专题19 圆 中考数学一轮复习专题训练（北京专用）

这是一份专题19 圆 中考数学一轮复习专题训练（北京专用），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021九上·平谷期末）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
A．3B．2C．1D．3
2．（2021九上·顺义期末）如图，AB切于⊙O点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=（ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
3．（2021九上·顺义期末）如图，在⊙O中，如果AB＝2AC ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
A．AB＝ACB．AB＝ 2ACC．AB ＞2ACD．AB ＜ 2AC
4．（2021九上·通州期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C．若∠D=30°，CD=23，则AC等于（ ）．
A．6B．4C．23D．3
5．（2021九上·东城期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）
A．70°B．50°C．20°D．40°
6．（2021九上·西城期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4B．8C．22D．42
7．（2021九上·大兴期末）如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=4，则OC的长为（ ）
A．8B．162C．42D．22
8．（2021九上·石景山期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是菱形，则∠D的度数为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
9．（2021九上·海淀期末）在△ABC中，CA=CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
10．（2022九下·北京市开学考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
二、填空题
11．（2021九上·昌平期末）若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是 （结果保留π）
12．（2021九上·平谷期末）如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为 ．
13．（2021九上·海淀期末）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧AB上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是 ．
14．（2021九上·西城期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
15．（2021八上·西城期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E、交AB于F，则BF的最大值为 ．
16．（2021九上·丰台期末）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交AB于点D，连接CD，经测量AB=8cm，CD=2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 cm．
17．（2021九上·昌平期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为
18．（2021九上·西城期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2−AD2=CD2．若AB=213，BC=4，则BD长的最小值为 ．
19．（2021九上·燕山期末）已知点A、B、C、D在圆O上，且FD切圆O于点D，OE⊥CD于点E，对于下列说法：①圆上AbB是优弧；②圆上AbD是优弧；③线段AC是弦；④∠CAD和∠ADF都是圆周角；⑤∠COA是圆心角，其中正确的说法是 ．
20．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标xOy中，已知点P(−5，2)，M(−5，3)，⊙P的半径为1，直线l：y=ax，给出以下四个结论：①当a=1时，直线l与⊙P相离；②若直线l是⊙P的一条对称轴，则a=−25；③若直线l是⊙P只有一个公共点A，则OA=27；④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得∠MBN=90∘，则a的最小值为−34，其中所有正确的结论序号是 ．
三、综合题
21．（2022·朝阳模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q，与AC相交于点M，CD是⊙O的切线．
（1）求证：∠Q＝∠DCQ；
（2）若sin∠Q＝35，AP＝4，MC＝6，求PB的长．
22．（2022·门头沟模拟）如图， AB 是 ⊙O 的直径，点D、E在 ⊙O 上， ∠A=2∠BDE ，过点E作 ⊙O 的切线 EC ，交 AB 的延长线于C．
（1）求证： ∠C=∠ABD ；
（2）如果 ⊙O 的半径为5. BF=2 ．求 EF 的长．
23．（2021九上·燕山期末）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，点A、C在⊙O上，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O切线；
（2）若AE=4，CD=6，求⊙O的半径和AD的长．
24．（2021九上·东城期末）如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝25，求线段AB的长．
25．（2022九下·北京市开学考）在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)和点B(c，d)．给出如下定义：以AB为边，作等边三角形ABC，按照逆时针方向排列A，B，C三个顶点，则称等边三角形ABC为点A，B的逆序等边三角形．例如，当a=−1，b=0，c=3，d=0时，点A，B的逆序等边三角形ABC如图①所示．
（1）已知点A(-1，0)，B(3，0)，则点C的坐标为 ；请在图①中画出点C，B的逆序等边三角形CBD，点D的坐标为 ．
（2）图②中，点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，求点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C的横坐标取值范围．
（3）图③中，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，点B在以N(3，0)为圆心2为半径的圆上，且点B的纵坐标d>0，点A，B的逆序等边三角形ABC如图③所示．若点C恰好落在直线y=x+t上，直接写出t的取值范围．
26．（2021九上·昌平期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长
27．（2021九上·大兴期末）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点．以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若PC是⊙O的切线，BC=8，求PC的长．
28．（2022·平谷模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．
（1）求证：∠DCB＝∠DOF；
（2）若tan∠A＝ 12 ，BC＝4，求OF、DF的长．
29．（2021九上·朝阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．
（1）求证：BO平分∠ABC；
（2）若∠A=30°，AE=1，求BO的长．
30．（2021九上·西城期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=8，求BD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴CE=12CD=12×8=4，
∵AO=CO=5，
∴OE=CO2−CE2=52−42=3，
∴AE=5−3=2；
故答案为：B．
【分析】连接OC，根据垂径定理可得CE=4，再利用勾股定理求出OE的长，然后利用AE=OA-OE计算即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
∴∠AOB=50°（直角三角形中的两个锐角互余），
又∵点C在AO的延长线上，且在⊙O上，
∴∠C=12∠AOB=25°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）．
故答案为：B．
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠ABO=90°，再利用三角形的内角和求出∠AOB=50°，最后利用圆周角的性质可得∠C=12∠AOB=25°。
3．【答案】D
【解析】【解答】如图，取弧AB的中点D，连接AD，BD，
则AB＝2BD ＝2AD
∵AB＝2AC
∴BD ＝AD=AC
∴AD=BD=AC．
在ΔABD中，AD+BD>AB，
∴AC+AC>AB，即AB<2AC．
故答案为：D．
【分析】取弧AB的中点D，连接AD，BD，则AB＝2BD ＝2AD，由条件得出AB＝2AC ，得出BD ＝AD=AC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出AD=BD=AC，又在ΔABD中，AD+BD>AB，根据三角形三边关系定理得出AC+AC>AB，即可得出答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：连结BC，OC，
∵CD为切线，
∴OC⊥DC，
在Rt△DOC中，
∵∠D=30°，CD=23，
∴OC=CDtan∠OAC=23×33=2，
∴OB=OA=OC=2，∠DOC=90°-∠D=90°-30°=60°
∴∠A=∠OCA=12∠DOC=30°
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°
在Rt△ABC中，
∵AB=2OA=4，∠A=30°，
∴AC=ABcs30°=4×32=23．
故答案为：C．
【分析】连结BC，OC，根据切线的性质以及含30度角的直角边等于斜边的一半，即可得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故答案为：D．
【分析】连接OA、OB，根据切线长的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再利用圆周角的性质求出∠AOB=2∠P=140°，最后利用四边形的内角和求出∠P即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，∠BOE=45°
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴BE=OB22=422=22，
∴BC=2BE=42，即正方形ABCD的边长是42．
故答案为：D
【分析】连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，利用勾股定理得出BE的值，从而得出答案。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，连接CP，
∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，
∴∠CPO=90°，∠COP=45°，
∴∠PCO=∠COP=45°，
∴CP=OP=4，
∴OC=CP2+OP2=42，
故答案为：C．
【分析】连接CP，根据且切线长定理可得∠PCO=∠COP=45°，再利用勾股定理可得OC=CP2+OP2=42。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC=β；
∴ ∠ADC=12β；
∵ 四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴α+β=180°，
∴α+β=180°α=12β，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质可得∠ABC=∠AOC=β，再利用圆周角的性质可得∠ADC=12β，再根据圆内接四边形的性质可得α+β=180°α=12β，再求出β=120°，α=60°，即可得到答案。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：连接CO，
∵CA=CB，点O为AB中点．
∴CO⊥AB
∵CO为⊙C的半径，
∴AB是⊙C的切线，
∴⊙C 与AB的位置关系是相切
故答案为：B
【分析】连接CO，根据直线与圆的位置关系即可得出答案。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
故答案为：B．
【分析】先利用圆周角得到∠ACB＝90°，再求出∠A＝90°﹣∠ABC＝30°，最后利用圆周角的性质可得∠D＝∠A＝30°。
11．【答案】23π
【解析】【解答】解：依题意，n=60°，r=2，
∴扇形的弧长=nπr180°=60π×2180°=23π．
故答案为：23π．
【分析】利用弧长公式计算即可.
12．【答案】35°
【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对AB，且∠AOB=70°，
∴∠C=12∠AOB=35°，
故答案为：35°．
【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可。
13．【答案】70°
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=40°，
∴∠AOB=360°－90°－90°－40°=140°，
∴∠Q=12∠AOB=70°，
故答案为：70°．
【分析】连接OA、OB，先根据切线的性质和四边形的内角和求出∠AOB，再利用圆周角的性质可得∠Q=12∠AOB=70°。
14．【答案】（2，1）
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，即可得出答案。
15．【答案】83
【解析】【解答】如图所示：
本题实际上相当于，以F为圆心，AF为半径作一个圆F，
当⊙F与CD相切或相交时，使AF=DF=半径，
据题意，当AF逐渐增大时，到⊙F与BC相切时，
即为AF最小值，即BF最大值，
此时，FD⊥BC， 2FD=FB，
∴AF：BF=1：2，
∵∠ACB=90°，∠B=30°， AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BF=23AB=23×4=83，
故答案为：83．
【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD，从而通过圆与BC相切来解决问题。
16．【答案】5
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝12AB＝4cm，
根据勾股定理得：OC2＋BC2＝OB2，即：（OB−2）2＋42＝OB2，
解得：OB＝5；
故轮子的半径为5cm．
故答案为：5．
【分析】设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC＝12AB＝4cm，根据勾股定理得（OB−2）2＋42＝OB2，解得OB的值，即可得出答案。
17．【答案】3
【解析】【解答】解：∵ AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，
∴CH=12CD=4，OC=12AB=5
在Rt△OHC中，OH=OC2−CH2=52−42=3
故答案为：3
【分析】根据垂径定理及直径AB=10，可得CH=12CD=4，OC=12AB=5，在Rt△OHC中，利用勾股定理求出OH即可.
18．【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，取AC中点O，
∵AC2−AD2=CD2，即AC2=AD2+CD2，
∴∠ADC=90°，
∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，
作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于D1，则BD长的最小值即为BD1，
∵AB=213，BC=4，∠ACB=90°，
∴AC=AB2−BC2=6，
∴OC=OD1=12AC=3，
∴OB=OC2−BC2=5，
∴BD1=OB−OD1=2，
故答案为：2．
【分析】取AC中点O，得出点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于D1，则BD长的最小值即为BD1，利用勾股定理得出答案。
19．【答案】①②③⑤
【解析】【解答】解：AbB，AbD都是大于半圆的弧，故①②符合题意，
∵A，C在圆上，则线段AC是弦；故③符合题意；
∵C，A，D都在圆上，
∴∠CAD是圆周角
而F点不在圆上，则∠ADF不是圆周角
故④不符合题意；
∵O是圆心，C，A在圆上
∴∠COA是圆心角
故⑤符合题意
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理判断即可。
20．【答案】①②③
【解析】【解答】解：①将 a=1代入直线 l：y=ax得，
直线 l：y=x的图像在第一、三象限，
又 P(−5，2)，⊙P的半径为1，
∴⊙P的图像在第二象限，
∴当 a=1时，直线l与⊙P相离，
故①符合题意．
②若直线l是⊙P的一条对称轴，
则直线l必过点⊙P的圆心 P(−5，2)，
∴2=a·(−5)
解得： a=−25，
故②符合题意．
③若直线l与⊙P只有一个公共点A，
则直线l与⊙P相切，
∴OP2=OA2+12，
又 P(−5，2)，O(0，0)，
∴[0−(−5)]2+(0−2)2=OA2+12
解得： OA=27，
故③符合题意．
④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得 ∠MBN=90∘，
则点 M、点 P、点 N在⊙P的一条直径上（直径所对的圆周角是直角），
如图，作 ⊙P的两条切线，切点分别为 B，D，当a值最小时，则 y=ax与圆相切与点 B，则直线 OB的解析式即为所求，
取 OP的中点 C，则 C(−52，1)
∵P(−5，2)
∴OP=52+22=29
∵OB是圆 P的切线，
∴PB⊥OB
∴CB=12PC=292
∵⊙P的半径为1
∴PB=1
设 B(m，n)
∴PB2=(m+5)2+(n−2)2， CB2=(m+52)2+(n−1)2
∴(m+5)2+(n−2)2=1， (m+52)2+(n−1)2=294
即 m2+n2+10m−4n=−28m2+n2+5m−2n=0
整理得： m2+n2=282n−5m=28
解得 m1=−140−4729，m2=−140+4729
由图可知， B点的横坐标为 −140+4729
将 m=−140+4729代入 2n−5m=28
解得 n=107+5629
∴B(−140+4729，107+5629)
代入直线 y=ax，则 a=57+2827−70=−1015+20372436>−34
故④不符合题意．
故答案为：①②③．
【分析】①根据点 P(−5，2)，M(−5，3)，当a=1时，直线l：y=ax，根据直线和圆的关系进而判断；②若直线l是⊙P的一条对称轴，则直线l必过点⊙P的圆心 P(−5，2)，代入y=ax，即可判断；③若直线l与⊙P只有一个公共点A，则直线l与⊙P相切，再根据勾股定理进行计算即可判断；④若直线l上存在点B，⊙P上存在点N，使得 ∠MBN=90∘，作 ⊙P的两条切线，切点分别为 B，D，当a值最小时，则 y=ax与圆相切与点 B，则直线 OB的解析式即为所求，从而得解。
21．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠DCQ+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠DCQ+∠B＝90°，
∵QP⊥AB，
∴∠B+∠Q＝90°，
∴∠Q＝∠DCQ；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPB＝90°，
∴∠Q+∠B＝90°，
∴∠A＝∠Q，
∵sin∠Q=35，
∴sin∠A＝PMAM＝35，
∴设PM＝3a，AM＝5a，
∴AP＝AM2−PM2＝4a，
∵AP＝4，
∴4a＝4，
∴a＝1，
∴AM＝5，
∴AC＝11，
在Rt△ACB中，sin∠A＝BCAB＝35，
∴设BC＝3k，AB＝5k，
∴AC＝4k＝11，
∴k＝114，
∴AB＝554，
∴PB＝AB﹣AP＝394．
【解析】【分析】 （1）连接OC， 根据切线的性质和垂直的定义即可得到结论；
（2）根据圆周角定理和解直角三角形即可得到结论。
22．【答案】（1）证明：如图1，连接OE，
∵ AB是⊙的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠A＋∠ABD＝90°
∵CE是⊙的切线
∴OE⊥CE
∴∠OEC＝90°
∴∠C＋∠COE＝90°
∵∠A＝2∠BDE，∠COE＝2∠BDE
∴∠C＝∠ABD
（2）解：如图2，连接BE，
解：设∠BDE＝α，∴∠ADF＝90°﹣α，∠A＝2α，∠DBA＝90°﹣2α，
在△ADF中，∠DFA＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，
∴∠ADF＝∠DFA，
∴AD＝AF＝AO+OB－BF＝8，
∴AD＝AF＝8
∵∠ADF＝∠AFD，∠ADF＝∠FBE，∠AFD＝∠BFE，
∴∠BFE＝∠FBE，
∴BE＝EF，
由（1）知，∠A＝2∠BDE＝∠COE，
∵∠BED＝∠A，
∴∠BEF＝∠COE，
∵∠FBE＝∠OBE，
∴△BEF∽△BOE，
∴EFOE=BFBE
∴EF5=2EF
∴EF＝ 10 ，
故EF的长为 10 ．
【解析】【分析】（1）先证明∠A＋∠ABD＝90° ，∠C＋∠COE＝90°，再结合∠A＝2∠BDE，∠COE＝2∠BDE，即可得到∠C＝∠ABD；
（2）连接BE，先证明△BEF∽△BOE，可得EFOE=BFBE，再将数据代入可得EF5=2EF，最后求出EF的长即可。
23．【答案】（1）证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴OD=OF2+DF2=42+32=5，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴AD=AE2+DE2=42+22=25，
∴AD的长是25．
【解析】【分析】（1）连接OA，利用角平分线的性质得出∠ADE=∠ADO，再根据OA=OD，得出OA⊥AE，由此得出结论；
（2）取CD中点F，连接OF，得出四边形AEFO是矩形，在Rt△OFD中，OF=AE=4，利用勾股定理得出OD的值，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，再利用勾股定理得出AD的值即可。
24．【答案】（1）证明：∵BA＝BP，
∴∠BPA＝∠BAP．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°．
∴∠OPC＋∠OCP＝90°．
∵∠APB＝∠OPC，
∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝25，
∴OP＝PC2−OC2=2．
设AB＝x，则OB＝x＋2．
在Rt△AOB中，x2+42=(x+2)2，
∴x＝3，即AB＝3．
【解析】【分析】（1）通过角的等量代换证明∠OAB＝90°，即可得到AB为⊙O的切线；
（2）先利用勾股定理求出OP的长，设AB＝x，则OB＝x＋2，再利用勾股定理列出方程x2+42=(x+2)2求解即可。
25．【答案】（1）(1，23)；(5，23)
（2）解：如图2，以MB为边作等边三角形△MM'B，以M'为圆心1为半径作⊙M'，
∵点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，
∴点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C在⊙M'
∴xM'=−2+32=12
∵⊙M'的半径为1
∴12−1≤xC≤12+1
即−12≤xC≤32
（3）解：323−2+12【解析】【解答】(1)过点 C作 CE⊥x轴于点 E，作出点C，B的逆序等边三角形CBD，如图1，
∵A(−1，0)，B(3，0)， △ABC是等边三角形
∴AE=BE=12AB=12|3−(−1)|=2， CE=3AE=23
∴E(1，0)， C(1，23)
∵△ABC，△BCD是等边三角形
∴∠DCB=∠ABC=60°， AB=AC=BC=CD=BD
∴CD=AB，CD∥AB
∴D(5，23)
故答案为： (1，23)， (5，23)
(3)如图3，
设 ⊙N与 x轴交于点 G，以 GM为边向上作等边三角形 △MGH，以点 H为圆心1为半径，作 ⊙H，设直线 y=x为 l1， y=x+t为 l2，过点 H作 HJ⊥l1，交 x轴于点 J，交 l1于点 S，交 l2于点 L，过点 H，作 HI⊥x轴于点 I，设 l2与 x轴的交点为 T，则 OT=t
根据题意，当 C点在第二象限时，能找到 t的最小值，根据定义可知， B点与 G点重合时， A点在 ⊙M上运动，则 C点在 ⊙H上运动，当 l2与 ⊙H相切时， t最小，
∵M(−2，0)， N(3，0)， ⊙M的半径为1， ⊙N的半径为2，
∴OM=2，OG=3−2=1
∴MG=3
∴HI=332 ， MI=12MG=32
∴I(−12，0)
∴H(−12，332)
∵l1与 x轴的夹角为45°， HJ⊥l1， HI⊥x轴，
∴△HIJ是等腰直角三角形
∴HI=IJ
∴HJ=2HI=332×2=362
∵OI=12
∴OJ=332−12
∴J(332−12，0)
∴LJ=HJ−HL=362−1
∵l1∥l2
∴△LTJ是等腰直角三角形
∴TJ=2LJ=(362−1)2=33−2
∵OJ=332−12
TO=TJ−JO=33−2−(332−12)=332−2+12
即 t的最小值为 332−2+12，
∵B的纵坐标 d>0，
则 t>332−2+12
如图4，作 M，N的逆序等边三角形 MNP'，以 P'为圆心，1为半径作 ⊙P'，则 PP'=AM=1，连接 AM，PP'
∵△ANP，△MNP'是等边三角形，
∴AN=NP，MN=NP'，∠ANP=∠MNP'=60°
∴∠PNP'=∠ANM
∵△PP'N≌△AMN
∴当 P，P'，Q共线时候， t最大
以 P为圆心，2为半径作半圆 P，当直线 y=x+t与半圆 P相切时，设切点为 Q，当 C点与 Q点重合时，即可取得 t的最大值，最大值即为 T'O的长，
∵M(−2，0)，N(3，0)
∴P'(12，532)
过点 P'作 P″P'⊥x轴于点 P″，如图，
∴P″P'=P″R=532
∴R(12+532，0)
∴QR=QP'+P'R=2+1+2P'P″=3+562
∴RT'=2QR=32+53
∴T'O=RT'−OR=32+53−(12+532)=532+32−12
即 t的最大值为 532+32−12
综上所述， 323−2+12【分析】（1）解等边三角形，求得点C的坐标，进而根据平移得出D的坐标；
（2）以MB为边作等边三角形△MM'B，以M'为圆心1为半径作⊙M'，由点B(3，0)，点A在以点M(-2，0)为圆心1为半径的圆上，得出点A，B的逆序等边三角形ABC的顶点C在⊙M'由此得解；
（3）找出大圆上一点，绕着该点，将小圆的圆心旋转60度时圆心位置最低时，直线y=x+t与旋转后的圆切在下方时从而求得最小值；在小圆上找到一点，将大圆绕该点旋转60度，使新圆的圆心位置最高，y=x+t且在新圆的上方，求得t的最大值即可。
26．【答案】（1）证明：连接OC
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB＝90°
∴∠OBC＋∠BCD＝90°
∴∠OCB＋∠BCD＝90°
∵∠BCP＝∠BCD，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°
∴OC⊥CP
∴CP是⊙O的切线
（2）解：∵AB⊥CD于点E，
∴E为CD中点
∵O为GD中点，
∴OE为△DCG的中位线
∴GC＝2OE＝6，OE∥GC
∵AO∥GC
∴△GCF∽△OAF
∴GCOA=GFOF
即65=GFOF
∵GF＋OF＝5，
∴OF＝2511
【解析】【分析】（1）连接OC，求出∠OCP=90°，根据切线的判定定理即可证明；
（2）由垂径定理可得E为CD中点 ，从而求出OE为△DCG的中位线，可得GC＝2OE＝6，OE∥GC，根据平行线△GCF∽△OAF，可得GCOA=GFOF ，结合GF+OF=5，即可求解.
27．【答案】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
∵ OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，
∴∠OPC=90°．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2
∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22
=32
∴PC=42．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得AD⊥BD，再结合BD是⊙O直径，即可得到AD是⊙O的切线；
（2）连接OP，先求出OC的长，再利用切线的性质，可得∠OPC=90°，再利用三角形的勾股定理求出PC的长即可。
28．【答案】（1）证明：如图所示，连接OC，
∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，
∴∠DCB=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，
∵OF∥AC ，
∴∠DOF=∠OAC，
∴∠DOF=∠DCB；
（2）解：设OF与BC交于点G，
∵OF∥AC ，
∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°
∴BGBC=OBAB=OGAC=12 ，∠CGF=90°
∴BG=12BC=2 ，
∴CG=2，
∵∠BCD=∠OAC， tan∠A=12 ，
∴tan∠FCG=tan∠A=FGCG=12=BCAC ，
∴GF=12CG=1，AC=2BC=8 ，
∴OG=12AC=4 ， CF=GF2+CG2=5 ，
∴OF=OG+GF=5 ，
同理可证△OFD∽△ACD，
∴DFDC=OFAC ，
∴DFDF+5=58 ，
∴DF=553 ．
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA=∠DCB，再结合OF//AC可得∠DOF=∠OAC，即可得到∠DOF=∠DCB；
（2）先利用解直角三角形求出OG和CF的长，再利用线段的和差求出OF的长，然后根据△OFD∽△ACD，可得DFDC=OFAC，再将数据代入可得DFDF+5=58，最后求出DF的长即可。
29．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O与AB相切，
∴∠ODB=90°，
在Rt△BDO与Rt△BCO中，
DO=COBO=BO，
∴Rt△BDO≅Rt△BCO(HL)，
∴∠DBO=∠CBO，
∴BO平分∠ABC；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD=OE=OC=x，
在Rt△ADO中，∠A=30°，AE=1，
∴2x=1+x，
解得：x=1，
∴AC=1+1+1=3，
在Rt△ACB中，tanA=BCAC，即BC=AC⋅tan30°=3×33=3，
在Rt△BCO中，BO=CO2+BC2=12+(3)2=2．
【解析】【分析】（1）连接OD，利用HL证出Rt△BDO≅Rt△BCO，得出∠DBO=∠CBO，即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为x，则OD=OE=OC=x，在Rt△ADO中，∠A=30°，AE=1，列出方程，解之得出x的值，在Rt△ACB中，tanA=BCAC，可得出BC的值，在Rt△BCO中，利用勾股定理即可得出BO的值。
30．【答案】（1）证明：连接OD，
∵D是AC的中点，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOD=∠ABC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，交OD于点F，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=AB2−BC2=102−82=6，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF=3，
∴OF=OA2−AF2=52−32=4，
∴DF=5-4=1，
∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE=CF=3，CE=DF=1，
∴CD=32+12=10，
∴AD=CD=10，
∵∠ADB=90°，
∴BD=AB2−AD2=102−(10)2=310
【解析】【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得出DE⊥OD，即可得出结论；
（2）连接AC，交OD于点F，根据勾股定理得出AC、OF的值，推出四边形DFCE是矩形，再利用勾股定理得出CD的值，由此得出结论