初中数学苏科版七年级下册7.1 探索直线平行的条件测试题

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一．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
二．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
一．同位角、内错角、同旁内角（共10小题）
1．（2021春•南京期中）在下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠2是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意；
B．∠1与∠2是同旁内角，不是同位角，故本选项不符合题意；
C．∠1与∠2是同位角，故本选项符合题意；
D．∠1与∠2不是同位角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能正确识图是解此题的关键．
2．（2021春•江阴市月考）如图，∠1和∠2不是同旁内角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据同旁内角的意义进行判断即可．
【解答】解：选项D中的∠1、∠2不两条直线被第三条直线所截得到的角，
∠1与∠2既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，
故选：D．
【点评】本题考查同旁内角，理解和掌握同旁内角的意义是正确判断的前提．
3．（2021春•饶平县校级月考）如图，与∠1是同位角的角是 ∠4 ，与∠1是内错角的角是 ∠2 ，与∠1是同旁内角的角是 ∠5 ．
【分析】根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，可得答案；根据两个角位于截线的两侧，两条直线的中间的角是内错角，可得答案；根据同旁内角是两个角位于截线的同旁，两条直线的中间，可得答案．
【解答】解：与∠1是同位角的角是∠4，与∠1是内错角的角是∠2，与∠1是同旁内角的角是∠5，
故答案为：∠4，∠2，∠5．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．（2021春•玄武区校级月考）如图，
（1）∠1和∠3是直线 AB 和 AC 被直线 DE 所截而成的 内错 角；
（2）能用图中数字表示的∠3的同位角是 ∠7 ；
（3）图中与∠2是同旁内角的角有 3 个．
【分析】根据同位角、内错角和同旁内角的定义得出即可．
【解答】解：（1）∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；
故答案为：AB、AC、DE、内错；
（2）图中与∠3是同位角的角是∠7，
故答案为：∠7；
（3）图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．
5．（2021秋•长春期末）如图，下列结论中错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同旁内角B．∠1与∠6是内错角
C．∠2与∠5是内错角D．∠3与∠5是同位角
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，正确，不合题意；
B、∠1与∠6是内错角，正确，不合题意；
C、∠2与∠5不是内错角，故C错误，符合题意；
D、∠3与∠5是同位角，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了同旁内角以及内错角、同位角的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
6．（2021春•高邮市期中）如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据同位角的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：选项A中的∠1与∠2，是直线AB、BC被直线EF所截的同位角，因此选项A不符合题意；
选项B中的∠1与∠2，是直线AB、MG被直线EM所截的同位角，因此选项B不符合题意；
选项C中的∠1与∠2，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项C符合题意；
选项D中的∠1与∠2，是直线CD、EF被直线AB所截的同位角，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同位角，理解同位角的定义是正确判断的前提，找出两条直线的公共截线是解决问题的关键．
7．（2019春•鼓楼区校级月考）如图，直线AF和AC被直线EB所截，∠EBC的同位角是∠EOF，直线DC、AC被直线AF所截，∠FAC同位角是 ∠COF ．
【分析】由同位角的位置特点，可知∠FAC的同位角是∠COF．
【解答】解：根据同位角的图形特点，可得∠FAC的同位角是∠COF，
故答案为∠COF．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角；牢记两直线被第三条直线所截，同位角的位置关系是解题的关键．
8．（2021春•毕节市期中）如图，下列判断正确的是（ ）
A．∠5与∠3是内错角B．∠2与∠4是同位角
C．∠3与∠6是同位角D．∠2与∠5是对顶角
【分析】根据同位角是“F”型，内错角是“Z”型、同旁内角是“U”、判断选项A，B，C，最后根据对顶角的意义进行判断选项D即可．
【解答】解：∠5与∠3不是两条直线被第三条直线所截的同位角、内错角、同旁内角，因此选项A不符合题意；
同理∠2与∠4既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，因此选项B不符合题意；
∠3与∠6是直线AC，直线BE被直线AB所截的同旁内角，因此选项C不符合题意；
∠2和∠5是直线AC，直线DF相交所得的对顶角，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，掌握同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义是正确判断的前提．
9．（2020春•麻城市校级月考）如图，∠1和∠3是直线 AB 和 AC 被直线 DE 所截而成的 内错 角；图中与∠2是同旁内角的角有 3 个．
【分析】根据内错角和同旁内角的定义得出即可．
【解答】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个，
故答案为：AB、AC、DE、内错，3．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解此题的关键．
10．（2021春•满洲里市期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ①②③ （只填序号）．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，
∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．
【点评】考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．
二．平行线的判定（共16小题）
11．（2021秋•上蔡县期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．
【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b；
当∠4＝∠5时，a∥b；
当∠2+∠4＝180°时，a∥b．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12．（2021秋•白银期末）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠2＝∠3
【分析】利用平行线的判定方法分别得出即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴a∥b，（内错角相等，两直线平行），故此选项错误；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴a∥b，（同旁内角互补，两直线平行），故此选项错误；
C、∵∠4＝∠5，
∴a∥b，（同位角相等，两直线平行），故此选项错误；
D、∠2＝∠3，无法判定直线a∥b，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的判定方法是解题关键．
13．（2021春•莲湖区期末）设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是 a∥b ．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行判断．
【解答】解：∵a⊥c，b⊥c
∴a∥b
故答案为：a∥b．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
14．（2021春•阳谷县期末）如图，木工用角尺画出CD∥EF，其依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行作答．
【解答】解：木工用角尺画出CD∥EF，其依据是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
15．（2021•宛城区二模）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角存在，
这样做的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
16．（2021秋•肇源县期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．
A．1B．2C．3D．4
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两直线平行．
17．（2021春•饶平县校级期末）已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．
【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C＝∠2，从而证得AB∥CD．
【解答】证明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
又已知∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．
18．（2021春•饶平县校级期末）如图，下列条件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的条件个数有 3 个．
【分析】根据平行线的判定定理即可判断．
【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，则AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，则AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，则AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，则AB∥CD，
故能判定AB∥CD的条件个数有3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
19．（2021春•金坛区期末）已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．
【分析】根据平行线的判定推出GD∥AC，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠2，根据等量关系可得∠3+∠CAD＝180°，再根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠C，
∴GD∥AC，
∴∠CAD＝∠2，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3+∠CAD＝180°，
∴AD∥EF．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，注意：平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
20．（2021春•邗江区校级期末）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ ECD （ 角平分线的定义 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ ECD （ 等量代换 ）．
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定依据角平分线的定义即可解决问题．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ECD（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2．（已知），
∴∠1＝∠ECD（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，解题的关键是根据平行线的判定解答．
21．（2021春•崇川区校级月考）已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．
（1）求证：∠CFD＝90°；
（2）求证：AB∥CD．
【分析】（1）由∠C＝∠1得到BE∥CF，根据平行线的性质即可证得∠CFD＝∠DGE＝90°；
（2）首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知得到∠C＝∠1，由∠2和∠D互余，得到∠C＝∠2，从而证得AB∥CD．
【解答】证明：（1）∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∵∠C＝∠1，
∴BE∥CF，
∴∠CFD＝∠DGE＝90°；
（2）∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查的知识点是平行线的判定和性质，由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余是解决问题的关键．
22．（2021春•宝应县月考）已知：如图，∠C＝∠1，∠2+∠D＝90°，∠1+∠D＝90°，求证：AB∥CD．
【分析】根据等角的余角相等得∠1＝∠2，根据等量关系可得∠2＝∠C，然后根据平行线的判定可得AB∥CD．
【解答】证明：∵∠2+∠D＝90°，∠1+∠D＝90°，
∴∠2＝∠1，
∵∠C＝∠1，
∴∠2＝∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
23．（2021春•铁西区期末）如图，GM、HN分别平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BGE+∠DHF＝180°，再根据邻补角的定义和等量关系，以及平行线的判定即可求解．
【解答】证明：∵GM、HN分别平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，
∴∠BGE+∠DHF＝180°，
∵∠BGE+∠BGF＝180°，
∴∠BGF＝∠DHF，
∴AB∥CD．
【点评】考查了角平分线的定义，平行线的判定，关键是熟悉同位角相等，两直线平行的知识点．
24．（2021春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【分析】根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b．
【解答】解：平行．理由如下：
如图，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠6，
∴a∥b．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
25．（2021春•恩施市期末）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD
证明：∵CE平分∠ACD
∴∠ 2 ＝∠ ECD （ 角平分线的定义 _），
∵∠1＝∠2．（已知）
∴∠1＝∠ ECD （ 等量代换 ）
∴AB∥CD（ 内错角相等两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定依据角平分线的定义即可解决问题．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD
∴∠2＝∠ECD（角平分线的定义），
∵∠1＝∠2．（已知）
∴∠1＝∠ECD（等量代换））
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：2，ECD，角平分线的定义，ECD，等量代换，内错角相等两直线平行．
【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（2021春•盐都区月考）如图1，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．
（1）若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）AB∥CD，
理由：∵∠DCF＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，
∵∠BAF＝110°，
∴∠BAF＝∠ACD，
∴AB∥CD；
（2）解：存在．分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此时t＞50，
∵38＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，t为2秒或38秒时，CD与AB平行．
【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•大余县期末）如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【分析】根据同位角定义可得答案．
【解答】解：∠1的同位角是∠5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形．
2．（2021春•驿城区期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的概念解答即可．
【解答】解：∠1和∠2是同位角的是①②，
故选：A．
【点评】此题考查同位角，内错角，同旁内角的概念，关键是根据同位角，内错角，同旁内角的概念解答．
3．（2020秋•盐田区期末）如图，点E在射线AB上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A＝∠CC．∠C＝∠CBED．∠A+∠D＝180°
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
4．（2021春•仪征市期中）如图，要得到a∥b，则需要条件（ ）
A．∠1+∠2＝180°B．∠1＝∠2C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝120°
【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得出a∥b，需要的条件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5．（2021春•峡江县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5； ④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∵∠2＝∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6＝∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题）
6．（2020春•兴化市月考）如图，直线AB、CD被直线AE截，则∠A和∠ EFD 是同位角．
【分析】利用同位角定义进行解答即可．
【解答】解：直线AB、CD被直线AE截，则∠A和∠EFD是同位角，
故答案为：EFD．
【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形．
7．（2018秋•海安市期末）如图，直线DE经过三角形ABC的顶点A，则∠DAC与∠C的关系是 同旁内角 ．（填“内错角”或“同旁内角”）
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角解答即可．
【解答】解：由图可知：∠DAC与∠C的关系是同旁内角，
故答案为：同旁内角
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角：掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，识别同位角、内错角、同旁内角．
8．（2020春•吴忠期末）如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行 ．
【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行
【解答】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行，
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．
9．（2019春•铜山区期中）如图，如果∠B＝∠1，则可得DE∥BC，如果∠B＝∠2，那么可得 AB∥EF ．
【分析】同位角相等，两直线平行，依此即可求解．
【解答】解：∵∠B＝∠2，
∴AB∥EF．
故答案为：AB∥EF．
【点评】考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
10．（2019•南京）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵ ∠1+∠3＝180° ，∴a∥b．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：∠1+∠3＝180°．
【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
11．（2018春•邹平市期末）如图，对于下列条件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠D＝∠5；其中一定能判定AB∥CD的条件有 ①③ （填写所有正确条件的序号）．
【分析】根据平行线的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥DC，符合题意；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，故本选项错误；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，故本选项正确；
④∵∠D＝∠5；
∴AD∥BC，故本选项错误；
故选答案为：①③．
【点评】本题考查了平行线的判定，准确识图是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
12．（2019秋•崇川区校级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．
（1）如图1，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了 2 对同旁内角．
（2）如图2，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有 6 对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成 24 对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成 n（n﹣1）（n﹣2） 对同旁内角．
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形确定同旁内角的对数．
【解答】解：因为两个交点可以形成2对同旁内角，而三个交点形成的同旁内角的对数为6对，
（1）直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角．
（2）平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有3×2＝6对同旁内角．
（3）平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成4×（4﹣1）×（4﹣2）＝24对同旁内角．
（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）对同旁内角
故答案为：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）
【点评】此题考查同旁内角问题，本题是规律总结的问题，应运用数形结合的思想求解．
13．（2021春•饶平县校级期末）如图，已知点E在AB上，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠AEC．求证：AB∥CD．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
又∵∠ACE＝∠AEC，
∴∠DCE＝∠AEC，
∴AB∥CD．
【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出∠ACE＝∠ECD．
14．（2021春•东台市月考）如图，∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，试说明DE∥FB．
【分析】根据角平分线定义和已知求出∠CDE＝∠ABF，推出∠2＝∠ABF，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：DE∥BF，
理由是：∵∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，
∴∠1＝∠ABF，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ABF，
∴DE∥BF．
【点评】本题考查了平行线的判定和角平分线定义的应用，注意：内错角相等，两直线平行．
15．（2019春•邗江区期中）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．求证：DG∥BA．
【分析】首先证明AD∥EF，再根据平行线的性质可得∠1＝∠BAD，再由∠1＝∠2，可得∠2＝∠BAD，根据内错角相等，两直线平行可得DG∥BA．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAD，
∴AB∥DG．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
16．（2018春•庐阳区期末）如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，EG⊥FG．
（1）若∠BEG+∠DFG＝90°，请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的结论下，当EG⊥FG保持不变，EG上有一点M，使∠MFG＝2∠DFG，则∠BEG与∠MFD存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图2，若移动点M，使∠MFG＝n∠DFG，请直接写出∠BEG与∠MFD的数量关系．
【分析】（1）延长EG交CD于H，根据平角的定义得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根据平行线判定定理即可得到结论；
（2）延长EG交CD于H，根据平角的定义得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根据平行线判定定理即可得到结论；
（3）根据平角的定义得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根据平行线判定定理即可得到结论；
【解答】解：（1）AB∥CD，
理由：延长EG交CD于H，
∴∠HGF＝∠EGF＝90°，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠BEG+∠DFG＝90°，
∴∠BEG＝∠GHF，
∴AB∥CD；
（2）∠BEG+∠MFD＝90°，
理由：延长EG交CD于H，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠GHF，
∵EG⊥FG，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠MFG＝2∠DFG，
∴∠BEG+∠MFD＝90°；
（3）∠BEG+（）∠MFD＝90°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠GHF，
∵EG⊥FG，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠MFG＝n∠DFG，
∴∠BEG+∠MFG＝∠BEG+（）∠MFD＝90°．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．填空题（共6小题）
1．在图①所标注的6个角中共有 1 对同位角， 3 对内错角， 4 对同旁内角，在图②中共有 5 对同旁内角．
【分析】根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间位置的角，可得答案．
【解答】解：在图①所标注的6个角中∠1与∠4是同位角，∠3与∠6，∠1与∠3，∠4与∠5是内错角，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，∠5与∠6是同旁内角，故共有1对同位角，3对内错角，4对同旁内角，在图②中∠CAB与∠B，∠B与∠C，∠C与∠CAB，∠DAC与∠C，∠EAB与∠B是同旁内角，故共有5对同旁内角．
故答案为：1，3，4，5．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2．如图：
（1）∠2与∠4是直线 l3 、 l4 被直线 l1 所截成的同位角；
（2）∠3与 ∠1或者∠5 是同位角．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义可直接得到答案．
【解答】解：（1）∠2与∠4是直线l3、l4被直线l1所截成的同位角；
（2）∠3与∠1或者∠5是同位角；
故答案为：（1）l3 l4 l1
（2）∠1 或者∠5
【点评】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
3．（2020春•江都区期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 30°或150° 时，CD∥AB．
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°或30°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
4．（2020春•邳州市期中）如图，两块三角板形状、大小完全相同，边AB∥CD的依据是 内错角相等两直线平行 ．
【分析】利用平行线的判定方法即可解决问题．
【解答】解：由题意：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）
故答案为：内错角相等两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2019春•南京期中）如图，在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第t秒时，边CD恰好与边AB平行，则t的值为 5.5秒或14.5 ．
【分析】讨论：如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，了；一平行线的判定，当∠OEC′＝∠B＝50°时，C′D′∥AB，则根据三角形外角性质计算出∠C′OC＝110°，从而可计算出此时△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间；如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，利用平行线的判定得当∠OFC″＝∠B＝50°时，C″D″∥AB，根据三角形内角和计算出∠C″OC＝70°，则△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″，然后计算此时旋转的时间．
【解答】解：如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′＝∠COD＝90°，∠OC′D＝∠C＝60°，
当∠OEC′＝∠B＝50°时，C′D′∥AB，
∴∠C′OC＝∠OEC′+∠OC′E＝50°+60°＝110°，
∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为＝5.5（秒）；
如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″＝∠COD＝90°，∠OC″D＝∠C＝60°，
当∠OFC″＝∠B＝50°时，C″D″∥AB，
∴∠C″OC＝180°﹣∠OFC″+∠OC′F＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
而360°﹣70°＝290°，
∴△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″所需时间为＝14.5（秒）；
综上所述，在旋转的过程中，在第5.5秒或14.5秒时，边CD恰好与边AB平行．
故答案为：5.5秒或14.5．
【点评】本题考查了平行线的判定，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的判定．
6．（2019春•东台市月考）如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3：2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是 平行 ，这是因为 同旁内角互补 ．
【分析】根据同旁内角互补及已知可求得两角的度数，从而根据同旁内角互补两直线平行判定两直线的关系．
【解答】解：∵一组同旁内角的度数比为3：2，差为36°
∴设较小的角为：x，则较大的为x+36°
∴（x+36°）：x＝3：2
∴x＝72°，x+36°＝108°
∵72°+108°＝180°即同旁内角互补．
∴这两条直线的位置关系是平行
∴答案为：平行，同旁内角互补．
【点评】此题主要考查学生对平行线的判定的理解及运用能力．
二．解答题（共6小题）
7．（2014春•灌云县校级期末）如图，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？
【分析】根据同位角的概念作答．准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【解答】解：∠1和∠2是直线EF、DC被直线AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB、CD被直线EF所截形成的同位角．
【点评】同位角，即位置相同，两个角都在第三条直线的同旁，同在被截两条直线的上方或下方．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．
8．（2021春•科左中旗期末）填空并完成以下证明：
已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
证明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝ 90° ．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2＝ ∠BCD ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝ ∠BCD ．（ 等量代换 ）
∴CD∥FH（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠BDC＝∠BHF＝ 90 ．°（ 两直线平行，同位角相等 ）
∴CD⊥AB．
【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．
【解答】证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
故答案为：90°；同位角相等，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行；90；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
9．（2021春•饶平县校级期末）AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ 90 °，
即∠3+∠4＝ 90 °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ∠1 ＝ ∠4 ．
理由是： 等角的余角相等 ．
∴BE∥DF．
理由是： 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定义得到∠ABC为直角，进而得到∠3与∠4互余，再由∠1与∠2互余，根据∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等两直线平行即可得证．
【解答】解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
10．（2019春•泰安期中）如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC．
（1）填空：∠OEC+∠OFC＝ 180° ；
（2）求证：EG∥FH．
【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；
（2）根据四边形的内角和和平行线的判定解答即可．
【解答】解：（1）在四边形OECF中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
故答案为：180°；
（2）证明：在四边形OECF中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
因为∠MEC＝180°﹣∠OEC，
∠NFC＝180°﹣∠OFC，
所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC）
＝360°﹣（∠OEC+∠OFC）
＝360°﹣180°＝180°，
因EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC，
所以∠CEG＝∠MEC，∠CFH＝∠NFC，
所以∠CEG+∠CFH＝（∠MEC+∠NFC）＝×180°＝90°，
过C点作CD∥EG，
所以∠CEG＝∠DCE，
因为∠DCE+∠DCF＝90°，
∠CEG+∠CFH＝90°，
所以∠DCF＝∠CFH，
所以CD∥FH，
又因为CD∥EG，
所EG∥FH．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
11．（2018春•吴中区期中）如图，已知在∠MON的一边OM上有一点A，另一边ON上有一点C，过A作ON的垂线交ON于点B，过C作OM的垂线交OM于点D，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．判断AE与CF是否平行，并说明理由．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可．
【解答】解：AE∥CF，理由如下：
∵AB⊥ON，CD⊥OM，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∵AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线，
∴∠BAE+∠FCE＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠FCE，
∴AE∥CF．
【点评】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义和平行线的判定解答．
12．（2018春•济宁期末）如图，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，且AD平分∠BAC．请问：
（1）AD与EF平行吗？为什么？
（2）∠3与∠E相等吗？试说明理由．
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠EFD＝∠ADC＝90°，再根据同位角相等，两直线平行解答；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠E，两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，最后等量代换即可得证．
【解答】解：（1）AD∥EF．
理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFD＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EF；
（2）∠3＝∠E．
理由如下：∵AD∥EF，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠E．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记判定方法与性质是解题的关键．