2023年山东省烟台市中考数学试卷

这是一份2023年山东省烟台市中考数学试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的倒数是
A．B．C．D．
2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为
A．B．C．D．
7．（3分）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
8．（3分）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为
A．B．C．D．无法判断
9．（3分）如图，抛物线的顶点的坐标为，，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
10．（3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形，，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．
13．（3分）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点，，，，连接，则的度数为 ．
14．（3分）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
①按键的结果为4；
②按键的结果为8；
③按键的结果为0.5；
④按键的结果为25．
以上说法正确的序号是 ．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为 ．
16．（3分）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
18．（7分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为 ；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择大学的大约有 人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
19．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，
20．（8分）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．
【问题提出】
在矩形中，，，求线段的长；
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．请你任选其中一种方案求线段的长．
21．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
22．（10分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，经过，两点，交对角线于点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）已知的半径与菱形的边长之比为，求的值．
23．（11分）如图，点为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若，的延长线恰好经过的中点，求的长．
24．（13分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
2023年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．【解答】解：的倒数是．
故选：．
2．【解答】解：．，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
．，和是同类二次根式，故本选项符合题意；
．，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
3．【解答】解：．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；
．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
4．【解答】解：．，故此选项不合题意；
．，故此选项不合题意；
．，故此选项符合题意；
．，故此选项不合题意．
故选：．
5．【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为：无解．
在数轴上表示为：．
故选：．
6．【解答】解：图⑤几何体的俯视图为：
．
故选：．
7．【解答】解：．甲班视力值的平均数为：，
乙班视力值的平均数为：，
所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项说法错误，不符合题意；
．甲班视力值的中位数为，乙班视力值的中位数为，
所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项说法错误，不符合题意；
．甲班视力值的极差为，乙班视力值的极差为，
所以甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差，故选项说法错误，不符合题意；
．甲班视力值的方差为，
乙班视力值的方差为，
所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项说法正确，符合题意；
故选：．
8．【解答】解：如图，令正方形的边长为，
则空白部分的面积为，
则阴影部分的面积为，
所以小球停在阴影部分的概率为停在空白部分的概率为，
故选：．
9．【解答】解：①抛物线的顶点的坐标为，，
，
，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
，
当时，，
，
故①正确，符合题意；
②由图象可得：当时，，
，
，
故②错误，不符合题意；
③直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为、，
则，
，
，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
，
故③正确，符合题意；
④关于的一元二次方程无实数根，
△，
，
，
，
，
，
故④正确，符合题意．
故选：．
10．【解答】解：由题意可知：点，点，点，
，，，，，，，，，，，
顶点的坐标为，即，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．【解答】解：将3600亿用科学记数法表示为．
故答案为：．
12．【解答】解：如图，
由题意得：，
，
，
，
，
故答案为：．
13．【解答】解：设量角器的圆心是，连接，，
，
．
故答案为：．
14．【解答】解：①按键的结果为；故①正确，符合题意；
②按键的结果为；故②不正确，不符合题意；
③按键的结果为；故③正确，符合题意；④按键的结果为；故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①③．
故答案为：①③．
15．【解答】解：过点作轴于点，
设的半径为，
与轴相切于点，
，，
设，
则点的坐标为，
，
，
，
即：，
．
故答案为：24．
16．【解答】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
，，，
在中，，，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．【解答】解：原式
，
，
解得：，
是使不等式成立的正整数，且，，
，
原式．
18．【解答】解：（1）本次抽取的学生有：（人，
其中选择的学生有：（人，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
该市有1000名中学生参加本次活动，则选择大学的大约有：（人，
故答案为：，200；
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种，
两人恰好选取同一所大学的概率为．
19．【解答】解：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，米，，
设米，
在中，，米，
（米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
（米，
，
解得：，
米，
（米，
该风力发电机塔杆的高度约为32米．
20．【解答】解：方案一：连接，如图，
四边形是矩形，
，，
由作图知，
由翻折的不变性，知，，，
，，又，
，
，
设，则，，
在中，即，
解得，
线段的长为；
方案二：将绕点旋转至处，如图，
四边形是矩形，
，，
由作图知，
由旋转的不变性，知，，，
则，
、、共线，
由翻折的不变性，知，
，
，
设，则，，
在中，，即，
解得，
线段的长为．
21．【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种图书共花费元，则，
，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．
22．【解答】（1）证明：连接，则，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
是半径，且，
是的切线．
（2）解：，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
的值是2．
23．【解答】（1）证明：、分别是以，为底边的等腰三角形，
，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
作，交于，
，，
，
，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，即，
解得或（舍去），
的长为．
24．【解答】（1）解：抛物线的对称轴，，
，，
将代入直线，得，
解得，
直线的解析式为；
将，代入，得
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）存在点，
直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点，
当时，，
，
①当时，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，得或，
点的坐标为；
②当时，
设直线的解析式为，将代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，解得或，
点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长，
，，
，
的最小值为．
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