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2024年中考数学【热点重点难点】专练热点08圆的有关计算与证明(江苏专用)(原卷版+解析)
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这是一份2024年中考数学【热点重点难点】专练热点08圆的有关计算与证明(江苏专用)(原卷版+解析)，共82页。试卷主要包含了 圆的有关计算与证明，5°，2m，，6=5x，等内容，欢迎下载使用。
备注：A卷为真题过关卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，共计25道，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
B卷为模拟提升卷，所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，共计25道，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
【考纲解读】
1．了解：圆、圆心角、圆周角的概念，垂径定理及其逆定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
2．理解：圆周角定理及推论，点与圆的位置关系及其运用，切线的性质与判定定理，切线长定理．
3．会：利用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算，运用切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，求n°的圆心角所对的弧长，求圆心角为n°的扇形面积.
4．掌握：圆周角定理及其推论的灵活运用，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
5．能：运用垂径定理解决有关问题，切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，利用点、直线的位置关系解决问题，根据公式中的已知量求圆锥中的未知量，运用圆的有关性质与位置关系进行综合性质计算与实际问题的解决.
【命题形式】
1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积).
3．从考查的热点来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)；圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积.
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
2． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
3． (2023·江苏无锡·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
4． (2023·江苏镇江·统考中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π
5． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27°B．29°C．35°D．37°
6． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
7． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（ ）
B．
C．D．
二、填空题
9． (2023·江苏淮安·统考中考真题）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留π）
10． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
11． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为___________．
12． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是______．
13． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
14． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
15． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ___．
16． (2023·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE//AB，交BD于点E，连接BE，则CEBE的值为___________．
三、解答题
17． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
18． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，点O是正方形，ABCD的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接EB、EC、EO,求证：∠BEO=∠CEO．
19． (2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
20． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
21． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
(2)当DC=2AD时，求CE的长．
22． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，BF=2，求AG的长．
23． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
24． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中， ，
所以tan∠BAC=tan∠DCE．
所以∠BAC=∠DCE．
因为∠ACP+ ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD．
(1)【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明．
25． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA=∠OBC；
（2）若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
一、单选题
1． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=35°，则∠C的度数等于（ ）
A．35°B．45°
C．55°D．65°
2． (2023·江苏扬州·校考二模）如图，A、D是⊙O上两点，BC是直径．若∠D=35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
3． (2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．90°
4． (2023·江苏南通·统考一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为( )
A．16πB．20πC．36πD．40π
5． (2023·江苏宿迁·统考二模）⊙O是△ABC的外接圆，若BC长等于半径，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．120°C．30°或150°D．60°或30°
6． (2023·江苏无锡·模拟预测）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（ ）
A．23B．21313C．31313D．无法确定
7． (2023·江苏苏州·统考二模）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．54B．2C．52D．4
8． (2023·江苏连云港·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2B．52C．3516D．2110
二、填空题
9． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是______ ．
10． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面积是______．
11． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为α的锐角∠COD顶点在圆心O上，这个角绕点O任意转动，在转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310，求α= ___________．
12． (2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知C3,4，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为______．
13． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC、AC分别交⊙O于点D、E，OF⊥AC于点F，OG⊥BE于点G，∠BAC=45°，下列结论：①∠EBC=22.5°；②BD=CD；③EF=EG；④AE=2DE；⑤AE=2BD．上述结论中正确的是______.(填上所有正确结论的序号)
14． (2023·江苏苏州·统考二模）如图，半径为20cm的圆形扫地机器人在无障碍的Rt△ABC房间中自由移动打扫卫生，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，则圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积为_________．（结果保留π）
15． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若AE=CP，则AD的最小值为______________．
16． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着AD和BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，当点E到达点D时，两点都停止运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交BD于点M，设运动的时间为t．用关于t的代数式表示DM=______．当圆心O正好在∠ABD的平分线上时，此时t的值为_______．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·统考二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．
18． (2023·江苏连云港·校考一模）如图，已知⊙O中，半径OA⊥OB，点B在⊙O外，点C在⊙O上，连接AC交OB于点D．①BD=BC，②BC与⊙O相切，③∠A=12∠B，在①②③中，选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题， 并证明．
你选择的是 为条件， 为结论．
19． (2023·江苏南通·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1)求证：BF=DF；
(2)若AO=CE=4，CF=1，求BF的长．
20． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P．
(1)求证：直线AP是⊙O的切线；
(2)若BC＝12，tanP=34，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．
21． (2023·江苏泰州·统考一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若CD＝33，求BC⏜的长度．
22． (2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=3．
①求tan∠DFH的值；
②求OH的长度．
23． (2023·江苏苏州·校考模拟预测）如图在△ABO中，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交OB于D，连接AD，∠O=2∠BAD．
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)取OA上一点E，连接DE，若∠ADE=45°，求证：AB=BD+AE．
(3)在（2）的条件下，若E是OA的中点，BD=2，延长DE交⊙O于F，求DF的长．
24． (2023·江苏无锡·校考二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD上，ED=3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF=_____，PF=______．
(2)如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．
(3)如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．
①当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，请求出t的值；
②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．
25． (2023·江苏盐城·校考三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD=BD．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC=BD．且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
26． (2023·江苏连云港·校考三模）（1）[问题提出]如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若AB=6，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）[问题探究]如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AB=AD，点E、F分别在边BC、CD上．且∠EAF=60°，若BE=3，EF=10，求DF的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，将△AEF区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，BE+DF的长为40m，∠EAF=45°．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（△AEF）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形ABCD的边长为_______m．
2024年中考数学【热点·重点·难点】专练 （江苏专用）
热点08. 圆的有关计算与证明
备注：A卷为真题过关卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，共计25道，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
B卷为模拟提升卷，所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，共计25道，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
【考纲解读】
1．了解：圆、圆心角、圆周角的概念，垂径定理及其逆定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
2．理解：圆周角定理及推论，点与圆的位置关系及其运用，切线的性质与判定定理，切线长定理．
3．会：利用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算，运用切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，求n°的圆心角所对的弧长，求圆心角为n°的扇形面积.
4．掌握：圆周角定理及其推论的灵活运用，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
5．能：运用垂径定理解决有关问题，切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，利用点、直线的位置关系解决问题，根据公式中的已知量求圆锥中的未知量，运用圆的有关性质与位置关系进行综合性质计算与实际问题的解决.
【命题形式】
1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积).
3．从考查的热点来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)；圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积.
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
【详解】解：∵∠AOC=160°，
∴∠ADC=12∠AOC=80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°−∠ADC=180°−80°=100°，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
2． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3． (2023·江苏无锡·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=32+42=5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=12×2π×4×5
=20π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4． (2023·江苏镇江·统考中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π
【答案】C
【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣32)2+92π，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣32)2﹣94]＝﹣2π(r﹣32)2+92π，
∴当r＝32时，S侧有最大值92π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:S=12·2πr·l=πrl是解题的关键．
5． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27°B．29°C．35°D．37°
【答案】A
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠AFD=12∠AOD=12×54°=27，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积=122x2=2x2，
∴9πx2÷2x2=92π≈14，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
7． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．
【详解】解：如图：
作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= OPsin30°=6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= 12BC= 33
∴AD= CD·tan30°=3
∴⊙A的半径为3,
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当α=360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当α=180°时，B″C″所在的直线与⊙O相切．
当B′C′⊥AO时，即α=90°时，B′C′所在的直线与⊙O相切．
∴当α为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．
8． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，先求出PA=t+1，PB=9−t，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【详解】解：根据题意，
∵AB=10，AC=BD=1，且已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，则0≤t≤8，
∴PA=t+1，
∴PB=10−(t+1)=9−t，
由PA的长为半径的扇形的弧长为：60π(t+1)180=π(t+1)3
∴用PA的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 t+16
∴其底面的面积为π(t+1)236
由PB的长为半径的扇形的弧长为：60π(9-t)180=π(9−t)3
∴用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 9-t6
∴其底面的面积为π(9-t)236
∴两者的面积和S=π(t+1)236+π(9−t)236=118π(t2−8t+41)
∴图像为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值；
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．
二、填空题
9． (2023·江苏淮安·统考中考真题）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留π）
【答案】10π
【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，
故答案为：10π．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
10． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
【答案】72°##72度
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
11． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为___________．
【答案】π3##13π
【分析】由旋转的性质可得AB'=AB=2,由锐角三角函数可求∠DAB'=60°,从而得出∠BAB'=30°,由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵AB=2BC=2,
∴BC=1,
∵矩形ABCD中，
∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°,
由旋转可知AB=AB′，
∵AB=2BC=2，
∴AB'=AB=2,
∵cs∠DAB'=ADAB'=12,
∴∠DAB'=60°,
∴∠BAB'=30°,
∴线段AB扫过的面积=30°×π×22360°=π3.
故答案为：π3.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键．
12． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是______．
【答案】1
【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到∠AOC=90°，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OA、OC，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA2+OC2=AC2，即2OA2=2，
解得：OA=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
13． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
【答案】2或12##12或2
【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；
【详解】解：①如图，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，连接OB，则OD⊥AC，
∵DE//BC，
∴∠OBF=∠BOE
∵O为ΔABC的内心，
∴∠OBF=∠OBE，
∴∠BOE=∠OBE
∴BE=OE，
同理，CD=OD，
∴DE=CD+BE，
AB=BC2+AC2=62+82=10
∵O为ΔABC的内心，
∴OF=OD=OG=CD，
∴BF=BG，AD=AG
∴AB=BG+AG=BC−CD+AC−CD=6−CD+8−CD=10
∴CD=2
②如图，作DE⊥AB，
由①知，BE=4，AE=6，
∵∠ACB=∠AED，∠CAB=∠EAD
∴ΔABC∼ΔADE
∴ABAC=ADAE
∴AD=AB⋅AEAC=10×68=152
∴CD=AC−AD=8−152=12
∵DE=AD2−AE2=1522−62=92
∴DE=BE+CD=4+12=92
∴CD=12
故答案为：2或12．
【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．
14． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【分析】连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=12∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数．
15． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ___．
【答案】0,11．
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标．
【详解】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB=2×5=10．
∵∠O=90°,∠OCA=90°,∠ADO=90°，
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在Rt△PAC中，PC=PA2−AC2=102−82=6．
如图，当点P在C点上方时，
∴OP=OC+CP=5+6=11，
∴点P的坐标为0,11．
【点睛】此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
16． (2023·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE//AB，交BD于点E，连接BE，则CEBE的值为___________．
【答案】22．
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=22a，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵∠ACB=90°
∴AB=AC2+BC2=2a，∠CAB=∠CBA=45°
∴AE=2a，∠CAF=45°
∵CE//AB
∴∠ECB=∠CBA=45°
∵∠ACB=90°
∴∠ACF=45
∴∠AFC=90°
∴AF=CF=22AC=22a
设CE=x，则FE=22a+x
在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2
∴(22a)2+(22a+x)2=(2a)2
解得，x1=6−22a，x2=−6−22a（不符合题意，舍去）
∴CE=6−22a
∵∠ECB=45°,∠EGC=90°
∴∠CEG=45°
∴CG=GE=22CE=22×6−22a=3−12a
∴BG=BC−CG=a−3−12a=3−32a
在Rt△BGE中，BG2+GE2=BE2
∴BE=(3−12a)2+(3−32a)2=(3−1)a
∴CEBE=6−22a(3−1)a=22
故答案为：22．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题
17． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)12π−93
【分析】（1）连接OA，根据AD∥BC和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得OH=12OB=3，进而得到BC=2BH=63，再根据阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC，即可求解．
【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴OH=12OB=3，
∴BH=BO2−OH2=33，
∴BC=2BH=63，
∴扇形BOC的面积为120×62×π360=12π，
∵SΔOBC=12BC⋅OH=12×63×3=93，
∴阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC=12π−93．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC是解题的关键．
18． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，点O是正方形，ABCD的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接EB、EC、EO,求证：∠BEO=∠CEO．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明△EBO≅△ECO即可求解．
【详解】1如图所示，点E即为所求．
2连接OB、OC
由1得：EB=EC
∵O是正方形ABCD中心，
∴OB=OC,
∴在△EBO和△ECO中，
EB=ECEO=EOOB=OC
∴△EBO≅△ECOSSS,
∴∠BEO=∠CEO．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
19． (2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性质证明∠BAC=∠CFD，再证明BD//CF,即可得到结论；
（2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证明∠EAF=∠B，从而可得结论．
【详解】证明：（1）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，
又∠BAC=∠CFD,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD//CF,
四边形DBCF是平行四边形．
（2）如图，连接AE
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF
∴∠AEF=∠B
四边形AECF是⊙O的内接四边形
∴∠ECF+∠EAF=180°
∵BD//CF
∴∠ECF+∠B=180°
∴∠EAF=∠B
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线BD与⊙O相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积83−8π3
【分析】（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB=∠C=60°，连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOD=60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE=90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线BD与⊙O相切，
理由：如图，连接BE，
∵∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠C=60°，
连接OB，
∵OB=OC，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵∠ADB=30°，
∴∠OBD=180°−60°−30°=90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）解：如（1）中图，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AB=43，
∴sin∠AEB=sin60°=ABAE=43AE=32，
∴AE=8，
∴OB=4，
∵OB⊥BD，∠ADB=30°
∴tan∠ADB=tan30°=OBBD=33，
∴BD=433，
∴图中阴影部分的面积=S△OBD−S扇形BOE=12×4×43−60π×42360=83−8π3．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
21． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
(2)当DC=2AD时，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)CE=1277
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得∠A=∠E，再由对顶角相等得∠BDA=∠CDE，故可证明绪论；
（2）根据DC=2AD可得AD=2,CD=4，由△CED∽△BAD可得出BD·DE=8,连接AE，可证明△ABD∽△EBA，得出AB2=BD·BE=BD2+BD·BE, 代入相关数据可求出BD=27，从而可求出绪论．
【详解】（1）∵BC所对的圆周角是∠A,∠E，
∴∠A=∠E，
又∠BDA=∠CDE，
∴△CED∽△BAD；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6
∵DC=2AD，
∴AC=3AD,
∴AD=2,DC=4,
∵ΔCED~ΔBAD,
∴ADDE=BDCD=ABCE，
∴2DE=BD4,
∴BD⋅DE=8;
连接AE,如图，
∵AB=BC,
∴AB=BC
∴∠BAC=∠BEA,
又∠ABD=∠EBA，
∴△ABD~ΔEBA,
∴ABBE=PDAB，
∴AB2=BD⋅BF=BD⋅(BD+DE) =BD2+BD⋅DE,
∴62=BD2+8，
∴BD=27（负值舍去）
∴6CF=274，
解得，CE=1277
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，BF=2，求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)AG=3210
【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由∠OCD=∠ODC，FC=FE，可得∠OED=∠FCE，由AB是⊙O的直径，D是AB的中点，∠DOE=90°，进而可得∠OCF=90°，即可证明CF为⊙O的切线；
方法二：如图2，连接OC，BC．设∠CAB=x°．同方法一证明∠OCF=90°，即可证明CF为⊙O的切线；
（2）方法一：如图3，过G作GH⊥AB，垂足为H．设⊙O的半径为r，则OF=r+2．在Rt△OCF中，勾股定理求得r=3，证明GH∥DO，得出△BHG∽BOD，根据BHBO=BGBD，求得BH,GH，进而求得AH，根据勾股定理即可求得AG；
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得r=3．AB=6，D是AB的中点，可得AD=BD=32，根据勾股定理即可求得AG．
【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE．
∵AB是⊙O的直径，D是AB的中点，
∴∠DOE=90°．
∴∠OED+∠ODC=90°．
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
方法二：如图2，连接OC，BC．设∠CAB=x°．
∵AB是⊙O的直径，D是AB的中点，
∴∠ACD=∠DCB=45°．
∴∠CEF=∠CAB+∠ACD=45+x°．
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC=45+x°．
∴∠BCF=x°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=x°．
∴∠BCF=∠ACO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠OCB+∠ACO=90°．
∴∠OCB+∠BCF=90°，即∠OCF=90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
（2）解：方法一：如图3，过G作GH⊥AB，垂足为H．
设⊙O的半径为r，则OF=r+2．
在Rt△OCF中，42+r2=r+22，
解之得r=3．
∵GH⊥AB，
∴∠GHB=90°．
∵∠DOE=90°，
∴∠GHB=∠DOE．
∴GH∥DO．
∴△BHG∽BOD
∴BHBO=BGBD．
∵G为BD中点，
∴BG=12BD．
∴BH=12BO=32，GH=12OD=32．
∴AH=AB−BH=6−32=92．
∴AG=GH2+AH2=322+922=3210．
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得r=3．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=BD=32．
∵G为BD中点，
∴DG=12BD=322．
∴AG=AD2+DG2=322+3222=3210．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
23． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
【答案】(1)5π3
(2)8或9秒
【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解；
(2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=12EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴ME=60π×5180=5π3．
（2）解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=90∘OG=OH，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键．
24． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中， ，
所以tan∠BAC=tan∠DCE．
所以∠BAC=∠DCE．
因为∠ACP+ ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD．
(1)【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明．
【答案】(1)tan∠DCE=12；见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点N，作射线AN交BM于点P，则AN⊥MO根据垂径定理可知，点P即为所求作；
（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．
（1）
解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中，tan∠DCE=12，
所以tan∠BAC=tan∠DCE．
所以∠BAC=∠DCE．
因为∠ACP+ ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD．
故答案为：tan∠DCE=12；
取格点N，作射线AN交BM于点P，点P即为所求作；
∵tan∠MOD=13,tan∠NAC=13
∴∠MOD=∠NAC
∵∠NAC+∠ANC=90°
∴∠ANC+∠DOM=90°
∴ AN⊥OM
∴AM=PM
（2）
解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；
证明：作直径AN，连接BM、MN，
在Rt△FMI中，tan∠FMI=13，
在Rt△MNA中，tan∠MNA=13，
所以tan∠FMI=tan∠MNA．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴△PAM∽△MAB，
∴PAAM=AMAB，
∴AM2=AP·AB．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA=∠OBC；
（2）若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；
（2）先推出∠OCB=∠OBC=20°，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，
∴∠PBA+∠ABO=∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠PBA=∠OBC；
（2）∵∠PBA=20°，∠PBA=∠OBC，
∴∠OBC=20°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=20°，
∴∠AOB=20°+20°=40°，
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠ADB=12∠AOB=20°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=90°-20°=70°，
∴∠CDE=∠OAB，
∵∠ACD=40°，
∴∠ACD=∠AOB=40°，
∴△OAB∽△CDE．
【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
一、单选题
1． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=35°，则∠C的度数等于（ ）
A．35°B．45°
C．55°D．65°
【答案】C
【分析】连接AO，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=35°，根据三角形内角和定理得出∠AOB=180°−2×35°=110°，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接AO，
∵AO=BO,∠ABO=35°，
∴∠OAB=∠OBA=35°，
∴∠AOB=180°−2×35°=110°，
∴∠C=12AOB=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
2． (2023·江苏扬州·校考二模）如图，A、D是⊙O上两点，BC是直径．若∠D=35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理求得∠AOB的度数，再根据AO=OB求得∠OAB的度数即可．
【详解】∵∠D=35°，
∴∠AOB=2∠D=2×35°=70°，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA=12×180°−70°=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，在同圆中，同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半．
3． (2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．90°
【答案】A
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B，再利用圆周角定理求出∠CAB即可．
【详解】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4． (2023·江苏南通·统考一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为( )
A．16πB．20πC．36πD．40π
【答案】C
【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝32+42＝5，
∵把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，
∴所得的几何体的全面积为：底面半径为4，母线长为5的圆锥侧面和半径为4的圆的面积之和，
故π×4×5+π×42＝36π．
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5． (2023·江苏宿迁·统考二模）⊙O是△ABC的外接圆，若BC长等于半径，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．120°C．30°或150°D．60°或30°
【答案】C
【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．
【详解】如图，连接BO，CO，
∵△ABC的边BC等于圆的半径，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
若点A′在劣弧BC上，则∠A′=150°，
∴∠A= 30°或150°；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理，得出△BOC是等边三角形是解题的关键．
6． (2023·江苏无锡·模拟预测）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（ ）
A．23B．21313C．31313D．无法确定
【答案】B
【分析】连接BC，OC，先证明△PAC∽△PCB，则ACBC=PAPC=23，设AC＝2k，BC＝3k，AB=13K，从而求出sin∠ACP．
【详解】解：如图，连接BC，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠PCA=∠BCO，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠PCA=∠CBO，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
于是ACBC=PAPC=23，
设AC＝2k，BC＝3k，
由∠ACB＝90°得，AB=13K，
∴sin∠ACP＝sin∠ABC=ACAB=2k13k=21313．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．
7． (2023·江苏苏州·统考二模）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．54B．2C．52D．4
【答案】A
【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．
【详解】解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，
即半径为5的扇形对应的弧长l=2π×5×14=52π
设圆锥底面半径为r，则2πr=52π
∴r=54
故选：A．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．
8． (2023·江苏连云港·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2B．52C．3516D．2110
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD，根据切线的性质∠DEO=90°，根据同角的余角相等得∠OEB=∠EDC，则∠DBC=∠EDC，根据cs∠DBC=BCBD=45，可得cs∠EDC=DCDE=45，可求得DE=152，在Rt△ODE中，利用勾股定理即可得⊙O的半径OE的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，BC=AD=8，DC=AB=6，
在Rt△ADB中，∠A=90°，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OEB+∠DEC=90°，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠OEB=∠EDC，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠DBC，
∴cs∠EDC=DCDE=cs∠DBC=BCBD=45，
∴DE=152，
设OB=OE=r，
在Rt△ODE中，OD2=OE2+DE2，
∴(10−r)2=r2+(152)2，
解得r=2516．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
二、填空题
9． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是______ ．
【答案】258
【分析】通过作辅助线AD⊥BC，可将求△ABC外接圆的半径转化为求Rt△BOD的斜边长，再利用等腰三角形的性质即可．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
∴AD=52−32=4，
设OA=r，OB2=OD2+BD2，
即r2=4−r2+32，
解得r=258．
故答案为：258．
【点睛】此题主要考查等腰三角形外接圆半径的求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．
10． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面积是______．
【答案】9−943−32π
【分析】根据直角三角形的性质求出AE和∠AEM，根据勾股定理求出AM，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由题意得，AE=12AB=12ME=32，
∵∠A=90°，
∴∠AME=30°，AM=ME2−AE2=323，
∴∠AEM=60°，
同理，∠BEN=60°，
∴∠MEN=60°，
阴影部分的面积=32−12×323×32×2−60π×32360=9−943−32π，
故答案为：9−943−32π．
【点睛】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
11． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为α的锐角∠COD顶点在圆心O上，这个角绕点O任意转动，在转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310，求α= ___________．
【答案】36°##36度
【分析】根据题意可得出扇形COD与扇形AOB有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与360°的比值，进而得出答案．
【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，
∴每个正五边形的中心角为72°，
∵转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310
∴72°+α360°=310
解得：α=36°．
故答案为：36°．
【点睛】此题主要考查了几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．
12． (2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知C3,4，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为______．
【答案】4
【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP=2，则AB的最小长度为4．
【详解】解：连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，
此时OP最小，OP=12AB，则AB的长度最小，
∵C3,4，
∴OC=32+42=5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP=OA=OB=5−3=2，
∵AB是直径，
∴∠APB=90∘，
∴AB长度的最小值为4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最小值是解题的关键．
13． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC、AC分别交⊙O于点D、E，OF⊥AC于点F，OG⊥BE于点G，∠BAC=45°，下列结论：①∠EBC=22.5°；②BD=CD；③EF=EG；④AE=2DE；⑤AE=2BD．上述结论中正确的是______.(填上所有正确结论的序号)
【答案】①②③④
【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，根据垂径定理即可判断①③，再运用弧、弦、圆心角的关系即可判断②④.
【详解】解：如图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，AB=AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°，∠C=∠ABC=12180°−∠BAC=67.5°
∴AE=BE，∠EBC=∠ABC−∠ABE=22.5°，故①正确，
∵AD⊥BC，AB=AC
∴BD=CD，故②正确，∠BAD=∠CAD
∴DB=DE=12EB，
∵AE=BE，
∴AE=BE
∴AE=2DE，故④正确
∵OF⊥AE,OG⊥BE
∴AE=2EF,BE=2EG
∵AE=BE
∴EF=EG，故③正确，
在Rt△BEC中，BE∵AE=BE，BC=2BD
∴AE<2BD，故⑤不正确，
故答案为：①②③④
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，圆心角，弦，弧的关系．构造合适的辅助线是解题的关键．
14． (2023·江苏苏州·统考二模）如图，半径为20cm的圆形扫地机器人在无障碍的Rt△ABC房间中自由移动打扫卫生，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，则圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积为_________．（结果保留π）
【答案】6−π25m2
【分析】先确定无法扫到的区域，再利用扇形面积公式和三角形面积公式求解．
【详解】解：∵AB=4m，BC=3m，∠B=90°，
∴AC=32+42=5（m），
如图，图中的阴影部分面积为机器人无法扫到的房间面积，
图中的圆形机器人所代表的三个圆均与三角形的两边相切，切点分别为E、F、M、G、Q、N，连接圆心与各切点，
∴DE⊥BC，DF⊥AC，HM⊥AB，HG⊥AC，PQ⊥BC，PN⊥BA，
∴∠CED=∠CFD=∠AMH=∠AGH=∠PQE=∠PNM=90°，
∵∠B=90°，
∴DE∥PQ∥BN，BQ∥PN∥HM，DF∥HG，
又∵DE=PQ=PN=HM=HG=DF=20cm=0.2m，
∴四边形PQBN是正方形，四边形EDPQ、四边形DHGF、四边形PHMN是矩形；
∴DP∥EQ，PH∥NM，DH∥FG，且DP=EQ，PH=NM，DH=FG，
∴△PHD∽△BAC，
∴可设PD=3x，PH=4x，DH=5x，
∵四边形CEDF、四边形QBNP、四边形MAGH的内角和都是360°，∠CED=∠CFD=∠AMH=∠AGH=∠PQE=∠PNM=90°，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠EDF+∠GHM+∠QPN=360°×3-180°-6×90°=360°，
∵∠EDF+∠GHM+∠QPN=360°，
∴图中劣弧所对的三个扇形面积之和即为半径为20cm的圆的面积，即扇形EDF的面积+扇形GHM的面积+扇形PQN的面积=π×0.22=0.04π（m2）．
由切线长定理可知，CE=CF，BQ=BN=0.2，AG=AM，
∴CE=CF=3-0.2-3x=2.8-3x，AG=AM=4-0.2-4x=3.8-4x，
∴FG=5-CF-AG=5-（2.8-3x）-（3.8-4x）=7x-1.6，
∴7x-1.6=5x，
解得x=0.8，
∴DP=3x=2.4m，PH=4x=3.2m，DH=5x=4m，
∴S△DPH=12×3.2×2.4=3.84（m2），S矩形EDPQ+S矩形PNMH+S矩形HGFD=2.4×0.2+3.2×0.2+4×0.2=1.92（m2）
∴S阴影=12×3×4−0.04π−3.84−1.92=0.24−0.04π=6−π25（m2）；
故答案为：6−π25m2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、切线长定理、扇形面积、矩形的判定与性质问题，解题关键是发现相似三角形，牢记扇形面积公式，能够进行面积转化．
15． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若AE=CP，则AD的最小值为______________．
【答案】213−6
【分析】先求出∠ACB=∠CDP=30°，得到∠BDC=150°，则点D在以BC为弦，∠BDC=150°的圆弧上运动，如图所示，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC=30°，当A、D、M三点共线时，AD有最小值，再证明△BMC是等边三角形，得到∠MCB=60°，MC=BC=6，推出∠ACM=90°，利用勾股定理求出AM的长即可求出AD的长．
【详解】解：∵AE=CP，
∴∠ACB=∠CDP=30°，
∴∠BDC=150°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC=150°的圆弧上运动，
如图所示，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
∴∠BNC=30°，当A、D、M三点共线时，AD有最小值，
∴∠BMC=60°，
又∵MB=MC，
∴△BMC是等边三角形，
∴∠MCB=60°，MC=BC=6，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACM=90°，
∴AM=AC2+CM2=213，
∴AD=AM−MD=213−6，
故答案为：213−6．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆外一点到圆上一点的距离最值问题，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，确定点D的运动轨迹是解题的关键．
16． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着AD和BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，当点E到达点D时，两点都停止运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交BD于点M，设运动的时间为t．用关于t的代数式表示DM=______．当圆心O正好在∠ABD的平分线上时，此时t的值为_______．
【答案】 48−t5 2
【分析】（1）连接ME，根据AE=t，AD=8，求出ED=8−t，由EF为⊙O的直径，∠EMF=90°，由余弦值建立等式求解；
（2）作出∠ABD的角平分线交AD于点H，过点H作BD的垂线交于G，先通过三角形的面积之间的关系求出AH=3，再建立坐标系，求出角平分线所在的直线方程，利用锐角三角函数求出F的坐标，根据圆心O正好在∠ABD的平分线上建立等式求解．
【详解】解：连接ME，
∵AE=t，AD=8，
∴ED=AD−AE=8−t，BD=62+82=10，
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EMF=90°，
∴∠EMD=90°，
∴MD=ED⋅cs∠MDE=48−t5，
如下图：作出∠ABD的角平分线交AD于点H，过点H作BD的垂线交于G，
根据角平分线的性质，
∴AH=GH，
∵∠ABH=∠GBH,BH=BH，
∴Rt△ABH≌Rt△GBH，
∴AB=GB=6，
∴DG=BD−BG=4，
根据三角形等高模型，
∴S△BGH:S△DGH=6:4，
∴S△DGH=23S△BGH，
∴S△ABD=S△ABH+S△BGH+23S△BGH=83S△ABH=12×6×8=24，
∴S△ABH=9，
∴S△ABH=12AB⋅AH=9，
∴AH=3，
∴H3,0,B0,6，
将H3,0,B0,6代入y=kx+b中，
∴0=3k+b6=b，
解得：k=−2,b=6，
∴直线BH的方程为：y=−2x+6，
设经过t秒后，O在角平分线BH上，
∴Et,0，
BF=t，
过F作AD的平行线交y轴于L，
∵FL∥AD，
∴∠BFL=∠BDA，
∴sin∠BFL=sin∠BDA，
BLt=35，
解得：BL=35t，
AL=AB−BL=6−35t，
同理cs∠BFL=cs∠BDA，
FLt=45，
解得：FL=45t，
∴E45t,6−35t，
∴E,F的中点坐标为圆心O，
∴O910t,3−310t，
∵O到角平分线上，
∴3−310t=−2×910t+6，
解得：t=2，
∴当圆心O正好在∠ABD的平分线上时，此时t的值为2，
故答案为：48−t5，2．
【点睛】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、角平分线、锐角三角函数、一次函数，解题的关键添加适当辅助线，利用锐角三角函数进行求解，综合性强，题目较难．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·统考二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．
【答案】详见解析
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−AC=CD−AC，
即AD=BC，
∴∠B=∠D，
∴BE=DE；
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
18． (2023·江苏连云港·校考一模）如图，已知⊙O中，半径OA⊥OB，点B在⊙O外，点C在⊙O上，连接AC交OB于点D．①BD=BC，②BC与⊙O相切，③∠A=12∠B，在①②③中，选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题， 并证明．
你选择的是 为条件， 为结论．
【答案】①，②或③．证明见解析
【分析】由①⇒②或③．证明2∠A+2∠BDC=180°，∠B+2∠BDC=180°，可得∠B=2∠A，再证明∠OCB=90°，可得BC是切线．
【详解】解：（1）由①⇒②或③．
理由：如图，连接OC．
AO⊥OB，
∴∠A+∠ADO=90°，
∴2∠A+2∠ADO=180°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠B+2∠BDC=180°，
∵∠ADO=∠BDC，
∴∠B=2∠A，
∴∠A=12∠B；
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠OCA+∠BCD=90°，
∴∠BCO=90°，
∴OC⊥BC，
∵OC为半径，
∴BC是⊙O的切线，
故答案为：①，②或③．
【点睛】本题考查命题与定理，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．
19． (2023·江苏南通·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1)求证：BF=DF；
(2)若AO=CE=4，CF=1，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】(1) 连接OD，得到∠OAD=∠ADO，利用余角的性质得到∠B=∠BDF，得出结果；
(2) 连接OF，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，
∵半圆O的切线DF，
∴∠ODF=90°．
∴∠ADO+∠BDF=90°．
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO．
∴∠B=∠BDF．
∴BF=DF．
（2）解：连接OF．
∵AO=CE=4，AO=OE，
∴OC=8．
∵∠C=90°=∠ODF=90°，CF=1，
∴OF2=OC2+CF2=OD2+DF2=65．
又∵OD=4，
∴DF=BF=7．
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关键．
20． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P．
(1)求证：直线AP是⊙O的切线；
(2)若BC＝12，tanP=34，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)tan∠PAC=724
【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出∠B+∠P＝90°，由三角形的内角和定理得出∠BAP＝90°即可；
（2）由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，再根据△PCE∽△PBA，求出EC，AE，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，
∵∠BAC＝2∠P，
∴∠BAD＝∠P，
∵∠BAD+∠B＝90°，
∴∠P+∠B＝90°，
∴∠BAP＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥PA，垂足为E，则CE∥AB，
由（1）可得BD＝CD＝12BC＝6，
∵tan∠P＝34＝tan∠BAD＝BDAD，
∴AD＝8，
∴AB＝AD2+BD2＝10，
即⊙O的半径为5；
∵tan∠P＝34＝ABAP，AB＝10，
∴PA＝403，
∴PB＝AB2+PA2＝503，
∴PC＝PB﹣BC＝503﹣12＝143，
∵CE∥AB，
∴△PCE∽△PBA，
∴PEAP=CEAB=PCPB，即PE403=CE10=143503，
解得∶PE=5615,CE=145，
∴AE＝485，
∴tan∠PAC＝ECAE＝724．
【点睛】本题考查切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是正确解答的前提．
21． (2023·江苏泰州·统考一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若CD＝33，求BC⏜的长度．
【答案】(1)①②，③ 证明见解析
(2)BC⏜的长度为π．
【分析】（1）选择①②为条件，③为结论；连接OC，即可求得∠D=30°，根据OD=2OC=2OB即可证明；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求得⊙O的半径，利用弧长公式即可求解．
（1）
解：选择①②为条件，③为结论；
证明：连接OC，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COB=60°，
∵DC是切线，
∴OC⊥DC，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=2OB，
∴BD=OB；
故答案为：①②，③；
（2）
解：由（1）知△OCD是直角三角形，∠D=30°，OD=2OC，
又CD=33，
∴OD2=OC2+CD2，即(2OC)2=OC2+(33)2，
∴OC=3，
∵∠COB=60°，
∴BC⏜的长度=60π×3180=π．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．已知切线时，连接圆心与切点，构造直角三角形是解答此题的关键．
22． (2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=3．
①求tan∠DFH的值；
②求OH的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②3
【分析】（1）连接OD，根据切线性质证明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根据半径相等得到∠OAD=∠ODA，推出∠CAD=∠BAD，得到AD平分∠CAB；
（2）①根据角平分线定义得到∠AFH=∠EFH，根据∠DFG=∠EAD=∠HAF，推出∠DFH=∠DHF，得到DF=DH，根据∠ADF=90°，推出∠DFH=45，得到tan∠DFH=tan45°=1；②设DF=x， DH=DF=x，得到AD=2DH=2x，证明△DFG∽△DAF，得到DFAD=DGDF，求得x=6，DF=6，得到OH=12DF=3．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
∵∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠EFH=∠HAF+∠AFH，
即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴∠DFH=45，
∴tan∠DFH=tan45°=1；
②解：设DF=x，由①可知DH=DF=x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2x，
∵∠DFG=∠DAF，∠GDF=∠FDA，
∴△DFG∽△DAF，
∴DFAD=DGDF，
∴x2x=3x，
∴x=6，
∴DF=6，
∵AH=DH，AO=OF，
∴OH=12DF=3．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，角平分线，垂径定理，相似三角形，锐角三角函数等，解决问题的关键是熟练掌握圆切线的性质，角平分线定义，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正切定义及特殊角的三角函数值．
23． (2023·江苏苏州·校考模拟预测）如图在△ABO中，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交OB于D，连接AD，∠O=2∠BAD．
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)取OA上一点E，连接DE，若∠ADE=45°，求证：AB=BD+AE．
(3)在（2）的条件下，若E是OA的中点，BD=2，延长DE交⊙O于F，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3255
【分析】（1）设∠BAD=α，则∠O=2a，则∠OAB=90°−α+α=90°，即可求解；
（2）证明△EOD≅△HOA(AAS)，得到BH=AB=BD+DH，进而求解；
（3）证明△OKE≅△AGE(AAS)，得到DK=2OK，在Rt△OAB中，由勾股定理得：(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2，解得x=4，进而求解．
【详解】（1）设∠BAD=α，则∠O=2a，
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA=90°−a,
∴∠OAB=90°−α+a=90°,
∴AB⊥OA,
∵OA为圆O的半径，
∴AB与⊙O相切．
（2）在OD上取点H，使OE=OH，连接AH，
∵OD=OA,∠O=∠O,
∴△EOD≅△HOA(AAS)，
∴∠ODE=∠OAH,
∵∠ODA=∠OAD,
∴∠DAH=∠ADE=45°,
设∠BAD=a,∠B=90°−2α,
∴∠BAH=45°+a,
∴∠AHB=45°+a,
∴∠AHB=∠BAH,
∴BH=AB=BD+DH,
∵OD=OA,OH=OE,
∴DH=AE,
∴AB=BD+AE；
（3）过点O作OK⊥DF于点K，则FD=2DK，设AH交DE于点G，
由（2）知∠DAG=∠ADG=45°,，
∴AG=DG,∠AGD=∠OKD=90°,
∴OK∥GH,则∠KOE=∠EAG,
∵点E是OQ的中点，
∴△OKE≅△AGE(AAS)，
∵OK∥GH，
∴△GHD∼△KOD
∴DHDO=DGDK
∵点H是OD的中点，
∴DH=OH=12DO
∴DG=12DK
则DG=12DK=OK，则DK=2OK，
设OE=AE=x，则OD=2x，AB=x+2,OA=2x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2，
解得x=4，
故AE=4,OA=DO=8,
设OK=m，则DK=2m，则OD=5m=8，解得m=855，
则DF=2DK=3255．
【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形全等和相似、三角形中位线的判定与性质、勾股定理的运用等．
24． (2023·江苏无锡·校考二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD上，ED=3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF=_____，PF=______．
(2)如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．
(3)如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．
①当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，请求出t的值；
②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)4t，5t
(2)t=725时，D′落在FG上．
(3)①t=1534或t=252−1541；②当1534【分析】（1）由△PFB∽△ECD，得PFEC=BFCD=BPDE，由此即可解决问题．
（2）如图2中，由△D′MG∽△CDE，得D′MCD=MGED，求出MG，根据PF=CG=CM−MG，列出方程即可解决问题．
（3）①需要对四边形GQFP进行分类讨论，当为一般的矩形时和为特殊的正方形两种情况进行讨论；②需要分情况讨论，当∠FPG=90°时，当∠FGP=90°时，求出两种特殊位置t的值即可判断．
【详解】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠D=90°，AD∥BC，
在Rt△ECD中，∵∠D=90°，ED=3．CD=4，
∴EC=ED2+CD2=5，
∵PF∥CE,FG∥BC，
∴四边形PFGC是平行四边形，
∴∠FPB=∠ECB=∠DEC，
∴△PFB∽△ECD，
∴ PFEC=BFCD=BPDE，
∴ PF5=BF4=3t3，
∴BF=4t，PF=5t，
故答案为4t，5t．
（2）解：如图2中，
∴D、D′关于CE对称，
∴DD′⊥CE，DM=MD′，
∵ 12·DE·DC=12·EC·DM，
∴DM=D′M=125，CM=CD2−DM2=165，
由△D′MG∽△CDE，得D′MCD=MGED，
∴ 12504=MG3，
∴MG=95，
∴PF=CG=CM−MG，
∴5t=165−95，
∴t=725．
∴t=725时，D′落在FG上．
（3）解：①当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，
∵GQ∥FP，
∴GQFP为平行四边形，
∵F,P,G,Q四点都在圆上，则圆心到四点的距离相等，
∴四边形GQFP为矩形或正方形，
当四边形GQFP为矩形时，
∴∠FPG=90°，
在Rt△FBP和Rt△PGC中，
∵FP∥EC，
∴∠FPB=∠PCG，
∴Rt△FBP∽Rt△PGC，
∴FPPC=BPCG，
由（1）（2）可得：FP=5t,PC=5−3t,BP=3t,CG=5t，
∴5t5−3t=3t5t，
解得：t=1534
当四边形GQFP为正方形时，
∴FP=GP=5t,FG=PC=5−3t，
∴FG2=FP2+GP2
5−3t2=5t2+5t2
解得：t=252−1541，
∴当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，t=1534或t=252−1541；
②如图6中，当∠FPG=90°时，
由cs∠PCG=cs∠CED，
∴ 5t5−3t=35，
∴t=1534，
如图7中，当∠FGP=90°时，
∴ 5−3t5t=35，
∴t=56，
观察图象可知：当1534【点睛】本题考查圆的综合题、垂径定理、平行四边形点性质、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，把问题转化为方程解决，学会添加常用辅助线，构造相似三角形．
25． (2023·江苏盐城·校考三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD=BD．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC=BD．且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）221+3；（4）存在，最大值为405000m2
【分析】（1）连接AC,BD，证明△ACE≌△DBE即可；
（2）分别以点A,B为圆心，大于12AB长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两弧交点，即作AB的垂直平分线，以B为圆心，AC长度为半径画弧交AB的垂直平分线于点D，则点D即为所作；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=12AB，根据勾股定理求出AC，则BD已知，然后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD进行计算即可；
（4）当美好四边形的对角线不垂直时，过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F，可得DE+BF【详解】解：（1）连接AC,BD，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠BEC+∠CED=∠AED+∠CED，即∠BED=∠AEC，
在△AEC和△DEB中，
AE=DE∠AEC=∠DEBEC=EB，
∴△AEC≌△DEB(SAS)，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是美好四边形；
（2）如图即为所作；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD，
∴AE=BE=12AB，
∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，
∴AC=5，BE=12×4=2，
∵四边形ABCD为美好四边形，
∴AC=BD=5，
∴DE=BD2−BE2=52−22=21，
∴S△ABD=12⋅AB⋅DE=12×4×21=221，S△BCD=12BC⋅BE=12×3×2=3，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=221+3；
（4）存在，
当美好四边形的对角线不垂直时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F，
则S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC⋅(DE+BF)，
∵DE∴DE+BF当美好四边形对角线互相垂直时，
S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC⋅(OD+OB)=12AC⋅BD，
∵12AC⋅(DE+BF)<12AC⋅BD，
∴当美好四边形的对角线垂直时面积最大，
如图，当AC过圆心E，AC最长，四边形ABCD中，AC⊥BD时，其面积最大，
∵湖泊的半径是200m，点A到该湖泊的最近距离为500m，
∴AC=500+200×2=900m，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC⋅(OD+OB)=12AC⋅BD=12×900×900=405000m2．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了特殊四边形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，明确等角线四边形对角线垂直时面积最大是解题的关键．
26． (2023·江苏连云港·校考三模）（1）[问题提出]如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若AB=6，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）[问题探究]如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AB=AD，点E、F分别在边BC、CD上．且∠EAF=60°，若BE=3，EF=10，求DF的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，将△AEF区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，BE+DF的长为40m，∠EAF=45°．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（△AEF）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形ABCD的边长为_______m．
【答案】（1）9；（2）DF=7；（3）400+4002；20+202
【分析】（1）连接OC，过点C作CH⊥AB，由题意可得：CH≤3，即可求解；
（2）将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABT，通过旋转的性质得到△EAT≌△EAF，即可求解；
（3）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，可得S△EAF=S△EAT=20AB，由（1）可得，当AB垂直平分ET时，面积最大，即可求解．
【详解】（1）如图1中，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB=6，
∴OA=OB=OC=3，
∵OC≥CH，
∴CH≤3，
∴CH的最大值为3，此时CH垂直平分AB，
∴△ABC的面积的最大值为12×6×3=9．
（2）将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABT．
则DF=BT，
∵∠D=∠ABC=∠ABT=90°，
∴∠CBT=180°，
∴C，B，T共线，
∵∠C+∠BAD=180°，∠C=60°，
∴∠BAD=120°
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∵∠DAF=∠BAT，
∴∠EAT=∠BAE+∠BAT=60°，
∴∠EAT=∠EAF，
∵AE=AE，AT=AF，
∴△EAT≌△EAF(SAS)，
∴TE=EF=10，
∵BE=3，
∴BT=ET−BE=7，
∴DF=BT=7；
（3）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，如下图：
则BT=DF，ET=40m，∠DAF=∠BAT，AT=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠TAE=∠TAB+∠BAE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，
∴△TAE≌△FAE(SAS)，
∴EF=ET=40m，
∴S△EAF=S△EAT=12TE×AB=20AB，
由（1）可得，当AB垂直平分ET时，AB最大，此时面积也最大，
则BE=TB=20m，
设AB=xm，则CE=CF=(x−20)m，
由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2，
即(x−20)2+(x−20)2=402，解得x=20+202，（负值舍去），
S△EAF=20AB=400+4002，
故答案为：400+4002；20+202
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作辅助线构造出全等三角形．
备注：A卷为真题过关卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，共计25道，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
B卷为模拟提升卷，所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，共计25道，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
【考纲解读】
1．了解：圆、圆心角、圆周角的概念，垂径定理及其逆定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
2．理解：圆周角定理及推论，点与圆的位置关系及其运用，切线的性质与判定定理，切线长定理．
3．会：利用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算，运用切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，求n°的圆心角所对的弧长，求圆心角为n°的扇形面积.
4．掌握：圆周角定理及其推论的灵活运用，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
5．能：运用垂径定理解决有关问题，切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，利用点、直线的位置关系解决问题，根据公式中的已知量求圆锥中的未知量，运用圆的有关性质与位置关系进行综合性质计算与实际问题的解决.
【命题形式】
1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积).
3．从考查的热点来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)；圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积.
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
2． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
3． (2023·江苏无锡·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
4． (2023·江苏镇江·统考中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π
5． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27°B．29°C．35°D．37°
6． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
7． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（ ）
B．
C．D．
二、填空题
9． (2023·江苏淮安·统考中考真题）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留π）
10． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
11． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为___________．
12． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是______．
13． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
14． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
15． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ___．
16． (2023·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE//AB，交BD于点E，连接BE，则CEBE的值为___________．
三、解答题
17． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
18． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，点O是正方形，ABCD的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接EB、EC、EO,求证：∠BEO=∠CEO．
19． (2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
20． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
21． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
(2)当DC=2AD时，求CE的长．
22． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，BF=2，求AG的长．
23． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
24． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中， ，
所以tan∠BAC=tan∠DCE．
所以∠BAC=∠DCE．
因为∠ACP+ ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD．
(1)【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明．
25． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA=∠OBC；
（2）若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
一、单选题
1． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=35°，则∠C的度数等于（ ）
A．35°B．45°
C．55°D．65°
2． (2023·江苏扬州·校考二模）如图，A、D是⊙O上两点，BC是直径．若∠D=35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
3． (2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．90°
4． (2023·江苏南通·统考一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为( )
A．16πB．20πC．36πD．40π
5． (2023·江苏宿迁·统考二模）⊙O是△ABC的外接圆，若BC长等于半径，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．120°C．30°或150°D．60°或30°
6． (2023·江苏无锡·模拟预测）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（ ）
A．23B．21313C．31313D．无法确定
7． (2023·江苏苏州·统考二模）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．54B．2C．52D．4
8． (2023·江苏连云港·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2B．52C．3516D．2110
二、填空题
9． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是______ ．
10． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面积是______．
11． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为α的锐角∠COD顶点在圆心O上，这个角绕点O任意转动，在转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310，求α= ___________．
12． (2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知C3,4，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为______．
13． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC、AC分别交⊙O于点D、E，OF⊥AC于点F，OG⊥BE于点G，∠BAC=45°，下列结论：①∠EBC=22.5°；②BD=CD；③EF=EG；④AE=2DE；⑤AE=2BD．上述结论中正确的是______.(填上所有正确结论的序号)
14． (2023·江苏苏州·统考二模）如图，半径为20cm的圆形扫地机器人在无障碍的Rt△ABC房间中自由移动打扫卫生，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，则圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积为_________．（结果保留π）
15． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若AE=CP，则AD的最小值为______________．
16． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着AD和BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，当点E到达点D时，两点都停止运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交BD于点M，设运动的时间为t．用关于t的代数式表示DM=______．当圆心O正好在∠ABD的平分线上时，此时t的值为_______．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·统考二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．
18． (2023·江苏连云港·校考一模）如图，已知⊙O中，半径OA⊥OB，点B在⊙O外，点C在⊙O上，连接AC交OB于点D．①BD=BC，②BC与⊙O相切，③∠A=12∠B，在①②③中，选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题， 并证明．
你选择的是 为条件， 为结论．
19． (2023·江苏南通·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1)求证：BF=DF；
(2)若AO=CE=4，CF=1，求BF的长．
20． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P．
(1)求证：直线AP是⊙O的切线；
(2)若BC＝12，tanP=34，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．
21． (2023·江苏泰州·统考一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若CD＝33，求BC⏜的长度．
22． (2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=3．
①求tan∠DFH的值；
②求OH的长度．
23． (2023·江苏苏州·校考模拟预测）如图在△ABO中，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交OB于D，连接AD，∠O=2∠BAD．
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)取OA上一点E，连接DE，若∠ADE=45°，求证：AB=BD+AE．
(3)在（2）的条件下，若E是OA的中点，BD=2，延长DE交⊙O于F，求DF的长．
24． (2023·江苏无锡·校考二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD上，ED=3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF=_____，PF=______．
(2)如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．
(3)如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．
①当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，请求出t的值；
②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．
25． (2023·江苏盐城·校考三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD=BD．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC=BD．且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
26． (2023·江苏连云港·校考三模）（1）[问题提出]如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若AB=6，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）[问题探究]如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AB=AD，点E、F分别在边BC、CD上．且∠EAF=60°，若BE=3，EF=10，求DF的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，将△AEF区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，BE+DF的长为40m，∠EAF=45°．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（△AEF）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形ABCD的边长为_______m．
2024年中考数学【热点·重点·难点】专练 （江苏专用）
热点08. 圆的有关计算与证明
备注：A卷为真题过关卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，共计25道，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
B卷为模拟提升卷，所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，共计25道，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
【考纲解读】
1．了解：圆、圆心角、圆周角的概念，垂径定理及其逆定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
2．理解：圆周角定理及推论，点与圆的位置关系及其运用，切线的性质与判定定理，切线长定理．
3．会：利用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算，运用切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，求n°的圆心角所对的弧长，求圆心角为n°的扇形面积.
4．掌握：圆周角定理及其推论的灵活运用，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.
5．能：运用垂径定理解决有关问题，切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，利用点、直线的位置关系解决问题，根据公式中的已知量求圆锥中的未知量，运用圆的有关性质与位置关系进行综合性质计算与实际问题的解决.
【命题形式】
1．从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高档题.
2．从考查的内容来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)，圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积).
3．从考查的热点来看，主要涉及的有:圆的有关性质(垂径定理、圆周角定理及推论)；圆的有关位置关系(直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理)，圆的有关计算(弧长与扇形面积,圆锥的侧面积)，阴影部分的面积.
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
一、单选题
1． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
【详解】解：∵∠AOC=160°，
∴∠ADC=12∠AOC=80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°−∠ADC=180°−80°=100°，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
2． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF
【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3． (2023·江苏无锡·统考中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
【答案】C
【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=32+42=5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=12×2π×4×5
=20π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4． (2023·江苏镇江·统考中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（ ）
A．有最大值94πB．有最小值94πC．有最大值92πD．有最小值92π
【答案】C
【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣32)2+92π，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵2r+l＝6，
∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣32)2﹣94]＝﹣2π(r﹣32)2+92π，
∴当r＝32时，S侧有最大值92π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:S=12·2πr·l=πrl是解题的关键．
5． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ）
A．27°B．29°C．35°D．37°
【答案】A
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：连接OD，
∵⊙O与边AC相切于点D，
∴∠ADO＝90°，
∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠AFD=12∠AOD=12×54°=27，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积=122x2=2x2，
∴9πx2÷2x2=92π≈14，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
7． (2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 63，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α0°<α≤360°，B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】首先以A为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得⊙A的半径为3，计算出OA的长度，可知⊙O与⊙A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案．
【详解】解：如图：
作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆
∵AC、AB所在的直线与⊙O相切，令切点分别为P、Q，连接OP、OQ
∴AO平分∠PAQ
∵∠CAB=120°
∴∠PAO=30°
∵OP=3
∴AO= OPsin30°=6
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ACB=30°，CD= 12BC= 33
∴AD= CD·tan30°=3
∴⊙A的半径为3,
∴⊙O与⊙A的半径和为6
∵AO=6
∴⊙O与⊙A相切
∵AD⊥BC
∴BC所在的直线是⊙A的切线
∴BC所在的直线与⊙O相切
∴当α=360°时，BC所在的直线与⊙O相切
同理可证明当α=180°时，B″C″所在的直线与⊙O相切．
当B′C′⊥AO时，即α=90°时，B′C′所在的直线与⊙O相切．
∴当α为90°、180°、360°时，BC所在的直线与⊙O相切
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键．
8． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S．则S关于t的函数图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，先求出PA=t+1，PB=9−t，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．
【详解】解：根据题意，
∵AB=10，AC=BD=1，且已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，则0≤t≤8，
∴PA=t+1，
∴PB=10−(t+1)=9−t，
由PA的长为半径的扇形的弧长为：60π(t+1)180=π(t+1)3
∴用PA的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 t+16
∴其底面的面积为π(t+1)236
由PB的长为半径的扇形的弧长为：60π(9-t)180=π(9−t)3
∴用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为 9-t6
∴其底面的面积为π(9-t)236
∴两者的面积和S=π(t+1)236+π(9−t)236=118π(t2−8t+41)
∴图像为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值；
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．
二、填空题
9． (2023·江苏淮安·统考中考真题）若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留π）
【答案】10π
【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π，
故答案为：10π．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
10． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，A、B、C点在圆O上， 若∠ACB=36°， 则∠AOB=________．
【答案】72°##72度
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
11． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B′处，线段AB扫过的面积为___________．
【答案】π3##13π
【分析】由旋转的性质可得AB'=AB=2,由锐角三角函数可求∠DAB'=60°,从而得出∠BAB'=30°,由扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵AB=2BC=2,
∴BC=1,
∵矩形ABCD中，
∴AD=BC=1,∠D=∠DAB=90°,
由旋转可知AB=AB′，
∵AB=2BC=2，
∴AB'=AB=2,
∵cs∠DAB'=ADAB'=12,
∴∠DAB'=60°,
∴∠BAB'=30°,
∴线段AB扫过的面积=30°×π×22360°=π3.
故答案为：π3.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键．
12． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，则⊙O的半径是______．
【答案】1
【分析】连接OA、OC，根据圆周角定理得到∠AOC=90°，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接OA、OC，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA2+OC2=AC2，即2OA2=2，
解得：OA=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
13． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图上，ΔABC中,∠C=90∘,AC=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为__________.
【答案】2或12##12或2
【分析】分析判断出符合题意的DE的情况，并求解即可；
【详解】解：①如图，作DE//BC，OF⊥BC，OG⊥AB，连接OB，则OD⊥AC，
∵DE//BC，
∴∠OBF=∠BOE
∵O为ΔABC的内心，
∴∠OBF=∠OBE，
∴∠BOE=∠OBE
∴BE=OE，
同理，CD=OD，
∴DE=CD+BE，
AB=BC2+AC2=62+82=10
∵O为ΔABC的内心，
∴OF=OD=OG=CD，
∴BF=BG，AD=AG
∴AB=BG+AG=BC−CD+AC−CD=6−CD+8−CD=10
∴CD=2
②如图，作DE⊥AB，
由①知，BE=4，AE=6，
∵∠ACB=∠AED，∠CAB=∠EAD
∴ΔABC∼ΔADE
∴ABAC=ADAE
∴AD=AB⋅AEAC=10×68=152
∴CD=AC−AD=8−152=12
∵DE=AD2−AE2=1522−62=92
∴DE=BE+CD=4+12=92
∴CD=12
故答案为：2或12．
【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．
14． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB 上，且与点A，B 不重合，若∠P=26°，则∠C的度数为_________°．
【答案】32
【分析】连接OA，根据切线的性质和直角三角形的性质求出∠O=64°．再根据圆周角的定理，求解即可．
【详解】解：连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=12∠O=32°．
故答案为：32．
【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出∠O的度数．
15． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ___．
【答案】0,11．
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标．
【详解】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB=2×5=10．
∵∠O=90°,∠OCA=90°,∠ADO=90°，
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在Rt△PAC中，PC=PA2−AC2=102−82=6．
如图，当点P在C点上方时，
∴OP=OC+CP=5+6=11，
∴点P的坐标为0,11．
【点睛】此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
16． (2023·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE//AB，交BD于点E，连接BE，则CEBE的值为___________．
【答案】22．
【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=22a，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵∠ACB=90°
∴AB=AC2+BC2=2a，∠CAB=∠CBA=45°
∴AE=2a，∠CAF=45°
∵CE//AB
∴∠ECB=∠CBA=45°
∵∠ACB=90°
∴∠ACF=45
∴∠AFC=90°
∴AF=CF=22AC=22a
设CE=x，则FE=22a+x
在Rt△AFE中，AF2+EF2=AE2
∴(22a)2+(22a+x)2=(2a)2
解得，x1=6−22a，x2=−6−22a（不符合题意，舍去）
∴CE=6−22a
∵∠ECB=45°,∠EGC=90°
∴∠CEG=45°
∴CG=GE=22CE=22×6−22a=3−12a
∴BG=BC−CG=a−3−12a=3−32a
在Rt△BGE中，BG2+GE2=BE2
∴BE=(3−12a)2+(3−32a)2=(3−1)a
∴CEBE=6−22a(3−1)a=22
故答案为：22．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题
17． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)12π−93
【分析】（1）连接OA，根据AD∥BC和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得OH=12OB=3，进而得到BC=2BH=63，再根据阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC，即可求解．
【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴OH=12OB=3，
∴BH=BO2−OH2=33，
∴BC=2BH=63，
∴扇形BOC的面积为120×62×π360=12π，
∵SΔOBC=12BC⋅OH=12×63×3=93，
∴阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC=12π−93．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为S扇形BOC−S△BOC是解题的关键．
18． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，点O是正方形，ABCD的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点O），使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接EB、EC、EO,求证：∠BEO=∠CEO．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明△EBO≅△ECO即可求解．
【详解】1如图所示，点E即为所求．
2连接OB、OC
由1得：EB=EC
∵O是正方形ABCD中心，
∴OB=OC,
∴在△EBO和△ECO中，
EB=ECEO=EOOB=OC
∴△EBO≅△ECOSSS,
∴∠BEO=∠CEO．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
19． (2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）AF=EF
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性质证明∠BAC=∠CFD，再证明BD//CF,即可得到结论；
（2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证明∠EAF=∠B，从而可得结论．
【详解】证明：（1）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，
又∠BAC=∠CFD,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD//CF,
四边形DBCF是平行四边形．
（2）如图，连接AE
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF
∴∠AEF=∠B
四边形AECF是⊙O的内接四边形
∴∠ECF+∠EAF=180°
∵BD//CF
∴∠ECF+∠B=180°
∴∠EAF=∠B
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
20． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB=30°．
(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=43，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线BD与⊙O相切，理由见解析
(2)图中阴影部分的面积83−8π3
【分析】（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB=∠C=60°，连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOD=60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE=90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：直线BD与⊙O相切，
理由：如图，连接BE，
∵∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠C=60°，
连接OB，
∵OB=OC，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵∠ADB=30°，
∴∠OBD=180°−60°−30°=90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）解：如（1）中图，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AB=43，
∴sin∠AEB=sin60°=ABAE=43AE=32，
∴AE=8，
∴OB=4，
∵OB⊥BD，∠ADB=30°
∴tan∠ADB=tan30°=OBBD=33，
∴BD=433，
∴图中阴影部分的面积=S△OBD−S扇形BOE=12×4×43−60π×42360=83−8π3．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
21． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证△CED∽△BAD；
(2)当DC=2AD时，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)CE=1277
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得∠A=∠E，再由对顶角相等得∠BDA=∠CDE，故可证明绪论；
（2）根据DC=2AD可得AD=2,CD=4，由△CED∽△BAD可得出BD·DE=8,连接AE，可证明△ABD∽△EBA，得出AB2=BD·BE=BD2+BD·BE, 代入相关数据可求出BD=27，从而可求出绪论．
【详解】（1）∵BC所对的圆周角是∠A,∠E，
∴∠A=∠E，
又∠BDA=∠CDE，
∴△CED∽△BAD；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=6
∵DC=2AD，
∴AC=3AD,
∴AD=2,DC=4,
∵ΔCED~ΔBAD,
∴ADDE=BDCD=ABCE，
∴2DE=BD4,
∴BD⋅DE=8;
连接AE,如图，
∵AB=BC,
∴AB=BC
∴∠BAC=∠BEA,
又∠ABD=∠EBA，
∴△ABD~ΔEBA,
∴ABBE=PDAB，
∴AB2=BD⋅BF=BD⋅(BD+DE) =BD2+BD⋅DE,
∴62=BD2+8，
∴BD=27（负值舍去）
∴6CF=274，
解得，CE=1277
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AB的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，BF=2，求AG的长．
【答案】(1)见解析
(2)AG=3210
【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由∠OCD=∠ODC，FC=FE，可得∠OED=∠FCE，由AB是⊙O的直径，D是AB的中点，∠DOE=90°，进而可得∠OCF=90°，即可证明CF为⊙O的切线；
方法二：如图2，连接OC，BC．设∠CAB=x°．同方法一证明∠OCF=90°，即可证明CF为⊙O的切线；
（2）方法一：如图3，过G作GH⊥AB，垂足为H．设⊙O的半径为r，则OF=r+2．在Rt△OCF中，勾股定理求得r=3，证明GH∥DO，得出△BHG∽BOD，根据BHBO=BGBD，求得BH,GH，进而求得AH，根据勾股定理即可求得AG；
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得r=3．AB=6，D是AB的中点，可得AD=BD=32，根据勾股定理即可求得AG．
【详解】（1）（1）方法一：如图1，连接OC，OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE．
∵AB是⊙O的直径，D是AB的中点，
∴∠DOE=90°．
∴∠OED+∠ODC=90°．
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
方法二：如图2，连接OC，BC．设∠CAB=x°．
∵AB是⊙O的直径，D是AB的中点，
∴∠ACD=∠DCB=45°．
∴∠CEF=∠CAB+∠ACD=45+x°．
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC=45+x°．
∴∠BCF=x°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC=x°．
∴∠BCF=∠ACO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠OCB+∠ACO=90°．
∴∠OCB+∠BCF=90°，即∠OCF=90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
（2）解：方法一：如图3，过G作GH⊥AB，垂足为H．
设⊙O的半径为r，则OF=r+2．
在Rt△OCF中，42+r2=r+22，
解之得r=3．
∵GH⊥AB，
∴∠GHB=90°．
∵∠DOE=90°，
∴∠GHB=∠DOE．
∴GH∥DO．
∴△BHG∽BOD
∴BHBO=BGBD．
∵G为BD中点，
∴BG=12BD．
∴BH=12BO=32，GH=12OD=32．
∴AH=AB−BH=6−32=92．
∴AG=GH2+AH2=322+922=3210．
方法二：如图4，连接AD．由方法一，得r=3．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=BD=32．
∵G为BD中点，
∴DG=12BD=322．
∴AG=AD2+DG2=322+3222=3210．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
23． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
(1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
【答案】(1)5π3
(2)8或9秒
【分析】(1)通过计算当t=2.5时EB=BO，进而得到△MBE≌△MBO，判断出△MEO为等边三角形得到∠EOM=60°，然后根据弧长公式求解；
(2)通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】（1）解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示：
当t=2.5时，BE=2.5，
∵EF=10，
∴OE=12EF=5，
∴OB=2.5，
∴EB=OB，
在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB，
∴△MBE≌△MBO(SAS)，
∴ME=MO，
∴ME=EO=MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM=60°，
∴ME=60π×5180=5π3．
（2）解：连接GO和HO，如下图所示：
∵∠GOH=90°，
∴∠AOG+∠BOH=90°，
∵∠AOG+∠AGO=90°，
∴∠AGO=∠BOH，
在△AGO和△OBH中，∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBO=90∘OG=OH，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴AG=OB=BE-EO=t-5，
∵AB=7，
∴AE=BE-AB=t-7，
∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2，
∴(t-5)2+(12-t)2=52，
解得：t1=8，t2=9，
即t的值为8或9秒．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键．
24． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．
【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中， ，
所以tan∠BAC=tan∠DCE．
所以∠BAC=∠DCE．
因为∠ACP+ ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD．
(1)【拓展应用】如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，写出作法，并给出证明：
(2)【拓展应用】如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2=AP·AB，写出作法，不用证明．
【答案】(1)tan∠DCE=12；见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点N，作射线AN交BM于点P，则AN⊥MO根据垂径定理可知，点P即为所求作；
（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．利用正切函数证得∠FMI=∠MNA，利用圆周角定理证得∠B=∠MNA，再推出△PAM∽△MAB，即可证明结论．
（1）
解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．
在Rt△ABC中，tan∠BAC=12
在Rt△CDE中，tan∠DCE=12，
所以tan∠BAC=tan∠DCE．
所以∠BAC=∠DCE．
因为∠ACP+ ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD．
故答案为：tan∠DCE=12；
取格点N，作射线AN交BM于点P，点P即为所求作；
∵tan∠MOD=13,tan∠NAC=13
∴∠MOD=∠NAC
∵∠NAC+∠ANC=90°
∴∠ANC+∠DOM=90°
∴ AN⊥OM
∴AM=PM
（2）
解：取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作；
证明：作直径AN，连接BM、MN，
在Rt△FMI中，tan∠FMI=13，
在Rt△MNA中，tan∠MNA=13，
所以tan∠FMI=tan∠MNA．
∴∠FMI=∠MNA，
∵∠B=∠MNA，
∴∠AMP=∠B，
∵∠PAM=∠MAB，
∴△PAM∽△MAB，
∴PAAM=AMAB，
∴AM2=AP·AB．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA=∠OBC；
（2）若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；
（2）先推出∠OCB=∠OBC=20°，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．
【详解】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，
∴∠PBA+∠ABO=∠OBC+∠ABO=90°，
∴∠PBA=∠OBC；
（2）∵∠PBA=20°，∠PBA=∠OBC，
∴∠OBC=20°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=20°，
∴∠AOB=20°+20°=40°，
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠ADB=12∠AOB=20°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=90°-20°=70°，
∴∠CDE=∠OAB，
∵∠ACD=40°，
∴∠ACD=∠AOB=40°，
∴△OAB∽△CDE．
【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
一、单选题
1． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=35°，则∠C的度数等于（ ）
A．35°B．45°
C．55°D．65°
【答案】C
【分析】连接AO，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=35°，根据三角形内角和定理得出∠AOB=180°−2×35°=110°，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接AO，
∵AO=BO,∠ABO=35°，
∴∠OAB=∠OBA=35°，
∴∠AOB=180°−2×35°=110°，
∴∠C=12AOB=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
2． (2023·江苏扬州·校考二模）如图，A、D是⊙O上两点，BC是直径．若∠D=35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
【答案】C
【分析】先根据圆周角定理求得∠AOB的度数，再根据AO=OB求得∠OAB的度数即可．
【详解】∵∠D=35°，
∴∠AOB=2∠D=2×35°=70°，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA=12×180°−70°=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，在同圆中，同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半．
3． (2023·江苏淮安·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20°B．35°C．55°D．90°
【答案】A
【分析】利用圆内接四边形的性质求出∠B，再利用圆周角定理求出∠CAB即可．
【详解】解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4． (2023·江苏南通·统考一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为( )
A．16πB．20πC．36πD．40π
【答案】C
【分析】先利用勾股定理得AB＝5，由于Rt△ABC沿边AC所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为4，然后计算它的侧面积和底面积的和即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝32+42＝5，
∵把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转一周，
∴所得的几何体的全面积为：底面半径为4，母线长为5的圆锥侧面和半径为4的圆的面积之和，
故π×4×5+π×42＝36π．
故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5． (2023·江苏宿迁·统考二模）⊙O是△ABC的外接圆，若BC长等于半径，则∠A的度数为（ ）
A．60°B．120°C．30°或150°D．60°或30°
【答案】C
【分析】利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．
【详解】如图，连接BO，CO，
∵△ABC的边BC等于圆的半径，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
若点A′在劣弧BC上，则∠A′=150°，
∴∠A= 30°或150°；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理，得出△BOC是等边三角形是解题的关键．
6． (2023·江苏无锡·模拟预测）如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC＝2：3，则sin∠ACP的值为（ ）
A．23B．21313C．31313D．无法确定
【答案】B
【分析】连接BC，OC，先证明△PAC∽△PCB，则ACBC=PAPC=23，设AC＝2k，BC＝3k，AB=13K，从而求出sin∠ACP．
【详解】解：如图，连接BC，OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠PCA=∠BCO，
∵OB=OC，
∴∠CBO=∠BCO，
∴∠PCA=∠CBO，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
于是ACBC=PAPC=23，
设AC＝2k，BC＝3k，
由∠ACB＝90°得，AB=13K，
∴sin∠ACP＝sin∠ABC=ACAB=2k13k=21313．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．
7． (2023·江苏苏州·统考二模）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．54B．2C．52D．4
【答案】A
【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．
【详解】解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，
即半径为5的扇形对应的弧长l=2π×5×14=52π
设圆锥底面半径为r，则2πr=52π
∴r=54
故选：A．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．
8． (2023·江苏连云港·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O在对角线BD上，以OB为半径作⊙O交BC于点E，连接DE，若DE是⊙O的切线，此时⊙O的半径为（ ）
A．2B．52C．3516D．2110
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD，根据切线的性质∠DEO=90°，根据同角的余角相等得∠OEB=∠EDC，则∠DBC=∠EDC，根据cs∠DBC=BCBD=45，可得cs∠EDC=DCDE=45，可求得DE=152，在Rt△ODE中，利用勾股定理即可得⊙O的半径OE的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，BC=AD=8，DC=AB=6，
在Rt△ADB中，∠A=90°，
∴BD=AB2+AD2=10，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OEB+∠DEC=90°，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠OEB=∠EDC，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠DBC，
∴cs∠EDC=DCDE=cs∠DBC=BCBD=45，
∴DE=152，
设OB=OE=r，
在Rt△ODE中，OD2=OE2+DE2，
∴(10−r)2=r2+(152)2，
解得r=2516．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，注意数形结合思想的应用是解题的关键．
二、填空题
9． (2023·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的外接圆的半径是______ ．
【答案】258
【分析】通过作辅助线AD⊥BC，可将求△ABC外接圆的半径转化为求Rt△BOD的斜边长，再利用等腰三角形的性质即可．
【详解】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
∴AD=52−32=4，
设OA=r，OB2=OD2+BD2，
即r2=4−r2+32，
解得r=258．
故答案为：258．
【点睛】此题主要考查等腰三角形外接圆半径的求法，正确利用勾股定理以及等腰三角形的性质是解题关键．
10． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AB的中点，以E为圆心，3为半径作圆，分别交AD、BC于M、N两点，与DC切于P点．则图中阴影部分的面积是______．
【答案】9−943−32π
【分析】根据直角三角形的性质求出AE和∠AEM，根据勾股定理求出AM，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由题意得，AE=12AB=12ME=32，
∵∠A=90°，
∴∠AME=30°，AM=ME2−AE2=323，
∴∠AEM=60°，
同理，∠BEN=60°，
∴∠MEN=60°，
阴影部分的面积=32−12×323×32×2−60π×32360=9−943−32π，
故答案为：9−943−32π．
【点睛】本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
11． (2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为α的锐角∠COD顶点在圆心O上，这个角绕点O任意转动，在转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310，求α= ___________．
【答案】36°##36度
【分析】根据题意可得出扇形COD与扇形AOB有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与360°的比值，进而得出答案．
【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，
∴每个正五边形的中心角为72°，
∵转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310
∴72°+α360°=310
解得：α=36°．
故答案为：36°．
【点睛】此题主要考查了几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．
12． (2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知C3,4，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为______．
【答案】4
【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP=2，则AB的最小长度为4．
【详解】解：连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，
此时OP最小，OP=12AB，则AB的长度最小，
∵C3,4，
∴OC=32+42=5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP=OA=OB=5−3=2，
∵AB是直径，
∴∠APB=90∘，
∴AB长度的最小值为4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最小值是解题的关键．
13． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC、AC分别交⊙O于点D、E，OF⊥AC于点F，OG⊥BE于点G，∠BAC=45°，下列结论：①∠EBC=22.5°；②BD=CD；③EF=EG；④AE=2DE；⑤AE=2BD．上述结论中正确的是______.(填上所有正确结论的序号)
【答案】①②③④
【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，根据垂径定理即可判断①③，再运用弧、弦、圆心角的关系即可判断②④.
【详解】解：如图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，AB=AC，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°，∠C=∠ABC=12180°−∠BAC=67.5°
∴AE=BE，∠EBC=∠ABC−∠ABE=22.5°，故①正确，
∵AD⊥BC，AB=AC
∴BD=CD，故②正确，∠BAD=∠CAD
∴DB=DE=12EB，
∵AE=BE，
∴AE=BE
∴AE=2DE，故④正确
∵OF⊥AE,OG⊥BE
∴AE=2EF,BE=2EG
∵AE=BE
∴EF=EG，故③正确，
在Rt△BEC中，BE
∴AE<2BD，故⑤不正确，
故答案为：①②③④
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，圆心角，弦，弧的关系．构造合适的辅助线是解题的关键．
14． (2023·江苏苏州·统考二模）如图，半径为20cm的圆形扫地机器人在无障碍的Rt△ABC房间中自由移动打扫卫生，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，则圆形扫地机器人无法打扫到的房间面积为_________．（结果保留π）
【答案】6−π25m2
【分析】先确定无法扫到的区域，再利用扇形面积公式和三角形面积公式求解．
【详解】解：∵AB=4m，BC=3m，∠B=90°，
∴AC=32+42=5（m），
如图，图中的阴影部分面积为机器人无法扫到的房间面积，
图中的圆形机器人所代表的三个圆均与三角形的两边相切，切点分别为E、F、M、G、Q、N，连接圆心与各切点，
∴DE⊥BC，DF⊥AC，HM⊥AB，HG⊥AC，PQ⊥BC，PN⊥BA，
∴∠CED=∠CFD=∠AMH=∠AGH=∠PQE=∠PNM=90°，
∵∠B=90°，
∴DE∥PQ∥BN，BQ∥PN∥HM，DF∥HG，
又∵DE=PQ=PN=HM=HG=DF=20cm=0.2m，
∴四边形PQBN是正方形，四边形EDPQ、四边形DHGF、四边形PHMN是矩形；
∴DP∥EQ，PH∥NM，DH∥FG，且DP=EQ，PH=NM，DH=FG，
∴△PHD∽△BAC，
∴可设PD=3x，PH=4x，DH=5x，
∵四边形CEDF、四边形QBNP、四边形MAGH的内角和都是360°，∠CED=∠CFD=∠AMH=∠AGH=∠PQE=∠PNM=90°，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠EDF+∠GHM+∠QPN=360°×3-180°-6×90°=360°，
∵∠EDF+∠GHM+∠QPN=360°，
∴图中劣弧所对的三个扇形面积之和即为半径为20cm的圆的面积，即扇形EDF的面积+扇形GHM的面积+扇形PQN的面积=π×0.22=0.04π（m2）．
由切线长定理可知，CE=CF，BQ=BN=0.2，AG=AM，
∴CE=CF=3-0.2-3x=2.8-3x，AG=AM=4-0.2-4x=3.8-4x，
∴FG=5-CF-AG=5-（2.8-3x）-（3.8-4x）=7x-1.6，
∴7x-1.6=5x，
解得x=0.8，
∴DP=3x=2.4m，PH=4x=3.2m，DH=5x=4m，
∴S△DPH=12×3.2×2.4=3.84（m2），S矩形EDPQ+S矩形PNMH+S矩形HGFD=2.4×0.2+3.2×0.2+4×0.2=1.92（m2）
∴S阴影=12×3×4−0.04π−3.84−1.92=0.24−0.04π=6−π25（m2）；
故答案为：6−π25m2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、切线长定理、扇形面积、矩形的判定与性质问题，解题关键是发现相似三角形，牢记扇形面积公式，能够进行面积转化．
15． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若AE=CP，则AD的最小值为______________．
【答案】213−6
【分析】先求出∠ACB=∠CDP=30°，得到∠BDC=150°，则点D在以BC为弦，∠BDC=150°的圆弧上运动，如图所示，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，则∠BNC=30°，当A、D、M三点共线时，AD有最小值，再证明△BMC是等边三角形，得到∠MCB=60°，MC=BC=6，推出∠ACM=90°，利用勾股定理求出AM的长即可求出AD的长．
【详解】解：∵AE=CP，
∴∠ACB=∠CDP=30°，
∴∠BDC=150°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC=150°的圆弧上运动，
如图所示，设点D运动的圆弧所在圆的圆心为M，取优弧BC上一点N，连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
∴∠BNC=30°，当A、D、M三点共线时，AD有最小值，
∴∠BMC=60°，
又∵MB=MC，
∴△BMC是等边三角形，
∴∠MCB=60°，MC=BC=6，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACM=90°，
∴AM=AC2+CM2=213，
∴AD=AM−MD=213−6，
故答案为：213−6．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆外一点到圆上一点的距离最值问题，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，确定点D的运动轨迹是解题的关键．
16． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着AD和BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，当点E到达点D时，两点都停止运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交BD于点M，设运动的时间为t．用关于t的代数式表示DM=______．当圆心O正好在∠ABD的平分线上时，此时t的值为_______．
【答案】 48−t5 2
【分析】（1）连接ME，根据AE=t，AD=8，求出ED=8−t，由EF为⊙O的直径，∠EMF=90°，由余弦值建立等式求解；
（2）作出∠ABD的角平分线交AD于点H，过点H作BD的垂线交于G，先通过三角形的面积之间的关系求出AH=3，再建立坐标系，求出角平分线所在的直线方程，利用锐角三角函数求出F的坐标，根据圆心O正好在∠ABD的平分线上建立等式求解．
【详解】解：连接ME，
∵AE=t，AD=8，
∴ED=AD−AE=8−t，BD=62+82=10，
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EMF=90°，
∴∠EMD=90°，
∴MD=ED⋅cs∠MDE=48−t5，
如下图：作出∠ABD的角平分线交AD于点H，过点H作BD的垂线交于G，
根据角平分线的性质，
∴AH=GH，
∵∠ABH=∠GBH,BH=BH，
∴Rt△ABH≌Rt△GBH，
∴AB=GB=6，
∴DG=BD−BG=4，
根据三角形等高模型，
∴S△BGH:S△DGH=6:4，
∴S△DGH=23S△BGH，
∴S△ABD=S△ABH+S△BGH+23S△BGH=83S△ABH=12×6×8=24，
∴S△ABH=9，
∴S△ABH=12AB⋅AH=9，
∴AH=3，
∴H3,0,B0,6，
将H3,0,B0,6代入y=kx+b中，
∴0=3k+b6=b，
解得：k=−2,b=6，
∴直线BH的方程为：y=−2x+6，
设经过t秒后，O在角平分线BH上，
∴Et,0，
BF=t，
过F作AD的平行线交y轴于L，
∵FL∥AD，
∴∠BFL=∠BDA，
∴sin∠BFL=sin∠BDA，
BLt=35，
解得：BL=35t，
AL=AB−BL=6−35t，
同理cs∠BFL=cs∠BDA，
FLt=45，
解得：FL=45t，
∴E45t,6−35t，
∴E,F的中点坐标为圆心O，
∴O910t,3−310t，
∵O到角平分线上，
∴3−310t=−2×910t+6，
解得：t=2，
∴当圆心O正好在∠ABD的平分线上时，此时t的值为2，
故答案为：48−t5，2．
【点睛】本题考查了矩形的性质、圆周角定理、角平分线、锐角三角函数、一次函数，解题的关键添加适当辅助线，利用锐角三角函数进行求解，综合性强，题目较难．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·统考二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．
【答案】详见解析
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−AC=CD−AC，
即AD=BC，
∴∠B=∠D，
∴BE=DE；
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
18． (2023·江苏连云港·校考一模）如图，已知⊙O中，半径OA⊥OB，点B在⊙O外，点C在⊙O上，连接AC交OB于点D．①BD=BC，②BC与⊙O相切，③∠A=12∠B，在①②③中，选择一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题， 并证明．
你选择的是 为条件， 为结论．
【答案】①，②或③．证明见解析
【分析】由①⇒②或③．证明2∠A+2∠BDC=180°，∠B+2∠BDC=180°，可得∠B=2∠A，再证明∠OCB=90°，可得BC是切线．
【详解】解：（1）由①⇒②或③．
理由：如图，连接OC．
AO⊥OB，
∴∠A+∠ADO=90°，
∴2∠A+2∠ADO=180°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，
∴∠B+2∠BDC=180°，
∵∠ADO=∠BDC，
∴∠B=2∠A，
∴∠A=12∠B；
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠OCA+∠BCD=90°，
∴∠BCO=90°，
∴OC⊥BC，
∵OC为半径，
∴BC是⊙O的切线，
故答案为：①，②或③．
【点睛】本题考查命题与定理，切线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．
19． (2023·江苏南通·统考二模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
(1)求证：BF=DF；
(2)若AO=CE=4，CF=1，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】(1) 连接OD，得到∠OAD=∠ADO，利用余角的性质得到∠B=∠BDF，得出结果；
(2) 连接OF，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
【详解】（1）证明：连接OD，如图，
∵半圆O的切线DF，
∴∠ODF=90°．
∴∠ADO+∠BDF=90°．
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO．
∴∠B=∠BDF．
∴BF=DF．
（2）解：连接OF．
∵AO=CE=4，AO=OE，
∴OC=8．
∵∠C=90°=∠ODF=90°，CF=1，
∴OF2=OC2+CF2=OD2+DF2=65．
又∵OD=4，
∴DF=BF=7．
【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关键．
20． (2023·江苏苏州·苏州市平江中学校校联考二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P．
(1)求证：直线AP是⊙O的切线；
(2)若BC＝12，tanP=34，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)tan∠PAC=724
【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出∠B+∠P＝90°，由三角形的内角和定理得出∠BAP＝90°即可；
（2）由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，再根据△PCE∽△PBA，求出EC，AE，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC，
∵∠BAC＝2∠P，
∴∠BAD＝∠P，
∵∠BAD+∠B＝90°，
∴∠P+∠B＝90°，
∴∠BAP＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CE⊥PA，垂足为E，则CE∥AB，
由（1）可得BD＝CD＝12BC＝6，
∵tan∠P＝34＝tan∠BAD＝BDAD，
∴AD＝8，
∴AB＝AD2+BD2＝10，
即⊙O的半径为5；
∵tan∠P＝34＝ABAP，AB＝10，
∴PA＝403，
∴PB＝AB2+PA2＝503，
∴PC＝PB﹣BC＝503﹣12＝143，
∵CE∥AB，
∴△PCE∽△PBA，
∴PEAP=CEAB=PCPB，即PE403=CE10=143503，
解得∶PE=5615,CE=145，
∴AE＝485，
∴tan∠PAC＝ECAE＝724．
【点睛】本题考查切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是正确解答的前提．
21． (2023·江苏泰州·统考一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：
①∠A＝30°；
②CD是⊙O的切线；
③OB＝BD．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，若CD＝33，求BC⏜的长度．
【答案】(1)①②，③ 证明见解析
(2)BC⏜的长度为π．
【分析】（1）选择①②为条件，③为结论；连接OC，即可求得∠D=30°，根据OD=2OC=2OB即可证明；
（2）利用含30度角的直角三角形的性质求得⊙O的半径，利用弧长公式即可求解．
（1）
解：选择①②为条件，③为结论；
证明：连接OC，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COB=60°，
∵DC是切线，
∴OC⊥DC，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=2OB，
∴BD=OB；
故答案为：①②，③；
（2）
解：由（1）知△OCD是直角三角形，∠D=30°，OD=2OC，
又CD=33，
∴OD2=OC2+CD2，即(2OC)2=OC2+(33)2，
∴OC=3，
∵∠COB=60°，
∴BC⏜的长度=60π×3180=π．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．已知切线时，连接圆心与切点，构造直角三角形是解答此题的关键．
22． (2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
(1)求证：AD平分∠CAB；
(2)若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=3．
①求tan∠DFH的值；
②求OH的长度．
【答案】(1)见解析
(2)①1；②3
【分析】（1）连接OD，根据切线性质证明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根据半径相等得到∠OAD=∠ODA，推出∠CAD=∠BAD，得到AD平分∠CAB；
（2）①根据角平分线定义得到∠AFH=∠EFH，根据∠DFG=∠EAD=∠HAF，推出∠DFH=∠DHF，得到DF=DH，根据∠ADF=90°，推出∠DFH=45，得到tan∠DFH=tan45°=1；②设DF=x， DH=DF=x，得到AD=2DH=2x，证明△DFG∽△DAF，得到DFAD=DGDF，求得x=6，DF=6，得到OH=12DF=3．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
∵∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠EFH=∠HAF+∠AFH，
即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形，
∴∠DFH=45，
∴tan∠DFH=tan45°=1；
②解：设DF=x，由①可知DH=DF=x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2x，
∵∠DFG=∠DAF，∠GDF=∠FDA，
∴△DFG∽△DAF，
∴DFAD=DGDF，
∴x2x=3x，
∴x=6，
∴DF=6，
∵AH=DH，AO=OF，
∴OH=12DF=3．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，角平分线，垂径定理，相似三角形，锐角三角函数等，解决问题的关键是熟练掌握圆切线的性质，角平分线定义，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正切定义及特殊角的三角函数值．
23． (2023·江苏苏州·校考模拟预测）如图在△ABO中，以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交OB于D，连接AD，∠O=2∠BAD．
(1)求证：AB与⊙O相切．
(2)取OA上一点E，连接DE，若∠ADE=45°，求证：AB=BD+AE．
(3)在（2）的条件下，若E是OA的中点，BD=2，延长DE交⊙O于F，求DF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3255
【分析】（1）设∠BAD=α，则∠O=2a，则∠OAB=90°−α+α=90°，即可求解；
（2）证明△EOD≅△HOA(AAS)，得到BH=AB=BD+DH，进而求解；
（3）证明△OKE≅△AGE(AAS)，得到DK=2OK，在Rt△OAB中，由勾股定理得：(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2，解得x=4，进而求解．
【详解】（1）设∠BAD=α，则∠O=2a，
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA=90°−a,
∴∠OAB=90°−α+a=90°,
∴AB⊥OA,
∵OA为圆O的半径，
∴AB与⊙O相切．
（2）在OD上取点H，使OE=OH，连接AH，
∵OD=OA,∠O=∠O,
∴△EOD≅△HOA(AAS)，
∴∠ODE=∠OAH,
∵∠ODA=∠OAD,
∴∠DAH=∠ADE=45°,
设∠BAD=a,∠B=90°−2α,
∴∠BAH=45°+a,
∴∠AHB=45°+a,
∴∠AHB=∠BAH,
∴BH=AB=BD+DH,
∵OD=OA,OH=OE,
∴DH=AE,
∴AB=BD+AE；
（3）过点O作OK⊥DF于点K，则FD=2DK，设AH交DE于点G，
由（2）知∠DAG=∠ADG=45°,，
∴AG=DG,∠AGD=∠OKD=90°,
∴OK∥GH,则∠KOE=∠EAG,
∵点E是OQ的中点，
∴△OKE≅△AGE(AAS)，
∵OK∥GH，
∴△GHD∼△KOD
∴DHDO=DGDK
∵点H是OD的中点，
∴DH=OH=12DO
∴DG=12DK
则DG=12DK=OK，则DK=2OK，
设OE=AE=x，则OD=2x，AB=x+2,OA=2x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2，
解得x=4，
故AE=4,OA=DO=8,
设OK=m，则DK=2m，则OD=5m=8，解得m=855，
则DF=2DK=3255．
【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形全等和相似、三角形中位线的判定与性质、勾股定理的运用等．
24． (2023·江苏无锡·校考二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在AD上，ED=3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF=_____，PF=______．
(2)如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．
(3)如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．
①当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，请求出t的值；
②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)4t，5t
(2)t=725时，D′落在FG上．
(3)①t=1534或t=252−1541；②当1534
（2）如图2中，由△D′MG∽△CDE，得D′MCD=MGED，求出MG，根据PF=CG=CM−MG，列出方程即可解决问题．
（3）①需要对四边形GQFP进行分类讨论，当为一般的矩形时和为特殊的正方形两种情况进行讨论；②需要分情况讨论，当∠FPG=90°时，当∠FGP=90°时，求出两种特殊位置t的值即可判断．
【详解】（1）解：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠D=90°，AD∥BC，
在Rt△ECD中，∵∠D=90°，ED=3．CD=4，
∴EC=ED2+CD2=5，
∵PF∥CE,FG∥BC，
∴四边形PFGC是平行四边形，
∴∠FPB=∠ECB=∠DEC，
∴△PFB∽△ECD，
∴ PFEC=BFCD=BPDE，
∴ PF5=BF4=3t3，
∴BF=4t，PF=5t，
故答案为4t，5t．
（2）解：如图2中，
∴D、D′关于CE对称，
∴DD′⊥CE，DM=MD′，
∵ 12·DE·DC=12·EC·DM，
∴DM=D′M=125，CM=CD2−DM2=165，
由△D′MG∽△CDE，得D′MCD=MGED，
∴ 12504=MG3，
∴MG=95，
∴PF=CG=CM−MG，
∴5t=165−95，
∴t=725．
∴t=725时，D′落在FG上．
（3）解：①当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，
∵GQ∥FP，
∴GQFP为平行四边形，
∵F,P,G,Q四点都在圆上，则圆心到四点的距离相等，
∴四边形GQFP为矩形或正方形，
当四边形GQFP为矩形时，
∴∠FPG=90°，
在Rt△FBP和Rt△PGC中，
∵FP∥EC，
∴∠FPB=∠PCG，
∴Rt△FBP∽Rt△PGC，
∴FPPC=BPCG，
由（1）（2）可得：FP=5t,PC=5−3t,BP=3t,CG=5t，
∴5t5−3t=3t5t，
解得：t=1534
当四边形GQFP为正方形时，
∴FP=GP=5t,FG=PC=5−3t，
∴FG2=FP2+GP2
5−3t2=5t2+5t2
解得：t=252−1541，
∴当外接圆⊙O截线段CE所得线段GQ=FP时，t=1534或t=252−1541；
②如图6中，当∠FPG=90°时，
由cs∠PCG=cs∠CED，
∴ 5t5−3t=35，
∴t=1534，
如图7中，当∠FGP=90°时，
∴ 5−3t5t=35，
∴t=56，
观察图象可知：当1534
25． (2023·江苏盐城·校考三模）如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图①，点E是四边形ABCD内部一点，且满足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED，请说明四边形ABCD是美好四边形；
【问题探究】
（2）如图②，△ABC，请利用尺规作图，在平面内作出点D，使得四边形ABCD是美好四边形，且满足AD=BD．保留作图痕迹，不写画法；
（3）在（2）的条件下，若图②中△ABC满足：∠ABC=90°，AB=4，BC=3，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
（4）如图③，某公园内需要将4个信号塔分别建在A、B、C、D四处，现要求信号塔C建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为200m的圆，记为⊙E已知点A到该湖泊的最近距离为500m，是否存在这样的点D，满足AC=BD．且使得四边形ABCD的面积最大？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）221+3；（4）存在，最大值为405000m2
【分析】（1）连接AC,BD，证明△ACE≌△DBE即可；
（2）分别以点A,B为圆心，大于12AB长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两弧交点，即作AB的垂直平分线，以B为圆心，AC长度为半径画弧交AB的垂直平分线于点D，则点D即为所作；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=12AB，根据勾股定理求出AC，则BD已知，然后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD进行计算即可；
（4）当美好四边形的对角线不垂直时，过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F，可得DE+BF
∵∠BEC=∠AED，
∴∠BEC+∠CED=∠AED+∠CED，即∠BED=∠AEC，
在△AEC和△DEB中，
AE=DE∠AEC=∠DEBEC=EB，
∴△AEC≌△DEB(SAS)，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是美好四边形；
（2）如图即为所作；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD，
∴AE=BE=12AB，
∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，
∴AC=5，BE=12×4=2，
∵四边形ABCD为美好四边形，
∴AC=BD=5，
∴DE=BD2−BE2=52−22=21，
∴S△ABD=12⋅AB⋅DE=12×4×21=221，S△BCD=12BC⋅BE=12×3×2=3，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=221+3；
（4）存在，
当美好四边形的对角线不垂直时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F，
则S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC⋅(DE+BF)，
∵DE
S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC⋅(OD+OB)=12AC⋅BD，
∵12AC⋅(DE+BF)<12AC⋅BD，
∴当美好四边形的对角线垂直时面积最大，
如图，当AC过圆心E，AC最长，四边形ABCD中，AC⊥BD时，其面积最大，
∵湖泊的半径是200m，点A到该湖泊的最近距离为500m，
∴AC=500+200×2=900m，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=12AC⋅(OD+OB)=12AC⋅BD=12×900×900=405000m2．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了特殊四边形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，明确等角线四边形对角线垂直时面积最大是解题的关键．
26． (2023·江苏连云港·校考三模）（1）[问题提出]如图1，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若AB=6，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）[问题探究]如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，AB=AD，点E、F分别在边BC、CD上．且∠EAF=60°，若BE=3，EF=10，求DF的长；
（3）[问题解决]为进一步落实国家“双减”政策，丰富学生的校园生活，某校计划为同学们开设实践探究课.按规划要求，需设计一个正方形的研学基地，如图3．点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，将△AEF区域修建为种植采摘区，基地内其余部分为研学探究区，BE+DF的长为40m，∠EAF=45°．为了让更多的学生能够同时进行种植，要求种植采摘区（△AEF）的面积尽可能大，则种植采摘区的面积的最大值为_______m2，此时正方形ABCD的边长为_______m．
【答案】（1）9；（2）DF=7；（3）400+4002；20+202
【分析】（1）连接OC，过点C作CH⊥AB，由题意可得：CH≤3，即可求解；
（2）将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABT，通过旋转的性质得到△EAT≌△EAF，即可求解；
（3）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，可得S△EAF=S△EAT=20AB，由（1）可得，当AB垂直平分ET时，面积最大，即可求解．
【详解】（1）如图1中，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H．
∵AB=6，
∴OA=OB=OC=3，
∵OC≥CH，
∴CH≤3，
∴CH的最大值为3，此时CH垂直平分AB，
∴△ABC的面积的最大值为12×6×3=9．
（2）将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABT．
则DF=BT，
∵∠D=∠ABC=∠ABT=90°，
∴∠CBT=180°，
∴C，B，T共线，
∵∠C+∠BAD=180°，∠C=60°，
∴∠BAD=120°
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∵∠DAF=∠BAT，
∴∠EAT=∠BAE+∠BAT=60°，
∴∠EAT=∠EAF，
∵AE=AE，AT=AF，
∴△EAT≌△EAF(SAS)，
∴TE=EF=10，
∵BE=3，
∴BT=ET−BE=7，
∴DF=BT=7；
（3）将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABT，如下图：
则BT=DF，ET=40m，∠DAF=∠BAT，AT=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠TAE=∠TAB+∠BAE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，
∴△TAE≌△FAE(SAS)，
∴EF=ET=40m，
∴S△EAF=S△EAT=12TE×AB=20AB，
由（1）可得，当AB垂直平分ET时，AB最大，此时面积也最大，
则BE=TB=20m，
设AB=xm，则CE=CF=(x−20)m，
由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2，
即(x−20)2+(x−20)2=402，解得x=20+202，（负值舍去），
S△EAF=20AB=400+4002，
故答案为：400+4002；20+202
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作辅助线构造出全等三角形．
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