围（点是边中点）.
22 已知函数（，且）满足.
（1）求a的值；
（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且.