专题08 分式方程-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练（导图+知识点+新题检测）

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知识点01：解分式方程
【高频考点精讲】
1．解分式方程的步骤
（1）去分母。方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
（2）去括号。系数分别乘以括号里的数。
（3）移项。含有未知数的式子移到方程左边，常数移到方程右边。
（4）合并同类项。
（5）系数化为1。
（6）检验。把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；如果最简公分母不等于0，这个根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程无解。
2．换元法解分式方程
（1）将原分式方程中含有字母的整体用另一个字母代替，从而使问题得到简化，这种方法叫做换元法。
（2）常见类型
①直接换元。例如，设。
②配方换元。例如，原方程配方，得，设。
③倒数换元。例如，设。
④变形换元。例如，可变形为，设。
知识点02：由实际问题抽象出分式方程
【高频考点精讲】
1．利用常见数量关系确定等量关系。例如行程问题中的相遇时间、追击时间相等。
2．利用关键词确定等量关系。例如“倍”“多”“少”等。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.56
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023•哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
解：分式方程去分母得：2x+2＝3x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故选：C．
2．（2分）（2023•德州）某次列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为
B．若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为
C．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为
D．若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，则可列方程为
解：①∵该次列车平均提速v千米/小时，且提速后这次列车的平均速度为x千米/小时，
∴提速前这次列车的平均速度为（x﹣v）千米/小时．
根据题意得：＝；
②∵该次列车平均提速v千米/小时，且提速前这次列车的平均速度为y千米/小时，
∴提速后这次列车的平均速度为（y+v）千米/小时．
根据题意得：＝．
故选：B．
3．（2分）（2023•大连）解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1+3＝3x（1﹣x）B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3xD．1+3（x﹣1）＝3x
解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
4．（2分）（2023•深圳）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
解：∵每辆大货车的货运量是x吨，
∴每辆小货车的货运量是（ x﹣5）吨，
依题意得：＝．
故选：B．
5．（2分）（2023•聊城）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且≠1
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
6．（2分）（2023•广元）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
解：∵走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，
∴走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时．
根据题意得：﹣＝．
故选：A．
7．（2分）（2023•东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A．﹣＝0.4B．﹣＝0.4
C．﹣＝0.4D．﹣＝0.4
解：由题意得：﹣＝0.4．
故选：A．
8．（2分）（2023•云南）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：∵乙同学的速度是x米/分，
则甲同学的速度是1.2x米/分，
由题意得：，
故选：D．
9．（2分）（2023•辽宁）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车的速度是x km/h，所列方程正确的是（ ）
A．+1＝B．﹣1＝
C．＝D．＝
解：设慢车的速度为x km/h，
根据题意可列方程为：﹣1＝．
故选：B．
10．（2分）（2023•黑龙江）已知关于x的分式方程+1＝的解是非负数．则m的取值范围是（ ）
A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠﹣2D．m＜2且m≠﹣2
解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
解得：x＝，
由分式方程的解是非负数，得到≥0，且﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•青岛）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ＝2× ．
解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元，
∴乙种劳动工具单价为（x+4）元．
根据题意得：＝2×．
故答案为：＝2×．
12．（2分）（2023•苏州）分式方程的解为x＝ ﹣3 ．
解：方程两边乘3x，得，
3（x+1）＝2x，
解得，
x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3x≠0，
所以，原分式方程的解为：x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（2分）（2023•永州）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 x＝4 ．
解：∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴x﹣4＝0，
∴x＝4，
故答案为：x＝4．
14．（2分）（2023•绵阳）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠儿”．端午节，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180km的古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5h到达，则原计划的速度v为 60 km/h．
解：根据题意得：＝+0.5，
解得v＝60，
经检验，v＝60是原方程的解，
∴原计划的速度v为60km/h；
故答案为：60．
15．（2分）（2023•建华区三模）若关于x的分式方程﹣1＝有正数解，求m的取值范围 m＜﹣且m≠﹣ ．
解：分式方程两边同时乘以x（x﹣3），得
（2m+x）x﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
整理，得（2m+1）x＝﹣6，
解得x＝﹣，
∵方程有正数解，
∴＜0，
解得m＜﹣，
∵x≠0，x≠3，
∴≠3，则m≠﹣，
∴m的取值范围是m＜﹣且m≠﹣，
故答案为：m＜﹣且m≠﹣．
16．（2分）（2023•南海区模拟）分式方程的解是 x＝ ．
解：去分母得：x+2﹣1＝6﹣2x，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝．
故答案为：x＝．
17．（2分）（2023•高新区模拟）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 a≥﹣2且a≠1 ．
解：，
去分母，得x＝a﹣2（x﹣1）．
去括号，得x＝a﹣2x+2．
移项，得x+2x＝a+2．
合并同类项，得3x＝a+2．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴≥0且≠1．
∴a≥﹣2且a≠1．
故答案为：a≥﹣2且a≠1．
18．（2分）（2023•眉山）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 m≥﹣5且m≠﹣3 ．
解：，
去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，
去括号移项得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，
合并同类项得：﹣x＝﹣5﹣m，
系数化为1得：x＝5+m，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，即5+m≠2，
∴m≠﹣3，
∵解为非负数，
∴x＝5+m≥0，
∴m≥﹣5，
∴m≥﹣5且m≠﹣3．
故答案为：m≥﹣5且m≠﹣3．
19．（2分）（2023•重庆）若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程+＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 13 ．
解：解不等式组，
得：，
∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，
∴﹣≥﹣2，
∴a≤5，
解分式方程+＝2，
得y＝，
∵y＞0且y≠1，
∴＞0且≠1，
∴a＞﹣2且a≠1，
∴﹣2＜a≤5，且a≠1，
∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，
∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．
故答案为：13．
20．（2分）（2023•沙坪坝区校级二模）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为 35 ．
解：，
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≥a﹣5，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，
∴a﹣5≤2，
∴a≤7，
，
去分母得：5y﹣a＝﹣2（y﹣2）+3y+1，
5y﹣a＝﹣2y+4+3y+1，
∴y＝≥0，
∴a≥﹣5，
∴﹣5≤a≤7，
∵y≠2，
∴≠2，
∴a≠3，
∵关于y的分式方程的解为非负整数，
∴5+a＝0或5+a＝4或5+a＝8或5+a＝12，
∴a＝﹣5或﹣1或7，
∴所有满足条件的整数a的值之积为：﹣1×（﹣5）×7＝35．
故答案为：35．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023•镇江）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式组：．
解：（1）方程两边同时乘以（x+3），
得2x+1＝1+x+3，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，x+3≠0，
∴x＝3是原方程的解；
（2），
解不等式①，得x＜2，
解不等式②，得x≥1，
∴原不等式组的解集是1≤x＜2．
22．（6分）（2023•南通）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
信息二
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
解：（1）根据题意得：＝，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为600；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，
根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，
解得：m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m），
即w＝1400m+48400，
∵1400＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．
23．（8分）（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？
解：设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，
答：原计划平均每天制作200个摆件．
24．（8分）（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．
乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示 B型玩具的单价 ，乙所列方程中的x表示 A型玩具的数量
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？
解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；
故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个，
根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350，
a≤116，
∴整数a最大值是116，
答：最多可购进A型玩具116个．
25．（8分）（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得：，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
26．（8分）（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，
由题意得：＝×2，
解得：a＝10，
经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，
a﹣1＝9，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①由题意得：，
解得：120≤x≤210，
∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，
当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，
当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，
∵3＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，
∵3630＞3480，
∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
27．（8分）（2023•济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元．
根据题意：，
解这个方程，得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的根，
∴x﹣200＝300，
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台，
购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，
由题意得：40﹣m≤3m，
解得：m≥10，
w＝500×0.8•m+300×0.8（40﹣m），
即：w＝160m+9600，
∵160＞0
∴w随m的减小而减小．
当m＝10时，w取得最小值11200，
∴40﹣m＝30
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
28．（8分）（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型机床的单价低于B型机床的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）工程队
每天施工面积（单位：m2）
每天施工费用（单位：元）
甲
x+300
3600
乙
x
2200
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．