中考数学复习指导：规律探索问题的常见类型

这是一份中考数学复习指导：规律探索问题的常见类型，共4页。试卷主要包含了探索数字规律，探索计算规律，探索图形规律，探索结论规律，探索解题方法规律，探索面积规律等内容，欢迎下载使用。

规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想，得出一般性的结论，下面，以中考题为例就常见类型归纳如下：
一、探索数字规律
例1 观察下面一列数：1，－2，3，－4，5，－6，…根据你发现的规律，第2012个数是_________．
解析 观察知：一列数中，它们的绝对值是连续正整数，第2012个数的绝对值是2012，偶数项是负数，故填－2012．
点评 这类问题常常从符号和绝对值两个方面找规律，再根据找出的规律解决问题．
二、探索计算规律
例2 大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是( )．
(A)43 (B)44 (C)45 (D)46
解析 由于23＝3＋5，分裂中的第一个数是：3＝2×1＋1；
33＝7＋9＋11，分裂中的第一个数是：7＝3 ×2＋1；
43＝13＋15＋17＋19．分裂中的第一个数是：13＝4×3＋1，
…
寻求规律发现，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数．
所以，m3分裂后的第一个数是m（m－1）＋1，共有m个奇数．
又45×(45－1)＋1＝1981，
46×(46－1)＋1－2071，
所以，第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，即m＝45．故选C．
点评 解决本题的关键是找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律．
三、探索图形规律
例3小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1①中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数；类似地，图1②中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．
(A)2016 (B)2015 (C)2013 (D)2012
解析 观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数．由于2016÷12＝168，即2016是12的整数倍，故选D．
点评 本题依据所给的两个图形，通过综合观察分析，找出两个图形之间的内在规律，解决此类问题的关键是要把握住图形及图形上所反映的数据之间的对应关系．
四、探索结论规律
例4如图2，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An．设∠A＝θ，则∠A2＝，∠An＝________°．
分析 由于∠A1是△ABC的内角平分线BA1和外角平分线CA1组成的，因而通过内角与外角的关系，利用整体思想可表示出∠A1CD与∠A1BC的差，进而可求得∠A1＝∠A．
点评 随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的，这种规律可以作为猜想的一个重要依据．
五、探索解题方法规律
例5 观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是_______．
解得x＝n＋3，或x＝n＋4．（答略．）
点评 本例从分式方程根的角度来探究规律，不仅揭示了根之间的内在变化规律，而且注重对观察、归纳、类比猜想等数学方法的考查．
六、探索面积规律
例6 在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图3所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)，延长CB交x轴子点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为( )．
（A）（B） （C）（D）
解 ∵点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)，∴OA＝1，OD＝2．
在直角△ADO中，根据勾股定理，得
故选D．
点评 规律探究性问题形式多样，常常从较简单的情形出发，逐步过渡到复杂的情形，并从中总结出规律，对于面积规律问题，一般先根据条件，计算其面积，再转化为数字
问题，然后找规律，它考查学生综合运用知识的能力和观察能力，有一定的思维含量．