2022-2023学年浙江省杭州十一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州十一中高一（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若iz=(1−2i)2，则z=( )
A. 4+3iB. 4−3iC. −4+3iD. −4−3i
2.有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点．
其中正确的有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
3.设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性( )
A. 与ω有关，且与ϕ有关B. 与ω有关，但与ϕ无关
C. 与ω无关，且与ϕ无关D. 与ω无关，但与ϕ有关
4.已知π2<α<π，则 1−2sin(π2+α)sin(π−α)的化简结果是( )
A. sinα−csαB. sinα+csαC. sinαD. −csα
5.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若a/​/b且b/​/c，则a/​/c
B. 若a⋅b=a⋅c，且a≠0，则|b|=|c|
C. (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
D. (a⋅b)c=a(b⋅c)
6.在△ABC和△A1B1C1中，若csA=sinA1，csB=sinB1，csC=sinC1，则( )
A. △ABC与△A1B1C1均是锐角三角形
B. △ABC与△A1B1C1均是钝角三角形
C. △ABC是钝角三角形，△A1B1C1是锐角三角形
D. △ABC是锐角三角形，△A1B1C1是钝角三角形
7.已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当PB⋅PC=−23时，PE=( )
A. −13AB+23ACB. −13AB+16ACC. −16AB+13ACD. −23AB+13AC
8.将函数y=sinx的图象向右平移π6个单位长度，再将横坐标缩短为原来的1ω(ω>0)得到函数y=f(x)的图象.若y=f(x)在[0,π3]上的最大值为ω5，则ω的取值个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法中(其中i为虚数单位)，正确的是( )
A. i9=i
B. 复数z=3−2i的虚部为2i
C. 若z=(1−i)2，则复平面内z−对应的点位于第二象限
D. 复数z为实数的充要条件是z=z−
10.下列说法中不正确的为( )
A. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53,+∞)
B. 向量e1=(2,−3)，e2=(12,−34)不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若a⋅b=0，则a⊥b
D. 非零向量a和b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为60°
11.提鞋(斜)公式，也叫李善兰辅助角公式，是我国19世纪著名数学家李善兰先生提出的一种高等三角函数公式，其正弦型如下：asinx+bcsx= a2+b2sin(x+φ)，其中−π<φ≤π.若tanφ0=|ba|，φ0∈(0,π2)，则下列判断正确的是( )
A. 当a>0，b>0时，φ=φ0B. 当a<0，b>0时，φ=φ0−π
C. 当a>0，b<0时，φ=−φ0D. 当a<0，b<0时，φ=π−φ0
12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t=0，盛水筒M位于点P0(3,−3 3)，经过t秒后运动到点P(x,y)，点P的纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2)，则下列叙述正确的是( )
A. 筒车转动的角速度ω=π60
B. 当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为−2
C. 当筒车旋转100秒时，盛水筒M和初始点P0的水平距离为6
D. 筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为______．
14.已知sinx−csx= 55，则cs(2x+π2)= ______．
15.圭表(如图甲)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)，当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角(即∠ABC)大约为15°，夏至正午时太阳高度角(即∠ADC)大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为______.(注：sin15°= 6− 24)
16.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB⋅AC=6AO⋅EC，则ABAC的值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边作角α，已知角α的终边与单位圆相交于点A(在x轴上方).再以OA为始边，逆时针旋转π4交单位圆于点B，若A点的横坐标为 210．
(1)求B点的横坐标；
(2)求线段AB的长度．
18.(本小题12分)
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调增区间及对称轴．
19.(本小题12分)
已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；若e1=(2,1)，e2=(2,−2)，求BC的坐标；
(2)已知点D(3,5)，在(1)的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．
20.(本小题12分)
如图，在正△ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P．
(1)用BA，BC表示BP；
(2)求证：BP⊥CD．
21.(本小题12分)
已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c(sinC− 3sinB)=(a−b)(sinA+sinB)．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为 3，sinB=1+csC，点D为边BC的中点，求AD的长．
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+asinCcsB+bsinCcsA=bsinB+csinA．
(1)求角B的大小；
(2)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围；
(3)若b2=ac，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求PA⋅PB的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：z=(1−2i)2i=−3−4ii=3i−4．
故选：C．
根据复数的四则运算，计算即可．
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；
对于②：该多面体的侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；
对于③：该六面体的侧棱延长后有可能不相交于一点，该几何体不一定为棱台，③错误；
对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确．
故选：B．
根据题意，由棱台的定义和结构特征分析4个命题，即可得答案．
本题考查棱台的结构特征，涉及棱台、棱锥的关系，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，
则f(x)的奇偶性与φ有关，与ω无关；
∵φ=kπ，k∈Z时，f(x)为奇函数；
φ=kπ+π2，k∈Z时，f(x)为偶函数；
否则，f(x)为非奇非偶的函数．
故选：D．
根据正弦型函数的图象与性质，知f(x)的奇偶性与φ有关，与ω无关．
本题考查了正弦型函数的奇偶性问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：π2<α<π，
则sinα>0，csα<0，
∴ 1−2sin(π2+α)sin(π−α)= 1−2csα⋅sinα=|sinα−csα|=sinα−csα．
故选：A．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数的同角公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：A．b=0，a,c不共线时，满足a//b,b//c，得不出a/​/c，A错误；
B.∵a⋅b=a⋅c，∴|a||b|cs=|a||c|cs，且|a|≠0，
∴|b|cs=|c|cs，得不出|b|=|c|，B错误；
C.根据向量数量积的运算法则，(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c正确；
D.a⋅b≠0,b⋅c≠0且a与c不共线时，(a⋅b)c≠a(b⋅c)，D错误．
故选：C．
A.b=0，a与c不共线时，得不出a/​/c，从而得出A错误；B.根据条件得出|b|cs=|c|cs，从而可判断B的正误；根据数量积的运算法则可判断C的正误；a,c不共线时，可判断出D的正误．
本题考查了平行向量的定义，向量数量积的运算法则，向量数量积的计算公式，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC和△A1B1C1中，若csA=sinA1，csB=sinB1，csC=sinC1，
对于A：当△ABC为锐角三角形时，sinA1=csA>0，sinB1=csB>0，sinC1=csC>0，所以A、B、C都为锐角，即△ABC为锐角三角形，另一方面，sinA1=csA=sin(π2−A)>0，可得A+A1=π2，或π2−A+A1=π，即A1−A=π2，所以A1为锐角或钝角，同理B1，C1为锐角或钝角，但是A1，B1，C1中必然有一个钝角，否则不成立，所以△A1B1C1是钝角三角形，故A错误；
对于B：当△ABC为钝角三角形时，假设A为钝角，则csA<0，故sinA1<0，由于A1∈(0,π)，不满足条件，故B错误；
对于C：当△ABC为钝角三角形时，假设A为钝角，则csA<0，故sinA1<0，由于A1∈(0,π)，不满足条件，故C错误；
对于D：当△ABC为锐角三角形时，则sinA1=csA>0，sinB1=csB>0，sinC1=csC>0，所以A、B、C都为锐角，即△ABC为锐角三角形，另一方面，sinA1=csA=sin(π2−A)>0，可得A+A1=π2，或π2−A+A1=π，即A1−A=π2，所以A1为锐角或钝角，同理B1，C1为锐角或钝角，但是A1，B1，C1中必然有一个钝角，否则不成立，所以△A1B1C1是钝角三角形，故D正确；
故选：D．
直接利用三角函数的值判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
7.【答案】B
【解析】解：设AP=λAD(0<λ<1)，则PC=AC−AP=AC−λAD，PB=AB−λAD，
∴PC⋅PB=(AC−λAD)⋅(AB−λAD)=AC⋅AB−λAC⋅AD−λAB⋅AD+λ2AD2=
2−λ×2× 3× 32×2+3λ2=3λ2−6λ+2=−23，
∴9λ2−18λ+8=0，∴λ=23或λ=43(舍去)，
∴P为△ABC的重心，∵PE⊥AC，∴E为AC的中点，
∴PE=AE−AP=12AC−23AD=12AC−23×12(AB+AC)=−13AB+16AC，
故选：B．
设AP=λAD，由PB⋅PC=−23求出λ，得到P为△ABC的重心，E为AC的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：将函数y=sinx的图象向右平移π6个单位长度，可得y=sin(x−π6)的图象．
再将横坐标缩短为原来的1ω(ω>0)得到函数y=f(x)=sin(ωx−π6)的图象，
由x∈[0,π3]上，得ωx−π6∈[−π6,π3ω−π6]，
当π3ω−π6≥π2，即ω≥2时，则ω5=1，求得ω=5，
当π3ω−π6<π2，即0<ω<2时，由题意可得sin(π3ω−π6)=ω5，
作出函数y=sin(π3x−π6)与y=x5的图象如图：
由图可知，此时函数y=sin(π3x−π6)与y=x5的图象在x∈(0,2)上有唯一交点，
则sin(π3ω−π6)=ω5有唯一解，
综上，ω的取值个数为2．
故选：B．
利用函数图象的平移与伸缩变换求得f(x)的解析式，再由x的范围求得ωx−π6的范围，结合y=f(x)在[0,π3]上的最大值为ω5，分类求解得答案．
本题考查y=Asin(ωx+φ)型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属较难题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A：i9=i2×4+1=i，故A正确；
对于B：复数z=3−2i的虚部为−2，故B错误；
对于C：z=(1−i)2=12−2i+i2=−2i，所以z−=2i，
则复平面内z−对应的点为(0,2)位于虚轴，故C错误；
对于D：若复数z为实数，
则z=z−，
设z=a+bi，(a,b∈R)，若z=z−，即a+bi=a−bi，所以b=0，则复数z为实数，
故复数z为实数的充要条件是z=z−，故D正确．
故选：AD．
根据复数的乘方判断A，根据复数的定义判断B，根据复数的几何意义判断C，根据充要条件的定义判断D．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A，∵a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则a+λb=(1+λ,2+λ)，
∴a⋅(a+λb)=(1,2)⋅(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0，
且a与a+λb不共线，即2+λ≠2(1+λ)，即λ≠0，所以λ>−53且λ≠0，故A错误；
对于B，向量e1=(2,−3)，e2=(12,−34)，故e1=4e2，即e1、e2共线，故e1、e2不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；
对于选项C，因为a⋅b=0，所以a⊥b或|a|=0或|b|=0，故C错误；
对于D，非零向量a和b满足|a|=|b|=|a−b|，两边平方得|b|2=2a⋅b，则a⋅(a+b)=|a|2+a⋅b=32|a|2，|a+b|= (a+b)2= |a|2+2a⋅b+|b|2= 3|a|，
故cs〈a,a+b〉=a⋅(a+b)|a||a+b|= 32，而0≤〈a,a+b〉≤π，故〈a,a+b〉=π6，
所以，a与a+b的夹角为π6，故D项错误．
故选：ACD．
利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项．
本题主要考查平面向量的数量积运算，向量的夹角，向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查三角函数的辅助角公式和诱导公式，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
分别讨论φ所在的象限，再由正切函数的诱导公式可得结论．
【解答】
解：当a>0，b>0时，csφ>0，sinφ>0，φ在第一象限，则φ=φ0，故A正确；
当a<0，b>0时，csφ<0，sinφ>0，φ在第二象限，则φ=π−φ0，故B错误；
当a>0，b<0时，csφ>0，sinφ<0，φ在第四象限，则φ=−φ0，故C正确；
当a<0，b<0时，csφ<0，sinφ<0，φ在第三象限，则φ=−π+φ0，故D错误．
故选：AC．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以ω=2π120=π60，故A正确；
对于B，因为当t=0时，盛水筒M位于点P0(3,−3 3)，所以R= 32+(−3 3)2=6，
所以有f(0)=6sinφ=−3 3⇒sinφ=− 32，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，
即f(t)=6sin(π60t−π3)，
所以f(100)=6sin(π60×100−π3)=6sin4π3=6×(− 32)=−3 3，故B错误；
对于C，由B可知：盛水筒M的纵坐标为−3 3，设它的横坐标为x，
所以有 x2+(−3 3)2=6⇒x=±3，
因为筒车旋转100秒时，所以此时盛水筒M在第三象限，
故x=−3，盛水筒M和初始点P0的水平距离为3−(−3)=6，故C正确；
对于D，因为π60t−π3=π2⇒x=50∈(0,60]，
所以筒车在(0,60]秒的旋转过程中，盛水筒M最高点到x轴的距离的最大值为6，故D正确．
故选：ACD．
根据题意可知周期为120秒，进而可求ω，根据P0(3,−3 3)可求解φ=−π3，进而得f(t)=6sin(π60t−π3)，根据三角函数的性质，即可结合选项逐一求解．
本题主要考查三角函数的应用，考查正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】2+ 22
【解析】解：DC=ABsin 45°= 22，BC=ABsin 45°+AD= 22+1，
S梯形ABCD=12(AD+BC)DC=12(2+ 22) 22= 22+14，
S=4 2S梯形ABCD=2+ 22．
故答案为：2+ 22
求出直观图中，DC，BC，S梯形ABCD，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是2 2，求出平面图形的面积．
本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．
14.【答案】−45
【解析】解：因为sinx−csx= 55，两边平方得：1−2sinxcsx=1−sin2x=15
所以sin2x=45．
所以cs(2x+π2)=−sin2x=−45．
故答案为：−45．
对sinx−csx= 55两边平方求出sin2x=45，结合诱导公式求出答案．
本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，三角函数的诱导公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】3− 34a
【解析】解：设AC=h，因为∠ADC=60°，所以AD=hsin60∘=2 33h，
又∠DAB=180°−120°−15°=45°，
由正弦定理得ADsin∠ABC=DBsin∠DAB，即2 33hsin15°=asin45∘，
解得h=3− 34a，
故答案为：3− 34a．
设AC=h，根据∠ADC=60°，得到AD=hsin60∘=2 33h，再利用正弦定理由ADsin∠ABC=DBsin∠DAB求解．
本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．
16.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
首先算出AO=12AD，然后用AB、AC表示出AO、EC，结合AB⋅AC=6AO⋅EC得12AB2=32AC2，进一步可得结果．
【解答】
解：设AO=λAD=λ2(AB+AC)，
AO=AE+EO=AE+μEC=AE+μ(AC−AE)
=(1−μ)AE+μAC=1−μ3AB+μAC，
∴λ2=1−μ3λ2=μ，∴λ=12μ=14，
∴AO=12AD=14(AB+AC)，
EC=AC−AE=−13AB+AC，
6AO⋅EC=6×14(AB+AC)·(−13AB+AC)
=32(−13AB2+23AB⋅AC+AC2)
=−12AB2+AB⋅AC+32AC2，
∵AB⋅AC=−12AB2+AB⋅AC+32AC2，
∴12AB2=32AC2，∴AB2AC2=3，
∴ABAC= 3．
故答案为： 3
17.【答案】解：(1)因为在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边作角α，已知角α的终边与单位圆相交于点A(在x轴上方)，
由csα= 210，可得sinα= 1−cs2α=7 210，
又因为以OA为始边，逆时针旋转π4交单位圆于点B，
所以cs(α+π4)= 22csα− 22sinα= 22×( 210−7 210)=−35，
所以B点的横坐标为−35．
(2)在△ABC中，OA=OB=1，∠AOB=π4，
所以由余弦定理可得|AB|= OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cs∠AOB= 12+12−2×1×1× 22= 2− 2．
【解析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式可求sinα的值，进而利用两角和的余弦公式即可求解．
(2)由题意利用余弦定理即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式，余弦定理的应用，考查了运算求解能力，转化与化归思想的运用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由图可得A=2，周期为T=2(2π3−π6)=π=2π|ω|，
所以|ω|=2，
因为ω>0，
所以ω=2，
根据图象可得2×π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，
解得φ=π6+2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=2sin(2x+π6)；
(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
令2x+π6=kπ+π2,k∈Z，解得对称轴方程为：x=kπ2+π6,k∈Z，
综上所述，单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z；对称轴方程为：x=kπ2+π6,k∈Z．
【解析】(1)利用最值求出A，利用特殊点列方程组求出ω和φ，即可得到f(x)的解析式；
(2)利用正弦函数的单调增区间和对称轴，以及整体代换的方法可求出f(x)的单调增区间及对称轴．
本题主要考查由三角函数图象求其解析式，考查了正弦函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵AE=AB+BE=(2e1+e2)+(−e1+λe2)=e1+(1+λ)e2，
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数k，使得AE=kEC．
即e1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，
得(1+2k)e1=(k−1−λ)e2．
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴1+2k=0λ=k−1，
解得k=−12，λ=−32．
∴BC=BE+EC=−3e1−12e2=(−6,−3)+(−1,1)=(−7,−2)．
(2)∵A、B、C、D四点构成平行四边形，
∴AD=BC．
设A(x,y)，则AD=(3−x,5−y)，
又BC=(−7,−2)，
∴3−x=−75−y=−2，
解得x=10y=7，
∴点A的坐标为(10,7)．
【解析】本题考查平面向量的坐标运算，有一定的思维量，属于中档题．
(1)通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；
(2)由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案．
20.【答案】解：(1)在正△ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P，
设BP=xBA+yBC，
则CP=BP−BC=xBA+(y−1)BC，
同理AP=(x−1)BA+yBC，
又由已知得CD=BD−BC=23BA−BC，AE=BE−BA=−BA+13BC，
因为BA与BC不共线，
所以x23=y−1−1x−1−1=y13，
解得x=47y=17，
所以BP=47BA+17BC；
(2)证明：设正△ABC边长为a，
则BA⋅BC=a2csπ3=12a2，
由(1)可得：BP⋅CD=(47BA+17BC)⋅(23BA−BC)=821BA2−1021BA⋅BC−17BC2=821a2−1021×12a2−17a2=0，
所以BP⊥CD，
即BP⊥CD，
得证．
【解析】(1)设BP=xBA+yBC，用BA,BC表示出CD,CP,AP,AE，然后由向量共线得方程组求解即可；
(2)计算BP⋅CD可得证．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
21.【答案】解：(1)因为c(sinC− 3sinB)=(a−b)(sinA+sinB)，
所以由正弦定理可得c(c− 3b)=(a−b)(a+b)，
即b2+c2−a2= 3bc．
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc= 3bc2bc= 32，
又A∈(0,π)，所以A=π6．
(2)因为sinB=1+csC，
所以sinB=1+cs(5π6−B)=1+cs5π6csB+sin5π6sinB=1− 32csB+12sinB，
即12sinB+ 32csB=sin(B+π3)=1，
又0所以a=b，C=2π3．
所以S△ABC=12absinC= 34a2= 3，
所以a=b=2．
在△ACD中，由余弦定理可得AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cs2π3=22+12−2×2×1×(−12)=7，
即AD= 7．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
(1)由正弦定理得到b2+c2−a2= 3bc，再利用余弦定理求出A=π6；
(2)在第一问的基础上，结合sinB=1+csC，利用三角恒等变换求出B=π6，进而由三角形面积得到a=b=2，由余弦定理求出答案．
22.【答案】解：(1)∵asinA+asinCcsB+bsinCcsA=bsinB+csinA，
∴根据正弦定理，得a2+accsB+bccsA=b2+ac，
根据余弦定理，得a2+ac⋅a2+c2−b22ac+bc⋅b2+c2−a22bc=b2+ac，即a2+c2−b2=ac，
得csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12．
∵B∈(0,π)，
∴B=π3．
(2)由于△ABC为锐角三角形，且B=π3，a=2，
可得A∈(π6,π2)，
由正弦定理得2sinA=b 32=csin(2π3−A)，
可得b= 3sinA，c=2sin(2π3−A)sinA=sinA+ 3csAsinA=1+ 3csAsinA，
故△ABC的周长a+b+c=3+ 3×csA+1sinA=3+ 3×2cs2A22sinA2csA2=3+ 3tanA2，
由于A∈(π6,π2)，则A2∈(π12,π4)，
所以tanA2∈(2− 3,1)，
故△ABC周长的取值范围为(3+ 3,6+2 3).
(3)由b2=ac，利用余弦定理得到△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=2π3，|OA|=|OB|=2，|OP|=2，
∴OA⋅OB=|OA||OB|cs∠AOB=−2，|OA+OB|= (OA+OB)2= 4+4−4=2，
∴PA⋅PB=(OA−OP)⋅(OB−OP)=OA⋅OB+OP2−(OA+OB)⋅OP=−2+4−2|OD||OP|cs=2−4cs，
∵−1≤cs≤1，
∴−2≤2−4cs≤6，
∴PA⋅PB的取值范围为：[−2,6]．
【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理求得csB，进一步求得B．
(2)利用三角函数恒等变换和函数的性质的应用求出三角形周长的取值范围．
(3)由b2=ac，利用余弦定理得到△ABC是等边三角形，把PA⋅PB转化为含有OD、OP的式子，即可得到PA⋅PB的取值范围．
本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形的解法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．