2022-2023学年新疆塔城第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2022-2023学年新疆塔城第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法中正确的是( )
A. 锐角是第一象限角B. 终边相同的角必相等
C. 小于90°的角一定在第一象限D. 第二象限角必大于第一象限角
2.已知扇形的圆心角为120°，面积为4π3，则该扇形所在圆的半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
3.设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是( )
A. cs2αB. tanα2C. sinα2D. csα2
4.若角α的终边经过点P(−1,−2)，则sinα=( )
A. − 55B. −2 55C. 55D. 2 55
5.若csθ>0，且tanθ<0，则角θ的终边所在象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.sin32π3的值为( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
7.已知函数f(x)=cs(x+φ)，则φ=π2是f(x)为奇函数的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
8.sin70°sin10°+cs10°cs70°=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
9.下列函数以π2为周期的是( )
A. f(x)=sin2xB. f(x)=tan2xC. f(x)=|csx|D. f(x)=cs12x
10.函数f(x)=lg2x−3x的零点所在区间为( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
11.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数y=sin(4x−5π12)的图象，则f(x)=( )
A. sin(8x−π4)B. sin(8x+π4)C. sin(2x−π4)D. sin(2x+π4)
12.已知α∈(0,π4)，且sinα+csα=1713，则tanα的值为( )
A. 125B. −125C. 512D. −512
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=sinx−x10的零点个数______．
14.已知α∈(π2,π)，且sinα=3 1010，则tan2α= ______．
15.函数y=tan(2x−π4)的对称中心为______．
16.已知角α∈(0,π2)，则α，sinα，tanα的大小关系为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角α的终边过点P(x,2)，且csα=− 53，求sinα及tanα的值．
18.(本小题12分)
已知角α∈(π2,3π2)，且sinα=45.求下列各式的值
(1)tanα；
(2)sin(α+π)；
(3)cs2α．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(2x−π6)−1．
(1)求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若x∈[−π6,π6]，求函数f(x)的值域．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(π3−2x)−1．
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
21.(本小题12分)
已知f(x)=sin(π2−x)cs(3π2+x)tan(π−x)cs(3π−x)sin(π+x)．
(1)化简函数f(x)；
(2)若f(α)=3，求sinα+2csα2sinα−csα和sin2α的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)其中(ω>0,0<φ<π2)，其以为(π4,0)对称中心，且其相邻的一条对称轴为x=π12．
(1)求函数f(x)=2sin(ωx+φ)的周期及表达式；
(2)若函数f(x)对任意x∈[π6,π3]，都有f(x)−2a≤0恒成立，求参数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.锐角在(0,π2)内，是第一象限角，A正确；
B.终边相同的角不一定相等，比如30°和390°的终边相同，不相等，B错误；
C.小于90°的角不一定在第一象限，比如−30°在第四象限，C错误；
D.第二象限角不一定大于第一象限角，比如120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，D错误．
故选：A．
可判断A正确，对于BCD，根据终边相同角的定义、象限角的定义以及角的定义举反例即可说明BCD都错误．
本题考查了象限角和终边相同的角及角的定义，考查了计算能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设扇形所在圆的半径为r，120°=2π3，
∴S=12×2π3×r2=4π3，
∴r=2，
故选：B．
利用扇形的面积公式，即可直接解出．
本题考查了扇形的面积公式，学生的数学运算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A，当α=7π6时，满足α是第三象限角，
但cs2α=cs7π3=csπ3>0，故A错误；
对于BCD，π+2kπ<α<32π+2kπ，k∈Z，
则π2+kπ<α2<3π4+kπ，k∈Z，
故α2在第二象限或第四象限，
所以tanπ2符合题意．
故选：B．
对于A，结合特殊值法，即可求解；
对于BCD，先求出α2在第二象限或第四象限，再结合选项，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵角α的终边经过点P(−1,−2)，则sinα=−2 (−1)2+(−2)2=−2 55．
故选：B．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求出sinα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵csθ>0，得θ为第一、四象限角；
又tanθ<0，
∴θ为第四象限角．
故选D．
利用余弦函数与正切函数的符号判断，可得答案．
本题考查了三角函数的符号．
6.【答案】A
【解析】解：sin323π=sin(11π−π3)=sin(π−π3)=sinπ3= 32．
故选：A．
由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．
本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：当φ=π2时，函数f(x)=cs(x+φ)=cs(x+π2)=−sinx，则f(x)为奇函数；
当f(x)=cs(x+φ)为奇函数时，φ=kπ+π2(k∈Z)；
则φ=π2是f(x)为奇函数的充分不必要条件．
故选：B．
根据充分不必要条件的定义以及余弦函数的性质判断．
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：sin70°sin10°+cs10°cs70°=cs(70°−10°)=cs60°=12．
故选：A．
由已知结合两角差的余弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：f(x)=sin2x的周期为2π2=π，A错误；
f(x)=tan2x的周期为π2，B正确；
f(x)=|csx|的周期为2π×12=π，C错误；
f(x)=cs12x的周期为2π12=4π，D错误．
故选：B．
对每个函数求周期即可．
本题考查了三角函数的周期计算公式，是基础题．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于基础题．
将选项中各区间两端点值代入f(x)，满足f(a)⋅f(b)<0的区间(a,b)为零点所在的一个区间．
【解答】
解：∵函数f(x)=lg2x−3x是(0,+∞)上的连续函数，且单调递增，
f(1)=−3<0，f(2)=1−32=−12<0，f(3)=lg23−1>0，
∴f(2)f(3)<0．
∴函数f(x)=lg2x−3x的零点所在区间为(2,3)，
故选：B．
11.【答案】D
【解析】解：由题意，把函数y=sin(4x−5π12)的图象，
向左平移π6个单位长度，可得y=sin(4x+2π3−5π12)=sin(4x+π4)的图象；
把图象上所有点的横坐标缩变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得y=f(x)=sin(2x+π4)的图象．
故选：D．
由题意，根据三角函数平移和伸缩变换求解即可．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：因为α∈(0,π4)，且sinα+csα=1713=1213+513，
两边平方得，1+2sinαcsα=289169，sinα所以sinαcsα=60169=12×513×13，
所以sinα=513，csα=1213，
则tanα=sinαcsα=512．
故选：C．
对已知等式两边平方，结合角的范围可先求出sinα，csα，进而可求tanaα．
本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
13.【答案】7
【解析】解：依题意求函数f(x)=sinx−x10的零点个数，可以转化为求函数y=sinx与y=x10的交点个数，
y=sinx∈[−1,1]，
如图对于函数y=x10，当x=0时，y=0；
当x=10时，y=1；当x>10时，y>1；当x=8时，y=45<1；
所以在x轴非负半轴上两个函数图象有4个交点，
当x=−10时，y=−1；当x=−8时，y=−45>−1；
所以在x轴负半轴上两个函数图象有3个交点，
综上，函数f(x)=sinx−x10的零点个数为7．
故答案为：7．
数形结合，求函数f(x)=sinx−x10的零点个数转化为求函数y=sinx与y=x10的交点个数．
本题考查了三角函数、一次函数的图象与性质，考查了转化思想，属于中档题．
14.【答案】−34
【解析】解：∵α∈(π2,π)，且sinα=3 1010，∴csα=− 1−sin2α=− 1010，
∴tanα=sinαcsα=3，∴tan2α=2tanα1−tan2α=−34，
故答案为：−34．
由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用二倍角公式，求得tan2α的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的运用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
15.【答案】(kπ4+π8,0)(k∈Z)
【解析】解：由2x−π4=kπ2(k∈Z)得：x=kπ4+π8(k∈Z)，
∴函数y=tan(2x−π4)的对称中心为(kπ4+π8,0)(k∈Z)．
故答案为：(kπ4+π8,0)(k∈Z)．
由2x−π4=kπ2(k∈Z)可求得函数y=tan(2x−π4)的对称中心．
本题考查正切函数的对称性，考查了整体思想，属基础题．
16.【答案】sinα<α【解析】解：在单位圆中，
α∈(0,π2)，
则S△POA故MP<α故答案为：sinα<α根据已知条件，画出单位圆，将原问题转化为S△POA本题主要考查三角函数线，属于基础题．
17.【答案】解：∵角α的终边经过点P(x,2)，且csα=− 53，
可得r= x2+22．
∴csα=x x2+22=− 53，解得x=− 5(正值舍)；
故r=3；
∴sinα=yr=23，
tanα=yx=2− 5=−2 55．
【解析】由三角函数的定义可求得x，进而求解结论．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
18.【答案】解：因为α∈(π2,3π2)，且sinα=45，
所以csα=− 1−sin2α=−35，
(1)tanα=sinαcsα=−43；
(2)sin(α+π)=−sinα=−45；
(3)cs2α=2cs2α−1=−725．
【解析】(1)由题意利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值；
(2)利用诱导公式即可求解；
(3)利用二倍角的余弦公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式以及二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由f(x)≥0，即sin(2x−π6)≥12，故2kπ+π6≤2x−π6≤2kπ+5π6，k∈Z，
得kπ+π6≤x≤kπ+π2,(k∈Z)，所以不等式f(x)≥0的解集[kπ+π6,kπ+π2],(k∈Z)；
(2)由x∈[−π6,π6]得−π2≤2x−π6≤π6，所以−1≤sin(2x−π6)≤12，
故−3≤2sin(2x−π6)−1≤0，即函数f(x)的值域为[−3,0]．
【解析】(1)根据正弦函数的图象与性质得到不等式，解出即可；(2)求出2x−π6的范围，再利用正弦函数的性质即可得到值域．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=2cs(π3−2x)−1=2cs(2x−π3)−1，
令2x−π3=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ2+5π12(k∈Z)，
可得函数f(x)的对称中心为(kπ2+5π12,−1)(k∈Z)；
(2)令2kπ≤2x−π3≤2kπ+π(k∈Z)，
解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z)，
可得函数f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)．
【解析】(1)利用诱导公式可求f(x)=2cs(2x−π3)−1，利用余弦函数的性质即可求解；
(2)利用余弦函数的单调性即可求解．
本题主要余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=sin(π2−x)cs(3π2+x)tan(π−x)cs(3π−x)sin(π+x)
=csxsinx(−tanx)(−csx)(−sinx)
=−tanx；
(2)因为f(α)=−tanα=3，
所以tanα=−3，
所以sinα+2csα2sinα−csα=tanα+22tanα−1=−3+22×(−3)−1=17；
sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=2×(−3)(−3)2+1=−35．
【解析】(1)利用诱导公式即可求解；
(2)由题意可求tanα=−3，进而利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由于函以(π4,0)为对称中心，且其相邻的一条对称轴为x=π12，
可知T4=π4−π12=π6，故周期T=2π3，
因为周期T=2πω,(ω>0)，所以ω=3，
即函数f(x)=2sin(3x+φ)，
又由函数一条对称轴为x=π12，
所以有3×π12+φ=π2+kπ,(k∈Z)，
又0<φ<π2，故有φ=π4，
所以函数的表达式为：f(x)=2sin(3x+π4)；
(2)由x∈[π6,π3]，可知3π4≤3x+π4≤5π4，
由三角函数图象性质可得− 22≤sin(3x+π4)≤ 22，
所以− 2≤f(x)≤ 2，
又因为函数f(x)对任意x∈[π6,π3]，都有f(x)−2a≤0恒成立，
故只需f(x)max≤2a即可，
即 2≤2a⇒a≥ 22．
故参数a的取值范围为：[ 22,+∞)．
【解析】(1)利用三角函数的对称性和周期性计算即可得出周期及解析式；
(2)利用三角函数的图象与性质分离参数计算即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想，属于中档题．