专题03 不等式与基本不等式的应用（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

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易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）
1．比较大小基本方法
2．．等式的性质
（1）基本性质
类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
例 ．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，则成立，充分性成立；
由，若，显然不成立，必要性不成立；
所以 “”是“”的充分不必要条件.
故选：A
变式1．已知，则下列关系式正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
【答案】A
【详解】A选项，因为，故在上单调递增，
因为，所以，A正确；
B选项，因为，所以，因为，所以，B错误；
C选项，若，则在R上单调递减，
因为，所以，C错误；
D选项，因为，所以，
因为，则，故，D错误.
故选：A
变式2．对于实数，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】D
【详解】解：对于A：时，不成立，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：令，代入不成立，C错误；
对于D：若，，则，，则，D正确；
故选：D．
变式3．已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【详解】A，当时，，A错误；
B，当时， 没意义，B错误；
C，由，知，所以，C正确；
D，当时，不成立，D错误.
故选：C
1．已知实数，，，若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】选项A：因为，取，则，故A错误；
选项B：因为 ，
与已知条件矛盾，故B不正确；
选项C：因为
所以，故C正确；
选项D：当时，，故D不正确；
故选：C.
2．若，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对于A，因为，所以，所以，即，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为在上递增，，所以，所以C正确，
对于D，若，则，则，所以D错误，
故选：D
3．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】对于A，令，显然有，，而，A错误；
对于B，由，知，令，显然有，而，B错误；
对于C，由，，得，因此，C正确；
对于D，若，令，有，而，D错误.
故选：C
4．若​，则下列不等式中正确的是（ ）
A．​B．​C．​D．​
【答案】D
【详解】因为，所以，则.
所以即，AB错误.
因为，所以，则，​C错误.
因为，所以
则，​D正确.
故选：D
5．若、、，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为、、，且，则，，
由不等式的基本性质可得，A错；，B对；
当时，，C错；，D错.
故选：B.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【详解】A选项，当时，，故A错误；
B选项，当，，，时，，，故B错误；
C选项，当，，，时，，故C错误；
D选项，若，，则，即，故D正确．
故选：D.
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由，可得，
则是的必要不充分条件.
故选：B
8．已知，，：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：因为，， ：
即，即，则，
而：，
所以，是的充分不必要条件，
故选：.
9．下列四个选项能推出的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】，
对于A，当时，，所以，所以A正确，
对于B，当时，，所以，所以B错误，
对于C，当时，，所以，所以C正确，
对于D，当时，，所以，所以D正确，
故选：ACD.
10．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为，所以，故，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD．
11．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】选项A，由得，∴，故A正确；
选项B，取，，可得，，不满足，故B错误；
选项C，，
∵，所以，故，
∴，故C正确；
选项D，设函数，，则，
当时，，单调递减，
故时，，即，故，故D错误.
故选：AC
易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）
解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
具体模型解题方案：
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
易错提醒：一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为．
= 2 \* GB3 ②若，解集为． = 3 \* GB3 ③若，解集为．
(2) 当时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若，解集为 = 2 \* GB3 ②若，解集为。
例 ．若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】ABD
【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意；
当时，要满足，
而，
所以解得；
综上，实数a的取值范围是；
所以对比选项得，实数a可能是，0，1.故选：ABD.
变式1．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集为
【答案】BD
【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，
则，即，A错误；
不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；
，C错误；
不等式化为，即，解得或，
所以不等式的解集为，D正确.
故选：BD
变式2．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，
则，解得
又，，
故选：CD．
变式3．下列叙述不正确的是（ ）
A．的解是
B．“”是“”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
【答案】AD
【详解】选项A：的解是或，故A不正确；
选项B：由得，恒成立则或，解得 ，所以“”是“”的充要条件，故B正确；
选项C：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
选项D：由均值不等式得，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值大于，故D不正确；故选：AD
1．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是或
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
【答案】ABD
【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，
于是得，即，
对于A，不等式化为：，解得，A正确；
对于B，，，
当且仅当，即时取“=”，B正确；
对于C，，令，则在上单调递增，
即有，因有解，则，解得或，C不正确；
对于D，当时，，则，，
依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，
从而得或，因此，D正确.
故选：ABD
2．已知集合，或，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由或，
所以．
故选：A
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由，解得，所以，
因为，得，所以，
故.
故选:C．
4．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】B
【详解】由题意若不等式在上恒成立，
则必须满足，即，
由，两式相加得，
再由，两式相加得，
结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，
解得，
经检验，当，时，，
有，，满足在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.
故选：B.
5．设集合，，且，则（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】D
【详解】，，
∵，∴，∴，
故选：D.
6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即，
则，
当且仅当时等号成立，则的最小值为2，
若不等式有解，则，可得或，
即实数m的取值范围是．
故选：D．
7．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
8．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，由得，
因，故，当且仅当即时等号成立，
因当时，恒成立，得，
故选：C
9．已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由集合中恰有两个元素，得，
解得．
故选：B．
10．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】易知方程可化为，方程的两根为；
所以不等式的解集为.
故选：B．
11．若不等式的解集是，函数的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴和是方程的两个根，
∴，∴，
∴函数的对称轴是．
故选：A．
易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问题）
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.
例 ．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
【答案】B
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
变式1．已知，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【详解】由，，即，易知，
所以，
当且仅当时等号成立，此时，
所以的最小值为.
故选：D
变式2．已知命题p：在中，若，则；q：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】命题p：在中，若，由正弦定理得，所以，为真命题，
当，对于，当且仅当时等号成立，
所以命题q：若，则，为真命题，
所以为真命题，假命题，假命题，假命题，
故选：A.
变式3．设，，，则有（ ）
A．最小值3B．最大值3
C．最小值D．最大值
【答案】B
【详解】，，故，
故，当且仅当时成立，
AD错误，B正确；
当时，，C错误.
故选：B．
1．已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，点在线段上（不包括端点），
故存在，使得，即，即，
因为向量，所以，
可得，
，，由基本不等式得
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C．
2．已知正数，满足，则（ ）
A．的最小值为3B．的最小值为
C．的最小值为3D．的最大值为
【答案】ABD
【详解】对于A：由，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B：由得，，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为
，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于D：由，
当且仅当，即时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
3．已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为8D．的最大值为
【答案】ABC
【详解】对于A和B中，因为且，可得且，
即，所以，且，，所以A、B正确；
对于C中，由，
当且仅当，且，即，时，取“”号，所以C正确；
对于D中，由，即，当且仅当，且，即，时，取“”号，所以D错误．
故选：ABC.
4．任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（ ）
A．B．C．5D．3
【答案】BD
【详解】根据题意可得，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
5．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为16B．的最小值为9
C．的最大值为1D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，
所以（舍去），所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16，故A正确；
对于B，因为，
所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得，则，
则，故C错误；
对于D，，
当，即时，取得最小值，
所以当时，的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
6．已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】对A，由题意得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误，
对B，，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故C正确；
对D，，所以，
所以，因为，
所以当时，取得最小值，最小值为，当且仅当，时等号成立，故D正确.
故选：BCD.
7．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为6B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最小值为
【答案】BD
【详解】对于A，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故选项A错误；
对于B，因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，的最大值为，故选项B正确；
对于C，因为，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故选项C错误；
对于D，因为，故选项D正确，
故选：BD.
8．已知，，且，则不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，，
所以，即，当且仅当时，等号成立，故A错误；
对于B，，
由A得，，
所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，故C错误；
对于D，，，
设，，
则，
所以在上单调递减，即，
所以，故D错误；
故选：ACD．
9．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为5D．的最小值为
【答案】AB
【详解】对于A：实数，，，整理得，
当且仅当时取等号，即的最大值为，故A正确；
对于B：，，，
，
，当且仅当、时取等号，故B正确；
对于C：，，，，
，
当且仅当，即、时取等号，
因为等号取不到，可知5不为最小值，故C错误；
对于D：，
当且仅当，即时取等号，故D错误.
故选：AB.
10．已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．.
C．的最大值为D．
【答案】ABD
【详解】由题意可得，
当且仅当时取得等号，即A正确；
，
当且仅当时取得等号，即B正确；
先证柯西不等式，
设，
则，
所以，
由柯西不等式可知：
，
当且仅当，即时取得等号，即D正确；
若，则，此时，故C错误.
故选：ABD
11．设且，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，，
所以，
因为，
所以由基本不等式得，
当且仅当即时，等号成立，
综上所述：的最小值是.
故答案为：.
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性