专题2.2 一元二次方程的解法-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版）

这是一份专题2.2 一元二次方程的解法-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版），文件包含专题22一元二次方程的解法举一反三浙教版原卷版docx、专题22一元二次方程的解法举一反三浙教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc25272" 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc25272 \h 1
\l "_Tc28978" 【题型2 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc28978 \h 2
\l "_Tc14325" 【题型3 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc14325 \h 3
\l "_Tc21768" 【题型4 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21768 \h 3
\l "_Tc4587" 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc4587 \h 4
\l "_Tc9824" 【题型6 用适当的方法解一元二次方程 PAGEREF _Tc9824 \h 4
\l "_Tc12627" 【题型7 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc12627 \h 5
\l "_Tc31343" 【题型8 配方法的应用】 PAGEREF _Tc31343 \h 6
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2023春·八年级课时练习）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，
得2x－1=________，
即2x－1＝________或2x－1＝________，
所以x1＝________，x2＝ ________．
【变式1-1】（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
【变式1-2】（2023·全国·八年级假期作业）如果方程(x−5)2=m−7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是（ ）.
A．m>0B．m⩾7
C．m>7D．任意实数
【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·八年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2+9＝0B．－2x2=0C．x2－3=0D．(x－2)2=0
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（2023春·八年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．
3x2−52=12x．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得x2−16x=56．
配方，得_________________________________，
即(x−112)2=121144．
两边开平方，得__________________，
即x−112=1112，或x−112=−1112．
所以x1=1，x2=−56．
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）用配方法解一元二次方程：
(1)x2−3x−1=0（配方法）；
(2)2x2−7x+3=0（配方法）．
【变式2-2】（2023春·山西太原·八年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2−5x+2=0．请结合题意填空，完成本题的解答．
解：方程变形为2x2−5x+(52)2−(52)2+2=0，第一步
配方，得(2x−52)2−174=0．第二步
移项，得(2x−52)2=174．第三步
两边开平方，得2x−52=±172．第四步
即2x−52=172或2x−52=−172．第五步
所以x1=5+174，x2=5−174．第六步
（1）上述解法错在第 步；
（2）请你用配方法求出该方程的解．
【变式2-3】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x2−6x+3=0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0．
【知识点3 公式法解一元二次方程】
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 公式法解一元二次方程】
【例3】（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)3x=5x2+6；
(2)x+322+10=x2x+85．
【变式3-1】（2023春·全国·八年级专题练习）用公式法解一元二次方程：2x2+7x−4=0（用公式法求解）．
【变式3-2】（2023春·河南·八年级校考阶段练习）用公式法解方程：(x−1)(x−2)=5．
【变式3-3】（2023·江苏·八年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)9x2+1=66x；
(2)2x2+43x−22=0．
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2023·上海·八年级假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)2+3x2=x；
(2)2x−12−x2x−1=0．
【变式4-1】（2023春·全国·八年级专题练习）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．
【变式4-2】（2023·江苏·八年级假期作业）解下列一元二次方程：(2x+1)2+42x+1+4=0；
【变式4-3】（2023春·海南儋州·八年级专题练习）因式分解法解方程：
(1)3（x-5）2=2（5-x）；
(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2023春·八年级单元测试）按照指定方法解下列方程：
(1)3x2−15=0 （用直接开平方法）
(2)x2−8x+15=0 （用因式分解法）
(3)x2−6x+7=0 （用配方法）
(4)y2+2=22y（用求根公式法）
【变式5-1】（2023·全国·八年级专题练习）解方程：
(1)4x2=16．（直接开平方法）
(2)2x2−3x+1=0（配方法）
(3)xx−2+x−2=0（因式分解法）
(4)2x2−6x+1=0（公式法）
【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)x+62=9（直接开平方法 ）
(2)x2+x−6=0；(公式法)
(3)x(x−2)+x−2=0；(因式分解法)
(4)x2+2x−120=0 (配方法)
【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．
【题型6 用适当的方法解一元二次方程
【例6】（2023·全国·八年级假期作业）用适当方法解下列方程：
(1)(2x−1)2=9；
(2)12x2−45x−525=0；
(3)(3x−1)2−(x+1)2=0；
(4)(x−2)2+x(x−2)=0；
(5)12x2−52x+1=0；
(6)0.3x2+0.5x=0.3x+2.1．
【变式6-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：
(1)2xx−3+x=3
(2)xx−6=2x−8
(3)3xx−3=2x−1x+1
【变式6-2】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）用适当方法解下列方程：
(1)9x2−1=0
(2)4y2−4y+1=0
(3)x2−6x−3=0
(4)x2−6x+9=5−2x2．
【变式6-3】（2023·宁夏中卫·八年级校考期中）用适当方法解方程
(1)6x−12−25=0；
(2)y2−y=3y−1
(3)x2+18=22x；
(4)x+1x−1+2x+3=8．
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2023春·山西忻州·八年级统考阶段练习）阅读和理解
下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：
利用换元法求方程的解
我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明：
例：解方程：(5x+32)2−(5x+3)−15=0．
解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设5x+32=y，
则原方程可化为y2−2y−15=0，∴(y−1)2=16，∴y−1=±4，∴y1=5,y2=−3，
∴5x+32=5或5x+32=−3，
∴方程的解为x1=75，x2=−95．
任务：
(1)上述小论文的解析过程中，解方程y2−2y−15=0的过程主要用了______．
A．直接开平方法 B．配方法 C．因式分解法 D．公式法
(2)解方程：x−2=3−2x−2．
【变式7-1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）已知a2+b22−a2+b2−6=0，求a2+b2的值．
【变式7-2】（2023春·甘肃平凉·八年级校考阶段练习）已知实数x满足(x2−x)2−2(x2−x)−3=0，则代数式x2−x+2020的值为_______．
【变式7-3】（2023春·全国·八年级专题练习）解下列方程：
(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；
(2)2x2+3x2﹣42x2+3x﹣5=0．
【题型8 配方法的应用】
【例8】（2023·全国·八年级假期作业）若W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为__________．
【变式8-1】（2023·全国·八年级假期作业）已知N=6m−25，M=m2−2m(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（ ）
A．MNC．M=ND．不能确定
【变式8-2】（2023·四川达州·模拟预测）选取二次三项式ax2+bx+ca≠0中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=x−22−2；
②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=x−22+22−4x，
或x2−4x+2=x+22−4+22x
③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=2x−22−x2
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求xy的值．
【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为0.8，1.2，1.3，1.5时，设最佳值为a，那么(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2应为最小，此时a=_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为a1；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为a2，则利用这m+n次数据得到的最佳值为__________．